二次根式_题型归纳总结
二次根式考试题型汇总
二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。
2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。
题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。
例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。
例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。
题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。
已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。
6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。
题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a--+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10- C、1a+ D、21a+2、在a、2a b、1x+、21x+、3中是二次根式的个数有______个【例2】2-x有意义的x的取值范围是_____举一反三：1、使代数式43--xx有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、x>4D 、x≥3且x≠42、若式子13x-有意义，则x的取值范围是．【例3】若y=5-x+x-5，则x+y=举一反三：若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当a取什么值时，代数式211a++取值最小，并求出这个最小值。
已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求a-b的值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】（公式)0()(2≥=a a a 的运用）注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．【例5】 化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式:23x-= ；（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．【例6】已知2x <,则化简2)2(-x 的结果是A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、根式2(3)-的值是( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．9 2、已知a<0，那么│2a －2a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．【例8】1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb ＝ ；aa --11)1(＝ 。
二次根式常见题型总结
va +2 题型2最简二次根式、同类二次根式考查形式选择题或填空题4. 下列根式中是最简二次根式的是l2L(A )J 2(B )朽 35. 下列根式中,不能与合并的是ij1 二次根式常见题型总结题型1二次根式的概念(后面附答案)考查形式选择题或填空题1. 如果：二1是二次根式，那么x,y 应满足的条件是【】y(A )x ±l,y ±0(B )y (x -1,三0x €1(C )——±0(D )x ±1,y >0y2. 若代数式丄+<!有意义，则实数x 的取值范围是【】x -1(A )x …1(B )x ±0(C )x ...0(D )x ±0且x (1)3. 要使式子「「有意义，则a 的取值范围为. 【】 (C )3(D )<12【】(C )(D )<123 6.若最简二次根式3b -a +2与J 4b -a 是同类二次根式，则a =,b =.题型3二次根式的化简求值考查形式选择题、填空题、解答题i1n7.若y=r-2+Y2-x-6，则xy=8.'若y=Qx—3+&3—x+2,贝Ux y=.9.若彳x2+x€0侧x的取值范围是.10.若、：m一3+(n+1)2€0，求(m+2n)2020的值.11.先化简，再求值:仝二-_^，其中x€1+2勇,y€1…2訂・x-yx-y12.已知函数y=(m-3)x+n-2(m,n为常数)的图象如图所示,化简: |m-3一、：n2-4n+4.题型4二次根式的计算考查形式选择题、填空题、计算题13.下列等式不成立的是(A)3、辽…2运€6、.：6(B)J8一迈€4 (C)v8-迈€迈2_(2A&-1V3+1_\3 14.计算:15.计算:+2-J 5+(-1)2019-J_x V45;3(2)、18+ (.2-1)-、9+题型5探究活动考查形式解答题3|_T2 16.在进行二次根式的化简时,我们有时会遇到形如丄,厶的式子，其实J5\3<3+1我们还可以将其进一步化简:33x 叮53>/5二二;（口）■v'5v'5x -55vl 仝心）€2；3;(—,T⑴…近-2右+ 1） 込』=v3-1・（□）22…3-1 <3€1…<3+1①参照（III）式化简②参照（W）式化简以上这种化简的步骤叫做分母有理化.芋1还可以用以下方法化简:1）请用不同的方法化简(2)化简:丿€1..€.1€•••+・3+1v5€\：3V7€x5\：2n+1€\2n—1题型6定义新运算17.对于任意的正数m,n定义运算※为:观※n…]丫"-"，计算（3探2）<[xl m€Jn,m<n竹※12）的结果为.<3+1…m—3-\；(n-2)2二次根式常见题型总结答案1.C2.D3.a>—24.B5.C6.1,17.—38.99.x<010.解:°・°Y m一3+(n+1)2 0<m一3±0,(n+1)2±0m—3...0,n+1 0m…3,n…—1・：(m+2n)2020…(3—2)2020…1.11.解：旦—旦……,x…y)(x-y)…x+yx—yx—yx—y当x…1+2打,y…1—2<3时原式…1+2^3+1—2心3…2.12.解:由函数的图象可知:m—3>0,n—2<0m>3,n<2…m—3—|n—2…m—3—(2—n)…m+n—5. 13.BI1114.解：(1)3J12—2」—+6語—型+4石L2爲…I3丿解:(2)I、运—1+1)—(—2爲)…12—1—(—413+12)…11—13+4打…—2+4、.3.+12-+(—1)2019—1x<45一2•=1+v5—2—1€解:（2）<18+v9+<1)-1 <2丿=3<2+3—2•、辽—3+2=、辽+2.2=J5—^3亠上+覇）G-訂）=込—再<5+v'3 <5+<3（2）十.（过程略）。
二次根式最新题型归纳总结
二次根式必考点归纳总结必考点一 二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．√−x −2B ．√xC ．√a 2+1D ．√x 2−2【解析】根据二次根式的定义可得√a 2+1中得被开方数无论x 为何值都是非负数，选C ．变式1 在式子√x2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】√x2（x ＞0），√2，√x 2+1符合二次根式的定义．√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x +y 不是根式．选B ． 变式2 在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a 2+b 2，√m 2+1，√|ab|这4个，选B ． 变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得． 【解析】①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ．变式4 要使√2x −113−x有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3D ．12＜x ＜3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ． 变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．变式6 等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围 【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ．必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根． 【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．1或7D ．7【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020．（2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1∴7x +y 2020＝14+1＝15．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值． 【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y 有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019．∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0． ∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0． ∵√≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0． 