一次函数和全等三角形
一次函数与全等三角形综合题
27题精选1（2011-11-27）1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式；（2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
（3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
xyo BA CPQxyo BA CPQM第2题图① 第2题图② 第2题图③3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
第3讲.一次函数与全等三角形综合(答案版)
1初二春季·第3讲·尖子班·教师版函数6级 一次函数的应用函数7级 一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班 第十一讲春季班 第二讲梦游记漫画释义满分晋级阶梯3一次函数与 全等三角形综合2初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片编写思路知识互联网3初二春季·第3讲·尖子班·教师版考查和总结一次函数部分的一道好题．几种全等模型的回顾：AB CE FAB CDEF AB CEABCDEFEDCBA图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）例题精讲思路导航题型一：一次函数与全等三角形综合4初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+04144k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-M NPy x OBA图2xy OA BPM N N MP BAO y x图1 图2【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==∴B 点坐标为()40-，⑵ 由⑴可知DO OC m ==，∴142S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<典题精练(0,4)Oy xE DC BA5初二春季·第3讲·尖子班·教师版【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．（西城期末） 【解析】 ⑴ 4y x =-⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的交点为()10C ，．⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．6初二春季·第3讲·尖子班·教师版图3图2图1【解析】 ⑴ 由题意得()10B -，，BO OC =，又∵AO BC ⊥ ∴AB AC ABC ACB =∠=∠，⑵ 由题意得ABO DFO △≌△，∴1OF BO ==,∴()01F ，∴DE 解析式为113y x =+由11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 解得3434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴3344G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑶ 不变，1OM =如图过P 作PN AB ∥交BC 于N ，可知PN PC BQ ==， 从而PNM QBM △≌△， ∴BM NM =，又NO CO =∴112OM BC ==【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()220a -．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； ⑶过A 点的直线y =kx -2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1-，过N 点的直线22k k y x =-交AP 于点M ，试证明PM PNAM -的值为定值． 【解析】 ⑴y =24x -+7初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑵易证阴影部分三角形全等，得到M （3，3） 故而m =1⑶过N 点做直线垂直于y 轴，交PM 于G 点，另直线NM 与坐标轴交点分别为O 、I （如图所示），连接IG 并做MF ⊥x 轴于F ，易知N 、G 两点横坐标分别为1-和1，将其分别代入MN 、MP 的解析式中，求得两点坐标为N （1-，k -）G （1，k -），易证△NHP ≌△GHP ， ∴NP =GP 易求I （1，0）， ∴IG ⊥x 轴易证△IGA ≌△FMA ， ∴MA =AG ∴2PM PN MGAM AM-==解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有： 1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=ab ch ； 思路导航题型二：一次函数与面积综合h 2h 1P CB A OxyyMO BA I H GA MN PyxO8初二春季·第3讲·尖子班·教师版5. 铅垂线法：如右图所示()1212ABC S AP h h =⋅+△，AP 称为铅垂高， 12h h +称为水平宽． 必要时需分类讨论．【例5】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．（西城期末试题）【解析】 ⑴∵点(24)A -，在直线(0)y mx m ==/上，∴42m =-，2m =-∴2y x =-⑵ 解法一：作AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N （如上图） ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-． ∴点B 的坐标为B （4-，8-） ∵1()2ABNM S AM BN MN =+⋅梯形1(24)(48)362=⨯+⨯+= 1124422AOM S AM MO =⋅=⨯⨯=△ 11481622BON S BN NO =⋅=⨯⨯=△ ∴ABO AOM BON ABNM S S S S =--△△△梯形3641616=--=解法二：设直线(0)y kx b k =+=/与x 轴交于点C （如下图）． ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-．∴点B 的坐标为（4-，8-）∵直线()0y kx b k =+≠经过点A （2-，4）和点B （4-，8-），典题精练y =kx+by =2x y =mxyOABMN C ABOxyy =mxy =2xy =kx+b9初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴4284k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，616k b =⎧⎨=⎩∴616y x =+令y =0．可得83x =-∴点C 的坐标为803C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴181848162323ABO AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．【教师备选】如图所示，直线OP 经过点P （4，43），过x 轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S 、2S 、3S ······n S ，则n S 关于n 的函数关系式是________．【解析】()843n S n =-⨯．