数学实验练习题(MATLAB)

注意:在下面的题目中m 为你的学号的后3位（1-9班）或4位（10班以上）.
第一次练习题
1.求解下列各题： 1)30sin lim x mx mx x
->- 2)(4)cos ,1000.0=x mx y e y 求 3）21/2
0mx e dx ⎰(求近似值，可以先用inline 定义被积函数，然后用quad 命令)
4）4
224x dx m x
+⎰ 5
0x =展开(最高次幂为8). 2.对矩阵21102041A m -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，分别求逆矩阵，特征值，特征向量，行列式，并求矩阵,P D （D 是对角矩阵），使得1A PDP -=。

3.
已知2
1(),()2f x e x μσ=--分别在下列条件下画出)(x f 的图形： (1)/600m σ=,μ分别为0,1,1-(在同一坐标系上作图);
(2)0μ=,σ分别为1,2,4,/100m (在同一坐标系上作图).
4.画 （1）sin 020cos 02100x u t t y u t u t z m ⎧⎪=≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪=⎩
(2) sin()03,03z mxy x y =≤≤≤≤
（3）sin()(/100cos )02cos()(/100cos )02sin x t m u t y t m u u z u π
π=+⎧≤≤⎪=+⎨≤≤⎪=⎩
的图（第4题只要写出程序）.
5．对于方程50.10200
m x x --=，先画出左边的函数在合适的区间上的图形，借助于软件中的方程求根的命令求出所有的实根,找出函数的单调区间,结合高等数学的知识说明函数为什么在这些区间上是单调的,以及该方程确实只有你求出的这些实根。

最后写出你做此题的体会.
第二次练习题
判断迭代收敛速度的程序
x0=1;stopc=1;eps=10^(-8);a=1;c=1;b=2*c;d=a;k=0;
f=inline('(a*x+b)/(c*x+d)');
kmax=100;
while stopc>eps&k<kmax
k=k+1
x0=f(a,b,c,d,x0)
stopc=abs(x0^2-2);
end
1.设 ,131211p p p n n
x ++++= }{n x 是否收敛？若收敛，其值为多少？精确到8位有效数字。

（提示：当n x 与1n x +的前8位有效数字一致时终止计算）
其中7/1000p m =+.(注意p 为精确的有理数)
2.设11
()/23n n n m x x x x +⎧=+⎪⎨⎪=⎩，数列}{n x 是否收敛？若收敛，其值为多少？精确到8
位有效数字。

3.实验四练习1,2,7(1)
4.能否找到分式函数2ax bx c dx e
+++以及分式函数2ax b cx dx e +++,使它产生的迭代序列
(
17位有效数字。

有一个要求：,,,,a b c d e 必须全部是整数)?并研究如果迭代收敛,那么迭代的初值与收敛的速度有什么关系.写出你做此题的体会.
第三次练习题
随机数应用例题
对于第一象限的正方形01,01x y ≤≤≤≤,内画出四分之一个圆
向该正方形区域内随即投点,则点落在扇形区域内的概率为4π. 投n 次点,落在扇形内的次数为nc ,则
4nc n π≈,因此4nc n
π≈. 程序如下
n=10000;nc=0;
for i=1:n
x=rand;y=rand;
if(x^2+y^2<=1)
nc=nc+1;
end
end
pi=4*nc/n
1. 练习16(Page95,取自实验七,选取20m 对随机数)
2. 练习7(Page132,取自实验十)(选取20m 对随机数,随机数的范围:1到10^9). 提示:(1)最大公约数的命令:gcd(a,b)
(2)randint(1,1,[u,v])产生一个在[u,v]区间上的随机整数
书上习题：(实验八)
1. 若数列n a 满足12121,1,n n n a a a ma a --===+,编程求出4039/a a 的8位有效数字.
写出n a 的通项公式,在理论上求出1lim
n n n
a a +→∞的值,并与求出的4039/a a 的近似值作对比.
2. 练习18
3. 练习19(注:只要对a m =,
精确到8位有效数字，
为整数的学号，
4. 练习20
5. 练习21(注:只要对a m =,
8位有效数字，
为整数的学号，
6. 练习23(将方程改为321412/100x x x m +--=,精确到8位有效数字)
7. 练习24
选做题目:练习25,26
在第三次练习题中至少选择一道题目写出做题体会。

