2019-2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册
【解析】 ①设 e1＋e2＝λe1，则λ1＝＝10，， 无解， ∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 能作为一组基底． ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则12＋＋2λ＝λ＝00，， 无解，∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线， 即 e1－2e2 与 e2－2e1 能作为一组基底． ③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)， ∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不能作为一组基底．
[基础自测]
1．当向 a 与 b 共线时，则这两个向量的夹角 θ 为( ) A．0° B．90° C．180° D．0°或 180°
解析：当向量 a 与 b 共线，即两向量同向时夹角 θ＝0°，反向 时夹角 θ＝180°.
答案：D
2．设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量 组：
方法归纳
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以 由这组基底唯一线性表示出来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线
的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝ ＝xy22. 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底
不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成
与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故 B 项正确． 答案：B
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量 的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条 件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
题型二 用基底表示平面向量[教材 P26 例 1] 例 2 如图，O→A，O→B不共线，且A→P＝tA→B(t∈R)，用O→A，O→B表 示O→P.
题型三 向量的夹角[经典例题] 例 3 已知|a|＝|b|，且 a 与 b 的夹角为 120°，求 a＋b 与 a 的夹 角及 a－b 与 a 的夹角．
【解析】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，∠AOB＝120°，以O→A，O→B 为邻边作平行四边形 OACB，
则O→C＝a＋b，B→A＝a－b. 因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形． 所以O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. 所以 a＋b 与 a 的夹角为 60°，a－b 与 a 的夹角为 30°. 作图，由图中找到→a －→b 与→a 的夹角，利用三角形、四边形的 知识求角．
知识点 平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个_不__共___线__向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a，_有__且__只__有___一对实数 λ1，λ2，使 a ＝__λ_1e_1_＋__λ_2_e2___.
(2)基底：不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所__有__向__量__的 一组基底．
【解析】 因为A→P＝tA→B， 所以O→P＝O→A＋A→P ＝O→A＋tA→B ＝O→A＋t(O→B－O→A) ＝O→A＋tO→B－tO→A ＝(1－t)O→A＋tO→B.
教材反思
用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用 基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解．
答案：B
3．在△ABC 中，向量A→B，B→C的夹角是指( )
A．∠CAB B．∠ABC C．∠BCA D．以上都不是 解析：由两向量夹角的定义知，A→B与B→C的夹角应是∠ABC 的 补角，故选 D. 答案：D
4．如图所示，向量O→A可用向量 e1，e2 表示为________．
解析：由图可知，O→A＝4e1＋3e2. 答案：O→A＝4e1＋3e2
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B，其中可作 为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C共线；③C→A 与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共线．由平面向量基底的 概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题 意．
表示，表达式不一样．
跟踪训练 1 下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量
的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组
方法归纳
两个向量夹角的实质及求解的关键 (1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非 零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向 量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几 何知识求出两个向量的夹角．
跟踪训练 3 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，求 a＋b 与 a 的夹角，a－b 与 a 的夹角．
题型一 平面向量基本定理的理解[经典例题]
例 1 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2； ②e1－2e2 与 e2－2e1； ③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)→e 1，→e 2 是同一平面内的两个不共线的向量，→e 1，→e 2 的选 取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量→a 都可以沿基底进行分解． (3)基底→e 1，→e 2 确定后，实数 λ1、λ2 是唯一确定的．
[教材解难]
1．平面向量基本定理的作用． 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两 个向量的和，并且这种分解是唯一的． 2．基底的性质． (1)不共线性． 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底．由于零向量与 任何向量共线，所以零向量不可以作为基底； (2)不唯一性． 对基底的选取不唯一，平面内任一向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1，e2 线性表示．
跟踪训练 2 如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC， DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a， b 表示向量D→E，B→F.