又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简. 例题4 已知a ≠0且a ＜b ，化简二次根式√−a 3b 的正确结果是（ ） A ．a √abB ．﹣a √abC ．a √−abD ．﹣a √−ab【解析】由题意：﹣a 3b ≥0，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0＜b ， 所以原式＝|a |√−ab =−a √−ab ，选D ．变式10 与根式﹣x √−1x 的值相等的是（ ）A ．−√xB ．﹣x 2√−xC ．−√−xD ．√−x【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x 有意义，∴x ＜0，∴﹣x √−1x ＞0，∴﹣x √−1x =−x •√−x−x=√−x ，选D ．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x 的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a2+√(b−1)2−√(a−b)2|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．√8B ．√2x 2yC ．√ab 2D ．√3x 2+y 2【解析】A .√8=2√2，可化简；B .√2x 2y =|x |√2y ，可化简；C .√ab 2=√2ab 2，可化简； D .√3x 2+y 2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D ． 变式16 在根式√xy 、√12、√ab2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab2、√x −y ，共3个，选C ． 变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ． 【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2， 变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ． 【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6必考点七 同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35， ∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ． 变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解． 【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3；（2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．必考点八 二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a+7a √2a 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2， （2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ． 变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3．（2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0 变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ． 变式24 计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b (a ≥0，b ＞0) 【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5； （2）原式＝2√a −3a √b +10√a −2a √b ＝12√a −5a √b ．必考点九 二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9 计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．变式25 计算：n m √n 3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3． 【解析】n m √n3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n 3m 3×n 3m 3×2m 3n=−n m 2√2n 33m 3 =−n m 2×|n|3m 2√6mn ＝±n 23m4√6mn ．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √÷(4x 2y √3x 2y)【解析】原式=2x 3y •√2x y 3y •4x •3√xy ÷（4x 2y x √3√y）=√2x 33y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√b a （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√b a ＝﹣9a 2√a b =−9a 2b √ab ． 必考点十 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3； （2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ． 【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72； （2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3．【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3； （2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13． 必考点十一 二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3． 变式31 已知x =1√5−√3y =1√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x+x y． 【解析】（1）∵x =1√5−3=√5+√32，y =1√5+3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72； （2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8． 变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得．【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)， ∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3，xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12， 则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52． 变式33 已知x =b 2a+b−2a−b ，y =b2a+b+2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案． 【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2必考点十二 分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3．（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可；（2）分子分母分别乘√5−√3即可； （3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1） 变式34 阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n +1−√n ），计算后即可得出结论； （3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论． 【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n=√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键． 变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1， √8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4， （2）√29−52−√29−5=−5，（3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(5+3)(5−3)=8+2√152=4+√15，（2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2；②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．必考点十四含二次根式的数式规律题例题14观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解析】（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．