数学分析中极限的化归转化思想方法
在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想
化归 与转化 思想 。就 是把未 知 的数学 问题转 化
展 ，都是 由数 学思想 的突破 而引起 的 。可 以说 数学 为在 已学 知识 内可能解 决 的 问题 的一 种思想 ，其 特
思想 在数 学分 析 的发展 与完善 中起 着重要 的作用 。 点就 是实 现化 复杂 为简单 的转化 、从 不熟悉 向熟 悉
元 法 降阶法 等等 ，但任 何一 种数学 方 法都反 映 了一 知识 迈 进 ，使 低 一级 知识 向高一 级 知 识纵 深 发展 。
例如连续 函数 、导数 、定积分 、级数 的收敛等定义
收 稿 日期 ：２０１２—０２—２４ 基 金项 目 ：新世纪 教 改工程 ２０１０年项 目 （２０１０ＪＧＡ０７８）
深刻 、更本 质 ，具 有更 高 的概括水 平 。基本 的数 学 化 归思想 在数 学分 析 中起 着如 下两 种作用 ：
思 想包 括 ：符号 化思想 、公 理化 与结 构思想 、函数
（一 ）化 归 与转 化思 想对 数 学分 析 理论 起着 杠
与方 程 思 想 、数 形 结合 思 想 、化 归 思 想 、转 化 思 杆放 大作 用『１］
从 数 学发展 史来讲 ，微积分 的产生标 志着 从初 定 的数学思 想 ，如换元 法 实际上 就是转 化思 想 的具
等数 学到 高等数 学 的飞跃 ．经 过历 代数学 家们 的努 体 表 现 。
力 ．微积 分发展 成 为今天 具有 广泛 应用 意义 的数学
二 、化 归 与转化 思想
基础 学科— —数 学 分析 。数学 分析 理论 的每 一次发
一 些常用的函数 ，如指数函数、三角函数、对数 函 其 几何 意 义是 ：满 足 定理 三 个 条件 的 曲线 ｆ（Ｘ１在
化归思想在极限中的应用
分类号:017单位代码:10452毕业论文（设计）化归思想在极限中的应用姓名高云学号200901010352年级 2009专业数学与应用数学系（院）理学院指导教师王广兰2013年4月14日摘要本文根据已有的研究成果,论述了化归思想在极限中的应用.首先概述了化归思想的含义、化归思想的原则、化归思想的模式及化归思想的方法,然后说明了化归思想在极限中的地位和作用.本文的中心任务是利用化归将问题化繁为简、化难为易,化未知为已知,化抽象为具体的思想.以极限为出发点,分析总结数学分析中的定义、定理和推论是如何利用化归转化的思想得出新的定义、定理和推论,并通过列举实例进一步介绍了化归思想在数学分析中理论分析和解题过程中的具体应用.力求对数学化归思想的研究来指导自己的学习,达到从实践上升到理论的地步.关键词：化归思想；微积分；极限；级数ABSTRACTBased on the existing research results, this paper discusses the application of the transformation of ideas in the mathematical analysis. Firstly, it discourse the meaning of the idea, the principle of the idea, the mode of the idea and the method of the idea, and then illustrate the position and role of the transformation of ideas in mathematical analysis. The central task of this paper is using the ideas of the transformation,which is the use of normalized issues to simplify, the transformation of the unknown to the known, of the abstract to the concrete thinking.To achieve the transformation between the limits, differentiation, integration and progression,this paper summarizes and analyses how this knowledge,including definition, theorems and corollaries ,deduces new ones with the transformation of ideas starting form the limit in the mathematical analysis，and then describes the specific application of the theoretical analysis and problem-solving process in mathematical analysis by way of the idea.Strive to guide their own learning through the reserch of the transformation, to the point where rising from theoryto practice .Key words: transformation thoughts;calculus; limit; series目录1 引言 (1)2 化归思想 (1)2．