2018北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》ppt课件2
C
B′
A P
B
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
勤奋就是成功之母。——茅以升
பைடு நூலகம்
A D
E C B
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD ∴CE＝CF，AE＝AF （角平分线性质）， ∠CEB＝∠CFD＝90° ∵∠B+∠ADC＝180°, ∠CDF+∠ADC＝180° A ∴∠B＝∠CDF D F ∴△CBE≌△CDF （AAS） ∴DF＝BE ∵AF＝AD+DF E ∴AF＝AD+BE C B ∴AE＝AD+BE
第2课时 角平分线的应用
北师大版 八年级下册
探究新知
现在要在京周公路，良乡西路和西潞北大街的 中间修一个货站，要求到这三条路的距离相等， 请你找一下建货站的地址。
A
京周公路
P B
良乡西路
西潞北大街
作∠ABC和∠ACB的 角平分线交于点P，P 即为建货站的位置
C
获取新知
1.已知：如图，设△ABC 的角平分线BM、CN
4、以角平分线为轴，构造全等三角形，证线段之 差不等
已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点，P与A 不重合，AC﹥AB. 求证：PC-PB﹤AC-AB
C
A P
B
证明：作PB′=PB，与AC交于点B′， 易证△APB′≌ △APB ∴AC-AB= AC-AB′ 在△PB′C中， PC-PB′＜B′C=AC-AB′ ∴ PC-PB＜AC-AB
三角形的三条角平分线相交于一点
2.如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求 证：PD=PE=PF.
由上题的证明可知：PD=PE=PF.
三角形三条角平分线的交点到三条边的 距离相等。
归纳结论
三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到三条边的距离相等。
随堂演练
1、直接应用定理求线段的长度：
已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点， PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB
的距离为_____ 5
B P O C E A
2、直接应用定理求角的度数
已知：如图，在直角三角形ACB中， ∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分 ∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则 ∠CAD=________ 25°
A
E
C
D
B
3、角平分线与四边形组合
已知：如图，四边形ABCD中，AC平 分∠BAD，CE⊥AB于E，且 ∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE
相交于点P，求证：P点在∠BAC 的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等)． 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到 角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
B′
A P
B
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
勤奋就是成功之母。——茅以升
பைடு நூலகம்
A D
E C B
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD ∴CE＝CF，AE＝AF （角平分线性质）， ∠CEB＝∠CFD＝90° ∵∠B+∠ADC＝180°, ∠CDF+∠ADC＝180° A ∴∠B＝∠CDF D F ∴△CBE≌△CDF （AAS） ∴DF＝BE ∵AF＝AD+DF E ∴AF＝AD+BE C B ∴AE＝AD+BE
第2课时 角平分线的应用
北师大版 八年级下册
探究新知
现在要在京周公路，良乡西路和西潞北大街的 中间修一个货站，要求到这三条路的距离相等， 请你找一下建货站的地址。
A
京周公路
P B
良乡西路
西潞北大街
作∠ABC和∠ACB的 角平分线交于点P，P 即为建货站的位置
C
获取新知
1.已知：如图，设△ABC 的角平分线BM、CN
4、以角平分线为轴，构造全等三角形，证线段之 差不等
已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点，P与A 不重合，AC﹥AB. 求证：PC-PB﹤AC-AB
C
A P
B
证明：作PB′=PB，与AC交于点B′， 易证△APB′≌ △APB ∴AC-AB= AC-AB′ 在△PB′C中， PC-PB′＜B′C=AC-AB′ ∴ PC-PB＜AC-AB
三角形的三条角平分线相交于一点
2.如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求 证：PD=PE=PF.
由上题的证明可知：PD=PE=PF.
三角形三条角平分线的交点到三条边的 距离相等。
归纳结论
三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到三条边的距离相等。
随堂演练
1、直接应用定理求线段的长度：
已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点， PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB
的距离为_____ 5
B P O C E A
2、直接应用定理求角的度数
已知：如图，在直角三角形ACB中， ∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分 ∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则 ∠CAD=________ 25°
A
E
C
D
B
3、角平分线与四边形组合
已知：如图，四边形ABCD中，AC平 分∠BAD，CE⊥AB于E，且 ∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE
相交于点P，求证：P点在∠BAC 的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等)． 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到 角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
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八年级数学下册1.4角平分线课件2(新版)北师大版
A D
O
∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别是D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.
