人教高中数学A版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升课
(2)已知 2<a<3，－2<b<－1，求 ab，ba2的取值范围．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)选 B.因为 a>1，所以1a<1，所以①正确；若 a＋c>b， 可令 a＝1，c＝1，b＝－1，则有1a>1b，故②错误；对于③，可 取 a＝12，则 a2<a，故③错误；因为 ac2>bc2，所以 c2>0，所以 a>b，故④正确．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 C.当 c＝0 时，可知 A 不正确；当 c<0 时，可知 B 不 正确；由 a3>b3 且 ab<0 知 a>0 且 b<0，所以1a>1b成立，C 正确； 当 a<0 且 b<0 时，可知 D 不正确．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
章末复习提升课
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式性质的应用
(1)下列命题正确的有( )
①若 a>1，则1a<1；②若 a＋c>b，则1a<1b；③对任意实数 a，都
有 a2≥a；④若 ac2>bc2，则 a>b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．函数 y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 解析：因为 0≤x≤1，所以 3－2x＞0，所以 y＝12·2x·(3－2x)≤ 122x＋（23－2x）2＝98，当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时取等号． 答案：98
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．设 m＋n＞0，则关于 x 的不等式(m－x)·(n＋x)＞0 的解集是 () A．{x|x＜－n 或 x＞m} B．{x|－n＜x＜m} C．{x|x＜－m 或 x＞n} D．{x|－m＜x＜n} 解析：选 B.方程(m－x)(n＋x)＝0 的两个根为 m，－n.因为 m＋ n＞0，所以 m＞－n，结合函数 y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原 不等式的解集是{x|－n＜x＜m}．故选 B.
① ②
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
由①得 x(x＋2)>0，所以 x<－2 或 x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图．
求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2 或 0<x≤1}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．当 x＞1 时，不等式 x＋x－1 1≥a 恒成立，则实数 a 的取值范 围是________．
解析：因为当 x＞1 时，不等式 x＋x－1 1≥a 恒成立， 所以 a≤x＋x－1 1对实数 x＞1 均成立． 由于 x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1≥2＋1＝3，当且仅当 x＝2 时取 等号，故 x＋x－1 1的最小值为 3. 所以 a≤3，即实数 a 的取值范围为 a≤3.
1－a<0， 所以1－4 a＝－2，解得 a＝3.
1－6 a＝－3，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以不等式 2x2＋(2－a)x－a>0， 即为 2x2－x－3>0，
解得
x<－1
或
3 x>2.
所以所求不等式的解集为
xx<－1或x>32. (2)ax2＋bx＋3≥0，即为 3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为 R，
在判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题和 不等式的性质联系起来，找到与命题相近的性质，应用性质判 断命题真假．注意特殊值法在解有关不等式客观题中的应用．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
已知 a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 () A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若ac>bc，则 a>b C．若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b D．若 a2>b2 且 ab>0，则1a<1b
则 b2－4×3×3≤0，所以－6≤b≤6.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
本部分内容讲解结束
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答案：a≤3
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
一元二次不等式 解下列关于 x 的不等式． (1)－1＜x2＋2x－1≤2； (2)m2x2＋2mx－3＜0.
【解】 (1)原不等式等价于
x2＋2x－1>－1， x2＋2x－1≤2，
即xx22＋ ＋22xx>－03，≤0，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为－2<b<－1，所以 1<－b<2， 又因为 2<a<3， 所以 2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以 1<b2<4， 因为 2<a<3，所以13<1a<12， 所以13<ba2<2.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
一元二次不等式的解法 (1)简单的一元二次不等式： ①将不等式化为 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的形 式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的 判别式确定一元二次不等式的解集． (2)含参数的一元二次不等式： 解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析 两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0 的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式 2x2＋(2－a)x－a>0； (2)b 为何值时，ax2＋bx＋3≥0 的解集为 R.
解：(1)由题意知 1－a<0 且－3 和 1 是方程(1－a)x2－4x＋6＝0 的两根，
基本不等式 若 x>0，y>0，且 x＋2y＝5，求9x＋2y的最小值，并求出 取得最小值时 x，y 的值． 【解析】 因为 x>0，y>0，且 x＋2y＝5， 所以9x＋2y＝15(x＋2y)9x＋2y ＝1513＋1x8y＋2yx
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)当 m＝0 时，－3<0 恒成立，解集为 R. 当 m≠0 时，二次项系数 m2>0，Δ ＝16m2>0，不等式化为(mx ＋3)(mx－1)<0. 当 m>0 时，解集为x－m3 <x<m1 ； 当 m<0 时，解集为xm1 <x<－m3 .
