2008年数学奥林匹克竞赛
2008年全国小学数学奥林匹克竞赛试题
2008年小学数学奥林匹克决赛试题=____________.{1}计算：{2} 计算：76×65-65×54+54×43-43×32+32×21-21×10= 。
{3}自然数N=123456789101112…2008是一个位数。
{4}人们常常喜欢使用自己的生日数码作为密码。
例如，某人的生日是1997年3月24日，他的六位数生日数码就是970324，其中97是出生年号的十位数字和个位数字，老师说：这种数码很容易重复，因为它只占六位数字数码的很小一部分。
那么，如果不计闰年二月的29日，六位数生日数码占六位数码总数的﹪。
{5}小张的家是一个建在10m×10m的正方形地面上的房子，房子正好位于一个40m×40m的正方形草地的正中，他们家喂了一只羊，用15m长的绳子拴在房子一边的中点处，取π=3，那么羊能吃到草的草地面积是平方米。
{6}有两个2位数，它们的乘积是1924，如果它们的和是奇数，那么它们的和= 。
{7}小王和小张玩拼图游戏，他们各用若干个边长为1的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形，小王有1000个边长为1的等边三角形，但是无论怎样努力，小王拼成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小，那么，小张用的边长为1的等边三角形至少有个。
{8}某工厂甲、乙二车间去年计划完成税利800万元，结果，甲车间超额20﹪完成任务，乙车间超额10﹪完成任务，两车间共完成税利925万元，那么，乙车间去年完成的税利是万元。
{9}一只装了若干水的水桶，我们把它的水倒出一半，然后再加入一升水，这算一次操作，第二次操作是把经过第一次操作的水桶里的水倒出一半，然后再加入一升水，如果经过7次操作后，桶里还有3升水，那么，这只水桶原来有水升。
{10}n正整数，D某个数字，如果n/810=0.9D5=0.9D59D5…，那么n= 。
{11}图一是由19个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选图二中箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内。
2000之后全国奥数一等奖名单
2000年后，全国赛奥林匹克数学竞赛一等奖的名单如下：
一、2000年：李可欣、罗文卓、黄婷婷、王淑萍、张显辉。
二、2001年：何鹏程、杨敏伟、吴坤志、何晓文。
三、2002年：张鹏涛、李立新、陈辉煌。
四、2003年：张凡芸、金少锋、肖思佳。
五、2004年：李永杰、杨毅、冯欢、陈唯。
六、2005年：范云鹤、张玉玲、蒋昊羽。
七、2006年：吴宏盛、李佳思、沈允斌。
八、2007年：张志勇、朱运清、陈浩。
九、2008年：丁佳慧、肖建伟、罗昊华。
十、2009年：梁子凡、赵宇航、闫雨童。
十一、2010年：王冰荣、唐开俊、陈涛。
十二、2011年：刘伟彬、张英楠、周鹏。
十三、2012年：李钊熙、周安琪、李庆奇。
十四、2013年：谢峻昊、何思源、黄睿民。
十五、2014年：谢瑞琳、沈昌明、刘家麒。
十六、2015年：段江南、吴宇森、黄子正。
十七、2016年：李杰翔、杨弘文、秦坤文。
十八、2017年：谢咏雯、翁子仪、程宇豪。
十九、2018年：林玥君、王伟宇、周宇涵。
二十、2019年：马正航、郑新宇、余嫣然。
这些名字将被永远铭记，他们是中国奥林匹克数学竞赛的佼佼者，也是我们国家科技事业的未来光辉。
他们的成就激励着我们不断努力、拼搏，追求卓越，为建设美丽中国作出贡献。
清华数学天才素材
清华数学天才素材夏天，学霸们如雨后春笋般地冒出来。
在这之前，独领风骚的是北大老师——数学天才韦东奕。
韦东奕有何特别之处，一时间竟红透大街小巷？我想，是“反差”。
混在人群中就没存在感的外貌，谈不上款式的衣着，手上领着一大瓶装满白开水的矿泉水瓶和两三个馒头。
“韦神”的光环来自于他传奇般的人生经历：保送北大，蝉联国际奥数大赛的冠军，教授都跟不上的解题方法——“韦方法”，以及北大老师的身份。
“韦神”红了，北大笑了，在“招生大战”的节骨眼儿。
北大的正面宣传占尽先机，它的老对手清华能坐视不管吗？一位才貌双全的清华副教授刁晗生出现在大家的视野里。
势均力敌，难分伯仲！传统的“天才”当我写下“才貌双全”四个字的时候，感觉自己有点浅薄。
但刁晗生出众外貌与他的才华确实为他赢得了“北大校草”的称号。
刁晗生是一个传统的“天才”，他走过的是常人难以企及的数学奖杯之路。
当普通孩子的家长仅仅要求小学数学考试能上90分的时候，刁晗生已经在“华罗庚金杯”上拿回了一等奖和金牌。
捧着奖杯的小刁晗生似乎没有很开心，但天才的世界我们不懂。
若是韦东奕和刁晗生见面，“韦神”得喊刁晗生一声“师哥”。
韦东奕是在2008年的IMO（IMO：以解题方法和技巧为主要考核内容的高含金量国际数学比赛）上“封神”，而刁晗生是韦东奕的前辈。
