2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
学必求其心得，业必贵于专精
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1 平面向量基本定理含解析
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
[目标］ 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
[重点] 平面向量基本定理．
[难点] 平面向量基本定理的应用．
要点整合夯基础
知识点 平面向量基本定理
[填一填］
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
［答一答］
1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一学必求其心得，业必贵于专精
点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使OP→＝错误!＋错误!？
提示：能。 过点P作OA、OB的平行线，分别与OB、OA相交，交点即为N、M.
3．若向量a，b不共线，且c＝2a－b,d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ（3a－2b)，即(2－3λ)a＋（2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底。
典例讲练破题型
类型一 基底的概念
［例1] 下面说法中，正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④ B．②③④
C．①③ D．①③④
［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确． 学必求其心得，业必贵于专精
［答案] B
根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
［变式训练1] 设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ B ）
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析:在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2),所以（3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
类型二 用基底表示向量
［例2] 如图所示，在△OAB中，错误!＝a,错误!＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且错误!＝错误!a，错误!＝错误!b，设错误!与错误!交于点P，用向量a、b表示错误!.
［分析］ 利用“表示方法的唯一性”确定参数,进而确定λ1，λ2.
［解] ∵错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，
设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，
则错误!＝错误!＋m错误!＝错误!a＋m(b－错误!a）＝错误!(1－m)a＋学必求其心得，业必贵于专精
mb,
错误!＝错误!＋n错误!＝错误!(1－n)b＋na。
∵a与b不共线,∴错误!∴错误!
∴错误!＝错误!a＋错误!b。
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
［变式训练2］ 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若错误!＝a，错误!＝b，试以｛a，b}为基底表示错误!、错误!.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点,
∴错误!＝错误!＝2错误!，错误!＝错误!＝2错误!，
∴错误!＝错误!错误!＝错误!b，
错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－错误!错误!＝－错误!a.
∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＋错误!
＝－b＋a＋错误!b＝a－错误!b。
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝b－错误!a.
类型三 平面向量基本定理的应用
[例3] 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°,AD为BC边上的高，M为AD的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，学必求其心得，业必贵于专精
则λ＋μ的值为( )
A。错误! B.－错误!
C。错误! D。错误!
[解析] ∵在△ABC中,AB＝2,BC＝3,∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，∴在△ABD中,BD＝错误!AB＝1.
又BC＝3，∴BD＝13BC，
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!。
∵M为AD的中点,
∴错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.
∵AM，→＝λ错误!＋μ错误!，
∴λ＝错误!，μ＝错误!,
∴λ＋μ＝错误!.
［答案］ D
应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系。
［变式训练3] 如图,在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC,AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值． 学必求其心得，业必贵于专精
解：设错误!＝e1，错误!＝e2，则错误!＝错误!＋错误!＝－3e2－e1,错误!＝错误!＋错误!＝2e1＋e2。
因为点A，P，M和点B,P，N分别共线,
所以存在实数λ，μ使得错误!＝λ错误!＝－λe1－3λe2，错误!＝μ错误!＝2μe1＋μe2.
故错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝(λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
又错误!＝错误!＋错误!＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理,
得错误!解得错误!所以错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!,所以APPM＝41,BPPN＝32。
课堂达标练经典
1．下列说法中，正确说法的个数是( C ）
①在△ABC中，{错误!,错误!}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③正确，②错误．
2．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组:①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与错误!；④错误!与错误!。其中可作为该平面内所有向量基底的是（ B )
A．①② B．①③ 学必求其心得，业必贵于专精
C．①④ D．③④
解析：错误!与错误!不共线,错误!∥错误!，错误!与错误!不共线，错误!∥错误!，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
3．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y）e1＋(2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3。
解析：∵e1、e2不共线，∴错误!
解得错误!∴x－y＝3。
4。如图所示，向量错误!，错误!，错误!的长度分别是2，错误!，1。∠AOB＝120°，∠AOC＝150°,则错误!＝－错误!错误!＋(－错误!)错误!.
