二次根式课件(超经典)
合集下载
二次根式ppt
运算规则
总结词
掌握二次根式的运算规则是学习二次根式 的核心。
详细描述
二次根式的运算包括加减乘除以及化简求 值等，需要遵循二次根式的运算法则和运 算顺序，同时要掌握常见二次根式的值和 化简技巧。
实际应用
总结词
了解二次根式在实际生活中的应用有助于学 习二次根式。
详细描述
二次根式在现实生活中有着广泛的应用，如 求物体的高度、计算平均数等，通过这些实 例可以更好地理解二次根式的意义和作用。
性质
非负性
$\sqrt{a}≥0(a≥0)$
唯一性
当a>0时，$\sqrt{a}$有两个值；当a=0时，$\sqrt{a}$有一个值；当a<0时 ，$\sqrt{a}$无意义。
02
加减运算
定义
概念
二次根式的加减运算是指将同类二次根式进行合并、抵消或说成是合并同类项。
公式
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ = $\sqrt{a \pm b}$ （a≥0，b≥0）
解决实际问题
在解决某些实际问题时， 可以通过二次根式的加减 运算来得到最终的解决方 案或结果。
03
代数应用
根式定义
根式
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫 做a的n次方根(或a的n次方根记作√a)，其中a叫做被开方数， n叫做根指数。
二次根式
如果一个非负数a的平方等于b，那么a是b的二次方根(或说b 的二次方根是a)，记作√b，其中a叫做被开方数，叫做二次方 根。
二次根式ppt
2023-11-01
contents
目录
• 定义与性质 • 加减运算 • 代数应用 • 平方根变换 • 二次根式的起源与发展 • 二次根式的挑战与困难
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式课件(超经典)
加减乘除法
二次根式的加减法、乘法和除法有什么规则？在本节课中，我们将深入探讨 这些运算规则，并通过实例演示如何运用它们。
解二次方程
二次根式在解二次方程中有着重要的应用。我们将学习如何使用完全平方公 式和求根公式来解二次方程，并通过实例进行深入分析。
应用实践
二次根式不仅仅在数学中有应用，还广泛应用于几何、物理和其他学科。在本节课中，我们将探索这些应用领 域。
二次根式课件(超经典)
欢迎进入超经典的二次根式课件！本课程将深入讲解什么是二次根式以及二 次根式的定义和性质，帮助你轻松掌握这一重要数学概念。
引言
什么是二次根式？本节将介绍二次根式的概念和基本性质，？这节课将详细讲解如何合并同类项、分解因数和有理化 分母，并教你如何求解二次根式。
总结
在本次课程中，我们将回顾重点难点，探讨二次根式与其他学科的联系，并 进行动手练习，巩固所学知识。
参考资料
为了帮助你更好地理解二次根式，我们提供了一些优质的参考资料，包括书籍、网站、视频教程等。
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
二次根式课件
1、a≥0为限制条件
2、二次根式指的是某种式子的“外在形 态” 3、被开方数既可为一个数，也可为一个式子
1、 2是二次根式吗？ 2）呢？ （
2
2、由二次根式的意义，我们知 16为 二次根式，而 16 4，你认为4是二次 根式吗？
例
题
当x是怎样的实数时，下面式子在实 数范围内有意义？
（ ） x 3，（2） 5 x 1
当a为任意实数时，下列各式中哪些 为二次根式？
(1) a 10 , (2) a 2 , (3) a , (4) a 2 1 (5) (a 1) 2
二次根式的性质
a (a 0)
a 0时，a ___ 0; > a 0时，a ___ 0. =
a 0， 0) (a
（即 a表示一个非负数）
二次根式的性质
计算下列各式的值:
⑴
4 ⑵
2
81 ⑶
2
1 9
1 9
2
4
2
2
81
2
据计算出的结果,观察思考:你有什 么发现?并猜想 2
从中你能发现什么规律?