1化归思想的概念 (1)2．2化归思想的方法 (1)3 化归思想在极限中的地位和作用 (2)4 化归思想方法在极限中的应用 (3)4.1数列极限与函数极限之间的化归 (3)4.2非规范的极限与规范极限之间的化归 (4)4.3不定式极限与洛比达法则之间的化归 (4)4.5极限与定积分之间的化归 (6)4.6多元函数的极限与一元函数的极限之间的化归 (6)5 结论 (8)致谢 (10)1 引言化归思想的内涵是在人们的学习数学解决问题的过程中，经常会遇到一些使用通常的方法而无法解决的未知的、复杂的、困难的、陌生的或非标准的抽象问题，因此采用“迂回的战术”，就是对于那些复杂的、困难的、陌生的或非标准的抽象问题，通过变形、转化将问题归结为对我们来说相对简单的、熟悉的、标准的、具体的或已知的问题的一种思想方法．化归实质上就是化繁为简，以简驭繁，化抽象为具体，以具体形象抽象，化未知为已知，以已知探索未知的过程．化归思想在数学分析中具有广泛的应用性，几乎渗透到数学分析的各个分支．比如：导数的定义化归为极限；求微分化归为求导数；二重积分与累次积分之间的转化；一些公式中的化归如格林公式、斯托克斯公式公式等等．化归思想在数学的学习中占有及其重要的位置，正确地理解化归思想将对我们数学的学习有很大的帮助[]3．2 化归思想2．1化归思想的概念所谓的化归思想就是把一些复杂的、陌生的、难以解决的问题进行变换转化变形,化为简单的、熟悉的、已经解决或容易解决的问题的一种思想方法．简单来说化归方法就是将复杂化为简单、未知化为已知、抽象化为具体、一般化为特殊以达到解决问题的目的的一种途径，如在积分中常用的换元法就是一种化归方法．通常化归思想方方法的结构由化归对象、化归目标和化归方法组成．化归对象是指所要解决的问题中需要转化的部分；化归目标是经过转化要达到的已有解决方法的规范问题；化归方法则是为了达到化归目标的要求所要采取的手段、措施和技术．化归思想方法可以用示意图表示，如下图1[]8：图1 化归思想方法示意图2．2化归思想的方法我们经常用到的化归思想方法主要有四种[]5：1．变形法，包括恒等变形及非恒等变形，通常所用的换元法就是一种变形法；2．典型化方法，就是把一般性问题转化为个别特殊典型问题的情况；3．逐步逼进法，也称作退步法，就是“退”，“退”到问题的开始而又不失重要性的地方，当然这里“退”又是为了以后的“进”，往前进，因此又称为逼进法；4．RMI（即关系映射的简称）方法，RMI方法可由如下图2思路框图形象说明其运用过程：ϕ−−−→映射-1ϕ逆映射图2 RMI思路框图[]5曾有人提出这样一个问题:“假设你现在有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，该怎么做？”对此，一人答道：“从水龙头处将水壶接满水，把水壶放在煤气灶上，再点燃煤气灶”，提出者认肯了这一回答．但他又追问：“现在水壶中已有足够的水，其他条件都没有变，又该怎样做呢？”．这时被提问者往往会很有自信的回答道：“把水壶放在煤气灶上，再点燃煤气灶．”但这一回答却并不能让提出者满意，因为在提出者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中水，并声称他已经把后一问题回归成先前已经解决的问题了[]9．这个故事恰好说明了化归思想方法在数学中的体现．例如，在计算二重积分时，通常都将二重积分化为累次积分，累次积分再化为定积分进行计算，最后得到结果．这就实现了由繁到简的化归过程．所以说化归思想实质上就是根据研究对象的某一性质通过特定的方法将原问题转化为我们熟知的某一问题，从而使原问题得到认知的过程．3 化归思想在极限中的地位和作用数学分析是数学系最重要的一门基础课．数学分析从发现、发展至形成严谨的理论，这一整个体系都可以看出化归思想的脉络[]1,化归转化思想已经渗透到它的各个分支．《数学分析》是有关无穷小量的分析的学科，通过它首先建立极限的概念，当极限概念一经建立，求极限的方法一经找到，整个学科的基本概念，如导数，连续，积分等的概念也就在极限的基础上发展起来了，因而对于此类问题益以从其本质作为出发点进行解决，即以求极限来解决．这样化归思想就将数学分析中的基本概念、基本理论都转化为已知概念—极限，其化归的思想的应用可见一斑．同时，在解决问题的过程中化归思想的脉络就更清楚了．如在计算00010-∞∙∞ ∞∞∞；；；；型极限，总是应用变形法化归为00型或∞∞极限计算，高阶导数可通过降阶化归为一阶导数，又如重积分、曲线积分、曲面积分都是通过降维化归为定积分进行计算．可以毫不夸张地说，数学分析这门学科正是利用无穷小量的分析建立起来的，而其一切概念、理论最后皆可化归到极限的概念和理论上去．极限思想与化归思想是建立数学分析的两条主要思想脉络，数学分析理论的发展、推广与化归是互为依存的．4 化归思想方法在极限中的应用《数学分析》全课程共包括四大部分：极限理论、一元函数微积分、级数理论、多元函数微积分．而一元函数、级数、多元函数相关的概念、结论、定理等相关知识是建立在极限的基础上的．如果我们把上述概念、结论、定理等看做珠子，那么极限就是这串珠成串的线．化归思想揭示了极限与这些概念的关系，以下就具体分析了化归思想在这四部分中的体现．4.1数列极限与函数极限之间的化归海涅归结原则把函数极限归结为数列极限问题来处理，从而我们应用归结原则和数列极限的有关性质就可以解决函数极限的问题，同样也可以利用函数极限的性质来解决数列极限的一些问题，归结原则实现了函数极限与数列极限之间的转化．