几种阻尼比识别的方法1
阻尼基本理论及阻尼模型评价方法综述
阻尼基本理论及阻尼模型评价方法综述摘要:阻尼是结构动力分析的基本参数,对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。
因此,从基本概念着手,分析阻尼产生原因以及从不同角度分类,得出建筑结构中动力分析常用的阻尼为瑞利阻尼;经过很多专家学者多年的研究，提出了多种阻尼模型，它们各有优缺点，文中介绍了一种统一的阻尼模型的定量评价方法,对于具体问题应采用合理的模型。
关键词:阻尼;阻尼模型；瑞利阻尼；阻尼模型的评价方法Abstract: the damping is structure dynamic analysis of the basic parameters, the structure of the dynamic analysis of the results of the accuracy has very big effect. Therefore, from the basic concept, the thesis analyzes damping causes and classification from different angles, and concludes that the building structure dynamic analysis of the commonly used for damping Rayleigh damping; After many years of research experts and scholars, and puts forward a variety of damping model, and they all have the advantages and disadvantages, this paper introduces a unified damping model of quantitative evaluation method, for a specific problem should be the use of reasonable model.Keywords: damping; Damping model; Rayleigh damping; Damping model evaluation method1 阻尼的基本概念我们知道,若无外部能源,则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止。
结构动力学思考题解答by李云屹
结构动力学思考题made by 李云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么结构的运动方程有什么不同主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度什么是静力自由度区分动力自由度和静力自由度的意义是什么动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变 如果满足条件： (1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij 和质量系数m ij 的直接物理意义是什么如何直接用m ij 的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]k ij ：由第j 自由度的单位位移所引起的第i 自由度的力； m ij ：由第j 自由度的单位加速度所引起的第i 自由度的力。
依次令第j （j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i 自由度上的力，从而得到m ij ，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么 (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
阻尼测试方法,
阻尼测试方法,（实用版3篇）《阻尼测试方法,》篇1阻尼测试是一种测试材料阻尼特性的方法，通常用于评估材料的振动吸收能力和减震性能。
以下是几种常见的阻尼测试方法：1. 线性振动阻尼测试：该方法通过施加一个线性振动激励，测量材料的振动响应和阻尼特性。
测试结果可以用来计算材料的损耗因子和品质因子，评估材料的阻尼性能。
2. 谐振阻尼测试：该方法通过施加一个谐振激励，测量材料的振动响应和阻尼特性。
测试结果可以用来计算材料的损耗因子和品质因子，评估材料的阻尼性能。
