二次根式a的双重非负性

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二次根式及其运算

二次根式及其运算
【解析】 (1)原式=(3 2)2-1-[(2 2)2-4 2+1] =18-1-8+4 2-1=8+4 2.
(2)原式=( 10-3)2016×( 10+3)2016×( 10-3) =[( 10-3)( 10+3)]2016×( 10-3) =[( 10)2-32]2016×( 10-3) =(10-9)2016×( 10-3)=1×( 10-3) = 10-3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可,而二次 根式在表达形式上,容易导致认识错误,例如 0.2b和 x2-y2,会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式.应注意对数学概念的理解:小数可以转化成分数, 因式和项有区别.
易错点3
二次根式的性质
=|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值:a+ a + 2-2,其中 a= . a 5 12 a - 1 1 1 【错解】 原式= + a = +a- =a. a a a 1 1 当 a= 时,原式=a= . 5 5 12 a - 1 【析错】 化简 a2+ 2-2= 根据 a2=|a|, a 时, a 可知结果一定是非负数. 12 1 a- a- 1 1 1 ∵当 a= 时,a- <0,∴ a = a = -a, 5 a a 1 而不是 a- . a
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x≤ 9
x- 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y= 中, 自变量 x x- 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x>1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件,得 x-1≥0,由 分式有意义的条件,得 x-2≠0, ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2.(2016· 自贡)下列根式中,不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2

部编人教版八年级数学下册重点强化专题一:二次根式的非负性

部编人教版八年级数学下册重点强化专题一:二次根式的非负性

部编人教版八年级数学下册重点强化专题一(含答案)二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根,它具有双重非负性:(1)二次根式的结果是非负数,即a ≥ 0.(2)二次根式的被开方数是非负数,即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义,则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 , 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2,则=+---12)2(22a a a . 4.化简:yy 1-- = . 5.当 x<0时,化简 : xx x x 24422-+-= 6.实数在数轴上的位置如图所示,化简:222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。

9. 若433+---=x x y , 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ,求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|=0且 0102=+-y x∴ x+y-1=0,2x-y+10=0解之得: x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由,1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有:得:由y x x。

中考数学总复习第5课 二次根式

中考数学总复习第5课 二次根式

的值为
()
A.-15
B.15
C.-125
D.125
解析:由二次根式的定义,得 2x-5≥0 且 5-2x≥0,∴x
≥5且 2
x≤52,∴x=52,∴y=-3,∴2xy=2×52×(-3)=-
15.
答案:A
【预测演练 1-3】 化简:( 3-x)2- x2-10x+25.
解析:∵3-x≥0,∴x≤3,原式=3-x-|x-5|=3-x- (5-x)=3-x-5+x=-2.
解析:(1)4 1- 8=4× 2-2 2=2 2-2 2=0.
2
2
(2)原式=( 2+1)( 2-1)× 2=(2-1)× 2= 2.
(3)原式=(3 2)2-1-[(2 2)2-4 2+1]
=18-1-8+4 2-1=8+4 2.
(4)原式=( 10-3)2013·( 10+3)2013·( 10+3)
∴a=m 2+2n 2,b=2m n . 这样,小明找到了把部分 a+b 2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决问题: (1)当 a,b,m,n 均为正整数时,若 a+b 3=(m+n 3)2,用含 m,n 的
式子分别表示 a,b 得,a=________,b=________; (2)利用所探索的结论,找一组正整数 a,b,m,n 填空: ______+______ 3=(______+______ 3)2; (3)若 a+4 3=(m+n 3)2 且 a,b,m,n 均为正整数,求 a 的值.
解析:x-3≥0, ∴x≥3.
答案:x ≥3
【预测演练 1-1】
等式 2k-1= k-3
数 k 的取值范围是
2k-1成立,则实 k-3
()

第二十一章 二次根式

第二十一章 二次根式

第二十一章 二次根式知识点归纳1.定义:形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

2.二次根式a 有意的条件:3.性质:(1)双重非负性:即a ≥0且a ≥0(2)⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a(3)2)(a =a (a ≥0)4.同类二次根:被开方数相同的二次根式最简同类二次根式:⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母)(5.把根号外面的因数或因式移到根号内:()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6.二次根式的大小比较:先把根号外的因数或因式全部移到根号内,再进行大小比较。

7.分母有理化: (1)()01>=∙=a a aa a a a(2)()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a(3)()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8.运算法则:(1)加减法则:将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式(2)乘除法则:()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a (3)混合运算法则。