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
≥1513＋2 1x8y·2yx＝5， 当且仅当x1x8＋y＝2y＝ 2yx，5，即xy＝＝13，时等号成立． 所以9x＋2y的最小值为 5，此时 x＝3，y＝1.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
条件不等式的最值问题的解题策略 (1)对于条件的使用是解此类问题的关键，常用的方法有代入 法、“1”的代换等，解题还要注意在变形的过程中字母取值的限 制，否则可能影响取等号时字母的取值． (2)对于要求最值的式子的变形也至关重要，常用的方法有配凑 法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号 必须取到，否则此种变形就是错误的．
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
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6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式本章复习提升含解析新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教A 版必修第一册：本章复习提升易混易错练易错点1 多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大 1.()已知-4≤a-c ≤-1,-1≤4a-c ≤5,求9a-c 的取值范围.2.(2021山西朔州怀仁一中高一上月考,)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b 的取值范围.易错点2 忽略基本不等式的应用条件而致错 3.(2019安徽宿州期中,)若x<0,则x+9x+2 ( )A.无最大值,有最小值8B.无最大值,有最小值-4C.有最大值8,有最小值-4D.有最大值-4,无最小值4.(2021安徽蚌埠第三中学高一上检测,)x>0时,下列函数的最小值为2的是( )A.y=x(2√2-x)B.y=x 2+1xC.y=x 2+4x 2+2-1 D.y=√x 2+2+√5.(2019湖南岳阳期末,)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab 的最大值为 ,1a +2b 的最小值为 .易错点3 忽略二次项系数的符号而致错 6.(2019湖南三湘名校联盟期中,)若∀x ∈R,ax 2-3x +a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.a ≤32 B.-32<a ≤32C.a ≥32 D.a ≤-32或a ≥32 7.()设m +n >0,则关于x 的不等式(m -x )(n +x )>0的解集是 ( )A.{x |x <-n 或x >m }B.{x |-n <x <m }C.{x |x <-m 或x >n }D.{x |-m <x <n }8.(2021黑龙江大庆中学高一上期中,)已知集合A ={x ∈Z|-x 2+x +2>0},则集合A 的子集个数为 ( )A.2B.4C.6D.8 9.()若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2>0的解集为{x |m <x <1},则a = ,m = .易错点4 在分式不等式中忽略分母不等于0而致错 10.(2021广东汕头金山中学高三上期中,)已知集合A ={x |x +2x -4≤0},B ={0,1,2,4,8},则A ∩B = ( )A.{1,2,4,8}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2,4}11.(2021浙江精诚联盟高一上10月联考,)不等式2x +1≤1的解集是 ( )A.{x|-1<x≤1}B.{x|x≥1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或x≥1}≤0.12.()解不等式:xxx+1思想方法练一、函数与方程思想在解不等式中的应用1.(2021浙江台州实验中学高一上月考,)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为.}, 2.(2021山西太原师院附中、师苑中学高一上月考,)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>-12则不等式ax2-bx+c<0的解集是.二、分类讨论思想在解不等式中的应用3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.4.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知a∈R,求关于x的不等式ax2-(a2+1)x+a>0的解集.三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是.6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)方程的两个根都大于0?7.()已知不等式mx2-mx-1<0.(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.四、转化与化归思想在不等式问题中的应用8.(2020重庆部分地区高一下期末联考,)当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是()A.{m|m<6}B.{m|m≤6}C.{m|m≥6}D.{m|m>6}9.(2020北师大附中高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1<x<4}.(1)求m和n的值;(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围.答案全解全析易混易错练1.解析 令{x -x =x ,4x -x =x ,得{x =13(x -x ),x =13(x -4x ),∴9a -c =83y -53x. ∵-4≤x ≤-1, ∴53≤-53x ≤203①.∵-1≤y ≤5,∴-83≤83y ≤403②. ①和②相加,得-1≤83y -53x ≤20,∴-1≤9a -c ≤20.2.解析 设2a +3b =x (a +b )+y (a -b )=(x +y )a +(x -y )b , 则{x +x =2,x -x =3,解得{x =52,x =-12,∴2a +3b =52(a +b )-12(a -b ). ∵-1<a +b <3,2<a -b <4,∴-52<52(a +b )<152,-2<-12(a -b )<-1,∴-52-2<2a +3b <152-1,即-92<2a +3b <132.