2020年山东省高考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，x2-x＞0”的否定是： ∃x0＞1，x02-x0≤0． 故选：B． 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性 求函数的最值，是中档题．
13.答案：
解析：解：因为
，
易知 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以
．
故答案为： ．
求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
大值时，△PF1F2 的面积分别为 S1，S2，则 =（ ）
A. 4
B. 8
C. 2
D. 4
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12. 已知函数 f（x）=x2+2alnx+3，若∀x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），∃a∈[2，3]，
＜2m，则 m 的取值范围是（ ）
A. [-2，+∞）
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 C.
D.
8. 已知函数 f（x）= x+cos（ +x），x∈[ ， ]，则 f（x）的极大值点为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 f（x）=mln（x+1）+x2-mx 在（1，+∞）上不单调，则 m 的取值范围是（ ）
A. （4，+∞）
B. （-∞，4]
C. （-∞，0）
D. （0，+∞）
A.
B.
C.
D.
3. 若函数 f（x）=x2- ，则 f′（1）=（ ）
A. 1
4. 已知双曲线 C：
B. 2
C. 3
D. 4
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，焦距为 8，则 C 的
方程为（ ）
A. =1
B. =1
C.
=1
D. =1
5. 已知向量
，平面 α 的一个法向量
．若 AB∥α，则( )
解析：解：设 x1＞x2，由
＜2m，得 f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，
记 g（x）=f（x）+2mx，则 g（x）在[0，+∞）上单调递增， 故 g'（x）≥0 在[4，+∞）上恒成立，
即
在[4，+∞）上恒成立，整理得
在[4，+∞）上恒成立，
∵a∈[2，3]，∴函数
在[4，+∞）上单调递增，故有
2.答案：A
解析：解：椭圆点 =1，可得 a= ，b= ，c= ，
可得 e= = = ．
故选：A． 求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
3.答案：C
解析：解：∵f（x）=x2- ，∴f′（x）=2x+ ， 则 f′（1）=2+1=3． 故选：C． 求出原函数的导函数，取 x=1 得答案． 本题考查导数的计算，关键是熟记初等函数的求导公式，是基础题．
5.答案：C
解析：解：因为 AB α，所以 ，
所以 2+4y+3x=0， 故选：C． 根据空间向量的共线定理列方程组求出 x、y 的值． 本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．
6.答案：D
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解析：解：函数
，可得
，
函数
的图象在点（1，f（1））处的切线与直线 x-ey+2=0 平行，
2020 年山东省高考数学模拟试卷（3 月份）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 命题“∀x＞1，x2-x＞0”的否定是（ ）
A. ∃x0≤1，x02-x0＞0
B. ∃x0＞1，x02-x0≤0
C. ∀x＞1，x2-x≤0
D. ∀x≤1，x2-x＞0
2. 椭圆点
=1 的离心率为（ ）
解析：【分析】 本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是一道常规题． 求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可． 【解答】
解：f（x）= x+cos（ +x）= x-sinx，
则 f′（x）= -cosx，
令 f′（x）＞0，解得：- ＜x＜- 或 ＜x＜ ，
令 f′（x）＜0，解得：- ＜x＜ ， 故 f（x）在[- ，- ）递增，在（- ， ）递减，在（ ， ]递增，
21. 已知椭圆 C：
的离心率为 ，且经过点
．
（1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l：y=kx+m（k＞0，m2≠4）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若|AB|=4，试用 m 表示 k．
22. 已知函数 f(x)=xlnx+ ax3-ax2，a∈ ． （1）当 a=0 时，求 f(x)的单调区间； （2）若函数 g(x)= 存在两个极值点 x1，x2，求 g(x1)+g(x2)的取值范围．
-1＜d＜- ⇒-1＜d＜0，
∴“-1＜d＜0”是“
故选：B．
11.答案：A
”的必要不充分条件．
解析：解： • 取=
=PO2-c2．
∵双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，
∴1+ =4，即 b= a．
当 PO⊥MN 时，PO 最小，当 P 与 N 重合时 PO 最大．
当 PO⊥MN 时，由
，可得
，
则=
，
故选：A．
由•=
=PO2-c2．可得当 PO⊥MN 时，PO 最小，当 P 与 N 重合时 PO 最大．求
得面积 S1，S2，即可． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法 解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．
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12.答案：D
16.答案：
解析：【分析】 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题． 设 AA1=t，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法求出 t=2 ，从而求出平面 AB1D1 的法向量，利用向量法能求出直线 B1D 与平面 AB1D1 所成角的余弦值． 【解答】 解：设 AA1=t，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直 角坐标系，
，
∵∃a∈[2，3]，∴ 故选：D． 设 x1＞x2，把
，即
．
＜2m 转化为 f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，记 g（x）=f（x）+2mx，
则 g（x）在[0，+∞）上单调递增，故 g'（x）≥0 在[4，+∞）上恒成立，转化为
在[4，+∞）上恒成立，求出函数
在[4，+∞）上的最大值即可求得 m 的范围．
到平面 AB1D1 的距离为 ，直线 B1D 与平面 AB1D1 所成角的余弦值为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点，
AB=2，AA1=4．
（1）若 =x +y +z ，求 x+y+z；
4.答案：D
解析：解：双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则 a=b，
由 2c=8，可得 c=4 由 a2+b2=c2=16，可得 a2=b2=8， 故选：D．
根据双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则 a=b，再根据 c=4，
即可求出 a2=b2=8． 本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．
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19. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC⊥AB，AC=AB=4， AA1=8，点 E，F 分别为 CA1，AB 的中点． （1）求异面直线 EF 与 A1B 所成角的正弦值； （2）求二面角 A-B1F-E 的余弦值．
20. 设函数 f（x）=e2x-a（x+1）． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）＞0 对 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
（2）以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，写出 A1，C，D1，E 的坐标，并求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值．
18. 已知动圆 C 过定点 F（2，0），且与直线 x=-2 相切，圆心 C 的轨迹为 E， （1）求 E 的轨迹方程； （2）若直线 l 交 E 与 P，Q 两点，且线段 PQ 的中心点坐标（1，1），求|PQ|．
A. x＝6，y＝2
B. x＝2，y＝6
C. 3x＋4y＋2＝0 D. 4x＋3y＋2＝0
6. 已知函数
的图象在点（1，f（1））处的切线与直线 x-ey+2=0 平行，则
a=（ ）
A. 1
B. -e
C. e
D. -1
7. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 = ， = ， = ，则 =（ ）
A. +
13. 函数
的最小值为______．
14. 直线 的一个方向向量为
，直线 的一个方向向量为
，
则 与 的夹角为_________． 15. 过焦点为 F 的抛物线 y2=12x 上一点 M 向其准线作垂线，垂足为 N，若|NF|=10，则
2020年3月普通高考数学(山东卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年3月普通高考（山东卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|414}A x x =-≤+≤，{|211}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 A ．(,3)-∞- B ．(,3]-∞-C ．[3,)-+∞D ．(3,)-+∞【答案】C【解析】{}|414{|53}A x x A x x =-≤+≤==-≤≤，当,211,2B m m m φ=+>->-时，满足条件；当,211,2B m m m φ≠+≤-≤-时，215343-213m m m m +≥-⎧∴-≤≤∴-≤≤⎨-≤⎩； 综上-3m ≥，选C.2．复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．三个数220.8,,log 0.8a b c ===之间的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为200.81<<，所以01a <<<<，所以b 1<<22log 0.8log 10<=，所以0c <.故c a b <<.故选D4．若点(),P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点(),P x y 的轨迹图象大致是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 由1ln1x y =-，可化简得11x e y -=，即11x y e-=，当1x =时，1y =，所以排除,C D ；令2x =时，则1y e=±，所以排除A ，故选B ． 5．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得5分，否则得0分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的2倍小于甲解题正确的个数的3倍，则这四人测试总得分数最少为 A ．150 B ．160C ．170D ．180【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为,,,x y z m ，则x y z m <<<且23m x <， 若总分最少，则,,,x y z m 为相邻整数，当,,,x y z m 分别取0,1,2,3，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取1,2,3,4，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取2,3,4,5，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取3,4,5,6，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取4,5,6,7，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取5,6,7,8，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取6,7,8,9，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取7,8,9,10，满足23m x <，∴四人测试总得分数最少为 ()789+105=170++⨯，故选C.6．设函数()sin cos f x x x =-，若对于任意的x ∈R ，都有()()2f x f x θ-=，则sin(2)3πθ-=A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】()sin cos ,4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由()()2,f x f x θ-=得x =θ是函数f (x )的对称轴，得1,.42k k Z πθππ-=+∈所以,.34k k Z θππ=+∈ 31sin 2sin 2cos .32332k πππθππ⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 A ．甲 B ．乙C ．丁D ．戊【答案】C【解析】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a 、b 、c 、d 、e ，则a +b ＝120，b +c ＝220，c +d ＝160，d +e ＝140，a +e ＝200，解得a ＝60，b ＝60，c ＝160，d ＝0，e ＝140， 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选C ．8．已知()0,F c 为双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点，若圆F ：()222x y c a +-=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a，则Γ的离心率为A B C D 【答案】A【解析】双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为0ax by -=，圆心(0,)F c 到直线0ax by -=b =，圆F 上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a ，则与渐近线平行且与渐近线距离为23a 的直线l 与圆F 相切，圆心到切线l 的距离为211,,333b b a a b a a +===，3e ∴==.故选:A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