【解析】 D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a. 解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向 量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一 组基底表示出来．
④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则11－ ＋λλ＝ ＝00， ， 无解，∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1 －e2 能作为一组基底．
【答案】 ③ 由基底的定义知，平面 α 内两个不共线的向量→e 1、→e 2 叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构 成基底，只要看这两个向量是否共线即可．
解析：如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，以 OA，OB 为邻边作▱OACB，
则O→C＝O→A＋O→B＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b，B→C＝O→A＝a. 因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB＝60°＝∠ABC. 即 a－b 与 a 的夹角为 60°. 因为|a|＝|b|，所以▱OACB 为菱形． 所以 OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°. 即 a＋b 与 a 的夹角为 30°. 作出向量→a ，→b ，→a ＋→b ，→a －→b ，利用平面几何知识求解．
高中数学第六章平面向量及其应用之 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)(必修第二册)
6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)思维导图考法一平面向量的基本定理【例1-1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．()()120,0,1,2e e==B．()()121,2,5,7e e=-=C．()()123,5,6,10e e==D．()12132,3,,24e e⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【例1-2】(2020·怀仁县大地学校高一月考)如图在梯形ABCD中，2BC AD=，DE EC=，设BA a=，BC b=，则BE=( )A．1124a b B．1536a b+C．2233a b D．1324a b+【例1-3】(2020·全国高一课时练习)在三角形ABC中，M为AC的中点，若(),AB BM BCλμλμ=+∈R，则下列结论正确的是( )常见考法A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【例1-4】(2020·全国高一课时练习)在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若3AF x AB y AD =+，则x y +=( )A ．1B ．59C ．13-D ．59-【举一反三】1．(2020·上海)下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是( )． A ．()()122,1,6,3e e =-=- B ．()()122,1,6,3e e =-= C ．()()122,1,6,3e e =-=-D ．()()122,1,0,0e e =-=2．(2020·河南高一其他模拟)如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=( )A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 3．(2020·湖北高一期末)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF =( )A ．1588AB AC + B ．5188AB AC - C ．1588AB AC -D ．5188AB AC +4．(2021·甘肃)设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=() A ．3-B ．3C ．2-D ．25．(2020·株洲市九方中学高一期末)如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=( )A ．14B ．34C ．92 D ．296．(2020·全国高一课时练习)ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内(包括边界)的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．332B ．37C ．39D ．41考法二 加减数乘的坐标运算【例2】(1)(2020·北京高一期末)已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =( ) A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2(2)(2020·陕西省商丹高新学校高一期中)已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =( ) A ．2B ．10C ．4D ．210(3)(2020·河南开封市·高一期中)已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(3，2)B ．(3，-1)C ．(7，0)D ．(1，0)(4)(2021·黑龙江)已知向量()1,2a =，()2,3b =，()3,4c =，且12c a b λλ=+，则1λ，2λ的值分别为( )A ．2-，1B ．1，2-C ．2，1-D ．1-，2【举一反三】1．(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4)B ．(－4，－2)C ．(2，4)D ．(4，2)2．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为( )A ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭3．(2020·全国高一)已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，则a b +等于( )A ．(3,1)--B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(3,1)4．(2020·北京二十中高一期末)已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为( ) A ．-4B ．4C ．-1D ．1考法三 共线定理的坐标表示【例3-1】(多选)(2020·三亚华侨学校高一月考)已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是( )A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-2】(2020·全国高一课时练习)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =( ) A ．4B ．-4C ．14D ．14-【例3-3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【举一反三】1．(2020·北京昌平区)下列各组向量中不平行．．．的是( ) A ．()1,1,2a =-，()2,2,4b =- B ．()1,0,0c =，()3,0,0d =- C ．()1,1,0e =，()0,0,0f =D ．()2,3,5g =-，()2,3,5h =2．(2020·浙江杭州市·高一期末)与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( ) A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(2,3,22)--3．(2020·全国高一)已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2020·全国高一课时练习)已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=( ) A ．8B ．8-C ．2D ．2-5．(2020·全国高一单元测试)已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________.考法四 向量与三角函数的综合运用【例4-1】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( ) A ．14B ．34C ．815D ．415【例4-2】(2020·本溪市燕东高级中学高一月考)设向量(4cos ,sin )a αα=，(sin ,4cos )b，(cos ,4sin )c ββ=-．(1)若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c +的最大值；(3)若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．【举一反三】1．(2021·新疆)已知平面向量()sin ,2019a θ=，()cos ,2020b θ=，若//a b ，则tan θ=( ) A ．20192020B ．20202019C ．20192020-D ．20202019-2．(2020·全国高一课时练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(2m =，2)2-，(sin ,cos )n x x =，(0,)x π∈，若//m n ，则tan x 的值( )A ．4B ．3C ．1-D ．03．(2020·山东省五莲县第一中学高一月考)设0≤θ<2π，已知两个向量1OP ＝(cos θ，sin θ)，2OP ＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量12PP 长度的最大值是( ) A ．2B ． 3C ．32D ．23考法五 奔驰定理解三角形面积【例5】(1)(2020·衡水市第十四中学高一月考)若点M 是ABC 所在平面内的一点，且满足53=+AM AB AC ，则ABM 与ABC 的面积比为( ).A ．15B ．25C ．35D ．45(2)(2020·江西宜春市·高一期末)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=( ) A ．12B ．14C ．34D ．32【举一反三】1．(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( )A ．16B ．13C ．12D ．232．(2020·怀仁市第一中学校云东校区)ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为( )A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:53．(2020·山西朔州市)已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =( ) A ．310 B ．38C ．25D ．4214．(2020·全国高三专题练习)点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是( )A ．35B ．52C ．32D ．235．(2021·山西)M 是ABC ∆所在平面上一点，满足2MA MB MC AB ++=，则ABMABCS S ∆∆为( ) A ．1:2 B ．1:3 C ．1:1 D ．1:4。
