第4章：固溶体
4.2第四章 固体中原子及分子的运动
4.2 扩散的微观理论
4.2.1 随机行走与扩散
因为 所以
(H U V P)
代入D=d2P
可得：
令 则
扩散系数与温度之间的关系
式中Do称为扩散常数，只与扩散机制和材料有关； ΔU是间隙扩散时溶质原子跳跃所需额外的热力学 内能，该迁移能等于间隙原子的扩散激活能Q。
空位扩散机制
扩散机制：在置换固溶体中，由于晶格中存在空位，空位周围 的原子(包括溶剂和溶质原子)由热运动可能进入空位，即原子 利用空位最后达到迁移，当存在化学位梯度时，溶质原子就会 发生定向的扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。 扩散进行有两个要求条件，一是有空位存在，二是空位周围的 原子从原来的平衡位置进入空位也要一定的激活能。
晶体缺陷对扩散起着快速通道的作用称为短 路扩散。在实际生产中这几种扩散同时进行， 并且在温度较低时，所起的作用更大。
4.3 扩散机制
1、交换机制
直接交换机制：相邻的两个原子互换 了位置。
然而由于这种正常位置上的原子对调 位置需要克服的能垒很高，引起附近 点阵原子的强烈畸变，因而无论在理 论上或是实验上，它都是失败的。
后来把这种扩散偶中由于扩散系数不同而引起对接面移动 的现象称为柯肯达尔效应。
发生柯肯达尔效应原因：溶质和溶剂原子扩散速率不同。
标记漂移产生的示意图
达肯方程
标志物
在柯肯达尔效应中，假定标记面的 移动速度计为vm，相对观察者，原 子的扩散可进行如下的分析。
第四章课后作业
第四章课后作业练习一一、判断题（T 或F ）1、溶质再分配既受溶质扩散性质的制约，也受液相中的对流强弱等诸种因素的影响。
2、溶质再分配只影响凝固过程溶质宏观及微观分布及最终成分偏析现象，而不影响凝固组织形貌和晶粒大小，也不影响热裂、气孔等凝固缺陷的形成。
3、图4-1所示成分为C 0的合金熔体，实际凝固结束时，其组织中只有单相固溶体。
4、虽然实际凝固过程中固、液两相成分不可能完全遵从平衡相图来分配，凝固理论认为，固-液界面处成分C ∗与C 的比值在任一瞬时仍符合相应的溶质平衡分配系数K S ∗L 0（处于局部平衡状态）。
这被称为“界面平衡假设”。
图4-1成分为C 0合金的凝固5、“平衡凝固”条件下，凝固后零件断面的成分均匀地为C S =C 0。
所以“平衡凝固”开始时晶体析出的成分即为C 0。
6、对于“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面前沿不存在溶质富集层，即界面处及其前方的液相成分处处相同。
7、在“平衡凝固”及“液相充分混合”所假设的溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C ∗、C ∗随凝固过程的进行均始终在不断升高。
S L 8、在“液相只有有限扩散”以及 “液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，固-液界面处的固相及液相成分C ∗、C ∗随凝固过程的进行始终不断升高。
S L 9、在“液相只有有限扩散”以及液相容积很大的“液相中部分混合（有对流作用）”溶质再分配条件下，当达到稳定状态时，界面处及其前方液相成分均符合0)'(=∂∂t x C L ，且溶质富集层以外的成分均为C L =C 0。
二、解答题1、图4-2所示，为两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布。
（1） 分别指出图（a ）及图(b)各属于哪种溶质再分配情况。
（2） 简述图(b)中C s C S =∗、C 的物理内涵及原因。
L L C =∗(a)(b) 图4-2 两种溶质再分配情况下凝固过程固液、液相成分随距离的分布2、图4-3为液相只有有限扩散凝固条件下溶质再分配。
第四章 二元合金相图与合金凝固参考答案