归结原则[11]的内容可表述如下：()0lim x x f x A →=⇔对任意以0x 为极限的数列{}n x ；0n x x ≠，总有()lim n n f x A →∞=． 例4．1 证明函数极限柯西收敛准则的充分性：设函数()f x 在()'0;o U x δ内有定义，对任意的0ε>存在()'δδ<，使得对任何()''00,,x x U x δ∈都有()()'''f x f x ε-<，则极限()0lim x x f x →存在．【此题出华东师范大学数学系编写的《数学分析》第三版】 证 设数列{}()0'0;n x U x δ⊂，且0lim n n x x →∞=．由假设对给定的正数ε，存在相应的正数'δδ<，只要()'''00,,x x U x δ∈，便有()()'''f x f x ε-<．对上述的δ，由于0lim n n x x →∞=，则由数列极限柯西收敛准则，存在相应正数N ，对一切,m n ，都有()00,,n m x x U x δ∈，因此()()0m n f x f x ε-<．于是由数列(){}n f x 的柯西收敛知，它在极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设{}n y 为含于()'0;o U x δ的另外一个使0lim n n y x →∞=得数列，如上所证lim n n y →∞存在，记为B ，现证B A =．为此，考察数列{}1122:,,,,...,,,...n n n z x y x y x y ，易见{}()00U ,n z x δ⊂且0lim n n z x →∞=仍如上所证,(){}n f z 也收敛．于是作为(){}n f z 的两个子列(){}n f x ,(){}n f y 必有相同的极限．故有归结原则得：()0lim x x f x A →=．4.2非规范的极限与规范极限之间的化归有些情况下的极限值是无法直接求出的，但是可以转化为我们已知的极限的形式或者它的变形的形式，如两个重要的极限:0sin lim 1x x x →=()101lim 1+lim 1xx x x x e x →∞→⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，和一些等价的无穷小量，如：()()211cos 02x x x -→ ，()sin 0x x x → ，()arctan 0x x x → ，()()ln 10x x x +→ 等很多极限都可以化归为这些极限的形式或者它们变形的形式来求解．例4．2 求()()()21sin 1lim 13x x x x →--+． 解 由等价无穷小量可得()()()()()()2121sin 1lim 131lim 13x x x x x x x x →→--+-=-+0=．4.3不定式极限与洛比达法则之间的化归 两个无穷大量或无穷小量之比的极限成为不等式极限，即00型和∞∞，这类的极限用洛比达法则进行求解，而对于00010-∞∙∞ ∞∞∞；；；；这些由00和∞∞的变形形式的极限要化为前两种中极限来求解．但要注意的是洛比达法则（L ’Hospital ）是对函数而言的，既不能在数列形式下直接应用，因为对于离散变量n N +∈是无法求导数的．若要应用则必须通过海涅定理化归为函数后再求导数．例4．3 求()()01cos 2lim sin sin ln 12x x x x x x x →+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【此题为南京大学2002年研究生入学考试试题】．分析 利用无穷小量计算极限值，L ’Hospital 法则的运用．解 由于1sin sin 22x x x - ，()ln 1x x + ，因此 ()()()()()00201cos 2lim sin sin ln 121cos 2lim 1211ln 1sin 122lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→→+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+-=⎡⎤++++⎢⎥+⎣⎦= ()()0ln 111lim 114x x x x x x →+⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦ 94=． 4.4极限与级数之间的化归纵观整个级数理论部分可知，全部的级数理论都是在极限的基础上建立起来的，可以说级数的每一部分都与极限有着极大的关联．（1）求极限转化为级数．当所要证明数列的极限为0时，可以利用级数收敛的必要条件：若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=．例4．4 .1证明()!2!lim 0n n n a →∞= (1)a > 分析 通过观察可知直接求解极限值不容易，有极限值为0可以联想到级数收敛的必要条件， 即只讨论讨论级数()!2!n n a∑的收敛性即可，由正项级数的比式判别法可知，此级数收敛，由级数收敛，故由级数收敛的必要条件得证． （2）求极限转化为级数例4．4．2 设级数n a ∑收敛，证明0lim n n x x a a n+→=∑∑． 