山东省2020年高考数学模拟考试题与答案
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案按珈密级苇项管理*启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学asw 项：1. 答卷前，考生务必将口己的姓名、考生号等填遞在答题卡和试卷指定位匿匕工回答选择题时，选岀每小题答案屁用铅抠把答题R上对应题冃的答案折号涂熾如磁动,用橡皮掠干净后，再选涂苴他答案标号*回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
另在本试卷上无效，生考试结束存*将本试卷和答題卡…井交回。
—、单项选择题：本趣共$小舐每小題§分・共豹分。
在每小题给出的四个选琐中，只有一项是符合髒目要求的“1, 迎集合/訂（工』）ix+?=2｝, 则*n七A. ｛（ij）｝氐｛（一签4）｝ C HM）J-2f4）｝6 02. 已知◎牛bi⑷b左R）是上二的共扳复数・则a^b =1 +1A- -1 B.-丄C- ；D・ 12 23* Bt向fi4-（.1,1）t A = c»（2,!）> 且（■-几血）丄―则丄“A. 3 氐2 G -2-34. 幵式中『抽系数足xA.-210B. -12QC. 120D. 2105+已知三按锥$_仙C中，ZSAB = ZABC= y * 5^-4• SC = 1J\3. XB = 2,5C = 6, 则三棱锥S 亠ABC的体积是A. 4B. 6 G 4巧D+ M6. 己知点丄为曲纯y二工+毀工:>0）上前动点，月为圆2F +/=!上的动点’则皿鋼X的最小值是九3 B•斗G迈 D. 4^27, 设命題戸所有正方形都是平行叫边母*则「卩为d所宿疋方形罰不長平行四边形B-有的平行四边底不是正方舷C”有的iE方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边彫不是平行四边形数学试题第1页：（共5贡）数学试題第2页（共5页〉数学试題第2页（共5页〉8. 若>1 且 MC F ・则4. log 」、1隅疋、teg 評 C. log f c> lo£fl 5> lo 空 a二、多項远择题*本题共4」卜駆•毎小题5^-共20分・存毎小额给岀的选项中、右 多项精合倾目蓉求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选措的得0分“ 9. 下国为茱地桜2006年〜2018年地方財政预算内收入、城乡居民储齧年未余额折线2财政预篇内收入*城乡居民储蓄年朮余额肉呈増怅趋势 R.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 赃政预畀内收入年平均增长虽局于城乡居民储蔷年末余额年平均增机帚 D, 城乡居艮储蓄年末余鈿与财政预算内收入的差報逐年增大w.已知艰曲线＜?过点Q 品且渐近钱为丿=±¥厂则下列结论正确的是A, C 的方程为■- / -I B ・0的离心翠为J5 C ・曲线经过C 的一于焦点 D.直线"逅厂1“与C 有两个公共点11正方陣」肌也GO 的梭长为1・E , F 、（?分别为5C, CC 「1?鸟的中点•则扎直线与直线曲垂直 B.直^Afi 与平面*防平行C 平面/EF 截正方体所得的載画面积为? D.点C?与点石到平而*EF 曲聊离相諄B- log"〉k 唱』a lug/ D, log/A 】0£ 占 > log/城乡尿民储雷叶朿 ♦余额C 百亿元】 亠地方财政预算内 收入f 百亿元）根据该折线I ］可Sb 该地区2006年-2018年\2.函数/(巧的定义域为K, fi7(^ + 1) f(x^2)都为奇函数，则A. 奇函数氐/V)为周期雷数C /(x + 3)为奇函数 D. /(I +4)X J®^I数三填空駆本题共4小题、每小题3分，共20分。
2020年山东省日照市五莲一中实验班高考数学(3月份)模拟测试试卷 (解析版)
2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题（共8小题）1．集合，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[0，1]C．（0，2]D．[﹣1，0]2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（）A．B．C．D．6．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．7．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点F1′在以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．38．已知△ABC为等边三角形，动点P在以BC为直径的圆上，若＝λ+μ，则λ+2μ的最大值为（）A．B．1+C．D．2+二、多项选择题（共4小题）9．已知a＞b≥2，则（）A．b2＜3b﹣a B．a3+b3＞a2b+ab2C．ab＞a+b D．10．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则△ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．线段BM的长是定值B．存在某个位置，使DE⊥A1CC．点M的运动轨迹是一个圆D．存在某个位置，使MB⊥平面A1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是（）A．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C．曲线C围成区域的面积大于4πD．方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＞0）表示的曲线C在第一象限和第三象限12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，且f（x）在（x0，x0+1）上有最小值，无最大值．则（）A．B．若x0＝0，则C．f（x）的最小正周期为3D．f（x）在（0，2019）上的零点个数最少为1346个三、填空题13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）14．已知函数f（x）＝x+2cos x+λ，在区间上任取三个数x1，x2，x3，均存在以f （x1），f（x2），f（x3）为边长的三角形，则λ的取值范围是．15．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为1，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝4|BF|，则p＝，三角形CDF的面积为．16．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB＝2，，PB与底面ABC所成的角的正弦值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且．（1）求sin A；（2）若，求AB的长．18．在①a n+12﹣a n2＝3（a n＞0），②a n2﹣a n a n﹣1﹣3a n﹣1﹣9＝0，③S n＝n2﹣2n+2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N 是BC上的动点（与点B，C不重合）．（I）求证：平面EMN⊥平面PBC；（II）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．20．沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i℃21232527293235平均产卵数y i个711212466115325x i＝192，y i＝569，x i y i＝18542，x i2＝5414，z i＝25.2848，x i z i＝733.7079．（其中z i＝lny，＝z i）．（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝ce dx（其中e＝2.718…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p（0＜p＜1）．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f（p），求f（p）的最大值，并求出相应的概率p．②当f（p）取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式＝，＝﹣．21．已知圆O：x2+y2＝4，定点A（1，0），P为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与C交于E，F两点，已知点D（2，0），直线x＝x0分别与直线DE，DF交于S，T两点．线段ST的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣cos x，其中a∈R．（1）求证：当a≤﹣1时，f（x）无极值点；（2）若函数g（x）＝f（x）+1n（x+1），是否存在a，使得g（x）在x＝0处取得极小值？并说明理由．参考答案一、解答题（共8小题，满分40分）1．集合，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[0，1]C．（0，2]D．[﹣1，0]解：∵（x+1）（x﹣2）≤0，∴﹣1≤x≤2，∴A＝[﹣1，2]，∵＜2，∴0≤x＜4，∴B＝[0，4），∴A∩B＝[0，2]．故选：A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣1解：复数z＝＝＝+i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝﹣1．故选：D．3．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，设公差为d；则（a p+a q）﹣（a k+a1）＝[a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d]﹣[a1+（k﹣1）d+a1]＝[（p+q）﹣（k+1）]d；若已知“p+q＞k+l”，当d＞0时，有a p+a q＞a k+a l；当d≤0时，有a p+a q≤a k+a l；∴“p+q＞k+l”推不出“a p+a q＞a k+a l”；若已知“a p+a q＞a k+a l”，当d＞0时，有“p+q＞k+l”；当d＜0时，有“p+q＜k+l”；∴a p+a q＞a k+a l”，推不出“p+q＞k+l”；∴“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的既不充分也不必要条件；故选：D．4．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（）A．B．C．D．解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m的等差数列，设“男”分的橘子个数为a1，其前n项和为S n，则S5＝5a1+＝80，即a1+2m＝16，且a1，m均为正整数，若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，若a1＝10，m＝3，此时a5＝22，若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，∴“公”恰好分得30个橘子的概率为．故选：B．6．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．解：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝．∴cos144°＝．则sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°＝．故选：C．7．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点F1′在以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．3解：如图，根据对称性可得OF1＝OF1′＝OF2＝F2F1′＝c，∴，，所以渐近线的倾斜角为600，，则双曲线C的离心率为．故选：C．8．