?, 2 ? 3
a
a a 0
计算
3 2 2 ,⑵ 2 3 ,⑶ a (a 0) ⑴ 5
解:1由x 3 0，得：x 3
当x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
2由5 x 0，得：x 5
当x 5时，式子 5 x在实数范围内有意义。
a为怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
(1) a , (2) a 5 , (3) a 3
三年制人教版代数第二册
二次根式的加法和减法PPT课件11张
课前反馈
如图，学校要砌一个正方形花坛，若两 个正方形的面积分别为27cm2、12cm2， 则两正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
4 27 4 12
以上是什么运算？ 如何计算？
学习目标
• 1、知道什么是同类二次根式，会辨别两 个根式是否是同类二次根式。
• 2、学会通过合并同类二次根式，进行二 次根式的加法ห้องสมุดไป่ตู้减法运算。
4- 2 2
• C、
D、
2、如果最简二次根式
的值是 2 。
可以合并，那么
• 3、计算
（1） 90 - 2 20 5 4
解
：
90 2
20 5
4
5
5
(2（) 24 1） 2 2 （ 1 6）
2
38
解：
( 24
1)2
2 (
1
6)
2 38
3 10 2 2 5 5 2 5 2 6 1 2 2 6 1 2 6
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
讨论
2 3?
仿照前一题，你能算出这个题吗？ 有什么发现？
类比 迁移 感悟
交流提升
• 1、下列计算正确的是（ C ）
• A、 3 3 - 3 2 B、 2 3 6
2 2 23 2
5
2
34
3 10 4 5 2 5 3 10 2 5
5 63 2 34
梳理巩固
1.几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开 方式相同，那么，这几个二次根式称为同类二次根式.
2、 二次根式的加减即为对同类二次根 式的合并。
如图，学校要砌一个正方形花坛，若两 个正方形的面积分别为27cm2、12cm2， 则两正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
4 27 4 12
以上是什么运算？ 如何计算？
学习目标
• 1、知道什么是同类二次根式，会辨别两 个根式是否是同类二次根式。
• 2、学会通过合并同类二次根式，进行二 次根式的加法ห้องสมุดไป่ตู้减法运算。
4- 2 2
• C、
D、
2、如果最简二次根式
的值是 2 。
可以合并，那么
• 3、计算
（1） 90 - 2 20 5 4
解
：
90 2
20 5
4
5
5
(2（) 24 1） 2 2 （ 1 6）
2
38
解：
( 24
1)2
2 (
1
6)
2 38
3 10 2 2 5 5 2 5 2 6 1 2 2 6 1 2 6
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
讨论
2 3?
仿照前一题，你能算出这个题吗？ 有什么发现？
类比 迁移 感悟
交流提升
• 1、下列计算正确的是（ C ）
• A、 3 3 - 3 2 B、 2 3 6
2 2 23 2
5
2
34
3 10 4 5 2 5 3 10 2 5
5 63 2 34
梳理巩固
1.几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开 方式相同，那么，这几个二次根式称为同类二次根式.
2、 二次根式的加减即为对同类二次根 式的合并。
《二次根式》PPT课件(第1课时)
当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根式． ∴ 5a 不一定是二次根式． (4) a ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．
(5)当x＝－3时，
x
1
3
2
无意义，∴
1
x 32 也无意义；
当x≠－3时，
x
1
32
＞0，∴
1
x 32
是二次根式．
∴
1 不一定是二次根式．
a2 1，⑤ 15 ，
A．1个
B .2个
C．3个
D．4个
2.下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a B. b2 1 C. 0
D. a b2
3.为要使二次根式 x2 2x 1 有意义，x应取 （ D ）
A. x>1
B. x<1
C. x=1
D. x=-1
4.下列结论正确的是( A )
A． 62 6 C. 162 16
(a＜0)
2.若 a b 0, 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 a和 b 都是非负数，
所以它们的值都为0.
两个非负数的和为0时， 这两个非负数都为0．
例2 若 A．1
x y 1 y 32 0, 则x－y的值为( C )
B．－1
C．7
D．－7
解析：因为 x y -1 和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 y 32 0, x y 1 0, x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y
知识点 3 二次根式 a 2 与 a2 的性质
1.小亮和小颖对二次根式“ a (a≥0)”分别有如下的观点.