复习题1.已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ,求)(c b a +-的值。

2.已知y=32552--+-x x ,求2xy 的值。

3.已知a (a -3)≤0,若b=2-a ,求b 的取值范围。

4.已知点P (x,y )在函数x xy -+=21的图象上,那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限? 5.若()a a 21122-=-,求a 的取值范围。

6.已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问:长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形?若能,求出该三角形的面积。

专题06 二次根式篇(解析版)

专题06 二次根式篇(解析版)

专题06 二次根式考点一:二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义:形如()0≥aa的式子叫做二次根式。

2. 二次根式有意义的条件:二次根式的被开方数大于等于0。

即a中,0≥a。

1.(2022•湘西州)要使二次根式63-x有意义,则x的取值范围是( )A.x>2B.x<2C.x≤2D.x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件:被开方数是非负数即可得出答案.【解答】解:∵3x﹣6≥0,∴x≥2,故选:D.2.(2022•广州)代数式11+x有意义时,x应满足的条件为( )A.x≠﹣1B.x>﹣1C.x<﹣1D.x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.【解答】解:代数式有意义时,x+1>0,解得:x>﹣1.故选:B.3.(2022•贵阳)代数式3-x在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )A.x≥3B.x>3C.x≤3D.x<3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0,进而求出答案.【解答】解:∵代数式在实数范围内有意义,∴x ﹣3≥0,解得:x ≥3,∴x 的取值范围是:x ≥3.故选:A .4.(2022•绥化)若式子21-++x x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .x >﹣1B .x ≥﹣1C .x ≥﹣1且x ≠0D .x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数,a ﹣p =(a ≠0)即可得出答案.【解答】解:∵x +1≥0,x ≠0,∴x ≥﹣1且x ≠0,故选:C .5.(2022•雅安)使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为( )A .B .C .D .【分析】根据二次根式有意义的条件,得出关于x 的不等式,解不等式,即可得出答案.【解答】解:∵∴x ﹣2≥0,∴x ≥2,故选:B .6.(2022•菏泽)若31-x 在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 .【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.【解答】解:由题意得,x ﹣3>0,解得x >3.故答案为:x >3.7.(2022•青海)若式子11-x 有意义,则实数x 的取值范围是 .【分析】根据二次根式的被开方数为非负数,分式的分母不等于零列式计算可求解.【解答】解:由题意得x ﹣1>0,解得x >1,故答案为:x >1.8.(2022•包头)若代数式x x 11++在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .【分析】根据二次根式有意义的条件,分式有意义的条件是分母不等于零,列不等式组,解出即可.【解答】解:根据题意,得,解得x ≥﹣1且x ≠0,故答案为:x ≥﹣1且x ≠0.9.(2022•常德)要使代数式4-x x 有意义,则x 的取值范围为 .【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.【解答】解:由题意得:x ﹣4>0,解得:x >4,故答案为:x >4.10.(2022•邵阳)若21-x 有意义,则x 的取值范围是 .x 的不等式组,求出x 的取值范围即可.【解答】解:∵有意义,∴,解得x >0.故答案为:x >2.考点二:二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质:①二次根式的双重非负性:二次根式本身是一个非负数,恒大于等于0。