已知△ABC为等边三角形，动点P在以BC为直径的圆上，若＝λ+μ，则λ+2μ的最大值为（）A．B．1+C．D．2+解：设△ABC的边长为2，不妨以线段BC的中点O为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系xOy，则点、B（﹣1，0）、C（1，0），以线段BC为直径的圆的方程为x2+y2＝1，设点P（cosθ，sinθ），则，，，由于，则，解得，所以，＝＝，因此，λ+2μ的最大值为，故选：C．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．已知a＞b≥2，则（）A．b2＜3b﹣a B．a3+b3＞a2b+ab2C．ab＞a+b D．解：a＞b≥2，A错误，比如a＝3，b＝2，9＞3不成立；B，a3+b3﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）＞0成立；C．由ab﹣a﹣b＝a（b﹣1）﹣b＝（b﹣1）（a﹣）＝（b﹣1）[a﹣（1+）]＞0，故C成立，D.，故D不成立，10．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则△ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．线段BM的长是定值B．存在某个位置，使DE⊥A1CC．点M的运动轨迹是一个圆D．存在某个位置，使MB⊥平面A1DE解：取CD的中点F，连接BF，MF，∵M，F分别为A1C、CD中点，∴MF∥A1D，∵A1D⊂平面A1DE，MF⊄平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，∵DF∥BE且DF＝BE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BF∥DE，∵DE⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE，∴BF∥平面A1DE，又BF∩MF＝F，BF、MF⊂平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM⊂平面BMF，∴BM∥平面A1DE，即D错误．设AB＝2AD＝2a，则MF＝A1D＝a，BF＝DE＝，∠A1DE＝∠MFB＝45°，∴BM＝，即BM为定值，所以A正确；∴点M的轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，即C正确；∵DE＝CE＝，CD＝AB＝2a，∴DE2+CE2＝CD2，∴DE⊥CE，设DE⊥A1C，∵A1C、CE⊂平面A1CE，A1C∩CE＝C，∴DE⊥平面A1CE，∵A1E⊂平面A1CE，∴DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，所以假设不成立，即B错误．11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是（）A．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C．曲线C围成区域的面积大于4πD．方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＞0）表示的曲线C在第一象限和第三象限解：把代入曲线C，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于A选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把（1，1），（1，2）和（2，1）代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点（0，0），即A错误；对于B选项，因为x2+y2≥2xy（x＞0，y＞0），所以，所以（x2+y2）3＝16x2y2，所以x2+y2≤4，即B正确；对于C选项，以O为圆点，2为半径的圆O的面积为4π，显然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，即C错误；对于D选项，因为xy＞0，所以x与y同号，仅限与第一和三象限，即D正确．故选：BD．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，且f（x）在（x0，x0+1）上有最小值，无最大值．则（）A．B．若x0＝0，则C．f（x）的最小正周期为3D．f（x）在（0，2019）上的零点个数最少为1346个解：由题意得，f（x）在（x0，x0+1）的区间中点处取得最小值，即，所以A正确；因为，且f（x）在（x0，x0+1）上有最小值，无最大值，所以不妨令，，两式相减得，，所以，即B错误，C正确；因为T＝3，所以函数f（x）在区间（0，2019）上的长度恰好为673个周期，当f（0）＝0即φ＝kπ时，f（x）在区间（0，2019）上的零点个数至少为673×2﹣1＝1345个，即D错误．故选：AC．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分. 13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有660种．（用数字作答）解：根据题意，将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则甲、乙、丙、丁四个小区分配人数依次为3，1，1，1或2，2，1，1，若甲小区分3人，甲小区有C63种情况，剩下的3个小区有A33种情况，此时有C63A33＝120种分配方法，若甲小区分2人，甲小区有C63种情况，剩下的3个小区有C42A33种情况，此时有C62C42A33＝540种分配方法，则有120+540＝660种不同的分配方法；故答案为：660．14．已知函数f（x）＝x+2cos x+λ，在区间上任取三个数x1，x2，x3，均存在以f （x1），f（x2），f（x3）为边长的三角形，则λ的取值范围是．解：由f（x）＝x+2cos x+λ得f′（x）＝1﹣2sin x，令f′（x）＝0，解得，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，故，，依题意，，且，即，解得．故答案为：．15．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为1，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝4|BF|，则p＝2，三角形CDF的面积为5．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），所以＝1，所以P＝2；如图所示，过点B作BM∥l，交直线AC于点M，由抛物线的定义知|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，且|AF|＝4|BF|，所以|AM|＝3|BF|，|AB|＝5|BF|，所以|AM|＝|AB|，BM＝4|BF|所以＝60°，所以直线AB的斜率为k＝tan∠BAM＝；设直线AB的方程为y＝（x﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y整理得4x2﹣17x+4＝0；所以x1+x2＝；所以|AB|＝x1+x2+p＝，所以|CD|＝|AB|sin∠BAM＝×＝5；所以△CDF的面积为×5×2＝5，故答案为：2；5．16．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB＝2，，PB与底面ABC所成的角的正弦值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为．解：如图所示，取AC的中点D，连接BD，PD．∵BC＝AC，PA＝PC，∴AC⊥BD，AC⊥PD．∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面ABC，∴平面PBD⊥平面ABC，∴∠PBD为PB与底面ABC所成的角，其正弦值为．AC＝AB＝2．PD＝＝，在△PBD中，设PB＝x，由余弦定理可得：cos∠PBD＝±＝，解得x＝3或（舍去，不满足四点共球）．若PB＝3，取PB的中点O，连接OD，则OD2＝+﹣2××＝，解得OD＝．∴OD2+DB2＝OB2，∴OD⊥DB．可得点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，其外接球的半径r＝，体积V＝×＝．故答案为：．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且．（1）求sin A；（2）若，求AB的长．解：（1）设∠CBD＝θ，且tanθ＝，所以θ∈（0，），所以sinθ＝cosθ，sin2θ+cos2θ＝cos2θ+cos2θ＝cos2θ＝1，cosθ＝，sinθ＝；则sin∠ABC＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，∴cos∠ABC＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝，sin A＝sin[π﹣（+2θ）]＝sin（+2θ）＝sin2θ+cos2θ＝×（）＝；（2）由正弦定理，得＝，∴BC＝AC＝AC；①又＝||•||＝28，∴||•||＝28，②由①②两式解得AC＝4，又由＝得：＝，解得AB＝5．18．在①a n+12﹣a n2＝3（a n＞0），②a n2﹣a n a n﹣1﹣3a n﹣1﹣9＝0，③S n＝n2﹣2n+2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，①．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，a12＝1，a n+12﹣a n2＝3，故数列{a n2}是以1为首项，3为公差的等差数列．∴a n2＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，n∈N*．∵a n＞0，∴a n＝，n∈N*．（2）由题意，假设对大于1的自然数n，存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．则a1•a m＝a n2，即a m＝3n﹣2．∵a m＝，∴＝3n﹣2，整理，得m＝＝3n2﹣4n+2．构造数列{b n}：令b n＝3n2﹣4n+2，n＞1且n∈N*．∵b n+1﹣b n＝3（n+1）2﹣4（n+1）+2﹣（3n2﹣4n+2）＝6n﹣1，当n＞1且n∈N*时，6n﹣1＞0，即b n+1＞b n．∴数列{b n}是单调递增数列．当n＝2时，数列{b n}取最小值b2＝6．∴对大于1的自然数n，存在大于2的自然数m，且m的最小值为6．19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N 是BC上的动点（与点B，C不重合）．（I）求证：平面EMN⊥平面PBC；（II）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．解：（I）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE＝EB＝2，设N（2，m，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C （2，2，0），M（1，0，1），，，，设平面EMN的法向量为，由，得，平面BEN的法向量为，故|cos＜＞|＝||＝，得m＝1，故存在N为BC的中点．20．沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i℃21232527293235平均产卵数y i个711212466115325x i＝192，y i＝569，x i y i＝18542，x i2＝5414，z i＝25.2848，x i z i＝733.7079．（其中z i＝lny，＝z i）．（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝ce dx（其中e＝2.718…自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p（0＜p＜1）．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f（p），求f（p）的最大值，并求出相应的概率p．②当f（p）取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式＝，＝﹣．解：（1）根据散点图可以判断，y＝ce dx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，对y＝ce dx两边取自然对数得，lny＝lnc+dx，令z＝lny，a＝lnc，b＝d，则z＝a+bx，因为，，所以z关于x的回归方程为，所以y关于x的回归方程为；（2）①由得，又0＜p＜1，令f′（p）＞0，解得，所以f（p）在上单调递增，在上单调递减，所以f（p）有唯一的极大值为，也是最大值，所以当时，；②由①知，当f（p）取得最大值时，，所以，所以X的数学期望为，方差为．21．已知圆O：x2+y2＝4，定点A（1，0），P为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与C交于E，F两点，已知点D（2，0），直线x＝x0分别与直线DE，DF交于S，T两点．线段ST的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．解：（1）设PF的中点为S，切点为T，连结OS，ST，则|OS|+|ST|＝|OT|＝2，取F关于y轴的对称点F′，连结F′P，则|FP|+|F′P|＝2（|OS|+|SF|）＝4＞|FF′|＝2，∴点P的轨迹是以F，F′为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为+＝1，（a＞b＞0），则a＝2，c＝1，b＝＝，∴曲线C的方程为＝1．（2）由题意知，直线l的斜率恒大于0，且直线l不过点A，其中k AQ＝，设直线l的方程为x＝ty+（2﹣），则t∈（0，）∪（，+∞）．设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），直线DE的方程为y＝，故y S＝（x0﹣2），同理y T＝（x0﹣2），∴2y0＝y S+y T＝（x0﹣2）+（x0﹣2），即＝＝＝．（*）联立，化简，得：（3t2+4）y2+（12t﹣6）y+9t2﹣12＝0，代入（*），得：＝＝＝﹣，∴，∴点M都在定直线＝0，（＝1）上．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣cos x，其中a∈R．（1）求证：当a≤﹣1时，f（x）无极值点；（2）若函数g（x）＝f（x）+1n（x+1），是否存在a，使得g（x）在x＝0处取得极小值？并说明理由．【解答】（1）证明：f′（x）＝e x﹣a+sin x，显然e x＞0，﹣1≤sin x≤1，当a≤﹣1时，e x﹣a+sin x＞0﹣a﹣1≥0，即f′（x）＞0，∴函数f（x）在其定义域上为增函数，故f（x）无极值点；（2）解：g（x）＝e x﹣ax﹣cos x+ln（x+1），，显然x＝0是g（x）的极小值点的必要条件为g′（0）＝2﹣a＝0，即a＝2，此时，显然当时，，当时，，故，令，则，故m（x）是减函数，故当x＜0时，m（x）＞m（0）＝1，即，令，则，当﹣1＜x＜0时，，故h（x）在（﹣1，0）单调递增，故当﹣1＜x＜0时，h（x）＜h（0）＝0，即，故当时，，因此，当a＝2时，x＝0是g（x）的极小值点，即充分性也成立．综上，存在a＝2，使得g（x）在x＝0处取得极小值．。