你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明.
小亮的观点 因为 a 表示的是非 负数a的算术平方根，所 以，根据算术平方根的意 义，有 a ≥0.
(5)当x＝－3时，
x
1
3
2
无意义，∴
1
x 32 也无意义；
当x≠－3时，
x
1
32
＞0，∴
1
x 32
是二次根式．
∴
1 不一定是二次根式．
a2 1，⑤ 15 ，
A．1个
B .2个
C．3个
D．4个
2.下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a B. b2 1 C. 0
D. a b2
3.为要使二次根式 x2 2x 1 有意义，x应取 （ D ）
A. x>1
B. x<1
C. x=1
D. x=-1
4.下列结论正确的是( A )
A． 62 6 C. 162 16
(a＜0)
2.若 a b 0, 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 a和 b 都是非负数，
所以它们的值都为0.
两个非负数的和为0时， 这两个非负数都为0．
例2 若 A．1
x y 1 y 32 0, 则x－y的值为( C )
B．－1
C．7
D．－7
解析：因为 x y -1 和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 y 32 0, x y 1 0, x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y
知识点 3 二次根式 a 2 与 a2 的性质
1.小亮和小颖对二次根式“ a (a≥0)”分别有如下的观点.
你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明.
小亮的观点 因为 a 表示的是非 负数a的算术平方根，所 以，根据算术平方根的意 义，有 a ≥0.
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
4 4 4 4 4
1 = 1 4 3 a2
-
1
｛
4
2 a （a≥0） 1 3
3 -1 - 3 - 27
4
郑友军课堂
忽略二次根式有意义的条件
正解：原式= 1 4 3 2
1
1- 3
4
1
2
+
1 3
2
2
2
1 4 3 1- 4 3 1 3 1 1 2 1 4 3 4 3 -1 1 3
郑友军课堂
掌握二次根式有意义的条件
正解： ∵ a b 4＜0且ab 4＞0
a＜0且b＜0
原式 ab
b
2
ab
a
2
ab ab b a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab ab ab ab b a ab
-4 - 4 2 4
郑友军课堂
本节小结
y -2，求x 的值
1、本题含有两个未知数x和y，但是只有一
突破口
2、利用不等式组求解，得到1-2x=0即x=1/2 3、注意a-n=1/an
郑友军课堂
例2：丨a-3丨+（b-4）2+
c - 5 =0，判断
以a、b、c为三边的三角形的形状。
分析： 1、绝对值、偶数次方、二次根式都具有非负性 2、多个未知数、一个方程，观察其和等于0，考 虑使用“0+0=0型”的解题思路。得到a-3=0， b-4=0，c-5=0，从而a=3，b=4，c=5。 3、勾股定理逆定理的应用：32+42=52，即△为Rt△
意想不到的 二次根式
郑友军
戴氏教育五星级数学讲师
利用二次根式的双重非负性
前提
①
a中，被开方数a为非负数；
突破口
考题方向：多个未知数一个方程求解的题型
②
中， 本身为非负数 a a
考题方向：本小题常与“0+0=0型”结合使用
郑友军课堂
例1：y= 1 - 2x + 2x -1
分析： 个式子，不能按照常规求值。
① ②
a中，被开方数a为非负数；
中， 本身为非负数 a a
a2
｛
a （a≥0） -a（a≤0）
公式2： a * b = ab（隐含 a、b均非负） 限定 a、b为非负） ab = a * b （
郑友军课堂
课后作业：见教案《课后作业》
郑友军课堂
1
-
1
-2
郑友军课堂
掌握二次根式有意义的条件