易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围. 3.D 若x <0,则-x >0,∴(-x )+9-x ≥2√(-x )·9-x =6,当且仅当-x =9-x ,即x =-3时等号成立,∴x +9x +2=-[(-x )+9-x]+2≤(-6)+2=-4,∴x +9x+2有最大值-4,没有最小值.故选D .易错警示 本题易因忽视基本不等式的使用前提而错选A .利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件. 4.B 对于选项A,当x >2√2时,2√2-x <0,此时y <0,不符合题意; 对于选项B,当x >0时,可得y =x 2+1x =x +1x ≥2√x ×1x=2, 当且仅当x =1x ,即x =1时,等号成立,∴y =x 2+1x 的最小值为2,符合题意;对于选项C,y =x 2+4x 2+2-1=x 2+2+4x 2+2-3≥2√(x 2+2)×4x 2+2-3=1,当且仅当x 2+2=4x 2+2,即x =0时等号成立,不符合题意;对于选项D,y =√x 2+2+√≥2×√x +2×1√=2,当且仅当√x 2+2=√,即√x 2+2=1时取等号,又√x 2+2=1时x 不存在,∴等号不成立,∴y 的最小值不是2,不符合题意. 5.答案 2;94解析 ∵a >0,b >0,且a +2b -4=0,∴a +2b =4,∴ab =12a ·2b ≤12×(x +2x 2)2=2,当且仅当a =2b ,即a =2,b =1时等号成立,∴ab 的最大值为2.∵1x +2x =(1x +2x )·x +2x 4=14×(5+2xx+2xx)≥14×(5+2×√2xx ×2xx)=94,当且仅当a =b =43时等号成立,∴1x +2x的最小值为94.易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视两项和为定值的条件.6.C 当a =0时,原不等式化为-3x ≥0,不恒成立,不符合题意;当a >0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax 2-3x +a ≥0恒成立,只需满足{x >0,x =(-3)2-4x 2≤0,解得a ≥32; 当a <0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意. 综上可得,a 的取值范围是a ≥32.7.B 原不等式可化为(x -m )(x +n )<0. 由m +n >0知m >-n ,所以原不等式的解集为{x |-n <x <m }. 故选B .8.B 由-x 2+x +2>0得x 2-x -2<0,即(x +1)(x -2)<0,解得-1<x <2, ∴A ={x ∈Z|-x 2+x +2>0}={0,1},它有22=4个子集.故选B . 易错警示 解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数. 9.答案 -3;-3解析 由题意知,a ≠0,且1,m 是关于x 的方程ax 2-6x +a 2=0的两个根, ∴{1+x =6x ,1×x =x ,解得{x =-3,x =-3或{x =2,x =2.易知a <0,∴{x =-3,x =-3.10.B 由x +2x -4≤0,得{(x +2)(x -4)≤0,x -4≠0,解得-2≤x <4,所以集合A ={x |-2≤x <4}.又B ={0,1,2,4,8},所以A ∩B ={0,1,2}.故选B .11.D 不等式2x +1≤1,即2x +1-1≤0,所以1-xx +1≤0, 所以{(1-x )(x +1)≤0,x +1≠0,解得x ≥1或x <-1,所以原不等式的解集为{x |x <-1或x ≥1}. 故选D . 12.解析xxx +1≤0⇔ax (x +1)≤0且x +1≠0.当a >0时,ax (x +1)≤0且x +1≠0⇔x (x +1)≤0且x +1≠0⇔-1<x ≤0, 此时原不等式的解集为{x |-1<x ≤0}; 当a =0时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当a <0时,ax (x +1)≤0且x +1≠0⇔x (x +1)≥0且x +1≠0⇔x <-1或x ≥0, 此时原不等式的解集为{x |x <-1或x ≥0}.综上可知,当a >0时,原不等式的解集为{x |-1<x ≤0};当a =0时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当a <0时,原不等式的解集为{x |x <-1或x ≥0}.易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.思想方法练1.答案 {m |2-2√3<m <2+2√3}解析 设函数y =x 2-mx +m +2,其图象的对称轴为直线x =x2,设出不等式对应的函数,考虑函数图象的特点,应用函数与方程思想. ①当x2≤-2,即m ≤-4时, (-2)2-m ×(-2)+m +2>0, 根据函数图象列出相应关系式. 解得m >-2, 又∵m ≤-4,∴无解; ②当-2<x2<4,即-4<m <8时,Δ=(-m )2-4(m +2)<0,根据函数图象特点,得到对应方程根的情况,列出相应关系式. 解得2-2√3<m <2+2√3, 又∵-4<m <8, ∴2-2√3<m <2+2√3;③当x2≥4,即m ≥8时,42-m ×4+m +2>0,根据函数图象列出相应关系式. 解得m <6, 又∵m ≥8,∴无解.综上所述,m 的取值范围为{m |2-2√3<m <2+2√3}. 2.答案 {x |12<x <2}解析 由题意,可得x =-2和x =-12是方程ax 2+bx +c =0的两个实数根,且a >0,由不等式的解集得到相应方程的根,应用函数与方程思想.所以{-2-12=-xx ,-2×(-12)=x x ,解得{x =52x ,x =x , 通过根与系数的关系求得参数之间的关系式.则不等式ax 2-bx +c <0可化为ax 2-52ax +a <0,即2ax 2-5ax +2a <0,因为a >0,所以不等式等价于2x 2-5x +2=(x -2)(2x -1)<0, 解得12<x <2,即不等式ax 2-bx +c <0的解集为{x |12<x <2}.思想方法 函数与方程思想在本章中的体现:(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解的情况; (2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际中的应用; (3)利用方程解决与函数有关的问题.函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y >a (y 是关于x 的函数,a 为参数)恒成立等价于y min >a.3.