解 因[]()110,x x n ≤∈∞，且()111x x nn ≤+，所以1x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调一致有界，又n a ∑收敛，从而n a ∑在[]0,∞上一致收敛，由阿贝耳判别法知n x a n ∑在[]0,∞上一致收敛，显然()1,2,n x a n n = ，在[]0,∞连续，由连续性定理知n x a n∑在[]0,∞上连续，故 00lim lim n n n x x x x a a a n n ++→→==∑∑∑．4.5极限与定积分之间的化归形如1lim n n n k a k →∞=∑的数列极限化归为计算定积分．计算1lim nn n k a k →∞=∑时，先将n a k 表示成1k f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式，其中f 是[]0,1上的连续函数，然后利用公1011lim n n k k k f f n n n →∞=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰． 例4．5 求()3341lim 12n n n →∞+++ 的极限． 分析 把极限化为某一定积分的极限，以便用定积分来计算．解()334333311lim 12112lim 1lim n n n n i n nn n n n n i n n →∞→∞→∞=+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑ 311lim n n i i n n →∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ 是函数3()f x x =在区间[]0,1上的一个积分和的极限．取等分分割，1i x n ∆=，而i i n ξ=恒为小区间[]11,,i i i i x x n n --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的右端点，其中1,2,,.i n = 所以有 ()133341040111lim 1244n n x dx x n →∞+++===⎰ ．4.6多元函数的极限与一元函数的极限之间的化归多元函数因具有多个变量函数的复杂性增强，其性质和特征与一元函数有很大的不同，所以在计算多元函数的极限计算时就有更多的技巧，需要灵活运用．有时我们可以将多元函数的极限问题，通过变量替换可化归为一元函数的极限问题来讨论通过降低维数求解．具体为对二元函数作适当的变换()()x t y t ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，可以使得二元函数(),f x y 在点(),P x y 的极限转化为一元函数在点()P t 的极限，则可见其转化．例4．6 ．1 设()()()()()2222-,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧ ≠⎪+=⎨⎪ =⎩．证()()(),0,0lim ,0x y f x y →=．证 对函数的自变量做极坐标变换cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩．这时()(),0,0x y →等价于对任何ϕ都有0r →．由于()222222,01sin 4414f x y x y xy x y r r ϕ--=+=≤，因此，对任何0ε>，只须取δ=0r δ<=<时，不管ϕ取什么值都有(),0f x y ε-<即()()(),0,0lim ,0x y f x y →=．例4．6．2 讨论极限()()()()242,,,0,0y x f x y x y y x -=≠+在()0,0点的极限是否存在．分析 判断一个二元函数的极限是否存在有两种方法，直接求出极限，或者选择两个特定方向来化归为一元函数的极限来求极限值，若这两个极限值不相等，则说明二元函数的极限不存在．解 当(),x y 沿直线y mx =趋于()0,0，即x x =，y mx =时，有()()()()2420000lim ,lim ,lim 1x x x y y mx mx x f x y f x y mx x →→→→=-===+．但当当(),x y 沿直线2y x =趋于()0,0，即2x y =，y y =时，()()()22240000lim ,lim ,lim 0x y y y x y y y f x y f x y y y →→→→=-===+．两个极限值相等，所以()()242,y x f x y y x -=+在()0,0的极限不存在．5 结论通过上面对化归思想在数学分析理论知识和实例中的论述，可以看到它在数学分析中的地位和作用，及其应用一斑．在解题和理论分析的过程正确运用化归思想，不仅能起到化繁为简、化难为易、化抽象为一般的效果，帮助我们深入理解课本知识，真正的消化吸收．还可以培养我们的创造能力，启迪思维，深化认识，这对我们今后的学习有着及其重要的意义[]2．参考文献[1]Maxine Pfankuch．Thingking Tools and Variation［J］.New Zealand．The university of Auckland．2005．[2]S.S.Kutateladze．Excursus into the History of Calculus[J]．Russia．Sobolev Institute of Mathematics．2007.[3]John Fauvel,Milton keynes．The Role of the History Mathe-matics in the Teaching and Learning of mathematics[J]．