1
P
2
C
E B
学习目标
1.能够证明三角形的三条角平分线交于 一点且这一点到三条边的距离相等； 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵 活运用.
动一动
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的 平分线.
角平分线
想一想
1. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等A.
D
O
1
2
P C
E
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, B
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部, 且到角的图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平 线, DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
练一练
1. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是 Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD.
观察这三条角平分线, 你发现了什么?
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 猜想：这一点到三条边的距离相等。
证一证
例2 已知：如图,设△ABC的角平分线BM,CN相
交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足
分别是E,F,D.
求证：
.
∠BAC的平分线经过点P,且PD=PE=PF
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等.
2. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的角平分线相交于点F.
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
新北师大版初中数学八年级下册第1章 三角形的证明《第4课 角平分线》教学PPT
3.已知:如图,P是∠AOB
平分线上的一个点，并且
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是
C,D.
求证:
O
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
A C
P D
B
证明(1) ∵P为P是∠AOB平分线上的一个点 PC⊥OA,PD⊥OB
∴PC=PD Rt△POC和 Rt△POD ∵ OP=OP Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD (2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上 由OC=OD得O在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线.
拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC一个内
角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否 交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心, 这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出 这个图形吗?
A
B
C
四 回顾与小结
定理:三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相等(这 个交点叫做三角形的内心).
又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°
B
C
D
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴ 如果DE一= 个12 锐AD角= 等12 于×3100°=5，（那在么直它角所三对角的形直中角，
边等于斜边的一半）.
二 挑战自我
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?
练一练
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
北师大版数学八年级下册1.角平分线课件
实践探究，交流新知 已知：P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且PA＝PB. 求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连接OP.
OP＝OP，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA＝PB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON，点P在∠MON的平分线上
定理2 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
几何语言 ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2(OP平分∠MON).
开放训练，体现应用
例1 (教材第29页例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC 上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求 DE的长．
北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明
第4节 角平分线（第1课时）
前言
学习目标
1. 探索并理解角平分线的性质和判定． 2．会运用角平分线的性质和判定解决有关问题．
学习重点
利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.
学习难点
掌握角平分线的性质定理及其逆定理并能进行证明.
创设情境，导入新课
如图是小明制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是 ∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠DAB；
(2)若AD＝5，BC＝4，求四边形ABCD的面积．
解：(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD
∴MC＝ME
∵M为BC的中点
∴BM＝MC＝ME
∵∠B＝90°，ME⊥AD
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件(第2课时31张)
北师大版 八年级 数学 下册
1.4 角平分线/
1.4 角平分线 （第2课时）
导入新知
1.4 角平分线/
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、 CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位 置,P在何处？
A
B
C
素养目标
1.4 角平分线/
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展 学生的推理证明意识和能力.
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
E
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
CD
B
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
探究新知
(2)求证:AB=AC+CD.
证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD.
1.4 角平分线/
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解： 连接OC，
SΔABC = SΔAOC + SΔBOC + SΔAOB
= 1 AB OE + 1 BC ON + 1 AB OM
2
2
2
= 1 OM ( AB + BC + OM )
2
= 1 4 32 = 64
A
2
B
O
P
DM
C
探究新知
1.4 角平分线/
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边
的距离相等.
A
1.4 角平分线/
1.4 角平分线 （第2课时）
导入新知
1.4 角平分线/
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、 CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位 置,P在何处？
A
B
C
素养目标
1.4 角平分线/
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展 学生的推理证明意识和能力.
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
E
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
CD
B
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
探究新知
(2)求证:AB=AC+CD.
证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD.
1.4 角平分线/
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解： 连接OC，
SΔABC = SΔAOC + SΔBOC + SΔAOB
= 1 AB OE + 1 BC ON + 1 AB OM
2
2
2
= 1 OM ( AB + BC + OM )
2
= 1 4 32 = 64
A
2
B
O
P
DM
C
探究新知
1.4 角平分线/
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边
的距离相等.
