2020年广西南宁市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
A. l
B.
C. 2
）
D. {0，1，2}
D. 4
3. 若向量 =（2，3）， =（-1，2），则 •（ ）=（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为 m 万，各县人口
占比如图，其中丙县人口为 70 万，则去年年底甲县的人口为
A. 162 万 B. 176 万 C. 182 万 D. 186 万
4.答案：C
解析：解：由统计图可得，丙县人口占四个县总人口 20%， 又丙县人口为 70 万， 所以四个县总人口为 =350 万， 又因为甲县人口占四个县总人口的 52%， 所以甲县的人口为 350×52%=182 万． 故选：C． 根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果． 本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型．
t12=13，解可得 t1=± ，由直线的参数方程的意义分析可得|AB|=|t1-t2|=| t1-t1|，计算即
可得答案． 本题考查直线的参数方程的应用，涉及向量的数乘运算，属于基础题． 【解答】
解：根据题意，直线 l 过点 P（-2，0），设直线 l 的参数方程为
（t 为
参数）， 又由直线 l 与圆 C：x2+y2-4x-2y+1=0 的两个交点为 A，B，设 A 的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ）， B 的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ）， 则有（-2+tcosθ）2+（tsinθ）2-4（-2+tcosθ）-2tsinθ+1=0， 变形可得 t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0，
A. 0
B. 1
C. 2
D. 6
8. 已知将函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜ ）的图象向左平移 φ 个单位长度后，得
到函数 g（x）的图象.若 g（x）是偶函数，则 f（ ）=（ ）
A.
B.
C.
D. 1
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9. 已知 x，y 满足条件
，若 z=x+2y 的最小值为 0，则 m=（ ）
2020 年广西南宁市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 设பைடு நூலகம்合 A={x|x2-4x＜0}，B={-1，0，1，2}，则 A∩B=（
A. {-1，0}
B. {0，1}
C. {1，2}
2. 复数 z 满足 z•i=1+i（i 是虚数单位），则|z|=（ ）
∴|z|=
．
故选：B． 利用复数的运算法则即可化简，再利用复数模的计算公式即可得出． 熟练掌握复数的运算法则、复数模的计算公式事件他的关键．
3.答案：A
解析：解：∵向量 =（2，3）， =（-1，2），
∴ =（2，3）-（-2，4）=（4，-1），
∴ •（ ）=8-3=5 故选：A． 由向量的坐标运算可得 的坐标，结合数量积的坐标运算可得结果． 本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．
6.答案：C
解析：解：由已知三视图得到几何体如图：
由团长时间得到体积为
=5；
故选：C． 由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱 锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可． 本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是 正确还原几何体．
7.答案：B
解析：【解答】 解：因为 a1=1，an+1=3an-2，所以 a2=3-2=1， 以此类推可得 a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1． 故选：B． 【分析】 本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型．由 a1=1， an+1=3an-2，可得 a2=1，以此类推，即可得出结果．
C 两点在直线 y=2x-5 上，若|
|=2 ，则△ABC 面积的最小值为（ ）
A. 5
B. 4
C.
12. 设过点
的直线 l 与圆 C：
，则
D. 1
的两个交点为 A，B，若
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 13. 曲线 y=xex-2x2+1 在点（0，1）处的切线方程为______． 14. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a5=7，则 S9=______． 15. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 a=-1，则输
5.答案：C
解析：解：因为双曲线 C： =1（a＞0）的一个焦点为（2，0），
所以 a2+3=4，故 a2=1，因此双曲线的方程为：x2 =1， 所以其渐近线方程为：y=± x．
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故选：C． 先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程． 本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．
8.答案：A
解析：【分析】 先由题意写出 g（x），根据 g（x）是偶函数求出 φ，即可得出结果． 本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型． 【解答】 解：由题意可得：g（x）=sin（2x+3φ），
因为 g（x）是偶函数，所以 3φ=
，k∈Z，即 φ=
，k∈Z，
又 0＜φ＜ ，所以 0
，
解得
，所以 k=0，故 φ= ；
所以 f（ ）= ．
故选：A．
9.答案：B
解析：【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数 z=x+2y 化为 y=- x+ ，结合图象
以及 z=x+2y 的最小值，即可求出结果． 本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型．
cos（ ）
（1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设 P（2，1），直线 l 与曲线交于点 A，B，求|PA|•|PB|的值．
23. 已知函数 f（x）=|x+3|-2． （1）解不等式 f（x）＜|x-1|； （2）若∃x∈R，使得 f（x）≥|2x-1|+b 成立，求实数 b 的取值范围．
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又由直线 l 与圆 C：x2+y2-4x-2y+1=0 的两个交点为 A，B，若 8 =5 ，则 = ，即 t2= t1，
又由 t1t2=13，则有 t12=13，解可得 t1=± ，
则|AB|=|t1-t2|=| t1-t1|= ；
故选：A．
13.答案：y=x+1
解析：解：求导函数可得，y′=（1+x）ex-4x 当 x=0 时，y′=1 ∴曲线 y=xex-2x2+1 在点（0，1）处的切线方程为 y-1=x，即 y=x+1． 故答案为：y=x+1． 求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程． 本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题．
第2年 11 24
第3年 13 31
第4年 12 27
（1）求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x ；
（2）若第 5 年优惠金额 8.5 千元，估计第 5 年的销售量 y（辆）的值．
参考公式： =
=
，=
19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AB=AC，M 是侧面 AA1C1C 的对角线的交点，D，E 分别是 AB，BC 中点 （1）求证：MD∥平面 A1BC1； （2）求证：平面 MAE⊥平面 BCC1B1
14.答案：63
解析：解：因为 a5=7，所以
=9a5=63．
故答案为：63． 直接根据等差中项的性质将 S9 转化为用 a5 表达的算式，即可得到结果． 本题主要考查等差数列的前 n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题 型．
11.答案：D
解析：解：因为抛物线 x2=2py（p＞0）的准线方程为 y=-1，抛物线方程为 x2=4y；
又|
|=2 ，所以| |=2 ，
设点 A 到直线 BC 的距离为 d，
故△ABC 面积为
，
因为 A 在抛物线上，设 A（x， ），
则 d=
=
=
=
，
故 故选：D．
≥1．
先由题意求出 P，得到抛物线方程，再由|
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20. 已知曲线 C 上动点 M 与定点 F（
）的距离和它到定直线 l1：x=-2 的距离的
比是常数 ，若过 P（0，1）的动直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点
（1）说明曲线 C 的形状，并写出其标准方程；
（2）是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 = 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐
1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|0＜x＜4}； ∴A∩B={1，2}． 故选：C． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：B
解析：解：∵复数 z 满足 z•i=1+i（i 是虚数单位），∴-i2z=-i（1+i），化为 z=1-i．
（t 为参数），进而设 A 的坐标为
（-2+t1cosθ，t1sinθ），B 的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），将直线的参数方程与圆的方程 联立可得（-2+tcosθ）2+（tsinθ）2-4（-2+tcosθ）-2tsinθ+1=0，变形可得 t2-（8cosθ+2sinθ）
t+13=0；又由 8 =5 ，分析可得 = ，即 t2= t1，结合根与系数的关系分析可得
广西南宁市2020届高三数学毕业班第二次适应性模拟测试试题 理(含解析)
南宁市高中毕业班第二次适应性模拟测试数学（理科）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2.若复数满足 (是虚数单位),则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】【详解】，故选A。
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题。
3.若向量, 且,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为万，因甲县人口占四个县总人口的，所以甲县的人口为万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线的一个焦点为（2，0），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点为（2，0），所以，故，因此双曲线的方程为，所以其渐近线方程为.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.已知数列満足: ,，则=( )A. 0B. 1C. 2D. 6 【答案】B【解析】【分析】由，可得，以此类推，即可得出结果.【详解】因为，，所以，以此类推可得，，，.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7.巳知将函数的图象向左平移个単位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：，因为是偶函数，所以，即，又，所以，解得，所以，故；所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.8.已知满足条件若的最小值为0,则=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数化为，结合图像以及的最小值，即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域，又目标函数表示直线在轴截距的二倍，因此截距越小，就越小；由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小；由解得，所以，又的最小值为0，所以，解得.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型.9.曲线与直线围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.10.已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，，两点在直线上，若，则面积的最小值为( )A. 5B. 4C.D. 1【答案】D【解析】【分析】准线方程为，得抛物线方程,根据弦长公式解得BC，将面积的最小值转化为A 点到直线的距离的最值问题。
广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二模数学试题(含答案解析)
广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知{}210A x x ax =-+≤，若2A ∈，且3A ∉，则a 的取值范围是（）A ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．已知复数12z i =-，且2i z az b ++=，其中,a b 为实数，则i a b +=（）ABCD ．43．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭进行估计．其中y 为第t 年底新能源汽车的保有量，r 为年增长率，M 为饱和量，0y 为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：ln 0.8870.12≈-，ln 0.30 1.2≈-）（）A ．62万B ．63万C ．64万D ．65万4．有2男2女共4名大学毕业生被分配到,,A B C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A ．12B ．14C ．22D ．245．已知某棱长为则该球的表面积为（）A ．4πB ．2πC ．4π3D ．π6．已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则满足不等式()()12f x f x +<的x 的取值范围为（）A ．()2,1--B ．()1,2C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞D ．()(),21,-∞-+∞ 7．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,//,33ABCD FB ED AB ED FB ===，则A ．12B ．6C D8．已知直线()0y kx m km =+≠与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，且AB =，动点C 满足CA CB ⊥，则当k ，m 变化时，点C 到点()1,1D 的距离的最大值为（）A ．B ．C ．D 二、多选题9．若0>>>a b c ，则下列结论正确的是（）A ．a a c b>B ．22a a b c >C ．a b ba c c->-D ．a c -≥10．设12,F F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限内任意一点，12,PF PF k k 分别表示直线12,PF PF 的斜率，则（）A ．存在点P ，使得17PF =B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒C ．存在点P ，使得217PF PF k k =D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=11．已知函数()()22sin cos 2,N k k f x x x k k *=+≥∈，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线5π2x =对称C ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的值域为11,12k -⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知向量,a b满足)2,1,1a b a b ==-+= ，则a 在b上的投影向量的坐标为．2πBC 于D ，1AD =，则ABC 面积S 的最小值为；若a =，则ABC 的面积为．14．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是．四、解答题15．记n S 为公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，542188a a a a -=-+，621S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设22log n n b a =，若由{}n a 与{}n b 的公共项从小到大组成数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．16．如图，在三棱锥-P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN．(1)求证：GN ∥平面PAC ；(2)设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．17．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分k 的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中1176a <<．综合得分k 的范围减排器等级减排器利润率85k ≥一级品2a7585k ≤<二级品23a 7075k ≤<三级品2a (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记X 为其中二级品的个数，求X 的分布列及数学期望；②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？18．已知抛物线2:4C x y =，00(,)P x y 是x 轴下方一点，,A B 为C 上不同两点，且,PA PB 的中点均在C 上.(1)若AB 的中点为Q ，证明：PQ x ⊥轴；(2)若P 在曲线y =PAB 面积的最大值.19．记函数()()y f x x D =∈在D 上的导函数为()y f x '=，若()0f x ''>（其中()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦）恒成立，则称()y f x =在D 上具有性质M ．(1)判断函数log a y x =（0a >且1a ≠）在区间()0,∞+上是否具有性质M ？