解析 原不等式等价于(x +x 3)(x -x7)<0. 由于对应方程两根的大小不确定,所以需 对两根大小进行分类讨论.①当a >0时,x7>-x3,原不等式的解集为{x |-x 3<x <x7};②当a <0时,x7<-x 3,原不等式的解集为{x |x7<x <-x3}; ③当a =0时,原不等式的解集为⌀.综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-x3<x<x7};当a<0时,原不等式的解集为{x|x7<x<-x3};当a=0时,原不等式的解集为⌀.4.解析对不等式的二次项系数是不是0进行讨论.(1)当a=0时,原不等式可化为-x>0,解得x<0.(2)当a>0时,原不等式可化为(x-1x)(x-a)>0,要得到原不等式的解集,需对对应方程两根1x和a的大小进行分类讨论.①当0<a<1时,1x >a,原不等式的解集为{x|x>1x或x<x};②当a=1时,原不等式可化为(x-1)2>0,其解集为{x|x≠1};③当a>1时,1x <a,原不等式的解集为x x>a或x<1x.(3)当a<0时,原不等式可化为(x-1x)(x-a)<0,要得到原不等式的解集,需对对应方程两根1x和a的大小进行分类讨论.①当-1<a<0时,1x <a,原不等式的解集为{x|1x<x<x};②当a=-1时,原不等式可化为(x+1)2<0,其解集为⌀;③当a<-1时,1x >a,原不等式的解集为{x|x<x<1x}.综上,当a=0时,解集为{x|x<0};当0<a<1时,解集为{x|x>1x或x<x};当a=1时,解集为{x|x≠1};当a>1时,解集为{x|x>x或x<1x};当-1<a<0时,解集为{x|1x<x<x};当a=-1时,解集为⌀;当a<-1时,解集为{x|x<x<1x}.思想方法在本章中,分类讨论思想主要用于解含参数的不等式,主要有以下几种情况:(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三类讨论;(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.5.答案{x|x>-235}解析 由题知Δ=a 2+8>0,且-2<0,所以方程x 2+ax -2=0恒有一正一负两个根.设y =x 2+ax -2,作出函数的大致图象如图所示.作出二次函数的图象,结合不等式得出参数满足的条件.由图象知,不等式x 2+ax -2>0在1≤x ≤5范围内有解的充要条件是当x =5时,y >0,即25+5a -2>0,解得a >-235.6.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x 2-2x+a 的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1. 因此a 的取值范围是{a|a<1}.(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x 2-2x+a 的图象知,x 取-1,3时函数值为正,x 取1,2时函数值为负,即{1+2+a >0,1-2+a <0,4-4+a <0,9-6+a >0,解得-3<a<0.因此a 的取值范围是{a|-3<a<0}.(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x 2-2x+a 的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y 轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即{Δ=4-4a ≥0,--22>0,a >0,解得0<a ≤1.因此a 的取值范围是{a|0<a ≤1}.作出二次函数的图象,结合根的分布情况得出参数满足的条件. 7.解析 (1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;②若m ≠0,则不等式mx 2-mx-1<0恒成立等价于{m <0,Δ=m 2+4m <0,解得-4<m<0.综上可知,实数m 的取值范围是{m|-4<m ≤0}. (2)①当m=0时,mx 2-mx-1=-1<0,显然恒成立;②当m>0时,若对于x ∈{x|1≤x ≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx 2-mx-1的图象开口向上知, 只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,即{m -m -1=-1<0,9m -3m -1<0,解得m<16,此时0<m<16; ③当m<0时,函数y=mx 2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=12,若当x ∈{x|1≤x ≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,此时m ∈R,所以m <0符合题意.综上所述,实数m 的取值范围是{x |x <16}.结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.思想方法 数形结合思想在本章主要体现在“三个二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象形象直观地研究二次不等式的解集与一元二次方程的根.8.A 当x >0时,不等式x 2-mx +9>0恒成立⇔当x >0时,不等式m <x +9x 恒成立⇔m <(x +9x )min,将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想. 当x >0时,x +9x ≥2√x ·9x =6(当且仅当x =3时取“=”), 因此(x +9x )min=6,所以m <6, 故选A .9.解析 (1)由题意知x 1=1,x 2=4是关于x 的方程x 2+mx +n =0的两个实根, 由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想. 所以-m =x 1+x 2=5,n =x 1x 2=4, 故m =-5,n =4.(2)由(1)得y =x 2-5x +4,则x 2-5x +4≥ax 对任意x >0恒成立, 即a ≤x +4x -5对任意x >0恒成立.将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.又因为x+4x ≥2√x·4x=4(当且仅当x=2时,等号成立),所以x+4x-5≥-1,所以a≤-1.思想方法转化与化归思想在本章中主要表现在恒成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数的转化.。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质
<
1
2
(-)
.