2006．[4]林远华．化归思想在数学分析解题中的应用[J]．广西．河池师专学报．2002．[5]侯林波，郑月．化归思想在数学分析中的应用[J]．黄河科技学院民族学院．2011．[6]叶宝存．浅谈化归思想在数学分析中的应用[J]．北京．自然科学出版社．2005．[7]赵小云，叶立军．数学化归思维论[J]．北京．科学出版社．2005．[8]陈向阳．浅谈数学分析中的化归思想和化归方法[J]．桂林．桂林市教育学院学报．1996．[9]杨丽星．浅论数学分析中极限的化归转化思想方法[J]．丽江．丽江师范高等专科学校数理系．2002[10]王延源．浅谈化归法的应用[J]．临沂．临沂师范学院学报．2003．[11]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第三版．北京．高等教育出版社．2001．[12]华东师范大学数学系．数学分析下册[M]．第三版．北京．高等教育出版社．2001．[13]谢效训．化归思想方法在数学分析教学中的应用[J]．山东．枣庄师专学报．1998．[14]徐厚文．浅谈化归法[J]．山西．山西省雁北煤炭工业学校．[15]凌瑞璧．浅谈数学分析中的化归思想[J]．广西．广西教育学院学报．1995．[16]陈纪修，於嵩华，金路．数学分析上册[M]．北京．高等教育出版社．2000.致谢本论文是在导师王广兰老师的悉心指导下完成的．导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远．不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理．本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的．在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!2013年4月14日。
转化和化归_数学思想方法
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
高中数学思想----转化与化归思想
转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知4213532,4,25,a b c ===则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为4243552,42,a b ===由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为24213,33324,255a c ====由函数23y x =在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.高考必会题型题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0， 即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减 ↘2－2ln 2＋2a单调递增 ↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，则t ＝a2时函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a2<0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π2]上有最大值1.点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518] B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，14a )，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋23(e ＋1))B ．(0，2e ＋1)C ．(－∞，e ＋23(e ＋1))D ．(－∞，1e ＋1)答案 C解析 因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1， 则e 2x ＋1＋1>e ＋1，要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1e ＋1，可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a <e ＋2e ＋1·1x ＋3成立．设g (x )＝e ＋2e ＋1·1x ＋3，则a <g (x )max ， 因为x >0，则x ＋3>3， 从而1x ＋3<13，所以g (x )<e ＋23(e ＋1)，即a <e ＋23(e ＋1)，选C.5．已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.答案 2 016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016.6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________． 答案 (－3，32)解析 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________． 