并说明理由；(2)设,a b 均为实常数，若奇函数()322bg x x ax x=++在1x =处取得极值，是否存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)设Z k ∈且0k >，对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()1ln 11x kx x ++>+成立，求k 的最大值．参考答案：1．A【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.【详解】由题意得4210a -+≤且9310a -+>，解得51023a ≤<．故选：A 2．C【分析】根据复数的运算，结合复数相等得23a b =⎧⎨=-⎩，进而再求复数模即可.【详解】解；因为复数12z i =-，,a b 为实数，所以()()12i 12i 122i 2i z az b a b a b a ++=-+++=+++-=，所以10222a b a ++=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，所以i 23i a b +=-==.故选：C 3．C【分析】把已知数据代入阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，则2031年底该省新能源汽车的保有量为 1.20.1210130013001300164e 11e 20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20e 0.3-≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯故选：C 4．B【分析】按A 工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案.【详解】按A 工厂接收的女生人数分类，第一类：A 工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有12C 种选择，再把剩余的3人分为两组，和,B C 两工厂进行全排列，有2232C A 种选择，故有122232C C A 12=种分配方法；第二类：A 工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，有2222C A 2=种分配方法．综上，不同的分配方法有12214+=种．故选：B 5．A【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为A BCD -，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为A BCD -，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径1r =，则该球的表面积为24π4πS r ==．故选：A ．6．D【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得()f x 的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【详解】由10x ->，得()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，又()()()lg 122x xf x x f x --=-++=，故()f x 为偶函数，而当1x >时，易知()()lg 1lg 1y x x =-=-单调递增，而对于22x x y -=+，()0222ln 22x x x xy --'=+=>+在()1,+∞上恒成立，所以22x x y -=+在()1,+∞上也单调递增，故()f x 在()1,+∞上单调递增，则由()()12f x f x +<，得1211x xx ⎧+<⎪⎨+>⎪⎩，解得1x >或2x <-.故选：D.7．B【分析】连接BD 交AC 于点M ，证得AC ⊥平面BDEF ，得到四边形BDGF 为矩形，分别求得,,EM FM EF 的长，利用余弦定理求得cos EMF ∠=sin EMF ∠=，结合面积公式和锥体的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又因为ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，所以ED AC ⊥，因为,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，又因为122BM DM BD ===，过F 作FG DE ⊥于G ，可得四边形BDGF 为矩形，则2FG BD EG ===，所以2EM =，2FM =，EF =由余弦定理得222cos 2ME MF EF EMF ME MF +-∠==⋅所以sin 33EMF ∠==，所以1sin 2EMF S ME MF EMF =⋅∠=△所以163F ACE A EFM C EFM EFM V V V AC S ---=+=⋅=△．故选：B ．8．B【分析】先求得A ，B 两点坐标，根据AB =22()8m m k-+=，再结合CA CB ⊥可得到C 轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.【详解】由(0)y kx m km =+≠，得(,0),(0,)m A B m k -，由AB =22()8mm k-+=，由CA CB ⊥，得0AC BC ⋅= ，设(,)C x y ，则(,)(,)0mx y x y m k+⋅-=，即22222()()22244m m m m x y k k ++-=+=，因此点C 的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为(,)x y ''，即有,22m m x y k ''=-=，则2,2m x m y k ''=-=代入22(8m m k -+=，整理得：222x y ''+=，即C 轨迹的圆心在圆222x y ''+=上（除此圆与坐标轴的交点外），点()1,1D 与圆222x y ''+=上点(1,1)--连线的距离加上圆C 的半径即为点C 到点()1,1D 的距离的最大值，=故选：B【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F 上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F 上的点与圆心距离加或减圆半径求解.9．ACD【分析】由不等式的性质判断.【详解】∵0>>>a b c ，则0b c ->，0bc >，∴()a a a b c c b bc --=0>，即a a c b>，A 正确；例如1a =，2b =-，3c =-，22(2)4a b =-=，22(3)9a c =-=，显然49<，B 错误；由0>>>a b c 得0c b -<，0a c ->，∴()0()a b b a c b a c c c a c ---=>--，即a b b a c c ->-，C 正确；易知0a c ->，0a b ->，0b c ->，2()()0a c a b b c --=-+--=≥，∴a c -≥D 正确；故选：ACD ．10．ABD【分析】利用椭圆的性质以及坐标运算逐一确定选项中0x 的范围，进而判断存在性.【详解】由已知得：()()12005,3,4,4,0,4,0,05,4a b c F F x x ===-<<≠对于A ，由()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限内任意一点可得1a PF a c <<+，159PF <<，A 正确；对于B ，由a c b >>，得以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点P 使得1290F PF ∠=︒，B 正确；对于C ，由()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限内任意一点可得005x <<，又由217PF PF k k =可得0000744y yx x =⋅-+，解得0163x =，与005x <<矛盾，C 错误；对于D ，由已知()()()()()0012100200,,4,0,4,0,4,,4,P x y F F PF x y PF x y -=---=--，因为2222201200001616169172525x PF PF x y x x ⎛⎫⋅=-+-+-=- ⎪⎝⎭= ，而20025x <<，所以()127,9PF PF ⋅∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅= ，D 正确．故选：ABD ．11．BCD【分析】计算π(()2f x f x +=是否成立可判断A 项，运用周期性计算5π5π((22f x f x +=-+是否成立即可判断B 项，对于C 项，运用导数判断()f x '在ππ(,)42上的符号即可，对于D 项，运用导数研究()f x 在一个周期内的单调性进而可求得值域.【详解】对于A 项，因为2222πππ()sin ()cos ()cos sin ()222k k k kf x x x x x f x +=+++=+=，所以π不是()f x 的最小正周期，故A 项错误；对于B 项，由A 项知，()f x 的一个周期为π2，又因为225π()()sin cos 2k k f x f x x x +==+，22225π()()sin ()cos ()sin cos 2k k k k f x f x x x x x -+=-=-+-=+，所以5π5π((22f x f x +=-+，所以()f x 关于5π2x =对称，故B 项正确；对于C 项，由题意知，21212222()2sin cos 2cos (sin )2sin cos (sin cos )k k k k f x k x x k x x k x x x x ----'=⋅+⋅-=-，当ππ(,42x ∈时，sin cos 0x x >>，则2222sin cos 0k k x x -->>，即：2222sin cos 0k k x x --->，所以()0f x '>，所以()f x 在ππ(,)42上单调递增，故C 项正确；对于D 项，由A 项知，()f x 的一个周期为π2，由C 项知，2222()2sin cos (sin cos )k k f x k x x x x --'=-，当π(0,)4x ∈时，0sin cos x x <<，则2222cos sin 0k k x x -->>，即：2222sin cos 0k k x x ---<，所以()0f x '<，所以()f x 在π(0,)4上单调递减，又因为22221πππ1()sin cos ()()()444222k k k k kf -=+=+=，(0)1f =，π()12f =，所以max ()1f x =，1min 1()()2k f x -=，所以()f x 的值域为11[(,1]2k -，故D 项正确.