a 例2，已知a b -4，ab 4，求 b b 的值 a
解：原式
a b a b b a b b a a b a
-2
ab ab 1 1 ab b a b a ab -4 ab 4 ab 4
郑友军课堂
忽略公式使用的条件！！！
公式1： a 2 =丨a丨=
｛
a （a≥0）
-a（a≤0）
备注：a可以为一切实数。
公式2： a * b = ab（隐含 a、b均非负） 限定 a、b为非负） ab = a * b （
郑友军课堂
例：1
分析：
1 3 24 3
1 1 3 2 4
+ 3
2 42 3
1、根号内含有根号→将根号内配成偶数次方 2、前后规律不一致→两两之间逐步进行通分
郑友军课堂
忽略二次根式有意义的条件
1 1 3 2 4 3
1 4
2
1 1 3 2 4 3
—
2
2
2 42 3
解：原式= 1 3 -
1- 3
4
1
2
+ 1 3
+
4
公式1：
1- 3 =丨a 丨= 2） 1- 3 1 3 -a （a≤0 = 1 3 1 - 3 - 1 3 1 3 + 1 3
4 4 4 4 4
1 = 1 4 3 a2
-
1
｛
4
2 a （a≥0） 1 3
3 -1 - 3 - 27
4
郑友军课堂
忽略二次根式有意义的条件
正解：原式= 1 4 3 2
1
1- 3
4
1
2
+
1 3
2
2
2
1 4 3 1- 4 3 1 3 1 1 2 1 4 3 4 3 -1 1 3
郑友军课堂
掌握二次根式有意义的条件
正解： ∵ a b 4＜0且ab 4＞0
a＜0且b＜0
原式 ab
b
2
ab
a
2
ab ab b a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab ab ab ab b a ab
-4 - 4 2 4
郑友军课堂
本节小结
y -2，求x 的值
1、本题含有两个未知数x和y，但是只有一
突破口
2、利用不等式组求解，得到1-2x=0即x=1/2 3、注意a-n=1/an
郑友军课堂
例2：丨a-3丨+（b-4）2+
c - 5 =0，判断
以a、b、c为三边的三角形的形状。
分析： 1、绝对值、偶数次方、二次根式都具有非负性 2、多个未知数、一个方程，观察其和等于0，考 虑使用“0+0=0型”的解题思路。得到a-3=0， b-4=0，c-5=0，从而a=3，b=4，c=5。 3、勾股定理逆定理的应用：32+42=52，即△为Rt△
意想不到的 二次根式
郑友军
戴氏教育五星级数学讲师
利用二次根式的双重非负性
前提
①
a中，被开方数a为非负数；
突破口
考题方向：多个未知数一个方程求解的题型
②
中， 本身为非负数 a a
考题方向：本小题常与“0+0=0型”结合使用
郑友军课堂
例1：y= 1 - 2x + 2x -1
分析： 个式子，不能按照常规求值。
① ②
a中，被开方数a为非负数；
中， 本身为非负数 a a
a2
｛
a （a≥0） -a（a≤0）
公式2： a * b = ab（隐含 a、b均非负） 限定 a、b为非负） ab = a * b （
郑友军课堂
课后作业：见教案《课后作业》
郑友军课堂
1
-
1
-2
郑友军课堂
掌握二次根式有意义的条件
a 例2，已知a b -4，ab 4，求 b b 的值 a
解：原式
a b a b b a b b a a b a
-2
ab ab 1 1 ab b a b a ab -4 ab 4 ab 4
郑友军课堂
忽略公式使用的条件！！！
公式1： a 2 =丨a丨=
｛
a （a≥0）
-a（a≤0）
备注：a可以为一切实数。
公式2： a * b = ab（隐含 a、b均非负） 限定 a、b为非负） ab = a * b （
郑友军课堂
例：1
分析：
1 3 24 3
1 1 3 2 4
+ 3
2 42 3
1、根号内含有根号→将根号内配成偶数次方 2、前后规律不一致→两两之间逐步进行通分
郑友军课堂
忽略二次根式有意义的条件
1 1 3 2 4 3
1 4
2
1 1 3 2 4 3
—
2
2
2 42 3
解：原式= 1 3 -
1- 3
4
1
2
+ 1 3
+
4
公式1：
1- 3 =丨a 丨= 2） 1- 3 1 3 -a （a≤0 = 1 3 1 - 3 - 1 3 1 3 + 1 3