第四章二元合金相图与合金凝固一、本章主要内容：相图基本原理：相，相平衡，相律，相图的表示与测定方法，杠杆定律；二元匀晶相图：相图分析，固溶体平衡凝固过程及组织，固溶体的非平衡凝固与微观偏析固溶体的正常凝固过程与宏观偏析：成分过冷，溶质原子再分配，成分过冷的形成及对组织的影响，区域熔炼；二元共晶相图：相图分析，共晶系合金的平衡凝固和组织，共晶组织及形成机理：粗糙—粗糙界面,粗糙—光滑界面,光滑—光滑界面；共晶系非平衡凝固与组织：伪共晶，离异共晶，非平衡共晶；二元包晶相图：相图分析，包晶合金的平衡凝固与组织，包晶反应的应用铸锭：铸锭的三层典型组织，铸锭组织控制，铸锭中的偏析其它二元相图：形成化合物的二元相图，有三相平衡恒温转变的其它二元相图：共析，偏晶，熔晶，包析，合晶，有序、无序转变，磁性转变，同素异晶转变二元相图总结及分析方法二元相图实例：Fe-Fe3C亚稳平衡相图，相图与合金性能的关系相图热力学基础：自由能—成分曲线，异相平衡条件，公切线法则，由成分—自由能曲线绘制二元相图二、1.填空1 相律表达式为___f=C-P+2 ___。
2. 固溶体合金凝固时，除了需要结构起伏和能量起伏外，还要有___成分_______起伏。
3. 按液固界面微观结构，界面可分为____光滑界面_____和_______粗糙界面___。
4. 液态金属凝固时，粗糙界面晶体的长大机制是______垂直长大机制_____，光滑界面晶体的长大机制是____二维平面长大____和_____依靠晶体缺陷长大___。
5 在一般铸造条件下固溶体合金容易产生__枝晶____偏析，用____均匀化退火___热处理方法可以消除。
6 液态金属凝固时，若温度梯度dT/dX>0（正温度梯度下），其固、液界面呈___平直状___状，dT/dX<0时（负温度梯度下），则固、液界面为______树枝___状。
7. 靠近共晶点的亚共晶或过共晶合金，快冷时可能得到全部共晶组织，这称为____伪共晶__。
固溶体的分类
则化学式为：Ca2yZr1-yO2 x、y为待定参数，可根据实际掺入量确定。
3、 举例
以添加了0.15molCaO的ZrO2固溶体为例。 （１）置换式固溶体：化学式 CaxZr1-xO2-x 即Ca0.15Zr0.85O1.85。ZrO2属立方晶系，萤石结 构，Z=4，晶胞中有Ca2+、Zr4+、O2-三种质点。
2、活 化 晶 格
形成固溶体后，晶格结构有一定畸变， 处于高能量的活化状态，有利于进行化学 反应。如，Al2O3熔点高（2050℃），不利 于烧结，若加入TiO2，可使烧结温度下降 到1600℃，这是因为Al2O3与TiO2形成固溶 体，Ti4+置换Al3+后， 带正电，为平 衡电价，产生了正离子空位，加快扩散， 有利于烧结进行。
第二节
置换型固溶体
（一）形成置换固溶体的影响因素
1、离子尺寸因素 2、离子的电价因素 3、晶体的结构因素 4、电负性因素
第三节 间隙型固溶体
形成间隙型固溶体的条件
间隙式固溶体的固溶度仍然取决于离子尺寸、离 子价、电负性，结构等因素。
1、 杂质质点大小
即添加的原子愈小，易形成固溶体，反之亦然。
第四章
第一节
固
溶
体
固溶体的分类
按杂质原子在固溶体中的位置分类
固溶体的分类1
置换型固溶体：杂质原子 进入晶体中正常格点位置 所生成的固溶体。 间隙型固溶体：杂质原 子进入溶剂晶格中的间隙 位置所生成的固溶体。
第一节
固溶体的分类
按杂质原子在晶体中的溶解度分类
固溶体的分类2
无限型固溶体：溶质和溶 剂两种晶体可以按任意比 例无限制地相互固溶。 有限型固溶体：溶质只 能以一定的溶解限量溶 入到溶剂中 。
材料化学第四章溶液与固溶体讲诉
uBL
uBg
uB (T ) RT ln
pB p
uB (T ) RT ln
pB* xB p
uB (T ) RT ln
pB* pB
RT ln
xB
• pB
—— 蒸气相中组分B的分压
• uB (T )
—— 理想气体标准态的化学势
• 当温度、总压一定时，令
∴
u
B
(T
,
p)
uB
(T
)
RT
ln
下，亨利定律可以适用于每一种气体溶质（近似认为与其他气体的分压 无关）。