3. 随机振动阻尼测试：该方法通过施加一个随机振动激励，测量材料的振动响应和阻尼特性。
测试结果可以用来计算材料的损耗因子和品质因子，评估材料的阻尼性能。
4. 冲击阻尼测试：该方法通过施加一个冲击激励，测量材料的振动响应和阻尼特性。
测试结果可以用来计算材料的损耗因子和品质因子，评估材料的阻尼性能。
5. 动力学阻尼测试：该方法通过施加一个动力学激励，测量材料的振动响应和阻尼特性。
测试结果可以用来计算材料的损耗因子和品质因子，评估材料的阻尼性能。
《阻尼测试方法,》篇2阻尼测试是一种测试材料阻尼特性的方法，通常用于评估材料的振动吸收能力和减震性能。
以下是一些常见的阻尼测试方法：1. 振动台测试：将材料固定在振动台上，并通过激励器产生振动。
通过测量振动台的振动幅度和振动时间，可以计算出材料的阻尼比。
2. 落锤测试：将材料固定在一个平台上，并用一个重物敲击平台。
通过测量重物的反弹高度和敲击力度，可以计算出材料的阻尼比。
3. 扭摆测试：将材料固定在一个扭摆装置上，并通过激励器产生扭转振动。
通过测量扭摆装置的振动幅度和振动时间，可以计算出材料的阻尼比。
4. 冲击测试：将材料固定在一个冲击台上，并通过冲击器产生冲击。
通过测量冲击台的振动幅度和振动时间，可以计算出材料的阻尼比。
5. 共振测试：将材料固定在一个共振腔中，并通过激励器产生共振。
通过测量共振腔的振动幅度和振动时间，可以计算出材料的阻尼比。
adams结构阻尼比的分析
adams结构阻尼比的分析第一部分：引言在结构工程领域中，阻尼比是一个重要的概念，它对结构的振动响应和稳定性有着重要影响。
阻尼比通常用于描述结构在振动过程中能量吸收的能力。
在这篇文章中，我们将深入探讨Adams结构阻尼比的分析，以及它在工程设计中的应用。
第二部分：Adams软件简介为了更好地理解Adams结构阻尼比的分析，我们首先需要了解Adams软件。
Adams是一种多体动力学仿真软件，广泛应用于工程设计和结构分析。
它可以模拟各种机械系统的运动和振动行为，并提供详细的设计评估和优化功能。
Adams软件的一个关键特点是它可以模拟结构在不同阻尼条件下的振动响应。
第三部分：阻尼比的定义和意义阻尼比是衡量结构振动响应衰减程度的重要参数。
它被定义为结构实际阻尼与临界阻尼之比。
临界阻尼是结构振动最快衰减的阻尼情况。
阻尼比的值越大，结构的振动衰减越快。
在工程设计中，选择合适的阻尼比可以提高结构的稳定性、避免共振和减小振动响应。
第四部分：Adams中的阻尼比分析方法Adams软件提供了多种方法来进行阻尼比分析。
其中一种常用的方法是基于模态分析的阻尼比计算。
模态分析通过识别结构的振型和频率来获取结构的模态参数，包括模态阻尼比。
通过对不同模态的振动响应进行分析，我们可以获得结构在不同阻尼条件下的响应特性。
第五部分：阻尼比分析的应用案例在工程设计中，准确的阻尼比分析可以帮助工程师评估结构在不同工况下的振动响应。
在地震工程中，通过分析结构在地震激励下的阻尼比，可以确定结构的稳定性和耐震性能。
在机械系统设计中，准确的阻尼比分析可以帮助优化结构的动态特性和减小振动噪声。
第六部分：总结和回顾通过本文的阻尼比分析，我们深入探讨了Adams结构阻尼比的分析方法和应用案例。
了解和确定合适的阻尼比对于结构工程师来说是至关重要的，它不仅影响结构的振动响应和稳定性，还在工程设计中起到了关键的作用。
我们通过Adams软件的模态分析方法来计算阻尼比，并通过实际案例展示了阻尼比分析在工程设计中的重要性。
钢框架阻尼比
钢框架阻尼比引言钢框架在建筑结构设计中具有广泛的应用，特别是在高层建筑和大型公共建筑中。
然而，钢框架的设计还需要考虑阻尼比的影响。
阻尼是由于结构振动而产生的能量耗散，其对结构的稳定性和安全性具有重要影响。
本文将介绍钢框架中的阻尼比，分析阻尼对结构设计和优化的影响，并给出阻尼比的计算方法。
一、钢框架中的阻尼比阻尼比是衡量结构振动能量耗散的指标，其反映了结构的阻尼性能。
在钢框架中，阻尼比的计算方法与其他类型结构相似，主要包括以下几种方法：1. 自然阻尼比：根据结构材料的物理性质，通过实验测量得到。
钢框架的自然阻尼比通常在0.01～0.04之间。
2. 比例阻尼比：根据结构的振动特性，通过振动方程计算得到。
钢框架的比例阻尼比可通过结构的位移-速度或位移-加速度函数计算得到。
3. 复阻尼比：考虑结构的多种阻尼机制，如粘弹性阻尼、磁阻尼等，通过复阻尼模型计算得到。
二、阻尼比对结构设计的影响阻尼比对钢框架的设计具有重要影响。
较低的阻尼比可以提高结构的承载能力和抗震性能，但同时也可能降低结构的稳定性。
因此，在设计钢框架时，需要综合考虑阻尼比的影响，合理选择阻尼类型和阻尼参数，以实现结构性能与稳定性的平衡。