教学设计3：6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。
2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
三、重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动：如图1，在平面内任取一点O，作=e 1，=e 2，=a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的OA OB OC线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e 1，=λ2e2.由于，所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.讨论结果：①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：图2已知两个非零向量a 和b (如图2)，作=a ，=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然，当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.因此，两非零向量的夹角在区间[0°，OM ON ON OM OC +=OA OB180°]内.如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j①这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.如图所示，是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为(x 2-x 1，y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).②是一一对应的.（三）应用示例 思路1例1 如图4，ABCD ，=a ，=b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF =BC ，以a ，b 为基底分解向量.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解：由H 、M 、F 所在位置，有=b +a . =a b . 点评：以a 、b 为基底分解向量与，实为用a 与b 表示向量与.11B A AB AD 31HF AM 和+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 2121AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-=61-AM HF AM HF变式训练已知向量e 1、e 2(如图5)，求作向量-2.5e 1+3e 2.图5作法：(1)如图，任取一点O，作=- 2.5e 1，=3e 2.(2)作OACB .故OC 就是求作的向量.例2 如图6，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a =+=x i +y j ，∴a =(2，3).同理，b =-2i +3j =(-2，3)；c =-2i -3j =(-2，-3)；d =2i -3j =(2，-3).点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i ，j 是两个不共线的向量，已知=3i +2j ，=i +λj ，=-2i +j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.OA OB OC 1AA 2AA AB CB CD解：∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ，又∵A 、B 、D 三点共线，∴向量与共线.因此存在实数υ，使得=υ，即3i +2j =υ[-3i+(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量，故∴∴当A 、B 、D 三点共线时，λ=3. 例 3 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析：平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述，②③正确.答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例1 如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件0，延长CM 交AB 于N ，令=a ，试用a 表示.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.BD CD CB AB BD AB BD ⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ⎩⎨⎧=-=.3,1λv =++CM BM AM 32CM CN由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2，则 解：∵ ∴由=0，得0. ∴=0. 又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.由于和不共线，∴∴ ∴∴=2a .点评：这里选取作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量，a =3e 1+4e 2，b =-2e 1+5e 2，若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2，求λ、μ的值.解：由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 解之，得λ=1，μ=-1.⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a ,,NM BN BM NM AN AM +=+=CM BM AM 32++=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(CM BN NM AN 323+++,,NM CM BN AN μλ===+++NM BN NM BN μλ323BN NM BN NM ⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ⎩⎨⎧-=-=12μλ.MN NM CM =-=CM MN CM CN 2=+=NM BN ,⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ例2 如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE =2EC ，求的值.图8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值. 解：设 ∵=，即-=-， ∴=(+). 又∵=λ=λ(-)，∴==+.① 又∵=μ，即-=μ(-)， ∴(1+μ)=+μ= 又=，∴=+.② 比较①②，∵、不共线， ∴解之，得∴ 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q ，设=h ，，试GEBG GD AG 及μλ==GEBG GD AG ,BD DC AD AB AC AD AD 21AB AC AG GD AD AG AG λλ+1AD )1(2λλ+AB )1(2λλ+AC BG GE AG AB AE AG AG AB AG AE ,AE AB μμμ+++111AE 32AC AG AB μ+11)1(32μμ+AC AB AC ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ.23,4==GE BG GD AG OP OA OB k OQ =证： 解：设=a ，=b ，OG 交AB 于D ，则=()=(a +b )(图略). ∴==(a +b )，=(a +b )-k b =a +b ， =h a -k b . ∵P 、G 、Q 三点共线，∴.∴a +b =λh a -λk b .∴ 两式相除，得， ∴=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心，设=a ，=b ，试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x +3，x 2-3x -4)与相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求x . 解答：1.如图9，=，图9 而a +(b -a )=a +b ， ∴(a +b )=a +b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A (1，2)，B (3，2)，∴=(2，0).∵a =，∴(x +3，x 2-3x -4)=(2，0).∴解得∴x =-1.311=+kh OA OB OD 21OB OA +21OG 32OD 31OQ OG QG -=3131331k -OQ OP QP -=QP QG λ=31331k -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ.3311hk h k k h k =+⇒-=-kh 11+AB AC AG AB AG 32AD =+=+=BC AB BD AB AD 212121213232==AD AG 21213131AB AB ⎩⎨⎧=--=+043,232x x x ⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或AB点评：先将向量用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图.。
6.3.1 平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
微思考
a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1,λ2是否唯一?