变式40观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯⋯+1+19−110＝9+1−110＝9910；（2）第n个等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．变式41观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．【解析】（1）√4+16=5√16；（2）√n+1n+2=（n+1）√1n+2；（3）√n+1n+2=√n2+2nn+2+1n+2=√n2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2＝（n+1）√1n+2．变式42观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解析】（1）∵√2+23=2√23，√3+38=3√38，∴√4+415=4√415=4√15=8√1515，验证：√4+415=√6415=8√1515，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴√n+n2=n√n2，验证：√n+n2=√n32=n√n2；正确；二次根式章节巩固练习1．下列式子是二次根式的是（）A．√−7B．√83C．√a D．√x2+1【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．【解析】A、√−7无意义，故本选项不符合题意；B、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；选D．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a （a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a ≥0时，√a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【解析】A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；选D ． 3．代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4 B ．x ＞2 C ．x ≥﹣4且x ≠2 D ．x ＞﹣4且x ≠2【解析】由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0， 解得：x ≥﹣4且x ≠2，选C ．4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b【解析】√x −1与√x −1互为有理化因式，选C ．5．已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，选B ． 6．实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【解析】由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，选A ． 7．若x +1x =7，则√x 1√x 的值是（ ）A ．3B ．±3C ．√5D ．±√5【解析】∵x +1x =7，∴（√x +√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x x 0，∴√x x =3，选A ．8．我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【解析】(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．选B ．9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2两个小正方形，大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．选A ． 10．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（ ） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【解析】∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k4−1＜k ，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．选A ．11．在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个．【解析】最简二次根式有√3这1个，12．如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252． 【解析】∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5， ∴√5a −2x =√25−2x ，要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，13．若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ． 【解析】由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，14．若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可求x ＝±2，进一步求得y 的值，再代值计算即可求解． 15．已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x+√x y=52．【解析】∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√yx +√xy =−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ， ∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．16．若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m ≥2020，再利用绝对值的性质计算√m −2020+|2019﹣m |＝m 即可．【解析】∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ，√m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020， 17．计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27． 【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解析】（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4x y √xy ，当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．计算 （1）√18−√92√3+√63（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【解析】（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1； （2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6．【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x ，y 的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解析】∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b 的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a 和c 的值．（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a ，b ，c 为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可． 【解析】（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0，∴b ＝5∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0 ∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形； ∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32，∴a 2+b 2＝c 2 ∴此三角形是直角三角形． 此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．21．阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解析：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）√5+2√6；（2）√7−4√3．【解析】（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．22．材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由；（3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值． 【解析】（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5．理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5； （3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识方法题型总结