三、阻尼比的计算方法钢框架的阻尼比计算方法可以分为两类：理论计算和实验测量。
理论计算主要依赖于结构的振动特性和材料性质，通过建立振动方程和能量守恒方程，可以计算得到阻尼比。
实验测量则通过测量结构的振动响应，结合阻尼理论，反推得到阻尼比。
两种方法各有优缺点，实际应用中需要根据具体情况选择合适的计算方法。
结论钢框架中的阻尼比对结构性能和稳定性具有重要影响。
为了实现钢框架设计的合理性和安全性，需要综合考虑阻尼比的影响，并选择合适的阻尼比计算方法。
随着结构振动理论和阻尼技术的不断发展，阻尼比的计算方法和应用将更加精确和完善。
几种阻尼比识别的方法1
几种参数识别的方法A 基于时域的参数识别方法推导A1 Ibrahim 时域方法Irrahim 时域识别方法是需要测量自由响应信号或者脉冲信号。
系统为二阶线性系统，被测自由响应信号为x(t)，二阶线性系统为复指数之和。
)()(~)(t n t p t x +⋅ψ= (A-1)[]***ψψψψψψ=ψNN ,,,,,,,2121 (A-2) {}t t t t t t N N e e e e e e t p ***=λλλλλλ,,,,,,,)(~2121 (A-3) 其中n(t)为输出噪音信号，N 是振动模态数，它由被测的二阶系统和通过模拟低通滤波截断频率所共同决定，Ψi 和λi 为二阶系统的本征矢量和特征值，m 为测量点数，其中m=1。
通常认为m 等于N ，N 为振动模态数量，为求出)(~t p ，它为2N*1矩阵，必须在时域上扩展响应信号矢量，例如，在t+T3时刻，响应信号可表示为：)()(~),()(333131t n t p e e diag T t x T T +⋅⋅ψ=+⋅⋅*λλ (A-4)其中n3（t ）为在t+T3时刻的噪音矢量，联合公式1和4可得出：)()(~~)(t N t p t u +⋅ψ= (A-5)其中：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()(3T t x t x t u (A-6) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅ψψ=ψ⋅⋅*),(~3131T T e e diag λλ (A-7) 或者, []***ψψψψψψ=ψN N ~,,~,~,~,,~,~~2121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)()()(3t n t n t N (A-8) 同样的，可以很容易地得出以下公式：)()(~),(~)(113131t N t p e e diag T t u T T +⋅⋅ψ=+λλ (A-9)看公式5，假设复指数是线性独立的，我们可以得到：)(~)(~)(~11t N t u t p ⋅ψ-⋅ψ=-- (A-10)将公式10代到9中，我么和可以得到：)()(~),(~)(~),(~)(111131313131t N t N e e diag t u e e diag T t u T T T T +⋅ψ⋅⋅ψ-⋅ψ⋅⋅ψ=+-⋅⋅-⋅⋅**λλλλ(A-11)忽略噪音，可得：)()(1t u A T t u ⋅=+ (A-12)其中 1~),(~1111-⋅⋅ψ⋅⋅ψ=*T T e e diag A λλ (A-13)),,2,1(,1111N i e e T T =⋅⋅*λλ是矩阵A 的特征值，测试项目的特征值可以通过解决ψ~（它由矩阵A 的特征值组成）来得到。
几种阻尼比识别的方法1
几种阻尼比识别的方法1几种阻尼比识别的方法1阻尼比（damping ratio）是描述振动系统阻尼程度的一个参数。
在工程领域中，通常使用阻尼比来描述系统的稳定性和响应特性。
阻尼比的识别对于设计和调整振动系统非常重要。
下面介绍几种常见的阻尼比识别的方法。
1. 超几何拟合法（Superposition Method）：超几何拟合法是经典的阻尼比识别方法之一、该方法基于振动系统的阻尼振动方程的解析解，通过与实测数据进行超几何拟合，得到系统的阻尼比。
具体步骤如下：1）确定振动系统的自由振动方程以及初始条件；2）通过测量得到的振动响应数据，选择合适的超几何函数形式；3）确定超几何函数的参数，并使用最小二乘法拟合实测数据；4）根据拟合结果，计算系统的阻尼比。
2. 轮廓法（Envelope Method）：轮廓法是一种非参数的阻尼比识别方法。
该方法基于对实测振动信号的包络线进行分析，利用包络线的衰减特性来估计系统的阻尼比。
具体步骤如下：1）对实测振动信号进行包络分析，得到包络线；2）选取包络线的峰值，并计算相邻两个峰值的衰减比；3）根据衰减比，计算系统的阻尼比。