变式探究 在例
4 条件不变的情况下,求证:
-
证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.
1
∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<
-
又 e<0,∴ > .
-
-
<
1
.
-
>
.
-
规律方法
1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通
过对不等式变形得证.
课 程 标 准
1.会用不等式组表示不等关系.
2.能够用作差法比较两个数或式的大小.
3.掌握等式的性质.
4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
目 录 索 引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没
有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;
(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一;
(3)待比较的量中涉及特殊的数集要标明.
变式训练1 [北师大版教材习题]有如图所示的两种广告牌:图①由两个等
小.
2.[北师大版教材习题]试比较下面各组中两式的大小:
(1)(x-2)2与(x-1)(x-3);
解 (x-2)2-(x-1)(x-3)=(x2-4x+4)-(x2-4x+3)=1>0.
因此,(x-2)2>(x-1)(x-3).
高中数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式课件教案练习题
的速度 v 的最大值为 120 km/h，同一 即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小于
车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
不等式表示为( )
A．v≤120 km/h 且 d≥10 m
B．v≤120 km/h 或 d≥10 m
C．v≤120 km/h
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
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学习目标 1.会用不等式(组)表示实际问题中 的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
核心素养 1. 借助实际问题表示不等式，提升 数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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D [A错，例如(－3)2＞22；B
1．下列命题正确的是( A．若a2＞b2，则a＞b
)
错，例如12＞－13；C错，例如当c＝
B．若1a＞1b，则a＜b
－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc， 但a＜b.]
C．若ac＞bc，则a＞b
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
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法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1. 有1a＜1b，故B错．取a＝－2，b＝－1， 则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故C错．]
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运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条 件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采 用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算.
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1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表 示其中的不等关系．
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试(提升)
第2章 一元二次函数、方程和不等式章末测试(提升)一．单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2020·安徽省皖西中学高一期中)“a c >且b d >”是“a b c d +>+”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a c >且b d >时，根据不等式的性质，可得a b c d +>+；当a b c d +>+时，不能推出a c >且b d >，比如取2,2a b ==，1,3c d =-=. 所以“a c >且b d >”是“a b c d +>+”的充分不必要条件.故选：A. 2．(2021·山东)若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是 A ．(30)-， B ．(]30-，C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()[),30,-∞-+∞【答案】B【解析】当0k =时，308-<对一切实数x 都成立，故0k =符合题意； 当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 综上：30k -<≤ 故选：B.3．(2021·六安市裕安区新安中学高一期末)若正实数x ，y 满足281x y+=，则xy 的最小值是( ) A ．48 B ．56C ．64D ．72【答案】C【解析】由281x y =+≥=8≥，即64xy ≥当且仅当28281x y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,即416x y =⎧⎨=⎩时，取得等号.故选：C4．(2021·衡阳市船山英文学校高一期末)若不等式210x tx -+<对一切()1,2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围为( ) A ．2t < B ．52t >C ．1t ≥D ．52t ≥【答案】D【解析】因为不等式210x tx -+<对一切()1,2x ∈恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间(1,2)上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数1y x x=+ 在区间(1,2)上单调递增， 且当2x =时，15222y =+=，所以152x x +<故实数t 的取值范围是52t ． 故选：D ．5．(2021·江苏南通市·高一开学考试)正数,a b 满足912a b+=，若22a b x x +≥+对任意正数,a b 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．[]4,2-B ．[]2,4-C ．(][), ,42-∞-⋃+∞D ．(][),24,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】因为正数a b ，满足912a b+=， 所以()19119110108222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当6a =，2b =时，等号成立． 故+a b 的最小值为8．又因为22a b x x +≥+对任意正数a b ，恒成立，即282x x +，解得42x -，所以实数x 的取值范围是[]42-，．故选：A 6．(2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为(注：1里=300步)( )A． B．里 C． D．【答案】D【解析】因为1里=300步，则由图知1200EB =步=4里，750GA =步=2.5里． 由题意，得EF GFGA EB⋅=， 则4 2.510EF GF EB GA ⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()EF GF +≥=，当且仅当EF GF ==时等号成立. 故选:D ．7．(2021·四川成都市·树德中学高一月考)下列结论表述正确的是( )A ．若,a b ∈R ，则222a b ab +>恒成立B ．若,a b ∈R ，则2a b ba+≥恒成立C ．若0a >，0b >，则2a b +≤D ．