(完整版)大一高数知识点,重难点整理,推荐文档

n
( ) lim
为常数），
qn = 0 q 1 。
n→∞
若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况： （1）数列有界，但当 n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：
1n1 ；
（2）数列无界，如数列{n²}。 二、当 x→0 时，函数 f（x）的极限
如果当 x 的绝对值无限增大（记作 x→∞）时，函数 f(x)无限地接近一个确定的常
（2） (u • v)′ = u′ v + u ，特别的，(k·u)’=k·u’,其中 k 为常数。
（3）若
v
0
，则
u v
u
vu v2
v
，特别的，
k v
k v v2
，，其中
k
是常
数。
推论 若函数 u1 u1x， u2 u2 x，...， um um x都可导，则
(1) u1 u2 um u1 u2 um ；
x
lim
f
x
A n
lim
f
x
A 。
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 三、当 X→Xo 时，函数 f（x）的极限 1、当 X→Xo 时，函数 f(x)的极限定义
如果当 x 无限接近 Xo(记作 X→Xo)时，函数 f(x)无限接近于一个确定的常数 A，则
称 A 为函数 f(x)当 X→Xo 时的极限，记作 lim f x A ，或当 X→Xo 时，f(x) →A。
续。 如果函数 f(x)在某个区间上连续，就称 f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性 1.连续函数的运算 如果两个函数பைடு நூலகம்某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点
也连续。
设函数 u 在点 x0 处连续，且 u0 x0 ，函数 y=f(u)点 u0 处连续，那么复
x x0
大，就称函数 f(x)当 X→Xo 时为负无穷大，记作 lim f x 。
x x0
2、无穷小与无穷大的关系
1
在自变量的同一变化中，如果 f(x)为无穷大，那么 为无穷小；反之，如果
f (x)
1
f(x)为无穷小，那么 为无穷大。
f (x)
根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质
(2) u1u2 um u1u2 um u1u2 um u1u2 um .
若函数 y=f(x)在开区间 I 内单调、可导，且 f’(x)≠0，则反函数 x f -1 y在对应
区间内可导，且
f
-1y
1
f x，或
yx
xy
1。
二、导数的基本公式
(1) c 0 ，c 为任意常数；
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第一章 基础知识部分
&1.1 初等函数
一、函数的概念
建议1、收函数的藏定义 下载本文，以便随时学习！ 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系
的数学模型。
设有两个变量 x 与 y，如果对于变量 x 在实数集合 D 内的每一个值，变量 y 按照一
定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数 ，记作 y=f（x），
x y
tt，t
T
给出的，
这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。 反函数——如果在已给的函数 y=f(x)中，把 y 看作自变量，x 也是 y 的函数，则所确定
的函数 x=∮(y)叫做 y=f(x)的反函数，记作 x=f¯¹(y)或 y= f¯¹(x)(以 x 表示自变量).
&1.3 极限运算法则
法则一 若 lim u=A，lim v=B，则
lim(u±v)=lim u±lim v=A±B; 法则二 若 lim u=A，lim v=B，则
lim(u·v)=lim u·lim v=A·B；
法则三 若 lim u=A，lim v=B，且 B≠0，则
u limu A
lim =
=1
x0 x
二、 lim 1 1 x =e x x
一、函数连续性的概念 1.函数在某点的连续性
&1.5 函数的连续性
lim 若函数 f(x)在点 x0 及其左右有定义，且 x x0 f(x)=f( x0 )，则称函数 f(x)在点
x0 处连续， x0 为函数 f(x)的连续点。
理解这个定义要把握三个要点：
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f x0 A f x0 f x0 A 。
根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相 等，该点的导数就不存在。
建议收藏下&2.2载导数本的四文则运，算法以则和便基本随公式时学习！ 一、导数的四则运算法则 设函数 u=u(x)，v=v(x)都可导，则 （1） u v u v ；
f’x0
lim x
0
y x
lim x
0
f
x0
x
x
f
x
0
，
∣ ∣ ∣ 还可记作 y’
dy x x0 或 dx
dy
x
x
0
， dx
xx0 。
我去人函也数 f就(x)在有点 x人0 可！导且为f′U( xR0 扼)=A 等腕价于入f站( x内0 )和信f (不x0 )存都存在在且向等于你A，偶即 同意调剖沙
性质 1：有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质 2：有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质 3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
我去人4、也无穷就小的有比较人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙 设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作 a=o(b)； 2 版权所有，仿冒必究
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x x0
如果当 X→Xo 时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数 f(x)当 X→Xo 时为无穷大，记作
lim f x 。其中，如果当 X→Xo 时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数 f(x)当
x x0
X→Xo 时为正无穷大，记作 lim f x ；如果当 X→Xo 时，f(x)向负的方向无限增
（1）f(x)要在点 x0 及其左右有定义；
lim
我去人也（2）就x 有x人0 f(！x)要为存在UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
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lim
（3）
f(x)=
x x0
f( x0 )。
增量
建议收藏下载本文，以便随时学习！ △x=x- x0 △y= f(x)- f( x0)
=
v limv B
推论 若 lim u=A，C 为常数，k∈N，则
(1)lim C·u=C·lim u=C·A；
(2)lim uk = (lim u)k = Ak
注 运用这一法则的前提条件是 u 与 v 的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不 为零）。
&1.4 两个重要极限
lim sin x
一、
数 A，那称 A 为函数 f(x)当 x→∞时的极限，记作 lim f x A ，或当 x→∞时，f(x)
x
→A。
单向极限定义 如果当 x 或 x 时，函数 f(x)无限接近一个确定的长寿
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
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湖 A，那么称 A 为函数 f(x)当 x 或 x 时得极限，记作
表示的函数，如 y=x²+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量 x、y 之间的函数关
系式是由一个含 x，y 的方程 F(x,y)=0 给出的，如 2x+y-3=0， exy x y 0 等。而由
2x+y-3=0 可得 y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。
参数式函数——若变量
x,y
之间的函数关系是通过参数式方程
&1.2 函数的极限
一、数列的极限
对于无穷数列{an}，当项数 n 无限增大时，如果 an 无限接近于一个确定的常数 A，
lim
则称
A
为数列{an}的极限，记为
n
→
∞ an
=
A
，或当
n→∞时，an→A。
若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如 lim 1 0 ， lim C C （C
nn
a
(1)如果 lim =0，则称 a 是比 b 低阶的无穷小；
b a
(2) 如果 lim =∞, 则称 a 是比 b 高阶的无穷小；
b a
建议收藏下载本文，以便随时学习！ (3) 如果 lim =c(c 为非零的常数),则称 a 是比 b 同阶的无穷小。 b a 特别的，当 c=1,即 lim =1 时，称 a 与 b 是等阶无穷小，记作 a～b。 b
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如果不存在这样的常数 M，则称 f(x)在 D 上无界。 5、极大值、极小值 6、最大值、最小值
三、初等函数 1、基本初等函数
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等 函数。（图像、性质详见 P10） 2、复合函数——如果 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=∫(x)，且∫(x)的值 域与 f(x)的定义域的交非空，那么 y 也是 x 的函数，称为由 y=f(u)与 u=∫(x)复合而成的 复合函数，记作 y=f(∫(x))。 3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并 且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式 （1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 （2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量 （3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本 （4）需求函数——若其他因素不变，需求量 Q=f(P)(P 为产品销售价格)