浙教版八年级下专题一 二次根式的双重非负性

浙教版八年级下专题一 二次根式的双重非负性

一a(a≥0)的双重非负性教材P5课内练习第1题)求下列二次根式中字母x的取值范围:(1)x-1.(2)4x2.(3)11+3x. (4)-5x.解:(1)x≥1;(2)x为全体实数;(3)x>-13;(4)x≤0.【思想方法】此类有意义的条件问题主要是根据:(1)二次根式的被开方数大于或等于零;(2)分式的分母不为零等列不等式组,然后求不等式组的解集.[2012·青海]函数y=x+4x-2中,自变量x的取值范围是__x≥-4且x≠2__.使a+-a有意义的a的取值范围为(C) A.a>0B.a<0C.a=0 D.不存在【解析】根据二次根式的定义,被开方数大于等于0,可知a≥0,且-a ≥0即a≤0,所以a=0.化简(2a-5)2-(2a+1)的结果是(B) A.-4 B.-6 C.4a-4 D.4a-6【解析】根据二次根式有意义,可知2a-5≥0,∴原式=(2a-5)2-(2a +1)=2a-5-2a-1=-6.已知实数x满足|2 013-x|+x-2 014=x,求x-2 0132的值.解:∵x-2 014有意义,∴x≥2 014,∴|2 013-x |=|x -2 013|=x -2 013, ∴|2 013-x |+x -2 014=x 可化简为x -2 013+x -2 014=x , 即x -2 014=2 013,两边平方,得x -2 014=2 0132, ∴x -2 0132=2 014.已知a ,b 为实数,且a -5-25-a =b +4.(1)求a ,b 的值; (2)求a -b 的算术平方根.【解析】 (1)根据被开方数大于等于0列式求出a 的值,再代入即可求出b 的值;(2)先代入a ,b 的值求出a -b ,然后根据算术平方根的定义解答. 解:(1)根据题意,得a -5≥0且5-a ≥0, 解得a ≥5且a ≤5,所以a =5, 所以b +4=0,解得b =-4; (2)a -b =5-(-4)=5+4=9. ∵32=9,∴a -b 的算术平方根是3.若a ,b 为实数,且b =a 2-4+4-a 2a +2+7,求a +b 的值.解:∵b =a 2-4+4-a 2a +2+7有意义,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4≥0,4-a 2≥0,a +2≠0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4≥0,a 2-4≤0,a +2≠0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4=0,a ≠-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2或a =-2,a ≠-2,∴a =2,∴b =7,∴a +b =2+7=3. 二a 2的化简(教材P7课内练习第1题)(口答)填空:(1)(-1)2=__1__,(-3)2=__3__,⎝ ⎛⎭⎪⎫1132=__113__,(-4)2=__4__.(2)数a 在数轴上的位置如图1所示,则a 2=__-a __.图1【思想方法】 根据二次根式的性质(a )2=a (a ≥0),a 2=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a >0),0(a =0),-a (a <0),进行化简. 化简4x 2-4x +1-(2x -3)2得( A )A .2B .-4x +4C .-2D .4x -4【解析】 由题意,得2x -3≥0.由于2x -1>2x -3,所以2x -1>0,故原式=(2x -1)2-(2x -3)=2x -1-2x +3=2.[2012·呼和浩特]实数a ,b 在数轴上的位置如图2所示,则(a +b )2+a 的化简结果为__-b __.图2(1)当a <0时,化简a 2-2a +1a 2-a;(2)已知x 满足的条件为⎩⎨⎧x +1>0,x -3<0,化简x 2-6x +9+x 2+2x +1;(3)实数a ,b 在数轴上的位置如图3所示,化简(a +2)2-(b -2)2+(a +b )2.图3解:(1)∵a <0, ∴a -1<0, ∴原式=(a -1)2a (a -1)=1-a a (a -1)=-1a ;(2)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,x -3<0,得-1<x <3,且原式=(x -3)2+(x +1)2.∵-1<x <3, ∴x -3<0,x +1>0, ∴原式=3-x +x +1=4; (3)观察数轴可得b <-2,1<a <2, ∴a +2>0,b -2<0,a +b <0, ∴原式=a +2-(2-b )+(-a -b )=0.三 非负数a (a ≥0)、|a|及a 2的综合运用教材P8作业题第3题)计算:(1)(-5)2-16+(-2)2. (2)⎝⎛⎭⎪⎫252-0.12-14.(3)(a )2+a 2(a ≥0). 解:(1)3;(2)-0.2;(3)2a .【思想方法】 本题主要考查二次根式的非负性,灵活运用公式a 2=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a >0),a (a =0),-a (a <0),几个非负数的和为零,则这几个数都为零.[2012·青海]若m ,n 为实数,且|2m +n -1|+m -2n -8=0,则(m +n )2 012的值为__1__.【解析】 根据非负数的性质得到⎩⎪⎨⎪⎧|2m +n -1|=0,m -2n -8=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2m +n -1=0,m -2n -8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =-3, ∴(m +n )2 012=(2-3)2 012=1.[2013·新疆]若a ,b 为实数,且|a +1|+b -1=0,则(ab )2 013的值是( C )A .0B .1C .-1D .±1【解析】 根据题意,得a +1=0,b -1=0, 解得a =-1,b =1,所以(ab )2 013=(-1×1)2 013=-1. 故选C.[2013·攀枝花]已知实数x ,y ,m 满足x +2+|3x +y +m |=0,且y 为负数,则m 的取值范围是( A )A .m >6B .m <6C .m >-6D .m <-6【解析】 根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x +2=0,3x +y +m =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =6-m .根据题意,得y =6-m <0, 解得m >6. 故选A.已知S 1=1+112+122,S 2=1+122+132,S 3=1+132+142,…,S n =1+1n 2+1(n +1)2.设S =S 1+S 2+…+S n ,求S . 解:∵S n =1+1n 2+1(n +1)2=1+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n -1(n +1)2+2·1n (n +1)=1+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n +1)2+2·1n (n +1)=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1n (n +1)2, ∴S n =1+1n (n +1),∴S =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+11×2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12×3+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13×4+…+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+1n (n +1)=n +⎝⎛1-12+12-13+13-14+…+1n -⎭⎪⎫1n +1=n +1-1n +1=n 2+2n n +1.。