第四次练习题
1. 练习9，10，12，15，20(Page142起 取自实验十一)
圆柱体易拉罐的最优化问题
设一个355毫升的易拉罐是圆柱体,上底面与下底面的厚度分别为侧面厚度的a 倍与b 倍.问在圆柱体的高度与上下底面的半径为多少时,该易拉罐所用的材料最省.(求解时取 2.85, 2.31a b ==)
解:设底面厚度其侧面厚度为d ,上底面的厚度为ad ,下底面的厚度为bd ,圆柱体的高度为H ,上下底面的半径为R ,则该圆柱的容积为2V R H π=,所用的材料的体积为222R ad R bd RHd πππ++,为使所用的材料最省,我们得到如下的数学模型
22min [()2]
..355
0,0S d a b R RH s t R H R H ππ=++=>>
模型求解: 由约束条件解得2355H R π=,代入到目标函数中得到2710[()]S d a b R R ππ=++ 下面通过程序给出该目标函数在 2.85, 2.31a b ==时的最优解.
h=1;Smin=100000;
for R=0.001:h:1000
S=5.16*R^2+710/(pi*R);
if S<Smin
Smin=S;Rmin=R;
end
end
for i=1:5
h=h/10;
for R=Rmin-20*h:h:Rmin+20*h
S=5.16*R^2+710/(pi*R);
if S<Smin
Smin=S;
Rmin=R;
end
end
end
fprintf('Rmin=%10.5f,Hmin=%10.5f,Smin=%10.5f\n',Rmin,355/(pi*Rmin^2),Smin)
2.分别取1a b ==,/300,/400a m b m ==运行程序,你能否验证所得到的解是最优解?
3. 若易拉罐的形状是一个圆台加圆柱,即中截面如下的图形,其上底面,下底面与圆台的侧面的厚度分别为侧面厚度的a 倍,b 倍与c 倍. 问在圆柱体的高度,圆台的高度与上下底面的半径为多少时,该易拉罐所用的材料最省.(求解时分别取1a b c ===以及/300,/400,/100a m b m c m ===)
写出做此题的体会.
总结题目:这一段时间学习数学实验,你有什么体会?对课程的内容等方面有什么建议?
t =1;Smin=100000;a=1;b=1;c=1;
for R=0.001: t:1000
for r=0.001: t:1000
for H=0.001: t:1000
h=3*(355-R^2*pi*H)/(pi*(R^2+r^2+R*r));
S=2*R*H+b*R^2+c*r*h+c*R*h+a*(R^2+r^2+R*r)/3;
if S<Smin
Smin=S;Rmin=R;rmin=r;Hmin=H;hmin=h;
end
end
end
end
for i=1:5
t =t/10;
for R=Rmin-20* t: t:Rmin+20* t
for r=rmin-20* t: t:rmin+20* t
for H=Hmin-20* t: t:Hmin+20* t
h=3*(355-R^2*pi*H)/(pi*(R^2+r^2+R*r));
S=2*R*H+b*R^2+c*r*h+c*R*h+a*(R^2+r^2+R*r)/3;
if S<Smin
Smin=S;Rmin=R;rmin=r;Hmin=H;hmin=h;
end
end
end
end
end
fprintf('Rmin=%10.5f\n',Rmin);
fprintf('rmin=%10.5f\n',rmin);
fprintf('Hmin=%10.5f\n',Hmin); fprintf('hmin=%10.5f\n',hmin); fprintf('Smin=%10.5f\n',Smin);。