故选：BCD.12．()【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得3a b ⋅=-，结合cos b a b ba bbbθ⋅⋅=⋅，即可求解.【详解】因为)2,1a b ==- ，可得b =又因为1a b += ，可得22224231a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，解得3a b ⋅=-，所以a 在b上的投影向量为()cos b a b ba bb bθ⋅⋅=⋅=．故答案为：().13．4【分析】由ABC ABD ACD S S S =+ ，求得bc b c =+，利用基本不等式4bc ≥，求得ABC 面积的最小值ABC 的最小值，再由余弦定理，求得5bc =，求得ABC 的面积.【详解】由题意，2π,3BAC AD ∠=平分BAC ∠交BC 于D 且1AD =，可得ABC ABD ACD S S S =+ ，即12π1π1πsinsin sin 232323bc c AD b AD =⋅+⋅，整理得bc b c =+，所以bc b c =+≥，所以4bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以ABC 面积的最小值()min 1422ABC S =⨯⨯= 因为2222cos a b c bc A =+-，即()22220b c bc b c bc =++=+-，又因为b c bc +=，所以()2200bc bc --=，即()()540bc bc -+=，因为0bc >，解得5bc =，因此1sin 2ABC S bc BAC =∠==△．.14．22【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥+=≥>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.15．(1)()112nn n a -=-⨯(2)()2413n n T -=【分析】（1）设等比数列的公比为q ()1q ≠，由542188a a a a -=-+求出q ，再由等比数列求和公式求出1a ，即可得解；（2）由（1）可得()21n b n =-，即可得到数列{}n b 的特征，令0n a >，求出n 的取值，即可得到{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）解：设等比数列的公比为q ()1q ≠，因为542188a a a a -=-+，即()3321218a q a q a a -=--，即38q =-，所以2q =-，又()6161211a q S q-==-，即()()()61122112a --=--，解得11a =-，所以()()111212n nn n a --=-⨯-=-⨯.（2）解：由（1）可得()()()()22121222log log 12log 221nn n n nb a n --==-⨯==-，则数列{}n b 为0、2、4、6、 ，偶数组成的数列，又()112nn n a -=-⨯，令0n a >，则n 为正偶数，所以12c =，322c =，532c =， ，212n n c -=，所以{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()214241143n n n T --==-.16．(1)证明见解析(2)130【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ⋂=，所以G 为PAB 的重心，所以2BGGM=，又2NBCN=，所以GN MC ∥，又GN Ë平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．（2）连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则)()(,0,1,0,,CB P G ⎛ ⎝⎭，所以(),0,CB BG ⎛==- ⎝⎭．设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，解得3y z ==，所以平面BGN的一个法向量()n =，(()111,3333NP CP CN CP CB ⎛=-=-=-=-- ⎝ ．设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NP n NPθ⋅===⋅即直线PN 与平面BGN所成角的正弦值为130．17．(1)3142(2)①分布列见解析，()1E X =；②乙型号【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少3件一级品的概率；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120，若从乙型号减排器随机抽取4件，则二级品数所有可能的取值为0,1,2,3,4，且14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭～，由此能求出的分布列和数学期望.②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为0.0850.0450.6⨯+⨯=，按等级用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件A ，则()3241564646510C C C C C 31C 42P A ++==．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120，由题意，14,,4X B X ⎛⎫⎪⎝⎭～的所有可能的取值为0,1,2,3,4，所以()40043181044256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31431271C 4464P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()222431272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()30434443133113C ,4C 446444256P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分布列如下表：X k =01234()P X k =812562764271283641256所以()1414E X =⨯=；②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：2213266235555E a a a a =⨯+⨯=+；乙型号减排器的利润率的平均值：222271147231042055E a a a a a =⨯+⨯+=+；()222126647211215555555E E a a a a a a a a ⎛⎫-=+-+=-=- ⎪⎝⎭，又1176a <<，则12E E <，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．18．(1)证明见解析(2)24【分析】（1）设2(,)4a A a ，2(,)4b B b ，()a b ≠，根据题意求出AB 的中点为Q 的横坐标为0x ，可证PQ x ⊥轴；（2）不妨设b a >，则1||()2PAB S PQ b a =⋅-!，将||PQ 和b a -表示为0y 的函数，得PAB S ()200134424y y ⎡⎤=-+-⋅⎢⎥⎣⎦20044t y y =--+，48t <≤，得PABS 324t =，根据32y t =在(4,8]上为增函数，可求出结果.【详解】（1）设2(,)4a A a ，2(,)4b B b ，()a b ≠，则PA 的中点2004(,)28x a y a E ++在抛物线24x y =上，所以22004428x a y a ++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，化简得22000280a x a y x -+-=，同理由PB 的中点F 在抛物线24x y =上可得22000280b x b y x -+-=，因为a b ¹，所以,a b 是关于x 的一元二次方程22000280x x x y x -+-=的两个不等实根，所以02a b x +=，2008ab y x =-，所以AB 的中点Q 的横坐标为02a bx +=，它与P 的横坐标相同，所以PQ ⊥x 轴.（2）不妨设b a >，则02a ba xb +<=<，由PQ ⊥x 轴，得1||()2PAB S PQ b a =⋅-!，因为P 在曲线y =00(,)P x y 是x 轴下方一点，所以220040x y =-≥，且00y <，所以020y -≤<，因为AB 的中点Q 的纵坐标为222()288a b a b ab ++-=()2200022(8)8x y x --=200384x y -=20038124y y --+=，所以220000038123||(44)44y y PQ y y y --+=-=-+-，又b a -===所以1||()2PAB S PQ b a =⋅-!()200134424y y ⎡⎤=-+-⋅⎢⎥⎣⎦，令2200044(2)8t y y y =--+=-++，因为020y -≤<，所以48t <≤，所以1324PABS t =⋅!324t =，因为32y t =在(4,8]上为增函数，所以当8t =时，PAB S 取最大值328244⨯=.【点睛】关键点点睛：第（2）中，利用||PQ 和b a -求面积，将||PQ 和b a -表示为0y 的函数，利用0y 的范围求面积的最大值是解题关键.19．