2020年山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|ln x＜1}，B={-2，-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A. {1}B. {1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {-2}2.已知复数z满足（z-i）i=2+i，则=（）A. B. C. D.3.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40%；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 44.已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值与最小值之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 105.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A. B. C. D.6.函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x+1）|+g（x+1），则下列结论中正确的是（）A. h（x）的图象关于（1，0）对称B. h（x）的图象关于（-1，0）对称C. h（x）的图象关于x=1对称D. h（x）的图象关于x=-1对称7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将f（x）=2019x2018+2018x2017+2017x2016+...+2x+1化为f（x）=（...（（2019x+2018x）x+2017）x+ (2)x+1再进行运算，在计算f（x0）的值时，设计了如图程序框图，则在◇和□中可分别填入（）A. n≥2和S=Sx0+nB. n≥2和S=Sx0+n-1C. n≥1和S=Sx0+nD. n≥1和S=Sx0+n-18.在△ABC中，B=45°，D是BC边上一点，AD=，AC=4，DC=3，则AB的长为（）A. B. C. D.9.若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y-2）2=2所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. D.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（）A. 2B.C.D. 111.若函数f（x）=x2-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（）A. -B. -C. -D. -二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足：||=3，||=4，||=，则||=______．14.已知函数f（x）=log a（x-1）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，若点A在角α的终边上，则cos2α-sin2α=______．15.在的展开式中，x3项的系数为______．16.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，AF⊥BF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足．（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，点E是CD的中点，将△BEC沿BE折起到△BEC′的位置，使二面角C′-BE-C是直二面角．（1）证明：BC′⊥平面AEC’；（2）求二面角C′-AB-E的余弦值．19.已知椭圆C：的离心率为，且与抛物线y2=x交于M，N两点，△OMN（O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）F1，F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如表：月薪（百万）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数203644504010将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业B专业20110合计（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X（单位：百元）近似地服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）．若X落在区间（μ-2σ，μ+2σ）的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导．①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z及对应的概率分别为：赠送话费Z（单位：元）60120180概率则李阳预期获得的话费为多少元？附：，其中，n=a+b+c+d．21.已知函数．（1）若m∈（-1，1），求函数f（x）的单调区间；（2）若m∈，则当x∈[0，2m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在不等式y＞x所表示的平面区域内，请写出判断过程．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线与圆C的交点为O，M，与直线l的交点为N，求|OM|•|ON|的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|2x-3|+2．（1）解不等式g（x）＜5；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|0＜x＜e}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：A解析：解：复数z满足（z-i）i=2+i，则z-i==1-2i，∴z=1-i，∴==．故选：A．根据复数的定义与运算性质，计算即可．本题考查了复数的定义与计算问题，是基础题．3.答案：C解析：解：对于①，除2012年外，每年市场规模量逐年增加，即①错误，对于②，增长最快的一年为2013～2014，且增量为6.7（十亿美元），即②正确，对于③，这8年的增长率约为40%，因为45.3×（1+40%）=63.42≈63.5，即③正确，对于④，分析数据可得：2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即④正确，即②③④正确，故选：C．先对图表数据进行分析再结合频率分布折线图逐一判断即可得解．本题考查了对图表数据的分析及频率分布折线图，属中档题．4.答案：C解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知：A（0，2），B（2，2），且A，B分别为目标函数z=2x+y取得最大值和最小值的最优解，则z min=2×0+2=2，z max=2×2+2=6，∴z=2x+y的最大值和最小值之和等于8．故选：C．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标分别代入目标函数求得最小值和最大值，则z=2x+y的最大值和最小值之和可求．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m=1×3+1×2=5．∴这个两位数是偶数的概率为p==．故选：D．基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m=1×3+1×2=5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.答案：D解析：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x+1）|+g（x+1），设t=x+1，则x=t-1，则h（x）=|f（x+1）|+g（x+1）等价为h（t-1）=|f（t）|+g（t），则h（-t-1）=|f（-t）|+g（-t）=|-f（t）|+g（t）=|f（t）|+g（t）=h（t-1，则h（x）共有x=-1对称，故选：D．利用换元法结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用换元法结合对称性的定义是解决本题的关键．7.答案：C解析：解：模拟程序的运行，由题意，n为x的次数，初值为2018，终值为0，步长值为-1，即当n≥1时继续循环，否则退出循环，故处可填n≥1？．结合已知函数表达式及循环语句可得：处应填S=Sx0+n．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：D解析：解：△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC==，∴sin∠ADB=sin∠ADC=，△ABD中，由正弦定理可得，，∴AB==2．故选：D．在△ADC中，先由余弦定理求cos∠ADC，然后结合诱导公式及同角基本关系求sin∠ADB=sin∠ADC，△ABD中，由正弦定理可得，，代入可求．本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档试题．9.答案：B解析：解：双曲线的渐近线方程为y=，由对称性，不妨取y=，即bx-ay=0．圆x2+（y-2）2=2的圆心坐标为（0，2），半径为，则圆心到准线的距离d=，∴，解得e=．故选：B．写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．10.答案：A解析：解：首先把三视图转换为几何体，该几何体为：底面为半圆的圆锥体的一半，所以：该圆锥的母线长为：，截面扇形面积为：S=，当时，界面的最大值为．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.答案：C解析：解：函数f（x）=x2-ke x在（0，+∞）上单调递减，则：f′（x）=2x-ke x在（0，+∞）上有f′（x）≤0恒成立，即：k≥在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，则求g（x）=在（0，+∞）上的最大值即可．g′（x）=；可知在x=1时，g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=∴在（0，+∞）上，k≥，即k≥，则k的取值范围为：k≥，故选：C．利用基本初等函数的性质和函数的导数，对选项逐项判断即可本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于中档题目．12.答案：B解析：解：因为0＜x＜，∴，又因为方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），∴，∴，∴，因为，∴0＜x1＜，∴，∴由，得，∴，故选：B．由已知可得，结合x1＜x2求出x1的范围，再由求解即可．本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．13.答案：3解析：解：因为||=3，||=4，||=，由||2+||2=2（||2+||2），所以||2=2（9+16）-41=9，所以||=3，故答案为：3．由向量模的运算得：由||2+||2=2（||2+||2），所以||2=2（9+16）-41=9，所以||=3，得解．本题考查了向量模的运算，属简单题．14.答案：解析：解：令x-1=1，求得x=2，y=-1，故点A的坐标为（2，-1）．再根据任意角的三角函数的定义，可得cosα==，sinα==-，可得：cos2α-sin2α=2cos2α-1-sin2α=，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα，sinα的值，再利用二倍角公式求得cos2α-sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．15.答案：40解析：解：的展开式中，x3项的系数为+=40，故答案为：40．由二项式定理得：展开式中x3项的系数为+=40，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．16.答案：解析：解：设|AF|=m，|BF|=n，AF⊥BF，可得|AB|=，由抛物线的定义可得|MN|==，由m2+n2≥2mn，即为2（m2+n2）≥2mn+m2+n2=（m+n）2，当且仅当m=n取得等号，可得≥，即有=≥，当且仅当m=n取得等号，则的最小值为，故答案为：．