2005年的IMO有513名选手，只有16名选手获得了满分，刁晗生就是其中之一。
更巧的是，他们两位在中国数学奥林匹克国家队的教练兼领队都是大名鼎鼎的熊斌教授。
缘分真是早就注定。
05年刁晗生和熊斌教授08年韦东奕和熊斌教授非凡的单纯，非凡的明确——这是天才的智慧最惊人的品质。
韦东奕如斯，刁晗生亦如斯。
当他们获得惊人成就之时，没有“喜大普奔”。
一个淡泊名利，继续白开水加馒头的生活；另一个则是淡定地把奖牌放进了抽屉。
“金牌只是对于多年竞赛生涯的一次较为完美的句号，以后还有更多更长的路要走。
”原来，天才站在巅峰之处，看到的并不是脚下已经收获的成果，而是眺望前方，寻找下一个更美好的目标。
2008年第7届中国女子数学奥林匹克(CGMO)真题及答案_wrapper
n 3n(3n 1) 2 | 3n 1 ． 2
所以， n 为奇数． 又当 n 为奇数时，可将1, 2, 3,, 2n 每两个一组，分成 n 个组，每组两数之和
可以排成一个公差为 1 的等差数列：
1 (n n 1), 3 (n n 1),, n (n 1) ；
xk xk 1
1 x8
k 1
=
x2 x1
1 x18
=7 8
于是，
xk 1
7 8
xk
xk7 ，则当
x1
0 时， xk
0,
k
2．
由
xk 1
xk
xk (xk8
1) ，则当 8
xk8
1 8
0 ，即 xk
1
88 时，有
xk1
xk
0 ，即
xk1 xk , k 1．
而
xk 1
7 8
xk
xk7
88
1 87
A
E F
。
B
P O
。
D
C
【附注】 事实上，当四边形 ABCD 不是菱形时，A、P、Q 三点共线与 B、E、F、D 四 点共圆互为充要条件． 可利用同一法给予说明：取定 E 点，考虑让 F 点沿着直线 AD 运动． 根据相似变换可知，这时 Q 点的轨迹必是一条直线，它经过 P 点（由充分
性保证）． 以下只要说明这条轨迹与直线 AP 不重合即可，即只要论证 A 点不在轨迹
A'
A
E F
P
B
D
Q
C
而当四边形 ABCD 是菱形时，不管 E、F 位置如何，所得到的 P、Q 两点总 位于对角线 AC 上．
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题1、计算：2008×0.9998—2007×0.9999= 。
2、一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的个数互不相同，那么100个桃子最多可供这只猴子吃天。
3、已知甲乙两数分别是两个三位数、，他们的和是四位数，每个字母代表0～9中的一个数字，且不同的字母代表不同的数字，那么 = 。
4、盒子里放有编号为1到10的十个球，小王先后三次从盒中共取出9个球，如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是。
5、一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合做。
6、我国著名运动员姚明爬一座山，上山速度为5分/分，下山速度为上山速度的倍，这名运动员上山比下山多用2小时，那么山坡的坡长是米。
7、张丹、王梓、李小双三人共有存款6300元，已知张丹与王梓的存款的比是5：6，李小双的存款占王梓的，那么张丹有存款元。
8、用四舍五入的方法计算三个真分数之和的近似值为 + + =0.98，那么a= ，b= .9、有一本童话书的页码共含有99个数字“9”，那么这本书至少有。
10、如图，一个四边形的面积是52平方米，两条对角线把这个四边形分成四个小三角形，其中两个较小三角形的面积分别为6平方米和7平方米，那么两个较大三角形的面积分别为平方米和平方米。
11、1、2、3、4四个数所组成的四位数字共有24个，将他们从小到大排列起来，第18个数字是。
12、刘翔小时候每天上学步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好到校。
有一天他步行6分钟后就开始跑步，结果早到了2分24秒，那么他的跑步速度是步行速度的倍。
2008IMO
2008年国际数学奥林匹克（第49届IMO ）第一天１．已知H 是锐角三角形ABC 的垂心，以边BC 的中点为圆心，过点H 的圆与直线BC 交于12,A A 两点；以边CA 的中点为圆心，过点H 的圆与直线CA 交于12,B B 两点；以边AB 的中点为圆心，过点H 的圆与直线AB 交于12,C C 两点． 证明：六点121212,,,,,A A B B C C 共圆．（俄罗斯提供） 证明：00,B C 分别是边CA ，AB 的中点．设以边0B 为圆心，过点H 的圆与以0C 为圆心，过点H 的圆的另一个交点为'A ，则00'A H C B ⊥．由于00,B C 分别是边CA ，AB 的中点，所以00C B BC ，从而'A H BC ⊥，于是点'A 在AH 上． 由切割线定理：1212'AC AC AA AH AB AB ⋅=⋅=⋅，所以，1212,,,B B C C 四点共圆．