函数()131y x x x =+≥-的最小值为3 【答案】C【解析】对于A ，若,a b ∈R ，则222a b ab +≥恒成立，错； 对于B ，若0ab >，则2a b ba+≥恒成立，若0ab <，则2a bb a+≤-，错； 对于D ，函数111111y x x x x =+=-++--，3x ≥， 令1t x =-，则2t ≥且11y t t=++，因为11y t t =++在[)2,+∞上为增函数，故min 72y =，对于C ，因为()222222202244a b a b a b a ab b -++-+⎛⎫-=-=-≤ ⎪⎝⎭，而0a >，0b >，故2a b +≤成立. 故选：C ．8．(2021·福建)已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为( )A ．()()5,34,5-⋃B ．[)(]5,34,5-⋃C ．(][)5,34,5-⋃D ．[][]5,34,5-⋃【答案】B【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得172x ，2x k =- (1)当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则54k -≤-<-，即45k <≤； (2)当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则35k -<-≤，即53k -≤<； 综上，可知k 的取值范围为[)(]5,34,5-⋃ 故选：B二．多选题(每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分)9．(2021·辽宁营口市·高一期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a <b <0，则a 2>b 2C ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若ab =4，则a +b >4【答案】BC【解析】对于A ，若11a b =>=-，此时11a b>，故A 错误； 对于B ，若0a b <<，则()()220a b a b a b -=+->，所以22a b >，故B 正确； 对于C ，若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故C 正确； 对于D ，2a b ==-，满足4ab =，但44a b +=-<，故D 错误. 故选：BC.10．(2021·浙江高一期末)已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值可能是( ) A ．0 B ．-1 C ．-2 D ．-3【答案】CD【解析】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+ 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <-故选：CD11．(2020·重庆市第二十九中学校高一期中)下列不等式一定成立的是( )A．3x x+≥B ．4212x x+≥ C ．()2222+≤+x y x yD ．若0x <，0y <，则2y xx y+≤- 【答案】BC【解析】对于A 中，当0x <时，30x x+<，所以A 不正确； 对于B中，由4222112x x x x +=+≥=，当且仅当221x x =时，即1x =±时，等号成立，即4212x x+≥，所以B 正确； 对于C 中，由()22222211(2)()0222x y x y x y xy x y ++=+---=≥， 可得()2222x y x y +≤+，所以C 正确；对于D 中，0x <，0y <，可得0,0y x x y >>，可得2y x x y +≥=， 当且仅当y x x y =时，即x y =时，等号成立，即2y xx y+≥，所以D 不正确. 12．(2021·安徽省泗县第一中学高一开学考试)已知1a b >>，给出下列不等式：①11b ba a +>+；①11ab a b+>+；①3322a b a b +>；①11a b b a+>+；其中正确的有( ) A ．① B ．①C ．①D ．①【答案】ABD【解析】对于①：1(1)(1)1(1)(1)(1)b b a b b a ab a ab b a ba a a a a a a a++-++----===++++， 因为1a b >>，所以0a b ->，10a +>，所以101(1)b b a ba a a a+--=>++，即11b b a a +>+，故①正确； 对于①：1111b a a b a b a b a b a b ab -⎛⎫+-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭1(1)()1()ab a b a b ab ab -⎛⎫=--=-⋅ ⎪⎝⎭， 因为1a b >>，所以0a b ->，1ab >， 所以110a b a b ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b a b+>+，故①正确； 对于①：当3a =，2b =时，33333235a b +=+=，22223236a b =⨯⨯=， 所以3322a b a b +<，故①错误； 对于①：11111()1a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0a b ->，1ab >， 所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故①正确.所以正确的有①①①. 故选：ABD.三．填空题(每题5分，4题共20分)13．(2020·浙江高一期末)已知14,24x y x y -<+<<-<，则32x y +的取值范围是_____． 【答案】3(,12)2-【解析】设,x y m x y n +=-=，因此得：,22m n m nx y +-==，14,24m n -<<<<， 532322222m n m n m nx y +-+=⋅+⋅=+， 因为14,24m n -<<<<，所以5510,12222m n -<<<<，因此3512222m n-<+<， 所以332122x y -<+<.故答案为： 3(,12)2-14．(2021·全国课时练习)若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是【答案】52-【解析】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭， 又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-， 15．(2021·山西长治市)已知a ，b 均为正数，且22a b +=，则8a bab+的最小值为___________. 【答案】9【解析】因为a ，b 均为正数，且22a b +=， 所以12ab +=， 所以81818814122a b b ab b a b a a b a a b +⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭⎭85529a b b a =+≥+=+， 当且仅当82a b b a =，即443a b ==时等号成立， 所以8a b ab+的最小值为9故答案为:916．(2021·辽宁锦州市·高一期末)已知0x >，0y >，满足2126x y x y+++=，存在实数m ，对于任意x ，y ，使得2m x y ≤+恒成立，则m 的最大值为____________.【答案】2【解析】因为0x >，0y >，所以()()22221122248x y x y xy x y ++=⋅≤⨯=，所以()()()22122862222228y x y x x y x y x y x y x y xy y x x y ++=+++=++≥++=++++. 即()8622x y y x≥+++，()()226280x y x y +-++≤，解得224x y ≤+≤.因为2m x y ≤+恒成立，所以()min 2m x y ≤+，即2m ≤. 所以m 的最大值为2. 故答案为：2四．解答题(第17题10分，其余每题12分，7题共70分)17．(2021·北京高一期末)已知关于x 的不等式221x x a -->(a R ∈) (1)若1a =，求不等式221x x a -->的解集；(2)若不等式221x x a -->的解集为R ，求实数a 的范围． 【答案】(1)((),113,-∞++∞；(2)(),2-∞-.【解析】(1)当1a =时，不等式221x x a -->即为2211x x -->， 可得()2130x -->，即(110x x --+>，解得1x <1x >即不等式的解集为((),113,-∞++∞．(2)因为不等式221x x a -->的解集为R ， 所以2210x x a --->恒成立则函数221y x x a =---的图象恒在x 轴上方，与x 轴无交点；从而一元二次方程2210x x a ---=无实数根，∴()22410a ∆=-⨯--<，解得：2a <-．即实数a 的取值范围为(),2-∞-．18．(2021·全国高一课时练习)(1)已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ (2)已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ (3)函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？