答案 (7－12，3＋12) 解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立， 即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立． 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得7－12<x <3＋12， 即实数x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 8．(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)． ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1＋(－x 2)≠0，由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且在[－1,1]上是增函数，不等式化为f (x 2－1)<f (3x －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1，－1≤3x －3≤1，解得x ∈(1，43]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数，所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0，设g (a )＝t 2－2at ，对∀a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0， 所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0.11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2.(1)求整数m 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－1，即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1，得－m －12≤x ≤－m ＋12. ∵不等式的整数解为－2，∴－m －12≤－2≤－m ＋12， 解得3≤m ≤5.又∵不等式仅有一个整数解－2，∴m ＝4.(2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的上方， 故f (x )－12g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立．设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2<x ≤1，3x ，x >1，则h(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，h(x)取得最小值3，故a<3，∴实数a的取值范围是(－∞，3)．--。
函数极限的归结原理应用
函数极限的归结原理应用1. 什么是函数极限的归结原理函数极限的归结原理，也称为函数极限的替换原理，是数学分析领域的基本理论之一。
它是一种用来确定函数在某一点的极限值的方法。
归结原理的核心概念是，如果函数在某一点处的极限存在，并且在该点附近的所有邻域内，函数与另一个函数的差的绝对值可以任意小，则这两个函数具有相同的极限值。
2. 函数极限的归结原理的应用范围函数极限的归结原理在数学分析的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些应用范围的例子：•极限计算：函数极限的归结原理是计算极限值的重要工具。
通过将给定函数与一个已知函数的差化为极限较为容易计算的形式，可以简化极限计算的过程。
•导数计算：在微分学中，导数是一个函数在某一点处的变化率。
函数极限的归结原理可以用于计算导数。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数在该点的导数。
•积分计算：在积分学中，积分是计算函数面积的一种方法。
函数极限的归结原理可以用于计算积分。
通过将函数化为极限的形式，可以得到函数的积分。
•级数求和：在级数学中，级数是一系列数的无穷和。
函数极限的归结原理可以用于求和级数。
通过将级数拆分为两个或多个级数的差，可以简化级数的求和计算。
3. 函数极限的归结原理的实例应用为了更好地理解函数极限的归结原理的应用，以下是一些实例应用的情况。
3.1 极限计算问题描述计算函数 f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解决方法首先，我们可以将函数化简为以下形式：f(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) = (x + 1)(3x + 1) / (x - 1)接下来，我们可以通过函数极限的归结原理来计算极限。
我们选择一个与函数中的 (x - 1) 相同的函数 g(x) = x - 1，并进行化简：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) / (x - 1)) * (g(x) / g(x))化简后得到：f(x) = ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) / ((x - 1) * g(x))在 x = 1 处，g(x) = 1 - 1 = 0，而分子 ((x + 1)(3x + 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 2，分母 ((x - 1) * g(x)) 在 x = 1 处等于 0。