设|AF|=m，|BF|=n，运用勾股定理和抛物线的定义以及梯形的中位线定理，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义和性质，考查梯形的中位线定理，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：（1）数列{a n}满足．可得a n+1+2n+1=a n+2n+2，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列；（2）a n+2n=3+2（n-1）=2n+1，可得a n=2n+1-2n，S n=（3+5+…+2n+1）-（2+4+8+…+2n）=n（2n+4）-=n2+2n-2n+1+2．解析：（1）在等式的两端同时加2n+1，运用等差数列的定义，即可得到结论；（2）求得a n=2n+1-2n，再由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题．18.答案：证明：（1）∵AB=2AD=2，点E是CD的中点，∴△ADE，△BCE都是等腰直角三角形，∴∠AEB=90°，即AE⊥BE，又∵二面角C′-BE-C是直二面角，即平面C′EB⊥平面ABE，平面C′EB∩平面ABE=BE，AE⊂平面ABE，∴AE⊥平面C′EB，∵BC′⊂平面C′BE，∴BC′⊥AE，∵BC′⊥EC′，EC′⊂平面AEC′，AE∩EC′=E，∴BC′⊥平面AEC′．解：（2）如图，取BE的中点O，连结C′O，过O点作OF⊥AB，连结C′F，∵C′B=C′E，∴C′O⊥BE，∵平面C′EB⊥平面ABE，平面C′EB∩平面ABE=BE，C′O⊂平面C′EB，∴平面C′O⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴C′O⊥AB，∵OF⊥AB，C′O∩OF=O，∴AB⊥平面C′FO，∴C′F⊥AB，∴∠C′FO即为二面角C′-AB-E的平面角，在Rt△C′BE中，C′E=C′B=1，∴BE=，∴C′O=，又OF∥BC，O为BE的中点，∴OF=，∴C′F==，∴cos∠C′FO===，∴二面角C′-AB-E的余弦值为．解析：（1）推导出AE⊥BE，AE⊥平面C′EB，BC′⊥AE，BC′⊥EC′，由此能证明BC′⊥平面AEC′．（2）取BE的中点O，连结C′O，过O点作OF⊥AB，连结C′F，则C′O⊥BE，从而平面C′O⊥平面ABE，进而C′O⊥AB，由OF⊥AB，得AB⊥平面C′FO，C′F⊥AB，进而∠C′FO即为二面角C′-AB-E的平面角，由此能求出二面角C′-AB-E的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：（1）椭圆C：与抛物线y2=x交于M，N两点，可设M（x，），N（x，-），∵△OMN的面积为，∴，解得x=2，∴M（2，），N（2，-），由已知得，解得，b=c=2．∴椭圆C的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨取A（），B（），C（），故；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．△=64k4-4（1+2k2）（8k2-8）=32（k2+1）＞0．．|AB|===．点O到直线kx-y-2k=0的距离d=，∵O是线段AC的中点，∴点C到直线AB的距离为2d=．∴．∵，又k2≠k2+1，∴等号不成立，∴＜．综上，△ABC面积的最大值为．解析：（1）由已知结合△OMN的面积为，求得M（2，），N（2，-），再由椭圆离心率及点M的坐标可得关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆C的方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨取A（），B（），C（），可得△ABC 面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再由点到直线距离公式求点C到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用放缩法求△ABC面积的范围，则△ABC面积的最大值可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）根据题意填写列联表如下，非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业603090B专业9020110合计15050200计算K2==≈6.061＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关；（2）①月薪频率分布表如下表；月薪（百万）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数203644504010频率0.10.180.220.250.20.05将样本中的频率视为总体的概率，该大学届的大学本科毕业生平均工资为μ=35×0.1+45×0.18+55×0.22+65×0.25+75×0.2+85×0.05=59.2，又月薪X～N（μ，196），∴σ2=196，解得σ=14，∴μ-2σ=59.2-28=31.2，2018届大学本科毕业生李阳的月薪为3500元=35百元＞μ-2δ=31.2百元，∴李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知μ=59.2百元=5920元，所以李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，则所获得的话费Z的取值分别为120、180、240、300和360；计算P（Z=120）=×=，P（Z=180）=××=，P（Z=240）=×+××=，P（Z=300）=××=，P（Z=360）=×=；所以Z的分布列为：Z120180240300360P则李阳预期获赠的话费为E（Z）=120×+180×+240×+300×+360×=200（元）．解析：（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）①列月薪频率分布表，计算样本中的平均数μ，由X～N（μ，196）求出σ=14，计算μ-2σ的值，比较得出结论；②由①知李阳的工资低于μ，可获赠两次随机话费，得出获得话费Z的取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率与离散型随机变量的分布列学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：（1）∵m∈（-1，1），∴△=4m2-4＜0，∴y=x2-2mx+1＞0恒成立，则函数的定义域为R．，①当m=0时，2m+1=1，此时f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，②当0＜m＜1时，1＜2m+1＜3，x∈（-∞，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，2m+1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（2m+1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；③-1＜m＜0时，1＜2m+1＜1，x∈（-∞，2m+1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（2m+1，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，①当m=0时，f（x）在R上单调递增，②当0＜m＜1时，f（x）在（-∞，1），（2m+1，+∞）上递增，在（1，2m+1）上递减；③当-1＜m＜0时，f（x）在（-∞，2m+1），（1，+∞）上递增，在（2m+1，1）上递减．（2）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在[0，1]上递增，[1，2m+1]上递减，令g（x）=x，则g（x）在R上为增函数．函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内，等价于函数y=f（x）的图象总在g（x）的图象上方．当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）min=g（x）=1，则函数y=f（x）的图象在g（x）的图象上方；当x∈[1，2m+1]时，函数单调递减，∴，g（x）max=g（2m+1）=2m+1，则需判断与2m+1的大小，令x=2m+1，∵，∴，即可判断e x与x（x+1）的大小，令u（x）=e x-x（x+1），u′（x）=e x-2x-1，u″（x）=e x-2，∵，∴u″（x）＞0恒成立，u′（x）在x∈（1，]上单调递增；又∴，故u（x）在（1，t）单调递减，在（t，]单调递增，，且u（t）在上单调递减，∴，则e x＞x（x+1），即得证函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内．解析：（1）对函数进行求导，由于一次导数无法直接判断正负，即可进行多次求导．（2）将问题转化为比较函数的大小，利用作差法构造新函数，对其进行求导求单调性求极值，以此证明．本题考查利用导数研究函数的单调性，有一定的综合性，属于难题．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：．（2）设M（ρ1，θ1），由于点M在圆C上，故：ρ1=2cosθ1，点N在直线l上，故：，故：|OM||ON|=ρ1•ρ2，=，=，由于，整理得：，故：|OM|•|ON|的取值范围为[1，3]．解析：直接利用转换关系，把方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出三角函数的值的范围，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础性题．23.答案：解：（1）由|2x-3|+2＜5，得 0＜x＜3，（2）由题意对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|2x-3|+2≥2，所以|a+3|≥2⇒a≥-1或a≤-5．解析：（1）利用绝对值不等式转化求解即可．（2）求出函数的值域，利用函数的值域的包含关系，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。
2020年山东高三三模数学试卷
2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。
【附加15套高考模拟试卷】山东省烟台市2020届高三3月模拟理科数学试卷含答案
山东省烟台市2020届高三3月模拟理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，若l 与抛物线交于A ，B 两点，且AB 的中点到抛物线准线的距离为4，则p 的值为（ ）A ．83 B ． 1C ．2D ．32．直线l 交24y x =于A ，B 两点，若四边形OAMB （O 为原点）是矩形，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．14B ．24 C ．12 D ．223．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A ．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到B ．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到5．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(,)a b 和(,)b c 内B ．(,)a -∞和(,)a b 内C ．(,)b c 和(,)c +∞内D ．(,)a -∞和(,)c +∞内6．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B ．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C ．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D ．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大7．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 为正方形ABCD 的中心，则异面直线1AB 与1D M 所成角的余弦值为（ ） A ．66B 3C ．36D ．2238．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．设12F F ，分别是双曲线22y x 19-=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且12PF?PF 0=u u u v u u u v ，则12PF PF +=u u u v u u u v （ ） A 10B ．10C 5D ．510．已知1sin ,cos 11a aa aθθ-==-++，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．12-B ．2-C ．34-D ．43-11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且1,4,6AB BC AB BC AA ⊥===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．68π B ．32π C ．17π D ．164π12．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届数学模拟考试三模试题含解析
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求彩旗表达信号的所有方法种数，以及信号中恰有2面红色旗子的方法种数，再根据古典概型计算。
【详解】由题中数据可得:甲的平均数为 ，
乙的平均数为 ，
因为甲乙成绩的平均数相等，所以 ，解得: ，
所以甲的成绩为： ，其中位数为 ，
乙的成绩为： ，其中位数为 。
故选:B.