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式；2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：a a n n =2； ②奇数次方：a a a n n ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数①a 的倒数：a aa a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b（a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 ；方法4.利用“”外的因数化简“” ①a a aa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为 ※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算11．乘除法口算：（1）61 （3）8517÷= （5）312=（2）81= （4）322= （6）y x 5= （9）33= （11）326-= （8）y x xy 3212÷= （10）26= （12）b b2142= （15）)25(122)341(-÷⋅-= 12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)123+-+-． （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+(5) x xx x 3)1246(÷-(8)62332)(62332(+--+）（11）673)32272(-⋅++※(12) 21418122-+- 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 314．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .※16．23231+-与的关系是17．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳与题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式得主要性质:１、; 2、; ３、;ﻫ4、积得算术平方根得性质:;ﻫ5、商得算术平方根得性质:、6、若，则、知识点二、二次根式得运算1.二次根式得乘除运算（1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号、（2）注意每一步运算得算理;2.二次根式得加减运算先化简,再运算, ﻫ3.二次根式得混合运算（１）明确运算得顺序，即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里;ﻫ(2）整式、分式中得运算律、运算法则及乘法公式在二次根式得混合运算中也同样适用、一、利用二次根式得双重非负性来解题((a≥０),即一个非负数得算术平方根就是一个非负数。
）1、下列各式中一定就是二次根式得就是（）。
A、; B、；C、; D、2．等式＝1－x成立得条件就是_＿___＿_＿＿_＿_＿.3.当x_＿____＿__＿_＿时,二次根式有意义.4、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) (２) (３) ﻫ（4)若,则x得取值范围就是(5)若,则x得取值范围就是。
６、若有意义,则m能取得最小整数值就是 ;若就是一个正整数,则正整数ｍ得最小值就是＿_＿_____．7、当x为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值为。
８、若,则=_＿_____＿＿____;若,则９.设m、n满足,则＝。
10、若三角形得三边ａ、ｂ、c满足=0，则第三边c得取值范围就是１1、若，且时,则( ) Ａ、Ｂ、ﻩC、D、二.利用二次根式得性质＝|a|=(即一个数得平方得算术平方根等于这个数得绝对值)来解题1、已知=-x,则( ） A、ｘ≤0 B、x≤-3 C、x≥-3 D、-3≤x≤02、．已知ａ<ｂ，化简二次根式得正确结果就是（)A. B. C．Ｄ.３、若化简｜1-ｘ|－得结果为2x－５则（ ) Ａ、x为任意实数B、1≤x≤4 C、ｘ≥1 D、x≤4４、已知a,b，c为三角形得三边,则=５、当－3＜x<５时，化简= 。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。
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【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-；
B 、x ；
C 、12+x ；
D 、1-x
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2-x （2）1
21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x
（6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是
（7）若131
3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是
4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
6. 若20042005a a a -+-=，则2
2004a -=_____________．
7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3
29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=
-+⋅--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是
11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ）
A 、10<<m
B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来
解题
1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）
A.x ≤0
B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0
2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）
A ．ab a --
B ．ab a -
C ．ab a
D ．ab a -
3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则x 的取值范围是（）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、x ≥1
D 、x ≤4
4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）
A ．x y 2-
B ．y
C ．y x -2
D ．y -
7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ；
B 、1=a ；
C 、0=a 或1；
D 、1≤a
8、把2
1)2(---x x 根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ）。
A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--
x D 、x --2 三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =。
）
1.把下列各式化成最简二次根式：
（1）8
33 （2）224041-
（3）2
255
m （4）224y x x +
2.下列各式中哪些是同类二次根式：
（1）75，271，12，2，501，3，10
1； （2）,533c b a 323c b a ，
4c ab ，a bc a 3.计算下列各题：
（1）6)33(27-⋅ （2）4
9123
a a
b ⋅； （3）a
c c b b a 53654⋅⋅
（4）24
182 （5）－545321÷ （6）)(23522c ab c b a -÷
4.计算
（1）25051122183133++-- （2）)254414()3191(3323y y x x y y x x +-+
四．二次根式的分母有理化
（1）
323- （2）y x y x 3294--
1已知：132
-=x ，求12
+-x x 的值。
2..已知:x =
2323,2323-+=+-y ，求代数式3x 2－5xy +3y 2的值。
3.
211+＋321+＋431+＋ (100991)
4.已知21915-=+-+x x ，试求x x +++1519的值。
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值（ ）
A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间
2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值
4.若a ，b 为有理数，且8+18+8
1=a+b 2，则b a = . 六．二次根式的比较大小
1.比较下列各组里两式的大小；
（1）
322005
1和 （2）－5566-和。