A
北师大版八年级下册1.4角平分线的性质 课件 (共25张PPT)
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
E B
【例】如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分 线,DE⊥AB 于点 E,F 在 AC 上,BD=DF .求证: (1)CF=EB ; (2)AB=AF +2EB.
证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.
������������������ ������������������, ∵在 Rt△BED 和 Rt△AED 中, ������������ ������������,
������������������ ������������������, ∴Rt△BED≌Rt△AED.∴∠B=∠DAE.
这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠B=30°.∴DE= BD.∴CD= BD.
课堂练习:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交
BC 于点 D.若 AB=10,
△
=15,求
������������������
CD
的长.
解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E, ∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,∴DE=CD. ∴ △������������������ AB·DE= ×10×DE=15.
2018-2019学年八年级数学下册北师大版课件：1.4 角的平分线(共31张PPT)
分析:要证明PD=PE, 只要证明它们所在的三角形全等 即 △OPD≌△OPB，
D
P A
老师期望: zx.xk 你能写出规范的证明过程.
O E
.
B
C
“角平分线的性质”的三种语言
性质定理 （文字表示）： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
（符号表示）： 如图,∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点 （已知） 又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知 ) ∴ PD=PE (角平分线性质定理 ).
【例4】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB的延长 线于点E，DF⊥AC于点F，则DB＝DC.求证：BE＝CF.
解析：要证BE＝CF，可证△BDE≌△CDF. 而AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的性 质可得DE＝DF，又已知DB＝DC，利用HL 即得. 证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵DB＝DC，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴BE＝CF.
【例2】如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、 CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
解析：由角平分线的性质可推出OD＝OE，进而可证 OB、OC所在的△BOD和△COE全等，从而证明结论
解：∵AO平分∠BAC，BE⊥AC，CD⊥AB， ∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△BOD和△COE中， ∵∠BOD＝∠COE，OD＝OE，∠BDO＝∠CEO， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴OB＝OC.
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分 ∠EDF.
D
P A
老师期望: zx.xk 你能写出规范的证明过程.
O E
.
B
C
“角平分线的性质”的三种语言
性质定理 （文字表示）： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
（符号表示）： 如图,∵ OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点 （已知） 又 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E (已知 ) ∴ PD=PE (角平分线性质定理 ).
【例4】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB的延长 线于点E，DF⊥AC于点F，则DB＝DC.求证：BE＝CF.
解析：要证BE＝CF，可证△BDE≌△CDF. 而AD是∠BAC的平分线，利用角平分线的性 质可得DE＝DF，又已知DB＝DC，利用HL 即得. 证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵DB＝DC，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴BE＝CF.
【例2】如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、 CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
解析：由角平分线的性质可推出OD＝OE，进而可证 OB、OC所在的△BOD和△COE全等，从而证明结论
解：∵AO平分∠BAC，BE⊥AC，CD⊥AB， ∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△BOD和△COE中， ∵∠BOD＝∠COE，OD＝OE，∠BDO＝∠CEO， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴OB＝OC.
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分 ∠EDF.
最新北师大版八年级下册-第一章-1.4.2-三角形中的角平分线-课件(共21张PPT)教学讲义ppt
驶向胜利 的彼岸
人类要在竞争中生存，便 要奋斗。——孙中山
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因
果相应,言必有据.这是初学证明者 谨记和遵循的原则.
四年级下册第二单元作文指导 （ 说说心里话）
——，我想对你说。
明确单元作文要求
• 阅读书中作文提示，画出重点词句。
北师大版八年级下册第一章-1.4.2-三角形中 的角平分线-课件(共21
张PPT)
回顾与引入
1、角平分线是怎样定义的？
2、角平分线的性质和判定如何叙述？
3、上节课我们学到了哪些添加辅助线的 方法？
思思
用心想一想，马到功成
考考 分分
析析
习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线，你发现了什么?