(1)不具有，理由见解析(2)存在，()0,∞+(3)3【分析】（1）根据题意，求得()()211,ln ln f x f x x a x a'''-==，结合新定义，即可求解；（2）根据题意，求得()362g x x x=+，得到()2266g x x x -'=，进而得到()31212g x x x ''=+，进而新定义，即可求解；（3）根据题意，转化为()()11ln 1x x k x⎡⎤+++⎣⎦<，令()()()11ln 1x x F x x⎡⎤+++⎣⎦=，求得()()2ln 11x x F x x-+-='，令()()ln 11G x x x =-+-，利用导数求得函数()G x 的单调性，结合()()20,30G G <>，得到存在()02,3x ∈，使()00G x =，结合函数的单调性，求得()F x 的最小值为()0F x ，由()00G x =，得到()00ln 11x x +=-，求得()()03,4F x ∈，即可求解.【详解】（1）解：令()()log ,0,a y f x x x ==∈+∞，则()()211,ln ln f x f x x a x a'''-==，当01a <<时，()210ln f x x a '-=>'；当1a >时，()210ln f x x a'-=<'，所以当01a <<时，函数log a y x =在区间()0,∞+上具有性质M ；当1a >时，函数log a y x =在区间()0,∞+上不具有性质M ．（2）解：因为()322b g x x ax x =++，所以()2262b g x x ax x'=+-，因为()g x 在1x =处取得极值，且()g x 为奇函数，所以()g x 在=1x -处也取得极值，则()()16201620g a b g a b ⎧=+-=⎪⎨-=--=''⎪⎩，解得0,6a b ==，所以()362g x x x=+，可得()2266g x x x -'=，当0x >时，令()0g x '>，解得1x >；令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，满足()g x 在1x =处取得极值，所以()3312121212g x x xx x -''=+=+，当()0,x ∈+∞时，()312120g x x x ''=+>恒成立，所以，存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，且c 的取值范围是()0,∞+．（3）解：因为()0,x ∈+∞，所以()1ln 11x k x x ++>+，即()()11ln 1x x k x⎡⎤+++⎣⎦<，令()()()11ln 1x x F x x⎡⎤+++⎣⎦=，则()()2ln 11x x F x x -+-='，令()()ln 11G x x x =-+-，则()1111x G x x x '=-=++，当()0,x ∈+∞时，()()0,G x G x '>在区间()0,∞+上单调递增，又因为()()21ln30,32ln40G G =-<=->，所以存在()02,3x ∈，使()()000ln 110G x x x =-+-=，因为当()00,x x ∈时，()()()0,0,G x F x F x <'<在区间()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()()0,0,G x F x F x >'>在区间()0,x +∞上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，()F x 的最小值为()()()000011ln 1x x F x x ⎡⎤+++⎣⎦=，由()()000ln 110G x x x =-+-=，有()00ln 11x x +=-，所以()()()000001111x x F x x x ++-⎡⎤⎣⎦==+，因为()02,3x ∈，所以()()03,4F x ∈，又因为()()()11ln 1x x k F x x⎡⎤+++⎣⎦<=恒成立，所以()0k F x <，因为Z k ∈且0k >，所以k 的最大值为3．【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
广西南宁市第三中学2020届高三数学第二次模拟考试试题 文
南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试题（文科）全卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.2．已知复数512z i=+，则z =（ ） A. 1B.55C. 5D. 53．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）A.1920B.35C. 25D.7204．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A.21B. 22C. 23D. 245．下列命题中，正确的是（ ） A. 若22a bc c<，则a b <B. 若ac bc >，则a b >C. 若a b >，c d >，则a c b d ->-D. 若a b >，c d >，则ac bd >6．如图所示的流程图，最后输出的n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 67．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A.45B.12C.45-D.12-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ）A.6π B.3πC.32π D. 43π9．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A.()24k x k Z ππ=+∈B. ()212k x k Z ππ=+∈C.()4x k k Z ππ=+∈ D. ()12x k k Z ππ=+∈10．已知命题:p x R ∃∈，220x ax a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. (]0,1C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ][(),01,-∞⋃+∞11．已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离12．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 的取值范围是（ ）A. ()3,4B. ()4,5C. ()5,6D. ()6,7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a v 与b v 的夹角为，且||1,|2|5a a b =-=v v v ，则||b v_______. 14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________．15．设数列{}n a 的前项和为，且11a =，131n n a S +=+，则4S =__________．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若13AB BB =，则1AB 与1C B 所成角的余弦值为_______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本题满分12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且3cos 3cos 2sin b A a B b C +=（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知sin 4,sin a CA=ABC ∆的面积为，求边长的值.18．（本题满分12分）如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，. （1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.19．（本题满分12分）2020年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2020年1月1日到 2020年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中采用分层抽样的方法抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？ （Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，且过点T .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程.21.（本题满分12分）已知函数()cos f x x x ax a =-+，π[0,]2x ∈，(0)a ≠． （Ⅰ）当1=a 时，求)('x f 的最小值； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有一个零点．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分． 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x b =++-+(0,0)a b >>的最小值为3. （1）求a b +的值；（2）求证：3413log a b a b ⎛⎫+≥-+⎪⎝⎭.南宁三中2020届高三第二次模拟考试数学试题（文科）参考答案1．B 【解析】由题得=={x|0，1,2}，所以A∩B={0,1,2}.故选B.2．C 【解析】512z i ====+故选C3．D 【解析】根据题意，恰有一人晋级就是甲晋级乙没有晋级或甲没有晋级乙晋级， 则所求概率是4334711544520-+-=（）（）故选D ． 4．A 【解析】由题意＝15，，∴． 故选A ．5．A 【解析】对于A ．∵22a b c c <即20a bc -<，∴a b <，正确；对于B ．