【点睛】本题主要考查由茎叶图计算中位数,属于基础题型.
5.函数 的图像大致是（ )
A. B。
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【答案】丁
【解析】
【分析】
根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6,从而可分别得出其他同学的卡片数字,进而可得出结果。
【详解】由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6;
又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3。
【详解】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有 种，若恰有2面红色旗子，则有 种,所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率 .
故选：A
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意，并能转化为数学问题.
8。已知线段 是圆 的一条动弦，且 ,若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为（ ）
B. 已知 ，当 不变时, 越大, 的正态密度曲线越矮胖
C. 若在平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 平面
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．284．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s28．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．159．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，则A∩B中元素的个数为3，故选：D．2．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵a+=是纯虚数，∴a+，即a=﹣．故选：A．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．28【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式中T r+1=x6﹣r=（﹣1）r x6﹣2r，令6﹣2r=﹣2，解得r=4．∴T5=x﹣2，∴x﹣2的系数为=15．故选：B．4．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，3），半径r=，求出圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y 轴截得的线段AB的长为2，从而得到圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，再求出圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d，由勾股定理得：，由此能求出b．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2的圆心C（1，3），半径r=，联立，得或，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB的长为2，∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD 的长度相等，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，∵圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d==，∴由勾股定理得：，即2=，解得b=．故选：B．5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【考点】绝对值三角不等式．【分析】将x的值进行分段讨论，①0≤a≤1，②a＜0，③a＞1，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出x的范围．【解答】解：当①0≤a≤1时，原不等式可化为：e x＜1，解得：x＜0；②当a＜0时，原不等式可化为：e x＜1﹣2a；此时可解得x＜0；③当a＞1时，原不等式可化为：e x＜2a﹣1，解得：x＜0；综合以上a的三个范围可得x＜0，即实数x的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：c=0时不成立，即可判断出真假．命题q：利用正切函数的性质、充要条件的判定方法即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：a＜b，则ac2＜bc2，c=0时不成立，因此是假命题．命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，是真命题．∴下列命题为真命题的是（￢P）∧q．故选：C．7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图知甲、乙两名运动员测试的成绩，利用平均数、方差公式计算后比较大小．【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（18+19+22+28+28）=23．方差为s12=×[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（22﹣23）2+（28﹣23）2+（28﹣23）2]=；乙动员测试成绩的平均数为=×（16+18+23+26+27）=22，方差为s22=×[（16﹣22）2+（18﹣22）2+（23﹣22）2+（26﹣22）2+（27﹣22）2]=；∴＞，s12＜s22，∴s1＜s2．故选：B．8．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平行求出目标函数的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，），此时z最小值为z=4﹣，由得，即B（5，5），此时z最大值为z=4×5﹣5=15，∵z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，∴15=15（4﹣），即4﹣=1，得=3，即m=5，故选：A9．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：双曲线的标准方程为，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）．∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）．设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|===3．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），即得到=，分子有理化并进行对数的运算便可得到=，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴log2（3t）=0；∴3t=1；∴．故答案为：．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为7．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n＞6，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，，利用数量积的运算性质计算．【解答】解：=9，=4，=3×2×cos60°=3．∵==，．∴=（）•（）=﹣t+（t﹣1）=4﹣9t+3（t﹣1）=﹣6t+1．∴﹣6t+1=﹣1，解得t=．故答案为：．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，再求出两个三棱锥A﹣BCFE的体积和A1﹣B1C1FE的体积，作差求得三棱锥A1﹣AEF的体积，则答案可求．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，侧棱垂直底面，∴三棱柱为正三棱柱，在底面正三角形ABC中，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AB=BC=AC=4，∴AD=．则．∵四边形BCFE与四边形EB1C1F均为直角梯形，且BE=EB1=3，C1F=CC1=2，CF=4．∴，．，．∴=．∴=．故答案为：．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的值．【分析】由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由中点坐标公式求出M的坐标，利用向量垂直的条件列出式子并分离出a来，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥），求出导数判断单调性、求出最值，可得到a的范围．【解答】解：由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由M、N的中点恰好在y轴上得M（﹣t，t3+t2），∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0①，当t≥时，f（t）=alnt，代入①式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt，令h（x）=（x+1）lnx（x≥），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，∵t≥，∴h（t）≥h（）=（e+1，）∴h（t）的取值范围是[（e+1），+∞）．∴对于0＜a≤，方程①总有解，则满足条件．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间．（2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a 的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）．故a的最小值为2．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）取AB中点E，连结PE，∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ=AB=1．∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，∴AP=PB==，∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，∵PB⊂平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP．解：（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BPC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面ABP的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==．∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出，即可求出a n；（2）把a n代入b n=a n a n+1化简，利用裂项相消法求出S n，根据数列的单调性求出S n的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当n=1时，，则a1=2，当n≥2时，，则，两式相减得，=，即a n=，当n=1时，也符合上式，则a n=；（2）由（1）得，b n=a n a n+1===2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）…+（）]=2（1﹣），则n越大，越小，S n越大，即当n=1时，S n最小为S1=，因为对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，所以＞2λ﹣，解得，故实数λ的取值范围是（﹣∞，）．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；随机事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率．（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数n==45，这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m==18，∴这两地的空气温度的指标z相同的概率p===．（2）由题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指1 4 4 62 4 53 5 3标其中长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，共4个，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X 1 2 3 4 5PE（X）=+=．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和点（1，）在椭圆上，结合隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（ii）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，把转化为点的横坐标的关系求得答案．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=9，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），由，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，∴x1=﹣3，．当x=时，y=k（+3）=，∴D（，）．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（），则（k≠0）．直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E点坐标为（0，3k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即﹣•=﹣1恒成立，∴（9m+3）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣，0）．（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，得=====．当且仅当，即k=±时取等号，∴当k=±时，的最小值为．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，设g（x）=，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到m的范围；（2）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，设出极大值点，也即最大值点，运用函数零点存在定理，可得t的范围，化简整理由二次函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）若函数f（x）有零点，则f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，由g（x）=的导数为g′（x）=，当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=e2时，取得极大值，且为最大值，可得﹣m＞，解得m＜﹣，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）；（2）证明：函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1﹣=，解得m=1，即有f（x）=的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，可得lnx+=1，设方程的解为t，由h（x）=lnx+﹣1递增，且h（1）﹣1=﹣＜0，h（）=ln+﹣1＞0，可得1＜t＜，且lnt+=1，即有f（x）的最大值为f（t）===+=（+）2﹣，可得f（t）在（1，）递减，f（1）=，f（）=+＞1，即有f（t）∈（f（），f（1）），则有1＜M＜．第21页（共22页）2020年8月7日第22页（共22页）。