3. 频率扫描法（Frequency Scan Method）：频率扫描法是一种基于频率响应的阻尼比识别方法。
该方法通过改变系统的激励频率，测量系统在不同频率下的响应特性，并分析频率响应曲线，得到系统的阻尼比。
具体步骤如下：1）在一定频率范围内，改变系统的激励频率，记录系统的振动响应；2）根据测得的频率响应数据，绘制振动幅度-频率曲线；3）分析曲线的特征，如峰值位置和宽度，来估计系统的阻尼比。
4. 最大似然法（Maximum Likelihood Method）：最大似然法是一种基于统计推断的阻尼比识别方法。
该方法通过最大化实测响应数据与预测响应数据之间的似然函数，来估计系统的阻尼比。
1）建立系统的数学模型，包括自由振动方程和初始条件；2）根据模型参数和系统响应数据，建立似然函数；3）通过最大化似然函数，利用优化算法来计算系统的阻尼比。
无量纲阻尼比
无量纲阻尼比阻尼是物理学中一个重要的概念，用来描述振动系统中的能量损耗情况。
阻尼比则是一个无量纲的比值，用来衡量阻尼的强弱程度。
在本文中，我们将探讨无量纲阻尼比的概念、计算方法以及其在振动学中的应用。
一、概念阻尼比是描述振动系统中阻尼的强弱程度的一个无量纲比值。
它是通过比较振动系统中的阻尼力和临界阻尼力之间的大小关系来定义的。
在无阻尼情况下，振动系统将以自然频率振动；而在有阻尼情况下，振动系统将随时间逐渐减弱，直到停止。
阻尼比的大小取决于阻尼力和临界阻尼力的相对大小。
二、计算方法计算无量纲阻尼比的方法主要有两种，分别是通过振动系统的参数计算和通过振动信号的分析计算。
1. 参数法根据振动系统的参数，可以通过以下公式计算无量纲阻尼比：阻尼比= (2 * ξ) / √(1 - ξ²)其中，ξ为振动系统的阻尼比，取值范围为0到1。
2. 信号法通过对振动信号的分析，可以得到系统的阻尼比。
常用的方法包括傅里叶变换、短时傅里叶变换等。
这些方法可以将时域信号转换为频域信号，从而得到振动系统的频谱分布，进而计算无量纲阻尼比。
三、应用无量纲阻尼比在振动学中有着广泛的应用。
主要体现在以下几个方面：1. 系统识别通过测量振动系统的阻尼比，可以对系统进行识别。
阻尼比的大小与系统的动态特性有关，可以帮助工程师了解系统的固有特性，从而进行合理的设计和优化。
2. 振动控制对于一些需要控制振动的系统，无量纲阻尼比可以作为控制参数进行调整。
通过合理地选择阻尼比，可以实现对系统振动行为的控制，提高系统的稳定性和性能。
3. 结构健康监测无量纲阻尼比在结构健康监测中有着重要的应用。
通过对结构振动信号进行分析，可以得到结构的阻尼比。
通过实时监测阻尼比的变化，可以判断结构的健康状况，及时发现并修复结构的损伤。
4. 振动故障诊断无量纲阻尼比可以用于振动故障的诊断。
通过对振动信号进行分析，可以提取系统的阻尼比参数。
当实测阻尼比与理论值相差较大时，可能意味着系统存在故障，可以通过进一步的分析来确定具体的故障类型和位置。
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几种参数识别的方法A 基于时域的参数识别方法推导A1 Ibrahim 时域方法Irrahim 时域识别方法是需要测量自由响应信号或者脉冲信号。
系统为二阶线性系统，被测自由响应信号为x(t)，二阶线性系统为复指数之和。
)()(~)(t n t p t x +⋅ψ= (A-1)[]***ψψψψψψ=ψNN ,,,,,,,2121 (A-2) {}t t t t t t N N e e e e e e t p ***=λλλλλλ,,,,,,,)(~2121 (A-3) 其中n(t)为输出噪音信号，N 是振动模态数，它由被测的二阶系统和通过模拟低通滤波截断频率所共同决定，Ψi 和λi 为二阶系统的本征矢量和特征值，m 为测量点数，其中m=1。
通常认为m 等于N ，N 为振动模态数量，为求出)(~t p ，它为2N*1矩阵，必须在时域上扩展响应信号矢量，例如，在t+T3时刻，响应信号可表示为：)()(~),()(333131t n t p e e diag T t x T T +⋅⋅ψ=+⋅⋅*λλ (A-4)其中n3（t ）为在t+T3时刻的噪音矢量，联合公式1和4可得出：)()(~~)(t N t p t u +⋅ψ= (A-5)其中：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()(3T t x t x t u (A-6) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅ψψ=ψ⋅⋅*),(~3131T T e e diag λλ (A-7) 或者, []***ψψψψψψ=ψN N ~,,~,~,~,,~,~~2121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)()()(3t n t n t N (A-8) 同样的，可以很容易地得出以下公式：)()(~),(~)(113131t N t p e e diag T t u T T +⋅⋅ψ=+λλ (A-9)看公式5，假设复指数是线性独立的，我们可以得到：)(~)(~)(~11t N t u t p ⋅ψ-⋅ψ=-- (A-10)将公式10代到9中，我么和可以得到：)()(~),(~)(~),(~)(111131313131t N t N e e diag t u e e diag T t u T T T T +⋅ψ⋅⋅ψ-⋅ψ⋅⋅ψ=+-⋅⋅-⋅⋅**λλλλ(A-11)忽略噪音，可得：)()(1t u A T t u ⋅=+ (A-12)其中 1~),(~1111-⋅⋅ψ⋅⋅ψ=*T T e e diag A λλ (A-13)),,2,1(,1111N i e e T T =⋅⋅*λλ是矩阵A 的特征值，测试项目的特征值可以通过解决ψ~（它由矩阵A 的特征值组成）来得到。
为了得到A ，做如下假设：t i t ∆⋅= (A-14)t N T ∆⋅=11 (A-15)t N T ∆⋅=33 (A-16)然后，矩阵A 可以通过以下公式计算出来：)0()(1U A N U ⋅= (A-17)其中，[])1(,),1(),()(-++=M j u j u j u j U ， j=0，N 1 (A-18)如果M 大于等于2*N ，而且复指数是线性独立的，矩阵A 可通过以下公式得出。
如果M=2*N,11)0()(-⋅=U N U A (A-19)如果M>:2*N ，11))0()0(()0()(-⋅⋅⋅=T T U U U N U A (A-20)或者111111))()0(()()(21))0()0(()0()(21--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=T T T T N U U N U N U U U U N U A (A-21)公式21也叫做DLS （double least square ）.据说DLS 具有更精确的振动模态估计。
Ibrahim 的时域方法有一个限制，即需要已知测试点或测试位置的数量值m 。
通常，在测量振动信号时，测试点的数量值小于模态数量。
通过将假测量引入到响应矢量x(t)中可部分解决上述问题，即令：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()()()(~22N i x i x T t x t x t x (A-22) )()(22N i x N i x l l +=+⨯ (A-23)其中)(,,2N i x m l N l m l l +≤=+⨯是大小减小的响应矢量，U(t)由)(~t x 构造出来，如果2N m <，并且假测量的原则可以用来扩展)(~t x 的大小，其中一个条件是 23N i N ⋅≠ (A-24)为了使U(0)和U(N1)为最大的一列。
用假测量来减小噪声的影响，在限定的时间范围内，任何时间相关函数可以使用泰勒展开或者一些复指数来估计得到，即：∑=⋅*⋅*⋅+⋅=DN i t g i t g i i i e q e q t N 1)()( (A-25)DN 是噪声模态的大小，它由使用公式25所表示的噪声的精度来决定的。
也就是泰勒展开的基本函数。
由于这些随机自然噪声，噪声模态能够很容易被改变或者不稳定。
为了数出这些噪声模态，假测量可以被用来增大)(~t x 。
噪声可以通过感觉或者物理阐述本征矢量或者特征值来检测到。
噪声模态还可以通过MCF （模态的置信因数或者OAMCF （总体的模态置信因数）来检测到，MCF 定义如下：)(~)(~)(31k N e k MCF i T i k +ψ⋅ψ=⋅λ (A-26) 其中i ψ~在公式7中有定义，OAMCF 定义如下： NP OAMCF 0= (A-27) 其中P 0为（MCF ）k 的数量，（MCF ）k 接近于幅值为1，相位角度为0。
如果OAMCF 接近于1，则相应的模型可以被归纳为系统模型或者测试项目的振动模型。
假-测量隐含的条件是减少噪声对评估的影响。
A2 复指数方法复指数方法，或称为波朗尼方法，实际上是AR 模型的基本方法，被测信号必须是脉冲响应或者至少是自由响应信号。
在复指数方法中的AR 模型与ARMA 模型并不接近，它有如下表示方法：脉冲响应矢量或者自由响应矢量有如下定义：∑∑⋅ψ=⋅ψ==∆⋅⋅)()()(21k i i Ni T k i Z e k h i λ (A-28)其中△t 是采样时间，T i i e Z ∆⋅=λ， (A-29)而h(k)和i ψ都是M*1的矩阵。