解析：不妨设错误!＝m错误!＋n错误!,
则m<0,n〈0。
如图，构建▱OA′C′B′，其中错误!＝－错误!,且错误!＝错误!＋错误!，
则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，
于是|错误!｜tan60°＝|错误!｜，
|错误!|·sin60°＝｜错误!|,
所以｜错误!｜＝错误!，|错误!|＝错误!,
所以｜错误!|＝错误!|错误!|，|错误!｜＝错误!｜错误!|，
从而m＝－错误!,n＝－错误!.
5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设错误!＝b，错误!＝d，错误!＝m，错误!＝n。 学必求其心得，业必贵于专精
(1）以{b，d}为基底，表示错误!；
（2）以｛m，n}为基底，表示错误!.
解：如图所示．
(1)错误!＝错误!－错误!
＝(错误!＋错误!）－（错误!＋错误!）
＝错误!－错误!
＝错误!b－错误!d.
(2)∵m＝错误!＋错误!＝d＋错误!错误!，①
n＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!d，②
∴由①②消去d，得错误!＝错误!n－错误!m。
——本课须掌握的两大问题
1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点．
2．根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．
学必求其心得，业必贵于专精
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.5向量的线性运算学案含解析第二册
学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 6.1.5 向量的线性运算
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律．
2．理解向量线性运算的定义与运算法则．
3．能利用向量线性运算解决简单问题． 通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点
向量的加法与数乘向量的混合运算
规定:一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．
运算律:设对于实数λ，μ以及向量a，b，有（1)λa＋μa＝__（λ＋μ）a__。（2）λ（a＋b）＝__λa＋λb__．
思考：（1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - 什么？
（2）这里的条件“λ，μ为实数"能省略吗？为什么？
提示:(1）向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．
(2）不能,数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立． 知识点
向量的线性运算
向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算．
关键能力·攻重难
题型探究 题型
向量的线性运算
┃┃典例剖析__■
典例1 （1）化简6a－［4a－b－5（2a－3b）]＋（a＋7b）；
（2）把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x、y用a、b表示出来． 学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - ［分析］ 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．
[解析] (1）原式＝6a－(4a－b－10a＋15b）＋a＋7b＝(6－4＋10＋1)a＋（1－15＋7)b＝13a－7B．
(2)由已知得｛ 3x－2y＝a①－4x＋3y＝b。②
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3B．
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．
规律方法：熟练掌握和运用运算律（实数与向量的积满足的结合律与分配律），即当λ、μ为实数时，有：①（λμ)a＝λ(μa）；②(λ＋μ）a＝λa＋μa;③λ（a＋b）＝λa＋λB．
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案含解析新人教A版必修
学习资料
班 级： 科 目： 2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案含解析新人教A版必修 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3。1 平面向量基本定理
内 容 标 准 学 科 素 养
1。理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义。
2。在平面内，当选定一组基底后,会用这组基底来表示其他向量.
3。会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 应用直观想象
发展逻辑推理
应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一 平面向量基本定理
阅读教材P93~94，思考并完成以下问题
(1)如果e1,e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示？依据是什么?
提示：a可以用e1，e2表示，可利用向量的线性运算．
(2)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,a＝3e1＋2e2，如何作出a。
提示:在平面内任取一点O，作错误!＝3e1，作错误!＝2e2。以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则错误!＝错误!＋错误!＝3e1＋2e2。
（3）设错误!＝e1，错误!＝e2，a是平面内任一向量，如何用e1，e2表示a?
提示:将a平移到O为起点，即作错误!＝a,过C作OM的平行线交ON的延长线于B点，过C作ON的平行线交OM的延长线于A点,则错误!＝λ2e2，错误!＝λ1e1，
错误!＝错误!＋错误!，∴a＝λ1e1＋λ2e2.