提示当e1,e2不共线时,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;当e1,e2共线
时,λ1,λ2不唯一.
微练习
下列说法正确的是(
)
A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2表示
B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2表示
2
2 2
1
= + = +
3
1
2 1
=a+3(b-a)=3a+3b;
2
= + = +
3
2
1 2
=a+3(b-a)=3a+3b.
探究三
平面向量的坐标表示
例3已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向
→ → →
→ → → →
【解析】由AD＝2(AB＋AC)得 2AD＝AB＋AC，即AD－AB＝AC－AD，
→ →
→
→
即BD＝DC，即|BD|＝|DC|，所以 BD＝CD．
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝
6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量则不可以.
③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,故{e1+e2,e1-e2}可以作为
基底.
要点笔记平面向量基本定理的四个要点
(1)不共线的向量e1,e2;
高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理同步练习含解析第二册
课时素养评价六平面向量基本定理（15分钟30分)1。
设{e1,e2}是平面内一组基底,则下面四组向量中，能作为基底的是（) A。
e1-e2与e2—e1B。
2e1+3e2与—4e1—6e2C.e1+2e2与2e1—e2D.—e1+e2与e1-e2【解析】选C。
因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则() A.x=,y= B.x=,y=C。
x=，y=D。
x=，y=【解析】选A。
因为=2,所以+=2+2,即3=2+，所以=+,即x=,y=。
3.（2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= ()A.-B。
+C.—D.+【解析】选C。
=+=+=-。
【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点，F为CE的中点,则= （）A.+B.+C。
+ D.+【解析】选D.根据题意得：=（+),又=+,=,所以==+.4。
如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点）,则·=.【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1｜=|e2|=1，e1·e2=0，由题图可知，=3e1+2e2，=6e1-3e2，·=（3e1+2e2）·（6e1-3e2）答案:125.已知e1，e2不共线,且a=k e1-e2，b=e2—e1，若a,b不能作为基底,则实数k等于.【解析】因为a，b不能作为基底,所以a，b共线，可设a=λb,λ∈R，则k e 1—e2=λ,即k e1-e2=λe2-λe1，因为e1，e2不共线，所以所以k=1.答案:1【补偿训练】已知e1，e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b｝能作为平面内的一个基底,则实数λ的取值范围为。
课件5：6.3.1 平面向量基本定理
[解析] ∵O→P与O→C共线，∴存在实数 μ，使O→P＝μO→C＝mμO→A＋2mμO→B. ∵A→P＝O→P－O→A，∴A→P＝mμO→A＋2mμO→B－O→A＝(mμ－1)O→A＋2mμO→B ＝λA→B＝λ(O→B－O→A)＝－λO→A＋λO→B. ∵O→A与O→B不共线，∴m2mμ－ μ＝1＝ λ，－λ， 解得 λ＝23.
A．x＝23，y＝13
B．x＝13，y＝23
C．x＝14，y＝34
D．x＝34，y＝14
[解析] O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋13A→B＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13OB.
∴x＝23，y＝13.
题型三 平面向量基本定理的应用
典例 3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在 AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM 与BP︰PN的值.
易错警示 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 典例 4 已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，O→E＝e， 设 t∈R，如果 3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么 t 为何值时， C，D，E 三点在一条直线上？
→
→
[错解] 由题设，知CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，
2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形 2．能够灵活运用平面向
法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解. 量基本定理解决相关问题
3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量 .(数据分析)
正交分解的理解.
必备知识·探新知
知识点1 平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个_不__共__线____向量，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 __任__一___ 向 量 a ， _有__且__只__有__一__对____实数λ1，λ2，使a＝___λ_1_e_1＋__λ_2_e_2 __.