【答案】(1)23；(2)1；(3)2 【解析】(1)2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23. (2)因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1.(3)2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=- 3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.19．(2021·广东番禺)已知关于x 的不等式()210ax a x b -++<．(1)若不等式的解集是{}15x x <<，求+a b 的值；(2)若0a >，1b =，求此不等式的解集．【答案】(1)65a b +=；(2)分类讨论，答案见解析． 【解析】(1)由题意知0a >，且1和5是方程()210ax a x b -++=的两根，∴()115a a -++=-，且15b a ⨯=， 解得15a =，1b =，∴65a b +=． (2)若0a >，1b =，原不等式为()2110ax a x -++<，∴()()110ax x --<，∴()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭． ∴1a >时，11a <，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 1a =时，11a=，原不等式解集为∅， 01a <<时，11a >，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 综上所述：当1a >时，原不等式解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 当1a =时，原不等式解集为∅．当01a <<时，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 20．(2021·安徽省)设函数()21f x mx mx =-- (1)若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：【答案】(1)(]4,0-.(2)6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】(1)210mx mx --<对x ∈R 恒成立，若0m =，显然成立，若0m ≠，则00m <⎧⎨∆<⎩，解得40m -<<. 所以，(]4,0m ∈-.(2)对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，即 2(1)6m x x -+<对[]1,3x ∈恒成立210x x -+>对[]1,3x ∈恒成立 ∴261m x x <-+对[]1,3x ∈恒成立， 即求26()1g x x x =-+在[]1,3的最小值， 21y x x =-+的对称轴为12x =， ∴min 13()24y y ==，max (3)7y y ==，∴22]1146[,][,8173176x x x x ∈⇒∈-+-+， 可得min 6(),7g x =即6,7m ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.21．(2021·上海高一)m 为何值时，关于x 的方程 28(1)(7)0x m x m --+-=的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；(5)两根在0，2之间.【答案】(1)79m <≤或25m ≥；(2)1m <；(3)25m ≥；(4)27m >；(5)79m <≤或2527m ≤<【解析】设函数由题意可得2()8(1)(7)=--+-f x x m x m ，方程有两根设为12,x x ，对称轴 116-=m x ，2(1)32(7)0=---≥m m 解得9m ≤或25m ≥(1)由题意可得121201+08708m x x m x x ⎧⎪≥⎪-⎪=>⇒⎨⎪-⎪=>⎪⎩79<≤m 或25m ≥ (2)由题意可得121201+08708m x x m x x ⎧⎪>⎪-⎪=<⇒⎨⎪-⎪=<⎪⎩1m < (3)由题意可得12101+=281m x x x ⎧⎪≥⎪⎪->⇒⎨⎪⎪⎪=>⎩25m ≥ (4)由题意可得027(2)0m f >⎧⇒>⎨<⎩(5)由题意可得0(0)0(2)010216f f m ≥⎧⎪>⎪⎪⇒>⎨⎪-⎪<<⎪⎩79<≤m 或2527≤≤m22．(2021·浙江高一期末)某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.求：(1)写出x 与y 的关系式；(2)求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【答案】(1)()320408029x y x x -=<<+；(2)面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【解析】(1)由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，所以，x 与y 的关系式为()320408029x y x x -=<<+； (2)()33822932043383382229292929x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭()()169291699169916992169217829292929x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()16991782917810029x x ⨯⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.。
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试(提升)(解析版)
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·全国·专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >， 又∵14m >，∵140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∵“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件,故选:A. 2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．()10y x x x=+≠ B ．222y x x -=+C ．()230y x x x =+≥D ．2211y x x =++【答案】D【解析】A.当0x <时，()()1122⎛⎫=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭y x x x x ，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，112y x x x x=+≥⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；故错误；B. ()2222111y x x x =-+=-+≥，故错误； C. ())223023123=+≥=+=+≥y x x x xx x ，故错误；D. 22221121211y x x x x +≥+⋅=++2211x x ++0x =时，等号成立，故正确故选：D3．（2022·安徽·合肥已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）A 322+B ．324C 322+D ．328+【答案】A【解析】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∵211212324442444444m n m n m n m n x y m n n m n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 322324422==， 当且仅当244m n n m=，即22m =21n =时，等号成立， 故选：A.4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若0x >，0y >，315x y +=，则54x y +的最小值为5C ．若0x >，0y >，3x y xy ++=，则xy 的最小值为1D ．