(精品)三垂线法求二面角专题
三垂线法求二面角测试题(含答案)
三垂线法求二面角测试题(含答案)
三垂线法求二面角
本文介绍了一种求解二面角的方法——三垂线法。
该方法适用于各种不规则多面体，可以通过三个垂线的长度和夹角来计算出二面角的大小。
具体来说，三垂线法是指在多面体的某一面上，分别向相邻两个面垂线，以及向该面的法线垂线，得到三条垂线。
然后通过这三条垂线的长度和夹角，利用三角函数计算出二面角的大小。
对于不规则多面体，可以将其分解为若干个规则多面体，然后分别计算每个规则多面体的二面角，最后将它们相加得到整个多面体的二面角。
三垂线法是一种比较简单实用的方法，但需要注意的是，计算过程中需要准确地测量垂线的长度和夹角，否则会影响计算结果的准确性。
二面角的几种方法及例题
二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下:、定义法: 甬片+—*■垂面法化T不见播型直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.做OB 交线，交于点O,连接OAQ PB 平面PB 交线同理PA 交线又Q OB 交线交线面PAOB交线OA即可得AOB为面的二面角，AOB=120所以APB=60例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面ABCQPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。
提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形可见槻型I解法• f三垂线法A、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。
过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCDPA AB, PA BCBC 面PHAPHA为二面角在VABH中ABH=30 , AB=aAH=a/2tag PHA 2例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值.提示：CO DE而且是长方体！ !!例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。
求（1） 二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小 提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角!射影，那么PM 为面ABC 的垂线！例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在 直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小.提示：AA1与BB1互相垂直AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中 为平面BD i' M图4角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，P从平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
三垂线法求二面角(人教A版)(含答案)
三垂线法求二面角（人教A版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则二面角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法2.如图，把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.已知，分别是正方体的棱，的中点，则截面与侧面所成角的正切值是( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，已知平面，底面是正方形，，是的中点，则二面角的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面平面，，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法8.如图，若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的正弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法9.如图，在三棱锥中，分别是的中点，平面，，，与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则的大小关系是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
用三垂线法求二面角的方法(新)
用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。
. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。
③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。
1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==，AD =①求二面角C ABD --的大小；②求二面角B CD A --的大小；1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4π ∴二面角C AB D --的大小为4π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥∴BD ==∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥∴1AB ==在Rt ABC ∆中，tan 1ABACB BC∠==， ∴二面角B CD A --的大小为4π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB 、斜线AC 及其射影BC,。
用三垂线法求二面角的方法(新)
其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图 , PB 是平面 的斜线 , PA 是平面 的垂线, 求证：a PB证明：∵ PA 是平面 的垂线 , 直线 a 平面∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB总结： 定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 .三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体 几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作（ 找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。
.② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角 （ 符合二面角的定义 ） 。
③ 求： 二面角的平面角的大小 （ 常用面积相等关系求垂线段长度 ） 。
ACB 为二面角 B CD A 的平面角1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BCC ABD 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4∴二面角 C AB D 的大小为4C②∵ AB 面 BCDBC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
∵ AB 平面 BCD ∴ AB BC AB BD∴ AB AD 2 BD 2 1在 Rt ABC 中， tan ACB AB 1， BC面角 B CD A 的大小为4方法点拨： 本题①的方法是直接运用二面角的定义求解∵ BC CD ∴ BDBC 2 CD 2 2, 本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线 AC 及2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）为VB 的中点．求二面角A—VB— D 的余弦值．2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴ DA⊥VP又∵ AD⊥ AB ∴AD⊥平面VAB ∵ VAB 是正三角形， E 为VB的中点，∴ AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED 就是所求二面角的平面角则斜线为DE, 其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED 。
精品)三垂线法求二面角专题
精品)三垂线法求二面角专题1、已知正方形ABCD，AE=1，BE=3，求证平面ADE⊥平面BCE，求二面角B—AC—E的大小。
证明：由题意，DA⊥平面ABE，且ABCD是正方形，故DA⊥BC，即DA⊥BE。
又因为AE=1，BE=3，AB=2，所以BE⊥EA，即BE垂直于平面ADE。
因此，BE垂直于平面ADE和平面BCE，即平面ADE⊥平面BCE。
求二面角B—AC—E的大小：过点E作EF⊥XXX与F，连接EG并延长交AC于G。
根据三垂线定理可得，XXX。
因此，∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。
在直角三角形EFG中，tan(∠EGF)=EF/GF=6/7.因此，∠EGF=arctan(6/7)=arcsin(6/√85)≈57.84°。
2、已知直角梯形ABCD，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，求点P到CD的距离、证明平面PAC⊥平面PCD，求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
点P到CD的距离为PC，因为XXX⊥平面ABCD且PC⊥CD。