• 妈妈对你悉心照顾，爱护你，你要对妈妈 表示感谢，并表达对妈妈的爱，希望以后 自己也能为妈妈分担。
• 看到其他同学在周末能和父母一起出外郊 游玩耍，很羡慕，希望爸爸妈妈能在繁忙 的工作中抽出时间，陪陪自己。
• 希望妈妈不要为自己安排太多的补习班， 能让自己有更多的时间参加体育运动和做 自己感兴趣的事情。
发现：三角形的三个 内角的角平分线交于一点 ．这一点到三角形三边的 距离相等．
三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这 点到三角形三边的距离相等。
该结论多应用于几何作图，特别是涉及实 际问题的作图题。
知识应用
1、在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的 ( B) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
• 首先我们要明确写作时人称上的问 题，
人类要在竞争中生存，便 要奋斗。——孙中山
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因
果相应,言必有据.这是初学证明者 谨记和遵循的原则.
四年级下册第二单元作文指导 （ 说说心里话）
——，我想对你说。
明确单元作文要求
• 阅读书中作文提示，画出重点词句。
北师大版八年级下册第一章-1.4.2-三角形中 的角平分线-课件(共21
张PPT)
回顾与引入
1、角平分线是怎样定义的？
2、角平分线的性质和判定如何叙述？
3、上节课我们学到了哪些添加辅助线的 方法？
思思
用心想一想，马到功成
考考 分分
析析
习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线，你发现了什么?
• 妈妈对你悉心照顾，爱护你，你要对妈妈 表示感谢，并表达对妈妈的爱，希望以后 自己也能为妈妈分担。
• 看到其他同学在周末能和父母一起出外郊 游玩耍，很羡慕，希望爸爸妈妈能在繁忙 的工作中抽出时间，陪陪自己。
• 希望妈妈不要为自己安排太多的补习班， 能让自己有更多的时间参加体育运动和做 自己感兴趣的事情。
发现：三角形的三个 内角的角平分线交于一点 ．这一点到三角形三边的 距离相等．
三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这 点到三角形三边的距离相等。
该结论多应用于几何作图，特别是涉及实 际问题的作图题。
知识应用
1、在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的 ( B) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
• 首先我们要明确写作时人称上的问 题，
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线》课件
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
C 2 D
A
E
B
探究2 角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相 等的点在这个角的平分线上
已知：如图，点P为∠AOB内一点，
D
PD O于 A D ,P EO于 B E ,且 PD PE
求证 O平 P ： A 分 O . B
1
O
2
证明： PD OA , PE OB ,
PDO PEO 90 ，
30 ，
那么它所对的直角边等
于斜边的一半）
A
F
D
C
一.选择题（精心选一选）
A
1.如图P， CO于 AC,PDO于 BD,12，C
则下列结论不（正 D ）确的是 1
P
APC PDBOC OD C DP O CPO O
2
DOD OP
D
2.如图A ， B中 在 C ， C90 ， A平 D 分 BA, C
A A
D
P
E B
如图D 所 B A 示 于 BB ， ,点 D C A于 CC ,点
B D C,N D oBA 2 D ， 0 则 BA (CA ) A.40ImBa.2g0e C.60 D.80
B
A
D
C
例： A 如 中 B 图 C B ， A ， 6 C ， 0D 在 在 点 B上 C A， D 1， 0 D E A于 B E ,D F A于 C F ,且 D D E,求 F D 的 E 长。
B
BC 3， 0CD :D B2:3， 则D 点 到 A的 B 距离 ( B )为
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线课件(共18张PPT)
A D
求证:点P在∠AOB的平分线上.
P
O
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= ∠OEP=90°
E
在Rt△ODP和Rt △OEP中
B
DP= EP, OP＝ OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
逆定理： 在一个角的内部, 到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
4.如图，在四边形OACB 中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180° 求证:CA=CB.
习题1.9答案 1.解如图,结论:三角形的三个 内角的平分线交于一点,并且 这个点到三角形的三边的距离相等.
2.证明∵AD平分∠BAC且 DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴BE=CF.
∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)∠ECD＝∠EDC； (2)OC＝OD； (3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，
又∵∠C=90°,BE=BE, ∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL). ∴∠DBE=∠CBE ∴BE平分∠ABC.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM; (2)连接CD; (3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即 为所求.
������������ = ������������,
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角