3）亨利定律只适用于溶质在气相和溶液中分子状态相同的情况。如果 溶质分子在溶液中与溶剂分子形成了化合物，或发生电离，那么亨利 定律即不适用，如HCl溶解在水中，电离H+、Cl-，不适用亨利定律。
4）对大多数气体溶于水时，溶解度随T升高而降低，溶液就越稀，更 适用亨利定律。
溶剂的性质
2.对稀溶液：
pB
kx xB
kx
nB nA nB
kx
nB nA
kx
nB mA
MA
pB kmbB pB kccB
其中，
bB
nB mA
溶质的质量摩尔浓度
CB 溶质的物质的量浓度
bB单位mol/kg；
cB单位mol/L；
km、kc、kx为亨利定律常数； 对于确定的溶液， kx≠ km ≠ kc
第一节拉乌尔定律和亨利定律 （稀溶液中的经验定律）
一、拉乌尔定律
1.定义：1887年，法国化学家Raoult从实验中归纳出一个经验定律：
在定温下，在稀溶液中，溶剂的蒸气压等于纯溶剂蒸气压 乘以溶液中溶剂的摩尔分数 ，用公式表示为：
相变热力学基础第4章
各种键的数目nAA, nBB、nAB， 可由各种键的键分数得到。
XAA、XBB、XAB：A-A、B-B、A-B键的键分数
A-A键数目nAA=XAAzNa/2 B-B键数目nBB=XBBzNa/2 A-B键数目nAB=XABzNa/2
*
4.2 正规溶体近似
混合前：
*
由NA个A原子和NB个B原子构成1mol的溶体，XA、XB：A、B的原子摩尔分数 正规溶体近似
XAB=XAXB , XBA=XBXA ，XAA= XA2, XBB= XB2
正规溶体近似
4.2 正规溶体近似
混合后溶体的内能US：
混合前(含有相同原子数目的纯组元) U0:
正规溶体近似
4.2 正规溶体近似
常压下溶液混合引起的体积变化，可以忽略，即 相互作用能IAB（Interaction energy ）: 正规溶体近似
Quasi-chemical model (准化学模型) ：
内能只考虑结合能
内能的变化是最近邻原子的结合键能的变化引起的 ΔUmix =Us(溶体) – U0(混合前含有相同原子数目的纯组元)
如果只考虑最近邻原子间的结合能，内能就是最近邻原子键的键能总和：
从原子角度来考察溶液的形成
*
二元溶体中存在三种类型的原子键： 1．A—A键，每个键的能量为uAA 2．B—B键，每个键的能员为uBB 3．A—B键，每个键的能量为uAB
材料化学-固溶体
4.4 异价取代固溶体
等价取代，可以保持电荷平衡； 异价取代，需要形成缺陷以保持电荷平衡： 1. 空位或填隙子 —— 离子补偿； 2. 电子或空穴 —— 电子补偿。
28
离子补偿机制
阳离子空位： 基质结构中的阳离子被高价阳离子取代时，可以通过形成
阳离子空位来达到电荷平衡。 实例：CaCl2 掺杂 NaCl：Na1-2xCaxVxCl
向于生成有限固溶体。
16
无限固溶体实例：Pb(Zr,Ti)O3
压电材料 BaTiO3（(A2+B4+)O3 型钙钛矿结构化合物）： Ba —— Pb，Sr，Ca等等取代； Ti —— Zr，Sn等等取代； —— 复合化合物(A1,A2,…Ak)(B1,B2,…Bl)O3（钙钛矿结
构）：
17
决定固溶体的形成能力。
41
4.6 固溶体的性质
杂质 进入
晶格 常数
机械 性能
密度
光学 性能
电性能
42
卫格定律（Vegare’s Law）与雷特格定律（Retger’s Law）：固溶体中，晶胞的尺寸随组成连续变化，对于立 方结构的晶体，晶格常数与组成的关系可以表示为： (ass )n (a1)n c1 (a2 )n c2
35
2. 阴离子吸附形成的阳离子空位：
例如，氧化物加热时吸收氧，氧分子离解，氧原子从低 氧化态过渡金属得到电子形成 O2- 离子，
实例：
NiO O2 Ni123x Ni23xVNi,xO
绝缘体
半导体
36
阴离子填隙： 混合价阳离子伴随填隙阴离子而形成。
实例：高温超导体 YBa2Cu3O 体系。 1. 当 = 6，Cu：+1，+2 的混合价； 2. 当 = 6.5，Cu：+2 价； 3. 当 = 7，Cu：+2，+3 的混合价。
第4章 材料的凝固和铁碳相图
