不等式单元测试题及答案

第三章 章末检测(B)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1

A ．a >ab >ab 2

B ．ab 2

>ab >a

C ．ab >a >ab 2

D ．ab >ab 2

>a

2．已知x >1，y >1，且14ln x ，1

4，ln y 成等比数列，则xy ( )

A ．有最大值e

B ．有最大值 e

C ．有最小值e

D ．有最小值 e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M

4．不等式x 2－ax －12a 2

<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )

5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )

A ．a 2>b 2

B ．(12)a <(12)b

C ．lg(a －b )>0 D.a b

>1

6．当x >1时，不等式x ＋

1

x －1

≥a 恒成立，则实数a 的取值围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]

7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0

，则不等式f (x )≥x 2

的解集是( )

A ．[－1,1]

B ．[－2,2]

C ．[－2,1]

D ．[－1,2]

8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b

≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤1

8

9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，2x ＋y ≤2，

y ＋2≥0，

则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为

( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )

A ．甲先到教室

B ．乙先到教室

C ．两人同时到教室

D ．谁先到教室不确定

11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取

值围是( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18

B.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫18，1 C ．[1,8) D ．[8，＋∞)

12．函数f (x )＝x 2

－2x ＋1x 2－2x ＋1

，x ∈(0,3)，则( )

A ．f (x )有最大值7

4

B ．f (x )有最小值－1

13．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为

________________________________________________________________________．

14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2

－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值围是________．

15．若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋5≥0，y ≥a ，

0≤x ≤2

表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值围是

________．

16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2

a

与a ＋b 的大小．

18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．

求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤1

8

.

19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式ax

x －2

>1.

20．(12分)求函数y ＝x ＋2

2x ＋5

的最大值．

21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么围？

(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、

产品消耗量资源甲产品

(每吨)乙产品

(每吨)资源限额

(每天)

煤(t)94360

电力(kw· h)45200

劳动力(个) 3 10 300 利润(万元) 6 12

问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

第三章 不等式 章末检测答案(B)

1．D [∵a <0，－1

∴ab >0，ab 2

<0.

∴ab >a ，ab >ab 2

.

∵a －ab 2＝a (1－b 2

)＝a (1＋b )(1－b )<0，

∴a

3．A [∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)

＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2

－2a ＋3

＝(a －1)2

＋2>0.∴M >N .]

4．B [∵x 2－ax －12a 2

<0(a <0) ⇔(x －4a )(x ＋3a )<0 ⇔4a

5．B [取a ＝0，b ＝－1，否定A 、C 、D 选项． 故选B.]

6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1

x －1

＋1≥

2

x －1·1

x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2

⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x ＋2≥x 2或⎩

⎪⎨⎪⎧

x >0－x ＋2≥x 2

⇔⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ≤0x 2

－x －2≤0

或⎩⎪⎨

⎪

⎧

x >0x 2

＋x －2≤0

⇔⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ≤0

－1≤x ≤2或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x >0－2≤x ≤1

⇔－1≤x ≤0或0

⇔－1≤x ≤1.]

8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确， 故选D.]

9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，

u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝8

3

.

∴u ＝x ＋3y ∈[－8，8

3

]．

∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]

10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T