二次根式的双重非负性来解题
二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性
二次根式是数学中最常见的一类方程，它的解析解可以用二次公式求出，二次根式的根的取值范围可以用双重非负性进行证明。
首先，需要知道二次根式的一般形式：ax2+bx+c=0，其中a≠ 0，可以进一步分解为：x2+px+q=0，其中p=-b/a且q=-c/a，二次根式的解析解表示为：x1=(-p+√(p2-4q))/2a，x2=(-p-√(p2-4q))/2a。
接下来，我们将具体看一下二次根式的双重非负性，也就是说，在p2-4q≥0的情况下，求出的根x1和x2同时不小于0，即eq1:x1≥0、eq2:x2≥0。
首先，为了使x1≥0，我们可以得出p≥√(4q)，同时对于x2≥0，可以得出p≤-√(4q)。
根据这两个等式可以得出结论：-√(4q)≤p≤√(4q)，也就是说，若根式满足-√(4q)≤p≤√(4q)，则其根x1和x2均大于等于0。
同样可以继续推导，如果有p2-4q<0的情况，此时二次根式没有根或者只有一个根，也就不能满足题中对x1及x2双重非负性的要求。
另外，在实际应用中，二次根式的双重非负性还很有用。
例如，当解决实际问题的方程为二次函数时，可以确保解出的根都是大于等于0的；而如果是一元n次方程，那么通常必须满足双重非负性这一要求，才能有效解出所有的根。
因此，二次根式的双重非负性在实际应用中都会起到不可或缺的作用。
总之，二次根式的双重非负性是用于推导二次根式的根的取值范围，并且在实际应用中也有重要的意义。
它可以帮助我们得到大于等
于0的解，从而解决一些实际问题。
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
2024八年级数学上册第二章实数专题四利用二次根式的双重非负性解题习题课件新版北师大版
(1) − 有意义， a 的取值范围是
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a ≥2 025
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；
(2)根据(1)的分析，求 a －2 0242的值.
【解】因为 a ≥2 025，所以2 024－ a ＜0，
所以｜2 024－ a ｜＋ − ＝ a －2 024＋
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，且 ax2＋ bx ＋
c ＝0，求代数式3 x2＋6 x ＋200的值.
【解】因为(2－ a )2≥0， ＋＋ ≥0，｜ c ＋8｜≥0，
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，
所以2－ a ＝0， a2＋ b ＋ c ＝0， c ＋8＝0.
所以 a ＝2， c ＝－8， b ＝4.
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因为 ax2＋ bx ＋ c ＝0，
所以2 x2＋4 x －8＝0.
所以 x2＋2 x ＝4.
所以3 x2＋6 x ＋200＝3( x2＋2 x )＋200＝12＋200＝212.
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所以 + ＋(1－ b ) − ＝0.
因为1＋ a ≥0，1－ b ≥0， 所以1＋ a ＝0，1－ b ＝0，
解得 a ＝－1， b ＝1，
所以 a2 024－ b2 025＝(－1)2 024－12 025＝1－1＝0.