初二数学二次根式知识点大全

初二数学二次根式知识点大全

初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地,我们把形如 $\sqrt{a}$($a\geq0$)的式子叫做二次根式。

其中,$\sqrt{}$ 称为二次根号,$a$($a\geq0$)是一个非负数。

2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$($a\geq0$)的式子叫做二次根式。

二次根式中被开方数是非负数,且具有非负性,即 $a\geq0$。

3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性,即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。

4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式,利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来,化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$,$a^2+b^2$,$a+5$,$-3y(y\geq0)$,$m^2-1$ 和 $ab$($a<0,b<0$)中,是二次根式的有()A。

3个B。

4个C。

5个D。

5个解答】解:式子 $\pi$,$a^2+b^2$,$-3y(y\geq0)$,$ab$($a<0,b<0$)是二次根式,共 4 个,故选 B。

点评】此题主要考查了二次根式定义,关键是注意被开方数为非负数。

题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式,则下列说法正确的是()A。

$x<y$B。

$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。

$x$、$y$ 同号D。

$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解:依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$,即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$,是二次根式。

则 $\frac{2x}{y}>0$,即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。

二次根式的性质(1)

二次根式的性质(1)

都是这些大计策?又是朝廷,又是官场,你壹个姑娘家家的,怎么这么多主意?唉,是不是《三国》看的太多了?不是权术,就是谋略,你真 是枉生了女儿身了!啧,啧,怪不得连二哥都佩服你,还没见二哥说他服过谁呢。”“哪里是我的主意多啊,爹爹当了壹辈子的大官,大哥二 哥少年就考取功名,凝儿出身官宦世家,从小潜移默化、耳濡目染,就算是没吃过猪肉,还没有见过猪跑?”“你敢说爹爹和大哥二哥是 猪?”“玉盈姐姐,你真坏啊!”“这明明是你自己说的,又不是我逼的你,怎么我又成了是坏人了?”年总督听了夫人的壹番话,跟夫人如 出壹辙,对凝儿大赞不已,真没想到,怎么这个闺女就能另辟蹊径,想出这么壹个万全之策呢?既然已经身处险境,年总督当即决定,险境也 只能用险招,也算是铤而走险,希望能够绝境逢生、出奇制胜!而且事不宜迟,现在日头已经偏西了,于是赶快写下帖子,差年峰立即亲自递 送到雍亲王府。年峰都出发了,年总督才腾出空儿来,把两个公子叫到跟前,说了冰凝的主意。大公子年希尧自是交口称赞:“凝儿这姑娘小 时候就爱弄个稀其古怪的,没想到大姑娘了,都能为父兄排忧解难了。”“大哥,你别再夸了,再夸她就敢跟我邀功请赏,说她能当花木兰 了!”二公子这回被冰凝这丫头抢了头功,嘴上虽然没说什么,心里倒也甜丝丝的:这丫头从来都是鬼怪得很,败给凝儿,不算没面子。几个 人正沉浸在难题迎刃而解的喜悦之中,还没有来得及开始猜测王府那边会是什么情况呢,好像也就是壹眨眼的功夫,眼见着年峰就回来了,把 众人都吓了壹跳,二公子更是即刻就从椅子上站了起来,冲到门口:“年峰,你怎么又回来了,出了什么岔子?”第壹差 第二十章 备礼“不 是,不是,没有,没出岔子!老爷夫人,大爷二爷,王府允了!”年峰的壹句话说完,众人的那颗悬了半天的心也算是踏踏实实地落了地,大 家都如释重负地松了口气。只是这口气刚松下来,另个壹口气又提了起来:礼单!原本早早就备好了礼单,可是,那是为了拜见王爷,完全照 着王爷的喜好置备的,而且大年初六的时候还要送到王府。明天要拜见的是福晋,就必须重新置办壹份新的礼物。内容上,要针对福晋的喜好, 而在份量上,却又是丝毫不能比给王爷的那份差。眼看着天都黑了,明天壹大早就要用,年家虽然家大业大,可是要在这么短的时间里,置办 起壹套既体面又能讨福晋欢心的见面礼,可真真地是巧妇难为无米之炊!没办法,年夫人只得先让年峰去库房里捡贵重的、能送给女宾的礼品 先挑出来,她和老爷再从这些物件里逐壹仔细甄选。望着这些绫罗绸缎、珍珠玛瑙、玉石古玩,左挑右选,年老夫妇壹直拿不定主意,总感觉 缺少壹件最贵
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