2020届山东省高三高考模拟数学试题(附带详细解析)
……外…………○…………装…学校:___________姓名：……内…………○…………装…绝密★启用前 2020届山东省高三高考模拟数学试题 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 2．若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A ．甲付的税钱最多 B ．乙、丙两人付的税钱超过甲 C ．乙应出的税钱约为32 D ．丙付的税钱最少 5．若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49 B ．49- C ．59 D ．59- 6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a << 8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C D二、多选题9．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同…○…………装…………○学校:___________姓名：___________班…○…………装…………○D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10．已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 不是周期函数 B ．()f x 奇函数 C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．()f x 在52x π=处取得最大值 11．设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0) C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1 D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 12．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM V 沿直线AM 翻折成1AB M V ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值 C ．若AB BM =，则1AM B D ⊥ D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 第II 卷（非选择题)………○…………※※请※※不………○…………三、填空题 13．已知两个单位向量a b v v ，的夹角为30o ，(1),0c ma m b b c =+-⋅=v v v v v ，则m =______． 14．已知曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为____________. 15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.16．已知函数()22,,x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 四、解答题17． 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．18．已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ；（2）求二面角P AG C --的余弦值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）．（Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ＜． 20．某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求X 的分布列； （2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与n 20=之中选其一，应选哪个？ 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v ，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 22．已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥求()()21f x f x -的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果.【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆，若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =；若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =， 综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 2．D【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3．B【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4．B【解析】【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷(3月份)(含解析)
2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{3}B.{1, 4, 6}C.{2, 5}D.{2, 3, 5}2.命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是（）A.∀x∉(0, +∞)，lnx＝x−1B.∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1C.∃x0∈(0, +∞)，lnx0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，lnx0＝x0−13.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√24.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝（）A.7B.6C.5D.45.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF→⋅BC→的值为（）A.−58B.18C.14D.1186.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+ y2=2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2, 6]B.[4, 8]C.[√2, 3√2]D.[2√2, 3√2]7.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)8.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90∘，则球O的体积为（）A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中正确的是（）2A.AC⊥BEB.EF // 平面ABCDC.三棱锥A−BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等11.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m(−1<m<1)与椭圆相交于点A、B，则（）A.当m＝0时，△FAB的面积为√3B.不存在m使△FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA面积最大D.存在m，使△FAB的周长最大12.函数f(x)在[a, b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a, b]，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]则称f(x)在[a, b]上具有性质P．设f(x)在[1, 3]上具有性质P，则下列说法错误的是（）A.f(x)在[1, 3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1, √3]上具有性质PC.若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝l，x∈[1, 3]D.对任意x1，x2，x3，x4∈[1, 3]，有f(x1+x2+x3+x44)≤12[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）14.已知a，b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为________．15.已知椭圆M:x2a +y2b=1(a>b>0)，双曲线N:x2m−y2n=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．π，在18.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；(Ⅱ)若c=√3，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，M 是CD^上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A(−12, 14)，B(32, 94)，抛物线上的点P(x, y)(−12<x <32)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． (Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围； (Ⅱ)求|PA|⋅|PQ|的最大值．21.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑ 7i=1y i ＝9.32，∑ 7i=1t i y i ＝40.17，√∑ 7i=1(y i −y)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑ n i=1(t i −t )2∑ n i=1(y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2，a ^=y −b ^t ．22.已知函数f(x)＝x2−2xlnx，函数g(x)＝x+ax−(lnx)2，其中a∈R，x0是g(x)的一个极值点，且g(x0)＝2．（1）讨论f(x)的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明∑n k=1√2>12ln(2n+1)(n∈N∗)．2020年山东省淄博市部分学校高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{3}B.{1, 4, 6}C.{2, 5}D.{2, 3, 5}【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，∴∁U B＝{2, 5}，则A∩(∁U B)＝{2, 5}，2.命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是（）A.∀x∉(0, +∞)，lnx＝x−1B.∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1C.∃x0∈(0, +∞)，lnx0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，lnx0＝x0−1【解答】命题“∃x0∈(0, +∞)，lnx0＝x0−1”的否定是“∀x∈(0, +∞)，lnx≠x−1”3.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√2【解答】解：z=1−i1+i +2i=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i=−i+2i=i，则|z|=1．故选C．4.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝（）A.7B.6C.5D.4【解答】∵二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，∴C n2=15，即n(n−1)2=15，解得n＝6，5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ） A.−58B.18C.14D.118【解答】 解：如图，∵D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF →⋅BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC→2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60∘+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选B ．6.直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是() A.[2, 6] B.[4, 8] C.[√2, 3√2] D.[2√2, 3√2]【解答】解：∵直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x =0，得y =−2，令y =0，得x =−2， ∴A(−2, 0)，B(0, −2)，|AB|=√4+4=2√2， ∵点P 在圆(x −2)2+y 2=2上， ∴设P(2+√2cosθ, √2sinθ)， ∴点P 到直线x +y +2=0的距离：d=√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin(θ+π4)∈[−1, 1]，∴d=|2sin(θ+π4)+4|√2∈[√2,3√2]，∴△ABP面积的取值范围是[2, 6]．故选A．7.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)【解答】解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞)，故选C．8.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90∘，则球O的体积为（）A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π【解答】如图，由PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，可知三棱锥P −ABC 为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 1为底面三角形的中心，连接BO 1并延长，交AC 于G ， 则AC ⊥BG ，又PO 1⊥AC ，PO 1∩BG ＝O 1，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ，∵E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF // PB ，又∠CEF ＝90∘，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，得PB ⊥平面PAC ， ∴正三棱锥P −ABC 的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√6． 