知识梳理 (1）平面向量基本定理:如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内一组向量的一组基底．
思考 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？
提示：不能表示．
知识点二 两向量的夹角与垂直
6.3.1平面向量的基本定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课前检测(含解析)
人教A版6.3.1平面向量的基本定理课前检测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若,,ABaADb则AC（ ）
A．32ab B．2ab C．2ab D．1122ab
2．D是ABC的边BC上的一点，且13BDBC，设ABa，ACb，则AD等于（
）
A．13ab B．13ba
C．123ab D．1213b
3．如图，已知OAB，若点C满足2ACCB，,OCxOAyOBxyR，则11xy（ ）
A．14 B．34 C．92 D．29
4．如图，D是ABC的边AB的中点，则向量CD等于（ ）
A．12BCBA
B．12BCBA
C．12BCBA D．12BCBA
5．设a，b是不共线的两个向量，且0,,abR，则（
）
A．0 B．0ab C．0,0b D．0,0a
6．在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDBCDCACB，则_________.
A．23 B．13 C．13 D．23
7．如图，在矩形ABCD中，2ABAD，,EF分别为,BCCD的中点，G为EF中点，则AG（ ）
A．2133ABAD B．1233ABAD C．3344ABAD D．2233ABAD
8．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE（ ）
A．12ABAD B．12ABAD
C．12ABAD D．12ABAD
9．若1e，2e是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．12ee，21ee B．122ee，1212ee
C．2123ee，1264ee D．12ee，12ee
10．如图，点A，B，C，P均在正方形网格的格点上.若,APABACR，则2（ ）
高中数学第六章平面向量及其应用之 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)(必修第二册)
6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)
思维导图
考法一 平面向量的基本定理
【例1-1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．120,0,1,2ee B．121,2,5,7ee
C．123,5,6,10ee D．12132,3,,24ee
【例1-2】(2020·怀仁县大地学校高一月考)如图在梯形ABCD中，2BCAD，DEEC，设BAa，BCb，则BE( )
A．1124ab B．1536ab
C．2233ab D．1324ab
【例1-3】(2020·全国高一课时练习)在三角形ABC中，M为AC的中点，若,ABBMBCR，则下列结论正确的是( ) 常见考法
A．1 B．3 C．20 D．20
【例1-4】(2020·全国高一课时练习)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F.若3AFxAByAD，则xy( )
A．1 B．59 C．13 D．59
【举一反三】
1．(2020·上海)下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是( )．
A．122,1,6,3ee B．122,1,6,3ee
C．122,1,6,3ee D．122,1,0,0ee
2．(2020·河南高一其他模拟)如图，在ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PAPC( )
A．1233BABC B．5799BABC C．11099BABC D．2799BABC
3．(2020·湖北高一期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则AF=( )
高中数学必修二 6 3 1 平面向量的基本定理(无答案)
6.3.1平面向量的基本定理
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
【自主学习】
知识点1 平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，
那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．
知识点2 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个 向量a和b，如图，作OA→＝a，OB→＝b，
则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与b ． ③当θ＝180°时，a与b ．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
【合作探究】
探究一 基底的概念
【例1】下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④ B．②③④
C．①③ D．①③④
归纳总结：
【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6.1
6。1 平面向量的概念
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等
课程目标 学科素养
A. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；
B. 掌握向量的模、零向1.数学抽象：平面向量的概念；
2。逻辑推理:区分平行向量、相等向量和共线向量;
3。直观想象：向量的几何表6.1
量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
C. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
D、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。 示；
1。教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
多媒体
教学过程 教学设计6.1
意图
核心素养目标
一、情景引入
1. 老鼠以10m/s的速度向东跑,猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？
分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.[来源：Zxxk。Com]
2。问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.