【例6】 已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a += ∴a =﹣4，即A （﹣4，1）． ∴﹣4k =1 解得14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-；⑵如图1，P 1（﹣8，0）或P 2（0，2）；真题赏析1191357Pxy10初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑶依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 以下分两种情况： ①当m ＜﹣4时， 11342BC m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=334m --．AH =4m --．则S △ABC =12BC ∙AH ()133424m m ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∴S=23368m m ++；②当m ＞4-时，11333244BC m m m ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．AH =m +4． 则S △ABC =12BC∙AH =12（334m +）（4+m ） ∴S=23368m m ++；综上所述，()23S 3648m m m =++≠-．【教师备选】已知四条直线3y mx =-，1y =-，y =3，x =1所围成的四边形的面积为12，求m的值．11初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ∵3y mx =-，1y =-，x =1交于ABCDEF∴A （6m ，3），B （2m ,-1），C （1，-1），D （1，3），E （6m ，3），F （2m，-1） ① ()2ABCD CD BC AD S +=2621112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =－2② ()2CFED CD ED CF S +=6221112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =1综上说述，2m =-或m=1．-3y =3x12初二春季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 如图，AOB △为正三角形，点B 的坐标为()20，，过点()20C -，作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且ADE △与DCO △的面积相等，求直线l 的解析式.【解析】 由ADE △与DCO △的面积相等可知，AOB BCE S S =△△.∵(20)C -，,设直线l 的解析式为y kx b =+，∴20k b -+=， ∴2b k =∴直线l 的解析式为：2y kx k =+又AB 的解析式为：323y x =-+，故点E 的坐标满足下式： 2433(2)3y kx kk y y x k =+⎧⎪⇒=⎨=--+⎪⎩， 故143134232273BCE AOB k S S k k =⨯⨯==⨯⨯⇒=+△△故直线l 的解析式为：3(2)7y x =+. 训练2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点()2,0A ，交y 轴于点B .点D 为x 轴上一点，且1ADB S =△.⑴ 求m 的值；⑵ 求线段OD 的长；⑶ 当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且BDO EDA ∠=∠，求点E 的坐标.（备用图）(海淀期末试题) 【解析】 ⑴ ∵直线y x m =-+经过点()2,0A ， 思维拓展训练(选讲)y xl ED C O BA13初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴02m =-+. ∴2m =.⑵ ∵直线2y x =-+交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为()0,2. ∴2OB =. ∵112ADB S AD OB =⋅=△， ∴1AD =.∵点A 的坐标为()2,0， ∴点D 的坐标为()1,0或()3,0. ∴1OD =或3OD =.⑶ ①当点D 的坐标为()1,0时，如图所示.取点()'0,2B -，连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =，'AO BB ⊥于O ， ∴OD 为'BB 的垂直平分线. ∴'DB DB =. ∴12∠=∠. 又∵23∠=∠， ∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为()20y kx k =-≠. ∵直线'B D 经过点()1,0D ， ∴02k =-.14初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-. 解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得 4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭.②当点D 的坐标为()3,0时，如图所示. 取点()'0,2B -，连接'B D ，交直线BA 于点E . 同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式 为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点E 的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.训练3. 已知：直线1l ：1y kx k =+-与直线2l ：(1)y k x k =++（k 是正整数）及x 轴围成的三角形的面积为k S ．⑴ 求证：无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点； ⑵ 求1232008S S S S ++++的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立12l l ，的解析式，求得交点坐标为()11--，，∴交点为定点.⑵ 设直线12l l ，分别与x 轴交于A ，B 两点，则1001k k A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，∴()1111k k AB k k k k --=-=++ ∴ ()11121k S k k =+××15初二春季·第3讲·尖子班·教师版123200*********21223200820092009S S S S ⎛⎫++++=++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭×××训练4. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，点B 在y 轴正半轴上，且AOB △是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点()P x y ，，且点P 在第二象限内. ⑴ 求B 点坐标及直线AB 的解析式；⑵ 设BPD △的面积为S ，试用x 表示BPD △的面积S .（朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵AOB △是等腰直角三角形且()10A ，，∴()01B ，∴过点()10A ，、()01B ，的直线的解析式为1y x =-+ ⑵ ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴()10C -， 又点P 在直线AB 上，则()1P x x -+， 设过P 、C 两点的直线的解析式为y kx b =+ ∵()10C -，在直线y kx b =+上， ∴0k b -+=. ∴k b =,y bx b =+ ∵点()1P x x -+，在直线y bx b =+上， ∴1bx b x +=-+,解得b =11x x -++. ∴点D 的坐标为101x x -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∵点P 在第二象限内，∴0x <①当10x -<<时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21xx x -=⋅⋅-+21x x =+ ②当1x <-时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-+ 综上所述， 22(10),1(1).1x x x S x x x ⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-<-⎪+⎩16初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点 E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴 交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【解析】 如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()10-，、()40，，点D 在y轴上 AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠． ⑴ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．-15142O ED CBA y x D'EDCB A542-11【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在AB 上取点D '，使AD AD '=，连接D E '， 可证ADE AD E '△≌△，∴DE D E '=复习巩固HP (m,m+4)AB C DExy O (0,4)P (m,m+4)(0,4)AO y xE DC B17初二春季·第3讲·尖子班·教师版由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠ 可得90AEB ∠=° 从而可知D EB CEB '∠=∠由此，CEB D EB '△≌△，∴EC ED '= ∴DE EC =⑵ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO ==由⑵可知，2AD AD '==∴523BC BD '==-=．【练习3】如图，已知直线OA 的解析式为y=x ，直线AC 垂直x 轴于点C ，点C 的坐标为()20，， 直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB 交x 轴于点B ．⑴ 写出点A 及点B 的坐标；⑵ 如图，直线AD 交x 轴于点D ，且ADB △的面积为1，求点D 的坐标；⑶ 若点D 为⑵中所求，作OE AD ⊥于点E ，交AC 于点H ，作BF AD ⊥于点F ，求证：OE AF =，并直接写出点H 的坐标．【解析】 ⑴ ()22A ，,()40B ，⑵ ∵AC BD ⊥于点C ，2AC =，1ADBS =△，∴112122ADB S BD AC BD =⋅=⨯=△． ∴1BD =∴413OD OB BD =-=-= ∴()30D ，⑶ 由直线OA 的解析式为y x =，可知OC AC =．又90ACO ∠=°， ∴45OAC AOC ∠=∠=°．∵直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB ， ∴45BAC OAC ∠=∠=°，OA BA =． ∴90OAB ∠=°． ∴90BAF OAE ∠=-∠°． 在AOE △中，90OEA ∠=°， ∴90AOE OAE ∠=-∠°． ∴BAF AOE ∠=∠在AOE △与BAF △中， 90AOE BAF OEA AFB OA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩° ∴AOE BAF △≌△ ∴OE AF =又由OCH ACD △≌△可求得()21H ，18初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】⑴如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图 中阴影部分的面积和是（ ）．A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -⑵ 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积 为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面 积是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ⑵ A ， 由图2可知23BC CD ==，.【练习5】直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若在x 轴上有一点Q ，并且满足:8:3BAQ AOB S S =△△，求Q 点坐标． 【解析】 1393224AOB S =⨯⨯=△，∴98643BAQ S =⨯=△∵3BO =，∴4AQ =，又∵32A x =-∴35422Q x =-+=或311422Q x =--=-∴Q 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1102⎛⎫- ⎪⎝⎭，图1AB D 图2x第十六种品格：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。
一次函数和全等三角形
一次函数和全等三角形一次函数是指函数的最高次数为1的函数，即表达式为y = ax + b的函数形式，其中a和b为常数。
一次函数在代数学中有着重要的应用，也是数学中最基础的函数类型之一全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。
全等三角形是几何学中的重要概念之一，它可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。
在很多数学问题中，我们可以运用一次函数和全等三角形的概念来求解。
下面将结合具体的例子来说明一次函数和全等三角形的应用。
首先，我们来看一个关于一次函数的问题：假设一个人的学费每年增加1000元，第一年学费为5000元，问经过n年后，这个人的学费是多少？这个问题可以用一次函数来解决。
设第n年的学费为f(n)，由题意可知f(1)=5000，且每年增加1000元，即f(n)=1000n+b。
我们只需要找出b的值即可。
将已知条件带入到一次函数的表达式中，可以得到5000=1000×1+b，从而得出b=4000。
所以，经过n年后的学费可以表示为f(n)=1000n+4000。
接下来，我们来看一个关于全等三角形的问题：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,6)，C(8,4)，求与三角形ABC全等的三角形的顶点坐标。
要求与三角形ABC全等的三角形，意味着对应的边长和角度都相等。
所以我们可以将两个三角形的对应边长和角度进行比较来求解。
首先，我们可以计算出三角形ABC的边长和角度。
由于ABC是直角三角形，我们可以通过勾股定理求得三条边的长度。
AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5BC=√((8-4)²+(4-6)²)=√(16+4)=√20=2√5AC=√((8-1)²+(4-2)²)=√(49+4)=√53接下来，我们需要找到与ABC的对应边长相等的三条边，同时保持相应的位置关系不变。
一次函数与全等
一次函数与几何全等问题
学习目标：1.能利用几何条件构造全等
2.能将几何问题转化为代数问题
学习重难点：重点：1.利用已知条件，找三角形全等