二次根式的双重非负性在解题中的运用
二次根式的双重非负性在解题中的运用式子a表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。
它在初、高中数学中占有重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件。
现列举出这一性质在中考解题中的运用归类如下，以供大家参考，不对之处敬请指正。
类型一：确定自变量的取值范围例：若下列式子有意义，试确定x的取值范围。
评析：纵览《数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）及现行初中教材，可以归纳出在初中阶段对字母的取值有要求的只有三种情况：①分式中的分母不能为零。
②二次根式中被开方数要大于等于零。
③零指数幂的底数不能为零。
抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围，通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。
类型二：求代数式的值评析：解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”这种模型思想。
而依据《标准》，初中阶段涉及的非负数有绝对值、偶次方和二次根式。
这也正符合《标准》增加的提高学生的运算能力的要求。
有了这些理念，学生就能明白算理，做到运算正确、有据、合理、简洁，学生的数学思想就能自然生成。
类型三：化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形：1.默认条件。
例： 18a3b2c=3ab2ac。
这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数。
2.给定条件。
评析：由于思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是-a这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验。
解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质，就能找到突破口，从而化难为易。
这体现了《标准》中“读懂学生的基础，读懂学生的思路，读懂学生的错误，读懂学生的情感”的要求。
二次根式两个非负性的运用
二次根式两个非负性的运用四川倪先德)0a≥的式子叫做二次根式．正确理解并灵活运用二次根式的这一定义，是解一些与二次根式相关的问题的关键．)0a≥是一个非负数．这个非负数可用数表示，也可用代数式表示，如5)3a≥等．这里实质包含两个非负性：a非负和a 非负．)0a≥表示非负数到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值、平方数、算术平方根，它们有独特性质：若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．例1．若1+-ba与42++ba互为相反数，则=+2004)(ba_____．解：∵1+-ba与42++ba互为相反数，∴10a b-+=．又∵10a b-+≥0，∴⎩⎨⎧=++=+-421baba，解之得：⎩⎨⎧-=-=12ba．∴200420042004()(21)3a b+=--=．二、若有a存在，则0a≥由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根．所以0a≥是a 存在的必要前提．例2．要使代数式32-x有意义，则x的取值范围是（）A．2≠x B．2x≥C．2>x D．2x≤解：要使代数式32-x有意义，就要求：20x-≥，所以，2x≥；选B．三、若有2a-存在，则0a=0=由于2a-存在，则20a-≥．即20a≤，而2a是非负数，所以0a=．例3．2004x-值．解：∵2)2005(--x存在，∴20050x-=即2005x=0=，2004200520041x-=-=．四、若a与a-同时存在，则0a=0==例4．若200420052005+-+-=xxy，求x y-的值．解：因为2005-x和x-2005同时存在，所以20052004x y==，．所以200520041x y -=-=．。
二次根式经典例题
【二次根式典型例题】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3 B 、x ； C 、12x ； D 、1x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2x （2）121x （3）xx 21 （4）45xx （5）1 21 3xx （6）若1)1(xxxx ，则x 的取值范围是 （7）若1 3 13 xxxx ，则x 的取值范围是 。
3.若13m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
6. 若20042005aaa 2 2004a =_____________． 7．若433xxy yx 8. 设m 、n 满足3 2 9922mmmn ，则mn= 。
9. 若m 适合关系式35223199199xymxymxyxym 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 baa=0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|myxx ，当0y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10m B 、2m C 、2m D 、2m 12. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. 21a B. 21x B. 21x C. C. 24 b D. 0.1y 13. 已知0xy 2y x x __________。
初三全科目课件教案习题汇总初三全科目课件教案习题汇总 语文语文 数学数学 英语英语 物理物理 化学化学二．利用二次根式的性质2a=|a|=)0()0(0)(aaabaa(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233xx x3x ，则（ ）A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.已知a<b ，化简二次根式ba3（ ）A ．aba B ．aba C ．aba D ．aba 3.若化简若化简|1-x|-1682xx 的结果为2x-5则x 的取值范围是（）A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4 4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则2 22)()()(acbacbcba = 5. 当-3<x<5时，化简25109622xxxx= 。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。
湘教版八上数学-活用二次根式的非负性
活用二次根式的非负性
吴育弟 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0； （２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、确定取值范围
例1（2015年南京）若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 解析：根据题意，得x+1≥0，解得x ≥﹣1.
故填x ≥﹣1．
二、化简
例2（2015年黄冈模拟）已知a ＜0，化简二次根式b a 3-的结果是 ．
解析：因为a ＜0，所以ab a b a --=-3． 故填ab a --．
三、求值
例3（2015年荆门）当1＜a ＜2时，代数式a a -+-1)2(2的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．23a -
D ．32a -
解析：当1＜a ＜2时，a – 2＜0，1– a ＜0，所以1121)2(2=-+-=-+-a a a a ． 故选B ．
跟踪练习：
1.（2015年莱芜）要使二次根式x 23-有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．23≥x
B ．23≤x
C ．32≥x
D ．3
2≤x 2. 当ab ＜0时，化简2ab ，得（ ）
A ．b a -
B ．b a
C ．b a -
D ．b a --
3. 已知5260x y x -+++=，则31x y ++=______.
答案：1. B 2. A 3. 0。
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一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ；
D 、1-x
取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）121
3-+-x x
(6).
（7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1
313++=++x x x x ，则x
的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
5. 若20042005a a a -+-=，则2
2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3
29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，求m 的值．
8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是
9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ）
10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m。