∵ac bc >即()0a b c ->，c 的正负不知道，则a ，b 大小也无法判断，错误；对于C ．∵a b >，c d >，无法判断a c -与b d -的大小关系，错误；对于D ．∵a b >，c d >，不知道a ，b ，c ，d 正负，无法判断ac 与bd 的大小关系，故选A ．6．C 【解析】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2n=4，n 2=4，故有n=n+1=3， 此时2n=8，n 2=9，故有n=n+1=4， 此时2n=16，n 2=16，故有n=n+1=5，此时2n=32，n 2=25，即满足2n＞n 2故输出n 的值5． 故选：C ．7．A 【解析】因为，所以， 则该切线的斜率， 则 .故选A ．8．B 【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，即这五个点都是棱长为的正方体的顶点，所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球，所以外接球的直径是正方体的对角线为，所以半径，从而求的球的体积为，故选B.9．B 【解析】平移后函数解析式为，令，则，．故选B ． 10．A 【解析】P 为假，即“∀x ∈R ,x 2+2ax +a >0”为真，∴△=4a 2−4a <0⇒0<a <1.本题选择A 选项.11．B 【解析】圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2=a 2（a ＞0），则圆心为（0，a ），半径R=a ， 圆心到直线x+y=0的距离d=，Q 圆M ：x 2+y 2﹣2ay=0（a ＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，2222222222a R d a a ∴-=-=⇒=则圆心为M （0，2），半径R=2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1的圆心为N （1，1），半径r=1， 则MN=，Q R+r=3，R ﹣r=1， ∴R ﹣r ＜MN ＜R+r ，即两个圆相交． 故选：B ． 12．B 【解析】因为()ln 21x x k xk+-=-，所以ln 21x x x k x +=-，令()ln 2,(1)1x x xf x x x +=>-，则()()2ln 3(1)1x x f x x x --=>-'，再令()()1g ln 3(1)10x x x x g x x'=-->∴=-> ()()()000040,(5)0,4,5,0-ln 30g g x g x x x <>∴∃∈=∴-=Q ，因为关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，所以()()()()000000000000ln 21ln 24,5111x x x x x x x k f x x x x x +-+=====∈---，选B.13．1【解析】， 向量与的夹角为，0 ，解得，故答案为.14．2【解析】作出可行域如图所示，设，则表示可行域内的点与原点的距离的平方．由图知，所以． 故答案为：2.15．【解析】①，②，①②得：，又∴数列 首项为1，公比为的等比数列，∴． 故结果为85； 16．18【解析】取1BB 中点D ，11B C 中点E ，AB 中点F 则1//DE BC ，1//DF AB即EDF ∠为所求角，设1BB x =，12AB x =，得7EF x =DE DF x ==2222714cos 28x x x EDF x +-∠== 17．【解析】（1）由已知得，由正弦定理得， ∴， 又在中，， ∴ 所以 ∴.（２）由已知及正弦定理 又 S ΔABC =，∴，得 由余弦定理 得.18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，则GE //AC ，GF //AB ，因为GE ∩GF =G ，AC ∩AB =A ，所以平面GEF //平面ABC ， 所以EF //平面ABC ． （Ⅱ）∵平面ABC ，∴． 又∴平面PAB ． 又∴， ∴．记点P到平面BCD的距离为d，则∴，∴，所以，点P到平面BCD的距离为．19.【解答】（Ⅰ）这120天中抽取30天，采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P（A）=20．【解析】（1）依题意得解得∴椭圆的方程为.（2）由消去整理得，其中设，则，，∴，又原点到直线的距离.∴，令，则，∴当时，取得最大值，且，此时，即. ∴直线的方程为∴的面积取最大值时直线的方程为.21.（Ⅰ）解：依题意()cos sin f x x x x a '=--．令()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈，则()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减． 所以)('x f 的最小值为122sin22cos)2()(min --=--==πππππa g x g ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()g x 在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1g a =-，ππ()22g a =--． 当1a ≥时，()f x 在π[0,]2上单调递减． 因为(0)0f a =>，ππ()(1)022f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．当π02a --≥，即π2a ≤-时，()0g x ≥，即()0f x '≥，()f x 在π[0,]2上单调递增．因为(0)0f a =<，ππ()(1)022f a =->， 所以()f x 有且仅有一个零点．当π12a -<<时，(0)10g a =->，ππ()022g a =--<， 所以存在0π(0,)2x ∈，使得0()0g x =．x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)2x 上单调递减．因为(0)f a =，ππ()(1)22f a =-，且0a ≠，所以2ππ(0)()(1)022f f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．综上所述，()f x 有且仅有一个零点．22．【解析】（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为， 将代入上式可得， ∴曲线的极坐标方程为：． （2）设两点的极坐标方程分别为, 由消去得，根据题意可得是方程的两根， ∴， ∴．23．【解析】(1)()222f x x a x b =++-+()()222x a x b ≥+--+2a b =++所以23a b ++=,即1a b += (2)由1a b +=，则原式等价为：341log 2a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，即419a b +≥,而()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当41b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即21,33a b ==时，“=”成立， 故原不等式成立。
2023届广西南宁二中高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f a f c f b << C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<2．已知52i 12i a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A ．3B ．3C ．1D ．53．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163 B ．6 C ．203 D ．2235．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种6．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1 B ．—3 C ．1D ．27．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．78．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．2π9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613 C ．1313 D ．131010．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12 C ．32 D ．3±11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2012．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<< C ．{}|1x x >- D ．{}|12x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南宁市2020届高三理科数学第二次适应性考试试题含答案