分别作1212,B B C C 的垂直平分线，设它们相交于点O ，则O 是四边形1212B B C C 的外心，且1212OB OB OC OC ===．同理可得，1212OA OA OB OB ===，所以，121212,,,,,A A B B C C 六点都是在以O 为圆心，1OA 为半径的圆上，故六点121212,,,,,A A B B C C 共圆．2．（1）设实数,,x y z 都不等于1，满足1xyz =，求证：()()()2222221111x y z x y z ++≥---．（2）证明：存在无穷多组三元有理数组(),,x y z ，,,x y z 都不等于1，且1xyz =，使得上述不等式等号成立．（奥地利提供）证明：（1）令1x a x =-，1yb y =-，1zc z =-，则1a x a =-，1b y b =-，1c z c =-． 由题设条件1xyz =得()()()111abc a b c =---，即 1ab bc ca a b c ++=++-，()()()()()22222222111 1.a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c ++=++-++=++-++-=++-+≥所以 从而()()()2222221111x y z x y z ++≥---．（2）令()()2221,,,,1k k x y z k k k k ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，k 是正整数，则(),,x y z 是三元有理数组，,,x y z 都不等于1，且对于不同的正整数k ，三元有理数组(),,x y z 是互不影响的．此时()()()222222111x y z x y z ++---()()()()()()2222222222432221111232111k k k kk k k k k k k k k k kk --=++-+-+-+-+-+==-+从而命题得证．3．证明：存在无穷多个正整数n ，使得21n +有一个大于2n 的素因子．（立陶宛提供） 证明：设(20)m ≥是一个整数，p 是()!1m +的一个素因子，则20p m >≥．令整数n 满足02pn <<，且()!mod n m p ≡±． 于是0n p n p <<-<，且()21m od n p ≡-，（1） 故()()2222444mod p n p pn n p -=-+≡-，所以()224p n p -≥-，222p n n n≥≥>+．（2）由（1），（2）便知，命题成立．第二天4．求所有的函数()():0,0,f+∞→+∞，满足对所有的正实数,,,w x y z，wx yz=，都有()()()()()()22222222f w f x w zy zf y f z++=++．（韩国提供）解：令1w x y z====，得()()()211f f=，所以()11f=．对任意0t>，令,1,w t x y z====，得()()()221122f t tf t t++=，去分母整理得()()()()10tf t f t t--=，所以，对每个0t>，()f t t=，或者()1f tt=．（*）若存在(),0,b c∈+∞，使得()f b b≠，()1f cc≠，则由（*）知，,b c都不为1，且()1f bb=，()f c c=．令,,w b x c y z===()2222122c b cbf bc bc++=，所以()()2222c b cf bcb b c+=+．因为()f bc bc=，或者()1f bcbc=．若()f bc bc=，则()2222c b cbcb b c+=+，得4,1b c c b==，矛盾!若()1f bcbc=，则()22221c b cbc b b c+=+，得242,1b c b c==，矛盾!所以，或者()(),0,f x x x=∈+∞，或者()()1,0,f x xx=∈+∞．经检验，()(),0,f x x x=∈+∞，和()()1,0,f x xx=∈+∞都满足要求．5．设n 和k 是正整数，k n ≥，且k n -是一个偶数．2n 盏灯依次编号为1,2,...,2n ，每一盏灯可以“开”和“关”．开始时，所有的灯都是“关”的．对这些灯可进行操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成“关”，“关”变成“开”），我们考虑长度为k 的操作序列，序列中的第i 项就是第i 次操作是被改变开关状态的那盏灯的编号．设N 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数．设M 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的，但是灯1,,2n n +⋅⋅⋅始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数．求比值NM．