高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.掌握共线向量基本定理．
2．掌握平面向量基本定理．
1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．
2．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．
必备知识·探新知
知识点
共线向量定理
如果__a≠0__，且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得b＝λA．
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB→＝λAC→．
思考：(1)定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？
(2)这里的“唯一”的含义是什么？
提示：(1)不能．如果a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λA．如果a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λA．
(2)如果还有b＝μa，则有λ＝μ．
知识点
平面向量基本定理
(1)定理：如果平面内的两个向量a，b__不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c，__存在唯一__的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yB．
(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a，b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的__一组基底__．
思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？
(2)平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？
提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．
(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．
关键能力·攻重难
题型探究 题型
共线向量定理的应用
┃┃典例剖析__■
典例1 已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值．
[解析] (1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴ 6＝3λ，－4＝2λ，∴ λ＝2，λ＝－2，∴λ不存在．∴a与b不平行．
高中数学_6.3 平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计
数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。这“三会”就是高中阶段的数学学科核心素养。以发展学生的数学学科核心素养为目标，设计了本节课。
【学习目标】
知识与能力目标
理解平面向量基本定理及其意义，并能运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。
过程与方法目标
经历平面向量基本定理的探索与证明过程, 感悟数学抽象，逻辑推理，由特殊到一般等数学思想的作用，培养学生的学科素养。
情感态度与价值观目标
在学习中注重培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质。
【教学重点】
平面向量基本定理的理解、定理的应用。
【教学难点】
平面向量基本定理的理解及其推导。
【教学过程】 （一）创设问题 引入新课
情境：我们知道，世界上的所有旋律都是由7个基本音符谱成的，那么平面内的所有向量能否由几个基本向量来表示呢？
【设计意图】通过类比的方法引入新课，激发学生的求知欲，并暗含平面向量基本定理的本质。
复习1:共线向量基本定理：
复习2：向量求和的平行四边形法则？
提出问题：反之呢？如图的向量 a 能否用向量 表示呢？接着让学生拿出方格纸，通过作图的方法探究下面问题
【设计意图】课程标准解读中曾指出：数学眼光是什么呢？主要表现为数学抽象，而与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是实现数学抽象的思维基础。因此在设计问题时，先把问题直观化，让同学们通过在方格纸上作图，直观感受向量的分解。
接着提出以下问题： 1e2e
【师生活动】师生共同用PPT展示向量a的分解过程，并在展示过程中进一步提出小问题：（1）为何要把向量平移使其共起点？（2）利用什么知识对向量a进行分解？（3）为什么OBOAa11eOA22eOB呢？学生回答问题。
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.2.1向量的加法运算含解析
学必求其心得，业必贵于专精
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.2.1 向量的加法运算含解析
6.2 平面向量的运算
6．2。1 向量的加法运算
［目标］ 1。理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算．
[重点］ 向量加法的三角形法则及平行四边形法则．
[难点］ 向量加法的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
［填一填］
1．定义:求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则
前提：已知非零向量a，b。
作法与图示:
（1)在平面内任取任意一点A。
（2）作错误!＝a，错误!＝b，再作向量错误!。
（3）则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋学必求其心得，业必贵于专精
错误!＝错误!.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则．
3．平行四边形法则
前提：已知不共线的向量a,b。
作法与图示：
(1)在平面内任取一点O.
(2)如图，以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA，OB为邻边作▱OACB。
（3）对角线错误!就是a与b的和,即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!。这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
[答一答]
1．两向量和的三角形法则的实质是什么?能否推广到多个向量和的多边形法则？
提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和．可以推广到多个向量和的多边形法则，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋An－1An＝错误!.
2．向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么?
提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形法则是平行四边形法则的简化．向量共线时，平行四边形法则不再适用．由于向量共线，因此也不学必求其心得，业必贵于专精
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理
考试标准
课标要点 学考要求 高考要求
平面向量基本定理 b b
平面内所有向量的
一组基底 a
a
向量夹角的概念
b
b
知识导图
学法指导
1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．
2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来．
3．在△ABC中，明确AC→与AB→的夹角与CA→与AB→的夹角互补.
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)e→1，e→2是同一平面内的两个不共线的向量，e→1，e→2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底． (2)平面内的任一向量a→都可以沿基底进行分解．
(3)基底e→1，e→2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
2．关于两向量的夹角
(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与b同向．
③当θ＝180°时，a与b反向．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
状元随笔 两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与向量AB→的夹角，∠BAD才是向量CA→与向量AB→的夹角．
[小试身手]