第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】
人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计
第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次
本章综合与测试
2.1《等式性质与不等式性质》教案
教材分析：
等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.
教学目标与核心素养：
课程目标
1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养
1.数学抽象：不等式的基本性质；
2.逻辑推理：不等式的证明；
3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；
4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；
5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：
重点：掌握不等式性质及其应用．
难点：不等式性质的应用．
课前准备：多媒体
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：
一、情景导入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本37-42页，思考并完成以下问题
1.不等式的基本性质是？
2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？
3.重要不等式是？
4.等式的基本性质？
5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？
人教A版(2019) 高一数学第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教A版(2019) 高一数学第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．角,xy满足22xy，则xy的取值范围是（ ）
A．,0 B．, C．(,0)2 D．(,)22
2．已知0ab，0b，那么a，b，a，b的大小关系为（ ）
A．abba B．abab
C．abba D．abab
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a-c＜b-d
4．已知正实数,xy满足11xyxy，则下列结论正确的是（ ）
A．11xy B．1122xy C．1xy D．33xy
5．学校信息教育中心花费60万元购买一种网络设备，该设备在使用过程中，还会因管理､维护等继续投入费用，经测算，使用x年需继续投入的总费用y万元满足：254yxx，则该设备使用起来最划算(即年平均费用最低)的使用年限是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
6．下列各不等式，其中正确的是（ ）
A．212()aaaR B．12(,0)xxxxR
C．2(0)ababab D．2211()1xxxR
7．已知2,1,214xyxy，则xy的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．317
8．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，*tN)的关系为22364stt，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 9．若不等式210axbx的解集为|12,xx则a+b的值为（ ）
(2019)新版高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式性质
（2019新版）高中数学人教A版必修一
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式与不等式性质
不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
考点一：列不等式
例1：完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：选D 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.
练习：某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. x≥95y≥380z>45 B. x≥95y>380z≥45
C. x>95y>380z>45 D． x≥95y>380z>45
解析：选D 由题中x不低于95即x≥95，y高于380即y>380，z超过45即z>45.
作业：
1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1)限速80 km/h的路标；
(2)桥头上限重10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，则v≤80.
(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.
(3) f≤2.5%，p≥2.3%. 问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？
提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a
问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？
提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．
2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解
1 第二章 一元二次不等式、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法
2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
【知识网络详解】
知识点一：一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02cbxax或)0(02acbxax
知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像
0 0 0
二次函数
cbxaxy2
（0a）的图象
一元二次方程
的根002acbxax 有两相异实根
21,xx 有两相等实根
abxx221 无实根
的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R
的解集)0(02acbxax 21xxxx
的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 R R
的解集)0(02acbxax 21xxxx ab2 2 【考向详析】
题型一：解一元二次不等式
例1.解下列不等式：
(1) x2－3x＋5>0； (2)－6x2－x＋2≥0； (3)－4x2≥1－4x (4)2x2－4x＋7<0.
【练习】1.解下列不等式：
（1）02132-2xx； （2）422x
题型二：含参的一元二次不等式的解法
例1.解下列不等式：
（1）02322aaxx； （2）0232aaxax； （3）01)1(2xaax
【练习】1.解下列不等式
（1）axax12>0； （2）0222xaax
3 题型三：三个“二次”之间的关系
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式重难点归纳(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式重难点归纳
单选题
1、已知关于𝑥的不等式𝑚𝑥2
−6𝑥+3𝑚<0在(0，
2]上有解，则实数𝑚的取值范围是（ ）
A．(−∞，
√3)B．(−∞，12
7)C．(
√3，
+∞)D．(12
7，
+∞)
答案：A
分析：分离参数，将问题转换为𝑚<6𝑥
𝑥2
+3在(0，
2]上有解，设函数𝑔(𝑥)=6𝑥
𝑥2
+3，𝑥∈(0，
2]，求出函数𝑔(𝑥)=
6𝑥
𝑥2
+3的最大值，即可求得答案.
由题意得，𝑚𝑥2
−6𝑥+3𝑚<0，𝑥∈(0，
2]，即𝑚<6𝑥
𝑥2
+3 ，
故问题转化为𝑚<6𝑥
𝑥2
+3在(0，
2]上有解，
设𝑔(𝑥)=6𝑥
𝑥2
+3，则𝑔(𝑥)=6𝑥
𝑥2
+3=6
𝑥+3
𝑥，𝑥∈(0，
2]，
对于𝑥+3
𝑥≥2
√
3 ，当且仅当𝑥=
√
3∈(0,2]时取等号，
则𝑔(𝑥)
max=6
2
√
3=
√3，
故𝑚<
√3 ，
故选：A
2、已知𝑎,𝑏为正实数且𝑎+𝑏=2，则𝑏
𝑎+2
𝑏的最小值为（ ）
A．3
2B．
√2+1C．5
2D．3 答案：D
分析：由题知𝑏
𝑎+2
𝑏=2(1
𝑎+1
𝑏)−1，再结合基本不等式求解即可.