（法国提供） 解：所求的比值为2k n-．引理：设t 是正整数，如果一个t 元0,1数组()12,,,t a a a ⋅⋅⋅{}()12,,,0,1t a a a ⋅⋅⋅∈其中共有奇数个0，那么称其为“好的”．则好数组共有12t -个．事实上，对于相同的12,,,t a a a ⋅⋅⋅，在t a 取0,1时得到的两个数组中的奇偶性不同，则恰好有一个为“好的”，于是我们可将总共2t个不同的可能数组两两配对，每对数组中仅有t a 不同，则每对恰好有一个好数组，故好数组占总体的一半，即有12t -．引理得证．称k 次操作后灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的操作序列的全体记为A 类型；k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的，但是灯1,,2n n+⋅⋅⋅始终没有被开过的操作序列的全体记为B 类型．对于任意一个B 类列b ，将有如下性质的A 类列a 全部与它对应：“a 的各元素在模n 的意义下对应相同”（例如，2,4n k ==时，()2,2,2,1b =可对应如()4,4,2,1a =， ()2,2,2,1a =，()2,4,4,1a =等），那么由于b 是B 类列，其中1,,n ⋅⋅⋅的个数必定为全为奇数，而a 是 A 类列，又要求a 中1,,n ⋅⋅⋅的个数全为奇数，且1,,2n n +⋅⋅⋅的个数全为偶数．于是对于任意的{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，设b 中有i b 个i ，则a 必须且只需满足：对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，b 中是i 的i b 个元所在的位上在a 中都是i 或者n i +，且i 有奇数个（自然n i +就有偶数个），那么由引理及乘法原理，b 中恰可对应1122i nb k ni --==∏个不同的a ，而每个A 中的元a 均有B 中的一元（唯一的一个元）b （它是把a 的各位变成它除以n 的最小正余数）可以对应它，从而必有2k nA B -=，即2k n N M -=．又易知0M ≠（因为操作列()1,2,,,,,n n n B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈），所以2k n NM-=．6．在凸四边形ABCD 中，BA BC ≠．1ω和2ω分别是ABC 和ADC 的内切圆．假设存在一个圆ω与射线BA 相切（切点不在线段BA 上），与射线BC 相切（切点不在线段BC 上），且与直线AD 和直线CD 都相切． 明：圆1ω和2ω的两条公切线的交点在圆ω上．（俄罗斯提供） 证明：先证两个引理：引理1：设ABCD 是凸四边形，圆ω与射线BA （不包括线段BA ）相切，与射线BC （不包括线段BC ）相切，且与直线AD 和直线CD 都相切．则AB AD CB CD +=+.引理1的证明：设直线AB,BC,CD,DA 分别与圆ω相切于P,Q,R,S ，如图1，则AB AD CB CD +=+()()AB AD DS CB CD DR AB AS CB CR AB AP CB CQ BP BQ⇔++=++⇔+=+⇔+=+⇔=从而引理1得证．引理2：设三个圆：123,,O O O 的半径两两不等，则它们的外位似中心共线．引理2的证明：设3X 是1O 与2O 的外位似中心，2X 是3O 与1O 的外位似中心，1X 是2O 与3O 的外位似中心，i r 是i O （1,2,3i =）的半径，由位似的性质知131232O X rr X O =-，这里13O X 表示有向线段13O X ，如图2所示．同理212313O X rr X O =-，323121O X r r X O =-，所以1332321122313213211O X O X r O X r r r r r X O X O X O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 由梅内劳斯定理知，123,,X X X 三点共线．图 1图 23如图3，设U,V 分别是圆1ω,2ω与AC 的切点． 则222AD AC CD AC AD CDAV +--==+22()2AC CB AB AC CB AB CU -=++-==由引理１所以，ABC 的关于顶点B 的旁切圆3ω与边AC 的切点亦为V ． 因此，2ω与3ω内切于点V ，即V 为2ω与3ω的外位似中心．设K 是1ω与2ω的外位似中心（即两条外公切线的交点），由引理2知，K,V ,B 三点共线． 完全类似可得K,D,U 三点共线．因为BA BC ≠，所以，U V ≠（否则，由AV CU =知，U V =是边AC 的中点，与BA BC≠矛盾）．因此，直线BV 与DU 不重合． 故K BV DU =⋂．于是，只需证明直线BV 与DU 的交点K 在圆ω上． 作圆ω的一条平行于AC 的切线l （靠近边AC 的那条），设l 与圆ω切于点T ．下证：B,V,T 三点共线．如图4，设l 与射线BA,BC 分别交于点11,A C ．则圆ω是11BAC 的关于顶点B 的旁切圆，T 是其与11AC 的切点．而圆3ω是BAC 关于点B 的旁切圆，圆3ω与AC 切于点V ．由11AC AC 知，BAC 与11BAC 以B 为中心位似，而V ,T 分别是对应旁切圆与对应边的切点，因此，V ,T 是这一对位似形中的对应点．而B 是位似中心，故B,V ,T 三点共线． 同理可证D,U,T 三点共线． 从而，命题得证．B图 4。
