高中数学必修二同步练习题库：空间几何体的结构(选择题：较难)

空间几何体的结构（选择题：较难）1、如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）2、在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱 B．棱台 C．棱锥 D．球的一部分3、已知正方体的棱长为2，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（）A． B． C． D．4、在三棱锥中，底面是边长为 2 的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．5、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．6、已知点、在半径为的球表面上运动，且，过作相互垂直的平面、，若平面、截球所得的截面分别为圆、圆，则（）A．长度的最小值是2 B．的长度是定值C．圆面积的最小值是 D．圆、的面积和是定值7、已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()A．2 B．2 C．4 D．48、如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）A． B．C． D．9、棱柱有个对角面，则棱柱的对角面个数为（）A． B． C． D．10、在直四棱柱中，底面为菱形，分别是的中点，为的中点且，则的面积的最大值为（）A． B．3 C． D．11、三棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．12、正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（）A． B． C． D．13、在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则A．1 B．2 C． D．14、在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则（）A．1 B．2 C． D．15、祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④16、如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A． B．C． D．17、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, ⊥平面, ，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为A． B． C． D．18、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直19、如图，已知正方体的上、下底面中心分别为M、N，点P在线段BC1上运动，记，且点P到直线MN的距离记为，则的图象大致为（）20、如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（）21、在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是A．棱柱 B．棱台 C．棱锥 D．球的一部分22、如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A． B． C． D．23、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数24、已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ()．A． B． C． D．25、如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于()．A．8 B．9 C．10 D．1126、如图，正四棱柱中，，，分别在上移动，且始终保持平面，设，，则函数的图象大致是27、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．； B．； C．； D．.28、在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、．则三棱锥A—BCD的外接球的体积为A． B． D．29、半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（A）（B）（C）（D）30、在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径之比为（）A．5 B． C．10 D．31、在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径之比为（）A．5 B． C．10 D．32、长方体的一个顶点三条棱长分别为1，2，3，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（s=4）（）A． B．14 C．56 D．9633、已知三棱锥的底面是边长为2正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A． B． C． D．34、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（）A． B．C． D．35、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）36、在一个棱长为4的正方体内，你认为能放入几个直径为1的球（）A．64 B．65 C．66 D．6737、下面的集合中三个元素不可能分别是长方体(一只“盒子”) 的三条外对角线的长度(一条外对角线就是这盒子的一个矩形面的一条对角线) 是( )A．. B．. C．. D．.38、正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱形 (4) 正五边形 (5) 正六边形；下述选项正确的是： ( )A． (1)(2)(5) B． (1)(2)(4) C． (2)(3)(4) D． (3)(4)(5)39、连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5 ④的最小值为1其中真命题为A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④40、四面体的六条棱长分别为，且知，则 .、；、；、；、．参考答案1、C2、A3、B4、D5、C6、B7、A8、A9、A10、B11、D12、A13、B14、B15、D16、B17、C18、D19、A20、A21、A22、A23、B24、B25、A26、C27、B28、A29、A30、D31、D32、B33、C34、选C．35、D36、C37、B38、B39、40、.【解析】1、试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力2、由题意知：当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处，在上运动时，的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），同理得到：在处，在上运动，在处，在上运动；在处，在处，在上运动，都在上运动的轨迹，进一步分析其它情形即可得到的轨迹为棱柱体，故选A.3、动点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，球面与平面的交点轨迹是以中点为圆心，以为半径的半圆，对应中点的轨迹是以为半径的半圆，长度为，由于球面同时与面、面、面都相交，交的轨迹长度为，故选B.4、∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为.∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选D.点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .5、由题可知，底面为直角三角形，且，则，则球的直径，则球的表面积选C6、如图所示，过作互相垂直的平面、平面，则，，，因为分别是的中点，所以，故选B.7、由题意，已知面所以，由勾股定理得到，即为等边三角形，为等腰三角形，等边三角形所在的小圆的直径，那么，四面体的外圆球直径，所以，，故选.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球半径的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.8、截面方程为 ,截面在轴截面上的投影为圆,沿剪开起展开图不可能是B、C、D.选A.9、增加一条侧棱与其不相邻的条侧棱形成个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也形成了一个对角面，故共增加了个对角面，所以选A.10、由直四棱柱中，底面为菱形，分别是的中点，为的中点且，可得为等腰三角形，设，则，因为，由余弦定理得，可得，的面积为等于的，的面积的最大值为，故选B.【方法点睛】本题主要考查空间想象能力，余弦定理及函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题首先将原题转换为函数值域为再应用方法①解答的.11、设三角形和三角形的中心分别为，是球心，连接交于，则是平行四边形，外接球半径所以表面积为故选D.12、将四面体放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球的半径满足，即，又为的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积的最小值为，故选A.13、因为在菱形中，的中点为,所以 ,则 ,所以为二面角的平面角,,由于,所以为等边三角形,若外接圆的圆心为,则平面,在等边中,,可以证明,所以,又,所以 ,在中,,选B.点睛: 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题. 本题思路: 由二面角的定义求出,确定外接圆的圆心位置,由球的截面圆的性质得到平面,利用,求出的长度.14、因为在菱形中，的中点为,所以 ,则 ,所以为二面角的平面角,,由于,所以为等边三角形,若外接圆的圆心为,则平面,在等边中,,可以证明,所以,又,所以 ,在中,,选B.点睛: 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题. 本题思路: 由二面角的定义求出,确定外接圆的圆心位置,由球的截面圆的性质得到平面,利用,求出的长度.15、设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选D．16、由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为,设截面圆的半径为，因为上底面是边长为的正三角形，则，设求的半径为，根据球的性质可得，所以球的表面积为，故选B。