若1x >，0y >，2x y +=，则12y+的最小值为322+【答案】D【解析】选项A ：1111121?13111y x x x x x x =+=-++-=---，当且仅当()211x -=时可以取等号， 但题设条件中2x >，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若0x >，0y >，315x y+=，则()1311512151219415545419192?555x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝512x y y x =时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：32230xy x y xy xy xy -=+⇒+-当且仅当x y =时取等号，()0xy t t =，2230t t +-，解得31t -，即01xy ，故xy 的最大值为1，故C 错误； 选项D ：2x y +=，()11x y -+=，()()()21211212·11232?3221111x x y y x y x y x y x y x y --⎛⎫⎡⎤+=+-+=++++=+ ⎪⎣⎦----⎝⎭ 当且仅当22y x =又因为2x y +=，故222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y+-最小值可取到322+， 故D 正确． 故选：D ．5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q+==，3300010Q Q =+ ，3300022306010Q Q ≥⋅⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立.所以f （Q ）的最小值是60.故选：B.6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为322+【答案】C【解析】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以2122a b ab +=≥18ab ≤，当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确； 由121244()(2)44448b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅+=， 当且仅当4b a a b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误； 由()111122233232b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时，即2b a 时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ．7．（2022·广东深圳·高一期末）设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【解析】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∵1a a b a >=，1b b b a =>，即b aa b<，故B 错误； ∵由()()()11a a b b a b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a -<-，即11a b a<-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（ ） A ．0a > B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|2727}x x < C ．0a b c ++< D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,2727x x x --<∴<+所以选项B正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误； 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误. 故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 章末复习课
超级记忆法--故事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、《药》
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
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题型探究
类型一 指数、对数的运算
提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范围的变化.
例1
化简：1 (
2
8) 3
(3
102
9
)2
105；
解
3
原式＝(22
－2
)3
29
(103 )2
5
10 2
＝2－1
103
10－52＝2－1
2
＜120＝1，
所以 y∈12，1.
1 2345
解析答案
规律与方法
1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高 中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用 题，一直是常考不衰的热点问题. 2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本 计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形 结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、 图象、性质等方面来考查.
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。
以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。
同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。
教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。
为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。
在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。
最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。
已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。
首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。
它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式全套导学案PPT课件及配套WORD讲义
由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a，故 B 为假命题；
a<b<0⇒－a>－b>0⇒－1b>－1a>0，
a<b<0⇒－a>－b>0
⇒ab>ba，故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0，
a1>1b⇒a1－b1>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0，b<0，故 D 为真命题． 解析
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 作差法比较大小
例 1 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
[解] (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
(教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实 际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养.2.通过 大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养.
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－
人教A版高中学案数学必修一课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第1课时基本不等式与不等式的证明
2
后可得
2
+
2
,将上述两式左右两边分别相加
≥ + （当且仅当 = 时，等号成立）.
4.［北师大版教材习题（节选）］已知 > 0,求证：
证明当 > 0时，
4
4
+
≥2
4
⋅
= 4,
当且仅当 = ，即 = 2时，等号成立.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一
种常用方法,证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组
合,形成基本不等式模型,再使用.
变式训练3设,为正数,且 + = 1.证明：
（1） + ≤
2
；
2
证明 + = ( + ),因为 ≤
仅当 = 时,等号成立,因为 > , > ,所以 + ≤ ,故B正确；对于C,
( + ) = + + ≤ + = ,当且仅当 = 时,等号成立,所以
+ ≤ ,故C正确；对于D,若 =
,
=
,则
+
> ,故D错误.故选D.
+
1
1
1
1
≤
= (当且仅当 = = 时, 等号成立),即 ≤ ,所以−2 ≥ − ,所以
2
1 − 2 ≥
1
2