解：因为𝑎,𝑏为正实数且𝑎+𝑏=2，
所以𝑏=2−𝑎，
所以，𝑏
𝑎+2
𝑏=2−𝑎
𝑎+2
𝑏=2
𝑎+2
𝑏−1=2(1
𝑎+1
𝑏)−1
因为2
𝑎+2
𝑏=2(1
𝑎+1
𝑏)=(
𝑎+𝑏)
(1
𝑎+1
𝑏)=2+𝑏
𝑎+𝑎
𝑏≥2+2=4，当且仅当𝑎=𝑏=1时等号成立；
所以𝑏
𝑎+2
𝑏=2−𝑎
𝑎+2
𝑏=2
𝑎+2
𝑏−1≥3，当且仅当𝑎=𝑏=1时等号成立； 故选：D
3、若正数𝑥，𝑦满足3
𝑥+1
𝑦=5，则3𝑥+4𝑦的最小值是（ ）
A．24
5B．28
5C．5D．25
答案：C
分析：由3𝑥+4𝑦=1
5(
3𝑥+4𝑦)
高中数学 一元二次函数方程和不等式二次函数与一元二次方程不等式讲义 新人教A版必修一第一册
1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解
的对应关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－b2a} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
状元随笔 一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x
[教材解难]
教材P50思考
能．可以从2个角度来看
①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
[基础自测]
第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点与题型解析(解析版)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点与题型解析
一、本章知识体系
二、考点与题型解读
考点一 本章考点方法梳理
1.不等式的核心性质
(1)a>b⇔b
(2)a>b，b>c⇒a>c；
(3)a>b⇔a＋c>b＋c；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；
(5)a>b，c<0⇒ac
(6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn.
2.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易出错，要在记忆基础上加强训练，提高
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应用的灵活性．
3．一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论．
4．二元一次不等式的平面区域的确定，首先是画出直线(有虚实之分)，然后用特殊点，一般选择原点去验证，以帮助选择直线的哪一侧．
5．简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系．当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值．
6．应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a、b为正；二是a＋b与a·b有一个为定值；三是等号要取到．这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型．
考点二 基本不等式及应用
基本不等式：ab≤a＋b2(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
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二次函数与一元二次方程、不等式
【教材分析】
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】
课程目标
1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3．数学运算：解一元二次不等式；
4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】
【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】 2 / 7
一、情景导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察。研探。
二、 预习课本，引入新课
阅读课本，思考并完成以下问题
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
◆基础知识
对于二次函数),0(2为常数、、cbaacbxaxy
一、与一元二次方程的关系：
1、当0y时，可得一元二次方程02cbxax，它的解就是二次函数图象与x轴交点的 。
数形结合：如图，是二次函数cbxaxy2的图象，则方程02cbxax的解是 。
2、若一元二次方程02cbxax的解是bxax21,，那么二次函数cbxaxy2与x的交点坐标是 。
3、求二次函数图象与x轴的交点坐标，通常令 ，得方程 ，求得的 就是抛物线与x轴交点的 坐标。
二、与不等式的关系：
1、当0y时，可得一元二次不等式02cbxax，它的解集是当函数值y大于0时，函数图象所对应的 的取值范围；
当0y时，可得一元二次不等式02cbxax，它的解集是当函数值y小于0时，函数图象所对应的 的取值范围；
数形结合：如图，是二次函数cbxaxy2的图象，则一元二次不等式02cbxax的解集是 ，一元二次不等式02cbxax的解集是 。
2、若二次函数cbxaxy2的图象与一次函数bkxy图象相交时，一元二次不等式bkxcbxax2的解集是 ，不等式bkxcbxax2的解集是 。
数形结合：如图，是二次函数cbxaxy2和一次函数bkxy的图象，则不等式bkxcbxax2的解集是
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳
一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x表示未知数。解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。例如，对于方程x^2 -
5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。
2. 配方法
当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -
2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。
3. 求根公式法
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b
± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。
二、二次函数
二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。