必修5教案2.2等差数列的概念(一)
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
【高中数学必修5】2.2等差数列(第2课时)教学设计(一)
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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
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反思小结，观点提炼
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
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设计问题，创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列，掌握了等差数列的定义、 通项公式与公差，作为一类特殊的数列，是否具有某些特殊的性质， 又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢？
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信息交流，揭示规律
1.等差中顶定义 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b组成等差数列，可以看成最简单的等差数列 。这时A叫做a与b的等差中项。
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n＞1），
求差得a n a n 1 (p q n ) [p ( n 1 ) q ]
pnq(pnpq) p
它是一个与n 无关的常数，所以{an}是等差数列。
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运用规律，解决问题
例2 已知等差数列{ a n }中, a1a4a715，a2a4a6 45
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变式训练，深化提高
1. 三个数成等差数列，其和为 15，其平方和为 83， 求此三个数．
解 设三个数分别为 x－d，x，x＋d．
(x d ) x (x d ) 15
则 (x
d)2
x2
(x
d)2
83
解得
x d
5 2
或
x d
5 2
人教版高中数学必修5数列教案
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N∈，则S q S=偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k qk q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3 C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216B ．－216C ．217D ．－2176．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4a B ．1.1 5a C ．1.1 6a D ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．。
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 Word版含解析
§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52 B ．51 C ．50 D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( )A.12B.13C.14D.16 答案 A解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2)＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列．(2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
《等差数列》教案人教版必修5
《等差数列》教案一、教学目标（一）知识与技能:1.通过实例，理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；3.初步引入“数学建模”的思想方法并能运用.（二）过程与方法:1.让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；2.由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.（三）情感态度与价值:在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情.二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，理解等差数列是一种函数模型.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.三、教学过程（一）创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列. （二)课题引入请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律.①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：0,5,10,15,20…特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）48,53,58,63.特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.518,5.10,8,5.5.15,13,5.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于.④ 银行单利问题，单利即不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年算利息时本金都是1000，只是利息逐年累加而已.10072,10144,10216,10288,10360.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于72. 它们共同的特点是？从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数. 我们把有这一特点的数列叫做等差数列. (三)新课探究 1.等差数列的定义过渡：对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72. 对定义的理解应注意：（1）“从第2项起”是因为第一项没有前一项.（2）“每一项与它的前一项的差”指出了作差的顺序性，即后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒. （3）定义中的“同一个常数”是指d a a a a a a n n ==-==-=-- 12312，其中d 是与n 无关的常数.因此，等差数列的定义可用数学符号语言描述为：-1 (,2*)n n a a d d n n N -=≥∈是常数且或者+1 (,*)n n a a d d n N -=∈是常数试一试：它们是等差数列吗？ ①1,1-,1,1-,1,1-… ②4-,1-,2,5,8… ③每一项都是5的常数列④每一项都是a 的常数列（其中a 是常数） 2.等差中项的定义定义：由三个数a ，A ，b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.且有：22b a A b a A +=⇒+=不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项. 看来73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q ，则q p n m a a a a +=+ 3.等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容. （1）等差数列的通项公式(求法（一)：迭代法)如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？ 根据等差数列的定义可得：d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…所以： d a a +=12，()32112a a d a d d a d=+=++=+，()431123a a d a d d a d=+=++=+，猜想：514a a d=+，……由此猜想:dn a an)1(1-+=，因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，*N n ∈ （2）等差数列的通项公式(求法（二)：迭加法) 根据等差数列的定义可得：d a a =-12da a =-23 da a =-23…… ()1-n 个式子相加12n n a a d---= 1n n a a d--=将以上1-n 个式子累加得等差数列的通项公式就是: dn a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且当1=n 时也满足上述式子，所以：等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈4、等差数列的判定 （1）引入由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用. 例3：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n+=，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数.解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），求差得pq p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1它是一个与n 无关的数.所以}{n a 是等差数列. （2）归纳等差数列的三种判定方法（3）应用1、等差数列的通项公式的应用例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立. 解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.注：在应用等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=过程中,对n a ,1a ,n ,d 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”.例2：某市出租车的计价标准为2.1元/km ，起步价为10元，即最初的km 4（不含4km ）计费10km 14处的目的地且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?分析：这道题需要个别注意的是“最初的km 4（不含4km ）”km 处的计费为10元，在4.1km 处的计费为11.2元，在4.0km 处的计费也为11.2元.法一、那么在1km 处的计费应和13km 处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*114km 处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.法二、如果我们从第km 4处开始，每隔km 1记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项2.112.1101=+=a ，公差2.1=d 的一个等差数列，那么，当出租出行至km 14处时，11=n ，此时所要支付的车费为()2.232.11112.1111=⨯-+=a 元.注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题. （四）小结1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义2、等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+=公差*1(N n d d a a n n ∈=-+是常数，；3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式()d n a a n 11-+=求余下的一个量；4、等差数列的判定 （五）作业课本39页的练习1、2、3。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
新人教A版必修5高中数学2.2等差数列(1)学案(二)
高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.2 等差数列(一) Word版含答案