证明平面PAC⊥平面PCD：因为ABCD是直角梯形，所以AC⊥CD。
又因为XXX⊥平面ABCD，PC⊥CD，且AC与PC的交点为C，所以CD垂直于平面PAC，即平面PAC⊥平面PCD。
求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小：延长XXX的延长线于G，连接PG。
XXX⊥平面PAB，所以AH⊥PG。
因此，∠AHD为平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角。
根据勾股定理，DG=√5，AG=3/2，AH=√5/2.因此，tan(∠AHD)=2/√5，所以∠AHD=arctan(2/√5)=arcsin(2/3)≈41.81°。
的平面角。
我们可以利用余弦定理求解这个平面角的正切值。
首先，我们需要求出三个边的长度：BE = BC = 1（正方形的边长为1）EC = DE = $\sqrt{2}$（利用勾股定理求解）根据余弦定理：cos $\angle$ BEC = $\frac{BE^2 + EC^2 - BC^2}{2BE\cdot EC}$ = $\frac{1 + 2 - 1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因此，tan $\angle$ B-DE-C = $\frac{\sqrt{1 - cos^2\angle BEC}}{cos\angle BEC}$ = $\frac{\sqrt{2 -(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\sqrt{2}$。
二面角的三垂线法
三垂线法是求二面角的一种方法，其步骤如下：
在二面角的棱上选一点，向两个半面画垂直线。
作出过这个点和垂足的直线，这条直线称为三垂线。
根据三垂线的性质，如果一个平面内一点与另一个平面的一条直线分别构成一组垂线，则这两平面的交线与该直线垂直。
通过三垂线与两个半面的交点作垂直线，这两条垂直线的夹角即为二面角的角度。
需要注意的是，三垂线法需要满足一定的条件才能使用，并且求出的二面角可能存在多解的情况。
因此，在具体应用时需要根据实际情况进行判断和选择。
用三垂线法求二面角教 案 说 明
用三垂线法求二面角教案说明二面角既是立体几何的重点，又是难点。
同时二面角又是高考的热点。
它是空间中线线、线面、面面关系的一个汇聚点。
它在学生学过空间中异面直线角、线面角之后，又要重点研究的一种空间的角，它也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
同时，通过本节课的学习也可以培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。
三垂线（逆）定理是立体几何中的重点内容，它在证明线线垂直、线面垂直等问题中有着相当重要的作用。
学生已经学习了二面角及其平面角，根据教学大纲并结合我校学生的实际情况，本节课将在此基础上授导学生如何用三垂线（逆）定理求二面角的大小。
主要想通过此节课让学生掌握用三垂线法（利用图中已有的“第一垂线”及借助第三个平面作“第一垂线”找平面角）求出二面角大小的方法。
使学生在学会知识的过程中，培养和增强分析立体图形的能力；培养学生运用数形结合、等价转换等数学思想方法解决问题的能力；培养学生综合运用知识解决问题的能力；会准确地阐述自己的思路和观点，并能把自己的思路和观点规范板书成解题过程的能力。
通过学习进一步培养学生的推理能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且学习了异面直线所成的角，线面所成的角，有了一定的基础，已具有了一定的空间想象能力，但对学生来说找（作）二面角的平面角是一个很难的事。
而求二面角大小的关键是找（作）二面角的平面角，其中三垂线法又是作二面角的平面角最基本、最常用的方法。
寻找、确定二面角的平面角——为突破这一难点，关键找过一平面内一点垂直另一平面的直线；求二面角的平面角——为突破这一难点，关键将空间图形转化在平面图形求解。
所以很有必要学习本节课的内容。
由于二面角是描述图形位置的概念，学生空间观念不强，有时很难想象到图形内部的实际结构，因此教学采用多媒体辅助教学，进行必要的演示。
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（精品）三垂线法求二面角专题
1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，
在△ABE 中，AE=1，BE=3。
（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；
解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE
△ABE 中，AE=1 BE=3 AB=2 ∴BE ⊥EA
BE ADE BE BCE ⊥⎫∴⇒⎬⊂⎭平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ⊂面，从而平面ADE ⊥平面BCE ） （Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F
∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE
∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。
在Rt △EFG 中 6arctan ,6tan =∠∴==∠EGF GF
EF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7或者是写成7arccos 7）
2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形，
90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ，2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。
⑴、求点P 到CD 的距离；
⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ；
⑶、求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。
易证四边形ABCF 是正方形，
∴1==AB CF 又∵2=AD
∴112
CF AD ==，∴CF AF FD == ∴ 90=∠ACD
即CD AC ⊥
∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥
∴P 到CD 的距离为PC ， 3=PC
⑵证明：∵CD AC ⊥，
A B C D P
G
H F
CD PC ⊥且C PC AC =⋂，
∴⊥CD 平面PAC
又∵CD ⊂平面PCD
∴平面⊥PAC 平面PCD
⑶解：延长DC 交AB 的延长线于G ，连结PG 。
∴平面⋂PAB 平面PG PCD =，
易证⊥DA 平面PAB
过A 作PG AH ⊥，垂足为H ，连结DH ，
得到AHD ∠为所求二面角的平面角 552=AH ，5tan ==∠AH
AD AHD ∴5arctan =∠AHD ∴平面PAB 与平面PCD 所成二面角为5arctan （注：此题答案还可写成30arcsin 6或者是写成6arccos 6
，并且也可用射影面积法求解） 3、（12分）如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面AB CD ，E 为PC 中点。
（1）求证：平面ED B ⊥平面P B C ；
（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。
【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
∴ DE 在平面AB CD 内的射影就是DC 。
在正方形AB CD 中，DC ⊥C B ，
∴ DE ⊥C B 。
又C BC PC =⋂，PC 、PBC BC 面⊂，
∴ DE ⊥PBC 面。
又⊂DE 面ED B ，
∴ 平面ED B ⊥平面P B C 。
（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。
所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的平面角。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
又平面AB CD 内的直线C B ⊥ DC 。
∴ C B ⊥面PDC 。
又⊂PC 面PDC ，
∴ C B ⊥PC 。
在Rt ECB ∆中，
2tan ==∠CE BC BEC 。
4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿BC 折成直二面角.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；
（2）求二面角A —BD —C 的大小.
解析：（1）证明：取BC 中点E ，连结
AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC
∵平面ABC ⊥平面BCD ，
∴AE ⊥平面BCD ，
∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD .
又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，
∵AB ⊂平面ABD .∴平面ABD ⊥平面ACD .
（2）解：∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于
G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ，
∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角 ∵∠EBG =30°，BE =22m ，∴EG =42
m
又AE =22
m ，∴tan AGE =GE AE =2，∴∠AGE =arctan2.
即二面角A —BD —C 的大小为arctan2.。