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2020年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，，则A. 1，B. 1，2，C. 0，1，D. 0，1，2，2.设复数z满足，则A. B. C. D.3.的展开式中含的系数为A. B. 80 C. 10 D.4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日日共10天他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5.已知各项不为0的等差数列的前n项和为，若，则A. 4B. 162C. 9D. 126.若函数，且的值域为，则函数的图象是A. B.C. D.7.椭圆C：的左、右焦点为，，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为8，则a为A. B. 2 C. D. 48.某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为A. 13B. 18C. 23D. 289.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是A. 平面B.C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为10.已知双曲线E：的右焦点为F，以为原点为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M，N异于点若，则双曲线E的离心率为A. 4B. 2C.D.11.已知函数的图象经过点，一条对称轴方程为则函数的周期可以是A. B. C. D.12.已知函数，则当时，函数的零点个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，向量，则与的夹角大小为______．14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是______．15.已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是______．16.如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为若四面体外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，的平分线与BC交于点E，且．求及AC；若，求四边形ABCD周长的最大值．18.红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．2564616842268870308表中；；；；根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；根据中所选择的模型，求出y关于x的回归方程系数精确到，并求温度为时，产卵数y的预报值．参考数据：，，，附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，，，，三角形SAB是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．求证：平面平面SEF；若，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．20.已知函数，其中e是自然对数的底数．若，证明：；若时，都有，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N．求四边形MPNQ面积的取值范围；记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数，曲线：为参数，且，点P为曲线与的公共点．求动点P的轨迹方程；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，求动点P到直线l的距离的取值范围．23.已知a，b，c都为正实数，且证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由集合1，，所以1，．故选：A．求出集合A，由此能求出．本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为．故选：A．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中的系数．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A 错误对于B：前5天的增长比例极差约为，后5天增长比例极差约为，故B错误；对于C：由折线图很明显，的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．根据图象逐一进行分析即可本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5.答案：C解析：解：由题．故选：C．利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：，若函数，且的值域为，，当时，数，为减函数，当时，数，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A根据指数函数的图象和性质求出，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆的定义可得，，即可得出答案．【解答】解：椭圆C：，椭圆的焦点在x轴上，则由椭圆的定义可得，的周长，解得，故选B．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，得，不满足，，得，不满足，，得，不满足，，得，此时，满足，退出循环，输出a的值为23．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9.答案：D解析：【分析】连结BD，，可得，得到平面，判定A正确；证明平面，得，结合，得，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与所成角判断D错误．本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．【解答】解：如图，连结BD，，由M，N分别为AC，的中点，知，而平面，平面，平面，故A正确；在正方体中，平面，则，，，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于，故C正确；而为异面直线MN与所成角，应为，故D错误．故选：D．10.答案：D解析：解：因为OF为直径，点M在圆上，所以又，由圆的对称性，有，所以．由渐近线斜率，所以离心率为．故选：D．画出图形，结合圆的对称性，求出然后求解双曲线的离心率即可．本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11.答案：B解析：解：由，则，，当时，．故选：B．直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12.答案：B解析：解：在平面直角坐标系中作出函数的图象如图所示．令，得，则或．当时，显然存在2个零点，；当时，存在1个零点故函数的零点个数为3．故选：B．先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，13.答案：解析：解：，且，与的夹角为．故答案为：．根据向量的坐标即可得出，和的值，从而可得出，从而可得出夹角的大小．本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.答案：丁解析：解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁．逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15.答案：解析：解：数列中，，且对于任意正整数m，n都有，令，得，则是首项和公比均为2的等比数列，则．故答案为：．利用数列的递推关系式，通过，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16.答案：2解析：解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则，；记四面体内切球球心为O，如图2，则，即，即，所以；又，即，所以．故答案为：2．画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．17.答案：解：在中，由正弦定理得：．又，则，于是，所以，．所以．在中，根据余弦定理得，所以．令，，在中，根据余弦定理得，即有，即，所以，当且仅当时，“”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为．解析：在中，由正弦定理可求的值，又，可求，利用三角形的内角和定理可求的值，进而可求的值，可得，在中，根据余弦定理即可解得AC的值．令，，在中，根据余弦定理，基本不等式可求，即可求解四边形ABCD周长的最大值．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18.答案：解：应该选择模型．由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适．令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，，，则z关于x的线性回归方程为．于是有，产卵数y关于温度x的回归方程为．当时，个．在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．解析：由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，由已知数据求得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取求得y值得结论．本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19.答案：证明：平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，，平面ABCD．又平面ABCD，．连接BD，，F分别为AB，AD的中点，．，．又，，，得．又，．又，平面SEF．又平面SCD，平面平面SEF；解：过E作，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系．在中，求得，，．则0，，，，，．故，，．设平面SCD的法向量为，由，可取．则．故SF与平面SCD所成角的正弦值为．解析：由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD，进一步得到连接BD，得再证明，结合，得再由直线与平面垂直的判定可得平面进一步得到平面平面SEF；过E作，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题．