假设)())(()(221202N N i i i N z z z z z z z a---=⋅∑-- (A-30)然后，∑∑∑∑∑==-==+-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅ψ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ψ⋅=+⋅N i N j j i j N k i i Nj N i j k i i j N N j j N z a z z a j k h a 20212202122020)()())(((A-31)∑-=-+-=+⋅120)2())((N j j aN k N h j k h a (A-32)注意公式31和公式32没有任何近似值，a i （i=1，2···2N ）是AR 参数，这些AR 参数可以通过时间上扩展公式32得到： h a H ~~-=⋅ (A-33) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+---=)1()12()2()2()2()1()12()1()0(~NM h N NM h N NM h N h h h N h h h H (A-34) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-112a a a a aN N (A-35) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=)()12()2(~NM h N h N h h (A-36) NM 是测量次数，必须满足以下条件N M NM ⋅≥⋅4 (A-37)A 的解既不是最小二乘法也不是单值的分解 h H H H a T T ~~)~~(1⋅⋅⋅-=- (A-38)或者h H a T ~~⋅-= (A-39)可以通过解决代数公式30可以得到自然频率和模态振动。
伴随矩阵方法，它将多项式根的问题转化为矩阵特征值的问题，可以被用来求多项式的根，它比传统的Newton-Raphson 方法更加精确，它的本征矢量可以通过以下公式求得： HZ ˆ=⋅ψ (A-40) 其中[]N 221,,,ψψψ=ψ (A-41)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r N N Nr r z z z z z z z z z Z 212022120211101(A-42) [])(,),1(),0(ˆr h h h H= (A-43) 其中 12-≥N r 。
最后，最小正解为： 1)(ˆ-⋅⋅=ψT T ZZ Z H(A-44) 复指数方法的一个很大的优点是：可以通过只使用一个测量点来估计测试项目的复特征值，然而，为了估计特征值，在其他许多点上测量是必要的。
由于不可避免的干扰和测量噪声，测量值往往有误差，平均误差可以用e T e 来表示，e 的定义如下： h a H e ~~+⋅= (A-45) 为了降低噪声的影响，可以使用最大假设系统阶次，那么复指数方法的另外一个问题是确定实际系统阶次以及消除噪声模态。
如果假设的阶次小于实际系统阶次，由于未知的振动模态数量，平均误差会很大。
如果假设的阶次打渔实际系统阶次，平均误差只能是由噪声引起的，实际误差应该要小。
通过增大系统假设阶次，平均误差在某些特定水平上会稳定。
实际系统阶次可以通过观察eTe 伴随着假设的系统阶次N 的变化而变化来得到。
确定实际系统阶次的方法是时间的消耗和计算密度。
它的尺度与MCF 相似，后者也是为了消除噪声模态而产生的。
复指数方法的另外一个问题是，如果激励点与一些特殊振动模态的节点很靠近，振动模态被有效激励，而且会产生很大的误差。
Polyreference 方法是复指数方法在多个激励点或者位置上的扩展，假设)(k Y ij 是在点i 处，时间k 处的脉冲响应乘以j 处的脉冲信号。
)(k Y ij 必须满足公式46的条件，公式46是公式32在多个激励位置上的扩展。
注意脉冲响应是由在不同位置的单独脉冲输入所产生的。
这意味着脉冲信号要分开使用：∑-=-+-=+⋅1202)2())((N j j N k N Y j k Y a (A-46)通过简化，AR 模型参数可以通过以下公式解决：∑∑==-=⋅NPk NP k k k h a H 11)~()~( (A-47)其中k H ~和k h ~是公式33中相应的矩阵，使用在k 处的脉冲激励产生的脉冲响应信号。
相似的，自然频率，模态振动以及本征矢量通过在复指数中直接的相同的方法可以求得。