数学八种思维方法
数学八种思维方法2021-03-26 17:55:33网络整理1.代数思想这是基本的数学思想之一，小学阶段的设未知数x，初中阶段的一系列的用字母代表数，这都是代数思想，也是代数这门学科最基础的根！2.数形结合是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
初高中阶段有很多题都涉及到数形结合，比如说解题通过作几何图形标上数据，借助于函数图象等等都是数形给的体现。
3.转化思想在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。
4.对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
5.假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
6.比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
7.符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式等。
8.极限思想方法事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
浅谈数学思想方法之化归与转化思想
化； 分类 讨论 思想 体现 了局 部与 整体 的相互 转化 ， 以 所
以上 三种思 想方 法都 是 转 化 思想 的具 体 体 现 ， 而分 析 法 、 证法 、 反 待定 系数 法 、 造法 、 构 换元 法等 都是转 化 的
手段。
、
１２ 命题 动 向 ．
高 考 中十分 重视化 归 与转化 思想 的考查 ， 在选 择 、 填 空及 解答 题 中均会 有 所 体 现 ， 以要 求 考 生熟 悉 化 所
由倒数 法则
∈～ 一 ） （，ｏ （ 每 ｕ ＋ 。 。
２ ２ 正 与 反 的 相 互 转 化 ．
可知 ｂ ａ ０所 以ａ ＜ ０ ａ ＞ ０ ｌ ｌ ｌ ＜ ＜ ， ＋ｂ ， ｂ ，ｌ ＞ 。 ｂ ａ
所 以（ ） ，２ 、 ３ 错 误 。又 口、 １对 （） （ ） ６都 小 于 ０ 所 以 ，
ｆ
＼
Ｃ
ｎ ／
Ｂ／
１
＼
＼ Ｘ
归 与转 化 的各 种 变换 方 法 ， 有 意识 地 运 用数 学 变 换 并
的方 法 ， 灵活解 决 有 关 的数 学 问题 。高 考 中 突 出考 查
一
０
＼／ 一 、 ＼ 、
— ■
些 常用 的Байду номын сангаас 换方 法 ， 如数 与形 的转化 、 特殊 与一般 的
从 上游 漂流而 下 的一 只 巨大 的汽 油 灌 ， 已知 只 有 ５发
选 项 为 Ｂ ．
解 法二 ： 殊 值法 ， ａ一一 ３ ６ 一４ 则 直接 得 特 令 ，一 ，
＞０ 由均值 定理 得 ，
旦 ＋＿ ａ
ａ Ｄ
有些 数学 问题 ， 如果 直接从 正面人 手求 解难 度大 ，
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
万方数据
万方数据
万方数据
试论数学分析中极限的化归转化思想方法
作者：杨丽星
作者单位：丽江师范高等专科学校数理系
刊名：
科技信息
英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2010，""(12)
被引用次数：0次
1.华东师大教学系.《数学分析》.高等教育出版社,1991
2.复旦大学数学系.《数学分析》.高等教育出版社,1983
3.解思泽,赵树智.《数学思想方法纵横论》.科学出版社,1987
4.明清河.《教学分析的思想与方法》.山东大学出版社,2004
5.徐利治.《数学方法论选讲》.华中工学院,1988
6.张雄,李得虎.《数学方法论与解题研究》.高等教育出版社,2003
7.米山国藏.《教学的精神、思想和方法》.四川教育出版社,1986
8.史九一,朱梧槚.《化归与归论化联想》.江苏教育出版社,1989
9.解思泽,徐本顺.《数学思想方法》.山东教育出版社,1995
10.M.克莱因.《古今数学思想》.上海科技社,1981
11.王仲春,李元中.《数学思维与数学方法论》.高等教育出版社,1989
12.喻平.《数学问题化归理论与方法》.广西师大出版社,1999
13.钱吉林等.《数学分析题解精粹》.崇文书局,2003
14.杨永平.运用化归思想,探索解题途径,数学通报,1994(08)
15.凌瑞壁.浅谈数学分析中的化归思想.广西教育学报,1995(02)
16.陈向阳.浅谈数学分析中的化归思想和化归法.桂林教育学院学报,1996(03)
17.黄焕萍.倒析数学分析中的化归思想方法.广西师院学报,1997(01)
18.林远华.化归思想在数学分析解题中的应用.河池师专学报,2002(02)
本文链接：/Periodical_kjxx201012407.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7949722f-5a15-4b0c-928e-9dcf008e8a3f
下载时间：2010年8月11日。