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.1平面向量基本定理课件
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然 后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线
6.3.1 平面向量基本定理 高中数学人教A版(2019)必修二
故 OP ON BN 3 OA (ON OB) 3 (1 )OA OB ，
所以
3
3 4
(1
)
2
3
4 解得
9 10 3
5
，
4 所以 OP 3 a 3 b .
10 5
平面向量基本定理指出了平面内任一向量 a 都可以表示为同一平面内两个
不共线向量 e1 ， e2 的线性组合 a e1 e2 .在具体求 λ1，λ2时有两种方法：
__23_a__13_b__， OQ
_1__a__2_b__.(用 33
a
，b
表示)
B Q P
A
O
5.如图所示，在△OAB中， OA a ，OB b ，点M是AB上的靠近B的一个
三等分点，点N是OA上的靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，
求 OP .(用 a ，b 表示)
B
分析：可利用 OP OM 及 OP OB BN 两 种形式来表示，并都转化为以 a ，b 为基底的表
a
A
aC
e1
e1
e2
O
e2
B
根据上述分析，我们得到如下定理：
如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a 1 e1 2 e2 .
若 e1 ，e2 不共线，我们把 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一
达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得 λ， O μ，进而求得 OP .
M P
N
A
解：OM OA AM OA 2 AB OA 2 (OB OA) 1 a 2 b ，
3
3
33
6.3.1 平面向量基本定理
对于②,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,既满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故②满足条件. 对于③,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,不满足r≥1,故③不满足条件. 对于④,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,不满足r≥1,故④不满足条件. 故满足条件的点为M1,M2. 答案 (1) ( + ) (2)M1,M2
本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享
第1讲 描述运第动六的章基本概平念面向量及其应用
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个① 不共线 向量,那么对于这一平面内的任一 向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=② λ1e1+λ2e2 .若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做 表示这一平面内所有向量的一个③ 基底 .
第1讲 描述运第动六的章基本概平念面向量及其应用
平面向量基本定理的应用
1.已知e1,e2是不共线的向量,求λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R). 其方法如下: (1)利用三角形法则; (2)利用平行四边形法则. 2.已知基底{a,b},用a,b表示向量c. 其一般方法如下: (1)线性运算法:利用三角形法则或平行四边形法则进行转化. (2)向量方程(组)法:设c=xa+yb,x,y∈R,用待定系数法求出x,y.
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 必修·第二册 人教A版
6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
19-20版：6.3.1 平面向量基本定理（创新设计）
6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si ，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？ 提示 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 提示 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量教材拓展补遗[微判断]1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)2.零向量可以作为基底.(×)3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√)提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练]1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2D.e 1，e 1＋e 2解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B2.在△ABC 中，若AD→＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( )A.BD ＝2CDB.BD ＝CDC.BD ＝3CDD.CD ＝2BD解析 由AD→＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →，所以|BD →|＝|DC →|，故BD ＝CD . 答案 B [微思考]1.若e 1，e 2是一个平面内的一组基底，则集合{a |a ＝λ1e 1＋λ2e 2，λ1λ2∈R }表示的是什么？提示集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.2.若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？提示当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b ＝d一定成立.题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.解(1)正确.若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D.e 1和e 1＋e 2解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B题型二 用基底表示向量 零向量与任一向量平行，故不能作为基底【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，b 表示AB→，BC →.解 法一 由题意知， AO→＝OC →＝12AC →＝12a ， BO→＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ， BC→＝BO →＋OC →＝12a ＋12b . 法二 设AB→＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎨⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB→＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b . 规律方法 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 法一 ∵AB →＝e 2，DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2. ∵AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC→＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN→＋NB →＋BA →＋AM →＝0， 且NB→＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN→＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2. 法二 同法一得DC →＝k e 2， BC →＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ， 由MN→＝12(MB →＋MC →)得 MN→＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 题型三 平面向量基本定理的综合应用若a 是平面内的非零向量，且能表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2【例3】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2， 由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【迁移】 (变设问)在本例条件下，若CM →＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解 由典例解析知BP ∶PN ＝32， 则NP→＝25NB →， CP →＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB → ＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE→＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC→＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 43一、素养落地1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 二、素养训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2 C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2解析 选项A ，B ，C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.答案 D2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e －3e 2) C.12(2e 2＋5e 1)D.12(5e 2＋3e 1)解析 OC→＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2). 答案 A3.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析 DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案 124.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF→.解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.。