2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解
难点：构造全等，将几何问题转化为代数问题
学习过程：
一．知识回顾
1．待定系数法求直线解析式
2．直线与x 轴、y 轴的交点坐标
3．相交直线求点坐标
二．例题讲解
如图，直线y=2x －4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y=21x 交于点C ，E 为射线CO 上一点，且y 轴平分∠EBC ，求点E 的坐标。
三．练习
如图，在正方形OBAC 中，A （－2,2），B 、C 分别在x 轴、y 轴上，D （0,1），CE ⊥BD 于E ，求E 点的坐标。
x
y A O E C B
四．拓展
如图，直线y=－x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，且C（－2,0），直线y=kx－k 与x轴交于点D，交AB于F，交BC的延长线于E，若DE=DF。
（1）求直线BC的解析式及点D的坐标；
（2）求k的值Array五．小结：
几何图形→线段→点坐标→一次函数。
一次函数与几何图形综合题(含答案)
一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。
在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。
函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。
数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。
在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。
当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。
当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。
当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。
讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。
当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。
另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。
最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。
题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。
要求求出AC的解析式。
的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。
在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。
2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。
我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解
1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
人教版初中八年级数学知识点总结
人教版初中八年级数学知识点总结八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和整式的乘除与分解因式五个章节的内容。
第十一章全等三角形一、知识框架二、知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一、知识框架二、知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结
沪科版八年级数学上册知识要点归纳总结的解析式一次函数的解析式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），其中k称为斜率，b称为截距。
3、斜率的意义斜率k表示函数图象上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，即k=Δy/Δx。
说明：斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减，斜率为0表示函数为常函数，斜率不存在表示函数图象为一条竖直的直线。
）4、截距的意义截距b表示函数图象与y轴的交点纵坐标。
说明：当函数图象经过y轴时，截距存在；当函数图象不经过y轴时，截距不存在。
）5、一次函数图象的性质一次函数图象为一条直线，其斜率决定了直线的方向和倾斜程度，截距决定了直线与y轴的位置关系。
一般形式为y=kx+b（其中k、b为常数，且k≠0），当b=0时，y=kx（k≠0），此时y是x的正比例函数。
一次函数的图像与性质：当b>0时，直线经过一、二、三象限；当b=0时，直线经过一、三象限及原点；当b0时，直线自左向右上升，经过一、二、三象限；当k<0时，直线自左向右下降，经过一、二、四象限。
确定一次函数图像与坐标轴的交点：与x轴交点为（-b/k,0），与y轴交点为（0,b）。
确定一次函数解析式——待定系数法：设函数关系式为y=kx+b，代入x和y的两对对应值，得关于k、b的方程组，解方程组求出k和b。
k和b的意义：∣k∣表示直线的“平陡”，越大越陡；b表示在y轴上的截距。
由一次函数图像确定k、b的符号：直线上升，k>0；直线下降，k0；直线与y轴负半轴相交，b<0.由一次函数图像确定x和y的范围：当x>a（或xb（或y<b）时，求x的范围，直线y=b上方（或下方）图象所对应的x的取值范围；当a<x<b时，求y的范围，直线x=a和x=b之间的图象所对应的y的取值范围；当a<y<b时，求x的范围，直线y=a和y=b之间的图象所对应的x的取值范围。
一次函数图象的平移：设m>0，n>0，左右平移直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k（x－m）＋b或y=k（x＋m）＋b。
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75 一次函数和全等三角形
1、近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电矛盾越来越突出。
为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x （度）与应付电费y （元）的关系如图所示。
⑴根据图像所描述的信息，求当0≤x ≤50和x >50时，y 与x 的函数关系式。
⑵根据以上分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是_______；当每月用电量超过50度时，收费标准是:______________________________
2、如图为甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）．根据图象回答下列问题： （１）比赛开始多少时间时，两人第一次相遇？ （２）这次比赛全程是多少千米？ （３）比赛开始多少时间时，两人第二次相遇？
3、如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是BA 延长线上的一点,AF=AE 。
⑴求证：△ABE ≌△ADF.
⑵在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使
△ABE 变到△ADF 的位置；
⑶线段BE 与DF 有什么关系？证明你的结论.
4、两个完全相同的矩形铁尺随意放在桌面上(不构成轴对称图形),你能通过轴对称变换使得两把铁尺互相重合吗?如果能,需要变换几次?画图举例说明对称变换的过程；如果不能，简述其理由。