1、工业纯铁的结晶 过程
合 金 液 体 在 1-2 点 间
转 变 为 ， 3-4 点 间 → ， 5-6 点 间 → 。 到7点，从中析出
Fe3C。 室温平衡组织为
F+Fe3CIII
纯铁的室温平衡组织
室温平衡组织: F+ Fe3CIII
(1)工业纯铁[ w(C)≤0.0218%] (2)钢 [0.0218%< w(C)≤2.11%]
亚共析钢 0.0218%<w(C)<0.77% 共析钢 w(C) = 0.77% 过共析钢 0.77%<w(C)≤2.11% (3)白口铸铁 [2.11%<w(C)<6.69%] 亚共晶白口铸铁 2.11%< w(C)<4.3% 共晶白口铸铁 w(C) = 4.3% 过共晶白口铸铁 4.3%< w(C)<6.69%
与共晶反应不同的 是，共析反应的母 相是固相，而不是 液相。
另外，由于固态转 变原子扩散困难， 因而共析组织比共 晶组织细。
珠光体
常见三相等温水平线上的反应
反应名称 图形特征 共晶反应 包晶反应 共析反应
反应式
说明
L⇄ +
恒温下由一个液相同时结 晶出两个成分结构不同的 新固相。
L+ ⇄
●GS线 A中开始析出F临界温度线, 称A3线。 ●ES线 碳在A中的固溶线，叫Acm线。从A中析出 Fe●3PCQ，线叫二是次碳渗在碳F中体固(F溶e3线CII。)。是亦F是中A开中始开析始出析出
FFee33CCIIII的I的临临界界温温度度线线。。 Fe3CIII数量极少, 往往予以忽略。
2、相区
Pb-Sn合金相图
⑴ 相图分析
① 相：相图中有L、、三种相, 是溶质Sn在 Pb中的固溶体， 是溶质Pb在Sn中的固溶体。
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第4章，固溶体(Solid Solution)掺杂通常不改变（被掺杂）材料的结构类型。
因此掺杂即“固溶”（固溶体——原子水平均匀分散的固态溶液。
掺杂有间隙掺杂（间隙固溶体）和取代掺杂（代位固溶体），有原子掺杂（原子固溶体）和离子掺杂（离子固溶体）。
本章重点讨论形成固溶体的条件及规律。
“固溶体”科学，尚处于“经验总结”的发展阶段。
因此，对于相关“结论”/“总结”，不能绝对化。
杂质原子导入引起晶格畸变，一定区域内的原子拉或压应力，系统能量增加。
当能量增加到一定程度，主体结构不再稳定，这就是固溶极限。
“15％规律”的不严格性：掺杂导致晶格畸变和能量升高，从而限制了极限掺杂量。
晶格畸变和能量升高，不但与尺寸差（ΔR）有关，同时与掺杂原子或离子的性质有关（例如可变形性），以及主结构的键合力（材料的理论弹性模量E）有关。
材料的E 越大，掺杂原子的尺寸限制就越严格，这时ΔR可能降低到8～10％。
相反，若主体结构较为开放，E较小，ΔR可能增大到21％。
一般而言：ΔR<15%：形成连续固溶体（必要条件，而非充要条件）；15%～30%：形成有限固溶体；ΔR>30%，固溶度很低或不能形成固溶体。
b) 电负性因素：掺杂原子和主结构原子的Pauling 电负性差别越大，元素周期表中距离越远，元素间易形成化合物（ΔE > 0.4)，而不易形成固溶体。
另一较普遍的规律：当掺杂原子在体系中可以多种状态存在是，它的固溶度将发生改变。
物种越稳定，固溶度越小。
例如，Fe-C固溶体中，碳可有两种形态——FeC3或石墨，石墨远比FeC3稳定，因此，FeC3在Fe中的固溶度远大于C。
二元合金体系：掺杂金属原子的价电子数与主体金属 原子的价电子数差别越大，固溶度越低。
例如：Zn （二价）、Ga（三价）、Ge（四价）、As（五价）在 一价金属（Cu、Ag、Au）中的固溶度分别为38.5 at％、 19.5 at%、11.8 at％、7 at％。
高价金属原子掺入低价金属（电子密度增加）， 其固溶度比低价掺入高价（降低电子密度）的高，即： “降低电子密度对结构不稳定性的影响更大”。
例如：Cu-Zn 合金（黄铜），Cu在Zn中的最大固溶度为2.5 at ％，而Zn在Cu中的最大固溶度为38.5 at％ 又如：Cu-Sn合金（青铜），Sn在Cu中的最大固溶度为9.1 at ％，但Cu几乎不能溶入Sn。