2．2 等差数列(一)[学习目标] 1.理解等差数列的定义，把握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简洁的问题.3.把握等差中项的概念，深化生疏并能运用．[学问链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行，此后每4年进行一次，奥运会如因故不能进行，届数照算．这样进行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ [预习导引] 1．等差数列的概念假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2.3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d . 4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列.要点一 等差数列的概念例1 若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列．解 由于a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N *)． 所以数列{a n }为等差数列．规律方法 推断一个数列是不是等差数列，就是推断a n ＋1－a n (n ＞1)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪演练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．要点二 等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．(2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1、x 4、x 5成等差数列．求：p ，q 的值．解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4， 得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1，② 将②代入①，得p ＝1.故p ＝1，q ＝1.规律方法 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6. ∴m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.要点三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并推断－34是该数列的项吗？解 (1)设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16. 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．规律方法 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．跟踪演练3 已知{a n }为等差数列，分别依据下列条件写出它的通项公式： (1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为a,2a －1,3－a .解 (1) 设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由等差中项公式得2×(2a －1)＝a ＋(3－a )，a ＝54，∴首项为a ＝54，公差为2a －1－a ＝a －1＝54－1＝14，∴a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2. 2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 由于A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.3．下列数列是等差数列的有________． (1)9, 7, 5, 3, …，－2n ＋11, …； (2)－1, 11, 23, 35, …， 12n －13, …； (3)1, 2, 1, 2, …； (4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …； (5)a ，a ，a ，a ，…，a …. 答案 (1)(2)(5)解析 由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4， ∴d ＝23.∴a n ＝a 1＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.1.推断一个数列是否是等差数列的常用方法有(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．一、基础达标1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B.b －a 2 C.b －a 3 D.b －a4答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1，∴数列{a n }是等差数列，公差为－1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n . 3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 答案 B解析 a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0. 4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26. ∴x ＋y ＋z ＝39.5．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为________． 答案 a n ＝2n －3解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项， ∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.6．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.答案 4n －3解析 由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.7．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，求m＋n 的值．解 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1. 设数列的首项为x 1，则依据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为 14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝316.x 3·x 4＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.8．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t (s) 1 2 3 … ？ … 60 距离s (cm)9.819.629.4…49…？(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．由于a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.二、力量提升9．设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则{c n}是( ) A ．常数列 B ．摇摆数列C ．公差不为0的等差数列D ．递减数列 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])， ∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. 10．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1， 即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }为公差为13的等差数列．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开头为正数，则公差d 的取值范围是________． 答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.12．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 三、探究与创新13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由． 解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。
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§2.2第1 课时 等差数列的概念
教学目标
（1）能准确叙述等差数列的定义；
（2）能用定义判断数列是否为等差数列；
（3）会求等差数列的公差及通项公式。
教学重点，难点
等差数列的定义及等差数列的通项公式。
教学过程
一．问题情境
1．情境：观察下列数列：：
4，5，6，7，8，9，10，……； ①
3，0，3-，6-，……， ②
第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：
0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯ ④
如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为
100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯ ， ⑤
2．问题：上面这些数列有何共同特征？
二．学生活动
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1；
对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
三．建构数学
1．等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥．
思考：
（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？
（2）判断下列数列是否为等差数列：
①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③3,2,1---，1，2，3。
①②是等差数列，③不是等差数列。
（3）求出下列等差数列中的未知项：
①3，a ，5； ② 3，,b c ，9-
（4）已知等差数列{}n a ：4，7，10，13，16 ，如何写出它的第100项100a ？
2．等差数列的通项公式：已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ．
由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，……
∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，……
所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-．
另解：∵{}n a 是等差数列，∴当2n ≥时，有21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=…… 1n n a a d --=，将上面1n -个等式的两边分别相加，得：1(1)n a a n d -=-
∴1(1)n a a n d =+-，当1n =时，上面的等式也成立。
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，
0d < 为递减数列。
四．数学运用
1．例题：
例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。
奥运会如因故不能进行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴*
18964(1)18924()n a n n n N =+-=+∈
（2）假设2008,n a =则200818924n =+，得29n =
假设2050n a =，205018924n =+无正整数解。
答：所求的通项公式是*18924()n a n n N =+∈，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例2．在等差数列{}n a 中，已知310a =，928a =，求12a ．
解：由题意可知：11
210828a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14a =，3d =， ∴124(121)337a =+-⨯=
例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。
已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm 和25cm ，求。
解：用{}n a 表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得1615,25a a ==，6n =
由通项公式得：61(61)a a d =+-， 即25155d =+，∴2d =，
所以，217a =，319a =，421a =，523a =，．
答：中间四个滑轮的直径为17cm ，19 cm ，21 cm ，23 cm 。
例4．已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 是常数，且0p ≠，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列{}n a 中的任意相邻两项1n a -与n a （2n ≥），
1()[(1)]n n a a pn q p n q --=+--+p =，
∵p 是一个与n 无关的常数，故{}n a 是等差数列，且公差是p ，
所以，这个等差数列的首项是1a p q =+，公差是p ．
例5．在1-与7中间插入三个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求a ，b ，c ．
解：用{}n a 表示这5个数所成的等差数列，
由已知得：57a =，11a =- ，
∴71(51)d =-+-，2d =，
所以，1a =，3b =，5c =．
2．练习：课本36P 1，2，3，4，5，39P 1
五．回顾小结：
1．等差数列的定义：1(2)n n a a d n --=≥；
2．等差数列的通项公式及其推导方法；
3．等差数列中项的判断方法。
六．课外作业：39P 2，3，4，5题 补充：
1．已知等差数列{}n a 满足3712a a ⋅=-，464a a +=-，求数列{}n a 的通项公式；
2．在等差数列{}n a 中，已知470a =，21100a =-，
（1）首项1a 与公差d ，并写出通项公式；
（2）{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？。