半径为√62，则球O 的体积为43π×(√62)3=√6π．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月接待游客量的中位数为30D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．10.如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中正确的是（）A.AC⊥BEB.EF // 平面ABCDC.三棱锥A−BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD // B1D1，∴AC⊥BE，EF // 平面ABCD，三棱锥A−BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．11.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m(−1<m<1)与椭圆相交于点A、B，则（）A.当m＝0时，△FAB的面积为√3B.不存在m使△FAB为直角三角形C.存在m使四边形FBEA面积最大D.存在m，使△FAB的周长最大【解答】对于B选项：当m＝0时，可以得出∠AFE=π3，当m＝1时，∠AFE<π4，根据椭圆的对称性，存在m使△FAB为直角三角形，故选项B错误（1）对于C 选项：根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，四边形FBEA面积最大，故选项C正确（2）对于D选项：由椭圆的定义得，△FAB的周长＝AB+AF+BF ＝AB+(2a−AE)+(2a−BE)＝4a+AB−AE−BE，∵AE+BE≥AB，∴AB−AE−BE≤0，当AB过点E时取等号，∴AB+AF+BF＝4a+AB−AE−AF≤4a，即直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大，此时直线AB的方程为x＝m＝c＝1，但是−1<m<1，所以不存在m，使△FAB的周长最大，故选项D错误（3）故选：AC．12.函数f(x)在[a, b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a, b]，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]则称f(x)在[a, b]上具有性质P．设f(x)在[1, 3]上具有性质P，则下列说法错误的是（）A.f(x)在[1, 3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1, √3]上具有性质PC.若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝l，x∈[1, 3]D.对任意x1，x2，x3，x4∈[1, 3]，有f(x1+x2+x3+x44)≤12[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]【解答】对于A ，函数f(x)={x 2,1≤x <311,x =3 在[1, 3]上满足性质P ，但f(x)在[1, 3]上不是连续函数，故不成立；对于B ，反例：f(x)＝−x 在[1, 3]上满足性质P ，但f(x 2)＝−x 2在[1, √3]上不满足性质P ，故B 不成立； 中f(x)在x ＝2处取得最大值1，对于C ，由性质p 可得，∵1＝f(2)≤12（f(x)+f(4−x)），∴f(x)+f(4−x)≥2，∵f(x)≤1，f(4−x)≤1，∴f(x)＝1，x ∈[1, 3]，故正确； 对于D ，有f(x 1+x 2+x 3+x 44)=f(x 1+x 22+x 3+x 422)≤12[f(x 1+x 22)+f(x 3+x 42)]≤14[f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)]，故错．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 【解答】方法一：直接法，1女2男，有C 21C 42＝12，2女1男，有C 22C 41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C 63−C 43＝20−4＝16种， 14.已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为________． 【解答】解：由题知a −3b =−6，因为2a >0，8b >0， 所以2a +18≥2×√2a +18=2×√2a−3b =14．当且仅当2a =18，即a =−3b ，a =−3，b =1时取等号． 故答案为：14．15.已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 【解答】 解：椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(c, 0)，正六边形的一个顶点(c2, √3c2)，可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0, 1)， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即nm =√3， 可得：n 2m =3，即m 2+n 2m =4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m =2．故答案为：√3−1；2．16.已知函数f(x)=2sinx +sin2x ，则f(x)的最小值是________． 【解答】解：由题意可得T =2π是f(x)=2sinx +sin2x 的一个周期，故只需考虑f(x)=2sinx +sin2x 在[0, 2π)上的值域， 先来求该函数在[0, 2π)上的极值点， 求导数可得f′(x)=2cosx +2cos2x =2cosx +2(2cos 2x −1) =2(2cosx −1)(cosx +1)，令f′(x)=0，可解得cosx =12或cosx =−1， 可得此时x =π3,π或5π3；∴y =2sinx +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点中取到，计算可得f( π3)=3√32， f(π)=0，f( 5π3)=−3√32，f(0)=0，∴函数的最小值为−3√32.故答案为：−3√32．四、解答题：本题共6小题，共70分解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解答】数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n−1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n−1+n−1＝4(a n+n)，故数列b n+1b n =4(a n+n)a n+n=4（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以b n=a n+n=b1⋅4n−1=22n−1．所以a n=22n−1−n，故T n＝a1+a2+...+a n＝(21+23+...+22n−1)−(1+2+...+n)=2(4n−1)4−1−n(n+1)2=22n+1−23−n(n+1)2．18.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=23π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；(Ⅱ)若c=√3，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】（1）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a＝c−4、b＝c−2．又∵∠MCN=23π，cosC=−12，∴a2+b2−c22ab =−12，∴(c−4)2+(c−2)2−c22(c−4)(c−2)=−12，恒等变形得c2−9c+14＝0，解得c＝7，或c＝2．又∵c>4，∴c＝7．（2）在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，∴ACsinθ=BCsin(π3−θ)=√3sin2π3=2，AC＝2sinθ，BC=2sin(π3−θ)．∴△ABC的周长f(θ)＝|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(π3−θ)+√3=2[12sinθ+√32cosθ]+√3=2sin(θ+π3)+√3，又∵θ∈(0,π3)，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，f(θ)取得最大值2+√3．19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，M 是CD^上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【解答】证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD^所在平面垂直，∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM＝D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．∵△ABC的面积为定值，∴要使三棱锥M−ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2，∴A(2, −1, 0)，B(2, 1, 0)，M(0, 0, 1)，则平面MCD的法向量m→=(1, 0, 0)，设平面MAB 的法向量为n →=(x, y, z) 则AB →=(0, 2, 0)，AM →=(−2, 1, 1)，由n →⋅AB →=2y ＝0，n →⋅AM →=−2x +y +z ＝0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝2，即n →=(1, 0, 2)， 则cos <m →，n →>=m →⋅n→|m →||n →|=1×√1+4=√5，则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα=√1−(√5)2=2√55．20.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A(−12, 14)，B(32, 94)，抛物线上的点P(x, y)(−12<x <32)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． (Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围； (Ⅱ)求|PA|⋅|PQ|的最大值．【解答】（1）由题可知P(x, x 2)，−12<x <32， 所以k AP =x 2−14x+12=x −12∈(−1, 1)，故直线AP 斜率的取值范围是：(−1, 1)； （2）由(I)知P(x, x 2)，−12<x <32， 所以PA →=(−12−x, 14−x 2)，设直线AP 的斜率为k ，则k =x 2−14x+12=x −12，即x ＝k +12，则AP:y ＝kx +12k +14，BQ:y =−1k x +32k +94， 联立直线AP 、BQ 方程可知Q(3+4k−k 22k 2+2, 9k 2+8k+14k 2+4)，故PQ →=(1+k−k 2−k 31+k2, −k4−k 3+k 2+k1+k 2)，又因为PA →=(−1−k, −k 2−k)，故−|PA|⋅|PQ|=PA →⋅PQ →=(1+k)3(k−1)1+k +k2(1+k)3(k−1)1+k =(1+k)3(k −1)，所以|PA|⋅|PQ|＝(1+k)3(1−k)， 令f(x)＝(1+x)3(1−x)，−1<x <1，则f′(x)＝(1+x)2(2−4x)＝−2(1+x)2(2x −1)， 由于当−1<x <12时f′(x)>0，当12<x <1时f′(x)<0， 故f(x)max ＝f(12)=2716，即|PA|⋅|PQ|的最大值为2716．21.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑ 7i=1y i ＝9.32，∑ 7i=1t i y i ＝40.17，√∑ 7i=1(y i −y)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑ n i=1(t i −t )2∑ n i=1(y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2，a ^=y −b ^t ．【解答】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r =7i=1i i √∑ 7i=1(t i −t )2∑ 7i=1(y i −y)2=∑−i=17 tiyi 7t y√∑ 7i=1(t i −t )2∑ 7i=1(y i −y)2≈2√7⋅0.55≈2.892.9106≈0.993，∵0.993>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；(2)b ^=∑ n i=1(t i −t )(y i −y)∑ n i=1(t i −t )2=∑−i=17 tiyi 7t y ∑−i=17 ti 27t 2≈2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴y 关于t 的回归方程y ^=0.10t +0.92， 2016年对应的t 值为9， 故y ^=0.10×9+0.92＝1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．22.已知函数f(x)＝x 2−2xlnx ，函数g(x)＝x +ax −(lnx)2，其中a ∈R ，x 0是g(x)的一个极值点，且g(x 0)＝2． （1）讨论f(x)的单调性； （2）求实数x 0和a 的值；（3）证明∑n k=1√4k 2−1>12ln(2n +1)(n ∈N ∗)．【解答】函数f(x)的定义域(0, +∞)，f′(x)＝2x −2lnx −2， 令ℎ(x)＝2x −2lnx −2，则ℎ′(x)=2(x−1)x，由ℎ′(x)＝0可得x ＝1，当x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，故当x ＝1时，函数取得极小值也是最小值ℎ(1)＝0， 所以ℎ(x)≥0即f′(x)≥0， 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增； g(x)的定义域(0, +∞)，g ′(x)=1−ax 2−21nx x，由题意可得，g′(x 0)＝0即x 02−2x 0lnx 0−a =0①， 由g(x 0)＝2可得x 02−x 0(lnx 0)2−21nx 0−2=0②， 联立①②消去a 可得，2x 0−(lnx 0)2−21nx 0−2=0， 令t(x)＝2x −(lnx)2−2lnx −2，则t ′(x)=2−21nx x−2x =2(x−lnx−1)x，由（1）知x −lnx −1≥0，故t′(x)≥0， 故t(x)在(0, +∞)上单调递增，又t(1)＝0， 故方程③有唯一的解x 0＝1，代入①可得a ＝1， 所以x 0＝1，a ＝1，证明：由（1）f(x)＝x 2−2xlnx 在(0, +∞)上单调递增， 故当x >1时，f(x)>f(1)＝1，g ′(x)=x 2−2xlnx−1x 2=f(x)−1x 2>0，所以g(x)在(1, +∞)上单调递增，因此当x >1时，g(x)>g(1)＝2，即x +1x −(lnx)2>2， 故(√x −√x )2>(lnx)2， ∴√x −√x >lnx ，取x =2k+12k−1，k ∈N ∗，可得√2k+12k−1−√2k−12k+1>ln(2k +1)−ln(2k −1)，化简可得，√2k+12k−1−√2k−12k+1=√2，故∑n k=1√4k 2−1>∑ nk=1[ln(2k +1)−ln(2k −1)]=(ln3−ln1)+(ln5−ln3)+...+ln(2n +1)−ln(2n −1)＝ln(2n +1)，所以∑n k=1√4k 2−1>12ln(2n +1)(n ∈N ∗)．。