应指出，电子密度的计算，对于非变价金属比较容易，但对 于变价金属，电子密度往往很难准确计算。
*d) 晶体结构杂质原子的晶体结构和主晶体的结构对称性相 同，是形成连续固溶体的另一个必要条件。
原子晶体的结构主要受原子的电负性以及外层电 子结构影响。
杂质和主晶体的结构相同，意味着两者 的原子性质接近，“相似相溶”。
A、B组元形成连续原子固溶体的必要条件：1. 原子半径差ΔR<15% 2. 结构相同 3. 原子价相同 4. Pauling电负性差<0.4。
第二节： 有序原子置换固溶体：严格意义的原子置换固溶体，杂质原子随机分布。
但如果杂质原子与主体原子有较大的电负性差别，则 A倾向于在B的周围， B倾向于在A的周围，或由于原 子尺寸的因素，导致A、B各按一定的方式分布，这就 形成所谓的有序固溶体，其结构非纯A、也非纯B，有 序固溶体也叫超点阵或超结构。
大多数有序固溶体具有可逆性，高温下无序，降低 温度又转变为有序固溶体，即发生有序无序转变。
几种常见的金属有序固溶体及结构： a) 体心立方AB型(CsCl型)：以FeAl为代表，其他如 AgZn、AgCd、CuZn、CuBe、AuCd等。
A (Fe)AB无序固溶体AB型有序固溶体 B (Al)b) 体心立方A3B型：以Fe3Al为代表，其它还有如Cu3Al、Fe3Si等。
结构中，A(Fe)占据8个小立方体顶角和4个不相邻的 立方体体心位置，B(Al)占据其余4个不相邻立方体体 心位置。
Cu2MnAl也有类似结构， Mn占据占据4个不相邻的立 方体体心位置。
c)面心立方A B型：以CuAu合金为代表，其结构如下图所示： Cu Au沿[001]方向，Cu原子层和 Au 原子层交替排列， 由于Au的原子尺寸大于Cu，结构由立方转变为四方(z 轴拉长)。
d) 面心立方A3B型：以Cu3Au为代表，另外还有Co3Al、Ni3Al、Ni3Fe、Ni3Si、Ni3Mn等。
Cu AuAu 在正六面体的八个顶角，Cu 占据所有面心位置。
另外还有密堆六方A3B型 ，如Mg3Cd。
第三节：间隙原子固溶体当杂质原子和主结构原子的半径相对差很大时(ΔR ≥41%)，杂质原子进入主结构的间隙位置，形成间隙 固溶。
例如H、N、 C、 B等小原子(原子半径依次为： 0.46、0.70、0.77、0.97A)，很容易与金属形成间隙固 溶体。
在间隙固溶体形成过 程中，伴随有部分共价 键形成，材料的强度提 高（但范性和韧性有所 降低）。
a ) Fe-C 间隙固溶体：纯Fe 有三种异构体：α(bcc)，γ(fcc)，δ(bcc))(1538C 1398912C 770C mp RT ⎯→⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→⎯δγαα非铁磁性铁磁性•α-Fe ：最大C 固溶度，0.02 wt%，α-铁素体•γ-Fe ：最大C 固溶度，2.06 wt%，奥氏体•δ-Fe ：最大C 固溶度，0.1 wt%，δ-铁素体b) M-H间隙原子固溶体——金属储氢材料还原气氛下，氢以原子氢(H)与金属形式间隙氢固溶体。
适当条件下，间隙氢原子又可以从结构中析出而释放出氢。
这就是储氢材料。
下面是几种储氢材料：¾著名的Pd储氢材料：Pd：fcc/ Fm3m, a= 3.89) →PdH x，0 ≤x ≤0.7)/V(Pd) = 2800最大储氢能力：V(H2但Pd 资源稀缺，价格昂贵。
目前研究的储氢材料，主要有钛系合金、锆系合金、铁系合金及稀土合金。
¾LaNi5储氢合金：LaNi5：简单六方结构（P6/mmm)吸氢后：LaNi5H6（六方，P31m）最大储氢量：88 kg (H2)/ m3(LaNi5)(* 液态氢70.6 kg/m3)¾FeTi储氢合金：FeTi：简单立方(Pm3m，a=2.975 )储氢后：FeTiH1.95(底心正交，Cmmm)最大储氢量：101.2 kg (H2)/ m3(LaNi5)¾储氢材料不但可用于储氢，或制备高纯氢(6G)，同时还可以利用它吸氢放热和析氢吸热的特性，作为储能材料。