历届女子数学奥林匹克试题
目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明： （1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪 供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏 供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明 供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明 供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平 供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂 供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓 供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊 斌 供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪 供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕 供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓 供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平 供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。
新课程背景下的数学奥林匹克——-2008年全国初中数学竞赛试题分析
２ ０ 年 全国初 中数学竞赛 （ ０８ 浙江赛 区） 初赛 试卷 ， 在考查双基知识 的同时 ， 注重考查 能力 ， 试题有较强 的阶梯性 和 区分
度． 扩大学生在课 内所学 的知识 ， 拓宽解题思路 ， 增强 逻辑推理能力和运用数学 知识解 决实际 问题 的能力 ， 视学生 思维 能 重 力 的发展 以及 良好的思维品质 、 索精神和创造才能的培养． 探
在 ２０ ０ ８年 （ 浙江赛 区） 的复赛 试题 中 ， 量题 目也能查得 出它的出处 与影子． 的出处在高中的书本 中； 的弯转得多 大 有 有
了点 ， 计算量很大 ； 数学 方法丰富多彩 ， 求高多 了． 要 整份试卷 的难度 一下 子就拔 高 了很 多． 样一来 ， 这 高分 可能很 难得 ， 势 必区分度差． 例如第 １ ４题 ， 本可增加一个小题 ： Ａ Ａ 若 Ｅ＝ Ｄ＝口 Ｂ ，Ｅ＝Ｂ Ｃ＝ｂ 试用 口 ｂ表示 Ｅ 一个阶梯 ） 再改变一 下第 １ ， ， Ｆ（ ； ５ 题（ 大纲 中只有“ 恒等式 的证 明” 没有 “ ， 不等式的证明” 也没有一元 二次 不等式 ； ， 更没有 “ 分式 不等 式的证 明” ． ） 虽然 只是
２ ２０ ０ ８年 全 国 复 赛 试 卷 与 浙 江 赛 区初 赛 试 卷 的 比较 分 析
认 真 比较（ 浙江赛 区） 复赛试卷与初赛试卷的差异与变化 ， 如表 ２ ．
表 ２
逻辑 推证
要求 比较适 中
出现 了代数推 证题 （ １ 第 ５题 ） 第 １ ； ４题 是纯 几何 证 明题 ，
维普资讯
２０ ０ ８年第 ６期
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2008年数学奥林匹克竞赛
2008年数学奥林匹克竞赛，即第49届国际数学奥林匹克竞赛（IMO 2008），于2008年7月10日至22日在西班牙马德里举行。
来自103个国家及地区的549名学生参加了这次比赛。
在这次比赛中，中国队以217分获得团体总分第一名，其中两名队员牟晓生和韦东奕获得了满分（共3个满分）。
韦东奕更是在比赛中用纯代数的方法，只用2个小时就解出了一道难度最大的平面几何题。
此外，俄罗斯队和美国队分别取得团体第二和第三的成绩。
韩国、伊朗和泰国也取得了较好的成绩。
国际数学奥林匹克竞赛每年选在不同的国家和地区举行，是为全球高中学生举办的世界最高水平的数学赛事。
自1986年以来，中国队已累计14次获得国际奥林匹克数学竞赛团体总分第一名。