c) 间隙相:间隙固溶体——间隙原子随机分布，表现为主结构的原有对称性。
但当间隙原子的浓度达到一定程度，各组元将按特定的方式分布，形成具有简单整数比化合X、M2X、MX或MX2等。
物特征的间隙相，如：M4间隙相的结构虽然仍具有金属的三种典型结构的特征，但多数是与其组元结构类型不同的新相。
间隙相举例：结构为体心立方(bcc)的Zr、Ti、……等金属，间隙填入N、H等原子生成MX型间隙相ZrN，ScN，TiN，VN，CrN，ZrC，TiC，VC，ZrH，TiH等，X型间隙相Fe2N，结构为NaCl型(fcc)。
生成M2Cr2N，Mn2N，V2N，Mo2C，Ta2C，W2C，V2C、Nb2C、Zr2H、Ta2H、Ti2H等，对称性为密堆六方结构。
间隙相具有很高的硬度和熔点、但很脆，是合金钢中的重要强化相。
d) 间隙化合物：间隙化合物是间隙原子与主结构原子半径的差在30％> Δr ≥41%范围，间隙原子与主结构原子之间形成的一种新的结构复杂的化合物。
例如Fe与C生C（Fe3C），M7C3、成的间隙化合物，常见的有M3M23C6和M6C几种，一个单胞中通常有几十或数百各原子。
间隙化合物也是结构材料的一种重要强化相。
间隙固溶体——结束语：形成间隙原子固溶体的主要影响因素是相对原子尺寸差，ΔR ≥41%，或直径比小于0.59。
由于杂质间隙原子和主结构原子的尺寸差别较大，因此，可以与主结构形成间隙固溶体的杂质原子，不可能与主结构原子形成连续固溶体。
另一方面，由于形成间隙固溶体时，会引起较大的主结构晶格畸变和能量升高，因此，间隙杂质原子的固溶度一般小于间隙位的10％。
第四节：离子置换固溶体¾简单离子（等价）置换固溶体¾异价离子置换固溶体¾间隙离子固溶体（特定结构和/或小尺寸杂质离子）影响离子置换固溶体形成的因素主要包括：离子尺寸、离子电价、晶体结构以及场强。
但到目前为止，依然是经验总结，尚没有成熟的理论模型。
a) 离子尺寸因素原子置换固溶体的15％规律，同样近似适用于等价离子置换固溶体。
但正如West指出的，对于无机非金属固溶体，由于离子尺寸的难以准确确定，允许的离子尺寸差别的极限值可比15%稍大一些。
一般而言1、ΔR <15%是形成连续固溶体的必要条件，但不是充分条件；2、ΔR=15-20％，高温条件下可能形成连续固溶体，但常温下为有限固溶体；且尺寸较大的离子较易被小离子取代，而反过来较困难。
3、ΔR >30%，不能形成固溶体。
二元连续固溶体：¾MgO与FeO、CoO或NiO形成连续固溶体。
MgO、FeO、CoO、NiO都是NaCl型结构：MgO(a=4.2A)，FeO(a=4.3A）CoO(a=4.26A), NiO (a=4.17A）离子半径：Mg2+: 0.86A，Fe2+: 0.91A(HS) Co2+: 0.88A(HS)，Ni2+: 0.83A离子半径相对差：Mg 与Fe、Co和Ni 分别为：5.8％，2.3％，3.5％¾Al2O3-Cr2O3形成连续固溶体：Al2O3 和Cr2O3均为刚玉型结构。
Al2O3(Hexagonal, R3-c, a=4.76 A, c=13 A)Cr2O3(Hexagonal, R3-c, a=4.96 A, c=13.5 A)离子半径：Al3+: 0.67A, Cr3+: 0.75A, 离子半径相对差：10.6％¾PbTiO3与PbZrO3形成连续固溶体：PbTiO3和PbZrO3都具有钙钛矿型结构。
离子半径：Zr4+: 0.72A，Ti4+: 0.61A (O2-: 1.26A)离子半径相对差：15.3％(>15%)离子半径相对差大于15%，依然形成连续固溶体与两者的钙钛矿型结构有关（t=0.8~1.1）。
NaCl-KCl体系:NaCl和KCl的结构均为NaCl型(Pauling) 离子半径：Na+：0.95 Ǻ，K+：1.33 ǺΔR1=(1.33-0.95)/1.33=28.5%ΔR2=(1.33-0.95)/0.95=40%初判：两者不能连续互溶，且相互固溶度很小。