20.答案：解：若，则，所以，当时，；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值．所以．令，则原问题转化为在上恒成立．由，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，当时，，所以在上单调递增，所以，即，满足题意．当时，因为在上单调递增，所以，所以存在，使得当时，，在上单调递减，此时，这与在上恒成立矛盾．综上所述，，故实数a的取值范围是．解析：若，则，所以，再利用导函数的正负性与函数的单调性之间的联系即可得的单调性，从而确定，而，进而得证；构造函数，则原问题转化为在上恒成立，然后求导，令，再求导，从而可确定在上单调递增，由于，于是分和两种情形，讨论函数的单调性，以便求证与0的关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0．设：，，，则：．因为联立直线与抛物线的方程，有，其中，由韦达定理，有．由上可得，同理，则四边形MPNQ面积．令则．所以，当且仅当，即时，S取得最小值12，且当时，．故四边形MPNQ面积的范围是．由有，，所以PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为．于是，直线EF的斜率为，则直线EF的方程为：，所以直线EF恒过定点．解析：两直线，的斜率一定存在，且不等于设：，，，则：联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．由求出PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点．本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．22.答案：解：设点P的坐标为．因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程．曲线消去参数可得，曲线消去参数可得．由，所以．所以点P的轨迹方程为．由已知，直线l的极坐标方程，根据，可化为直角坐标方程：．因为P的轨迹为圆去掉两点，圆心O到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离的取值范围为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：当且仅当取“”．所以；由a，b，c都为正实数，且，可得当且仅当取“”．则．解析：由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；将代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学(理)试题(含解析)
南宁市2020届高中毕业班第二次适应性测试数学（理工类）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}|30,A x x x =-<∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I A.{}0,1,2B.{}0,1,2,3C.{}1,0,1,2-D.{}1,0,1,2,3-2.设复数z 满足()1i 2i z ⋅-=+，则 z = A.13i 22+ B.13i 22- C.13i + D.13i -3.()512x -的展开式中3x 的系数为 A.80-B.20-C.20.D.804.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日-27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.根据组合图判断，下列结论正确的是A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D.这10天学生在线学习人数在逐日增加5.已知各项不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若522a a =，则26S a = A.4B.162C.9D.126.若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是ABCD7.已知椭圆2221x y a +=（1a >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点.若2ABF △的周长为8，则a =A.4B. C.28.某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，则输出的a 的值为A.13B.18C.23D.289.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则下列说法错误．．的是A.//MN 平面11ADD AB.MN AB ⊥C.直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D.异面直线MN 与1DD 所成角为60°10.已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以OF （O 为原点）为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M ，N （M ，N 异于点O ）.若120MFN ∠=︒，则双曲线E 的离心率为A.4B.2C.43D.311.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω≠）的图象经过点,024π⎛⎫⎪⎝⎭，一条对称轴方程为6x π=.则函数()f x 的周期可以是 A.34πB.2π C.4π D.12π 12.已知函数()ln ,01,0x x f x kx x >⎧=⎨+≤⎩，则当0k >时，函数()1y f f x -⎡⎤⎦=⎣的零点个数为 A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省2024年高考第二次联合模拟考试数学含答案
2024年高考第二次联合模拟考试数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若()1i 1i z -=+，则z =（）A ．1BC．D ．52．已知椭圆2221142x y m m ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭的离心率为32，则2m =（）A ．2B ．4C．D．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若22S =，346a a +=，则64S S =（）A ．2B ．74C ．3D ．1344．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（）A ．15B ．25C ．310D ．7105．已知函数()()()()2ln 2f x x a x e e a R ⎡⎤=-++∈⎣⎦为偶函数，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．0C ．1D ．ln26．已知函数()()π2sin 106f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间()0,π上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．410,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦7．记函数()y f x =的导函数为y '，y '的导函数为y ''，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y =⎡⎤+⎣'⎦''．若函数为ln y x =，则其曲率的最大值为（）A ．23B ．22C ．239D ．2338．已知点P 为双曲线22:143x y C -=上的任意一点，过点P 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，则PEF △的面积为（）A ．43B ．49C ．127D ．49二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc >C ．11a b b c >--D ．()()294a cbc c --<10．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且4a =，3sin24cos24A A -=，则（）A ．ABC △的外接圆半径为5B ．若4c =，则ABC △的面积为19225C ．5320cos b c C-=D ．AB AC AB AC +-⋅的取值范围为)9⎡--⎣11．已知函数()y f x =的定义域与值域均为Q +，且()()()()()22*x y f y f f x fy txf y t N y ⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭，则（）A ．()11f =B ．函数()f x 的周期为4C ．()()2f x xx Q +=∈D ．2t =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}2,1,4A m =+，{}2,1B m =，若B A ⊆，则实数m =______．13．设实数x ，()4y x y ≤<，满足1，3，4，x ，y ，2y +的平均数与50%分位数相等，则数据x ，y ，2y +的方差为______．14．在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △，PAC △，ABC △的面积分别3，4，12，13，且APB BPC APC ∠=∠=∠，则其内切球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()()2252xf x x x e =-+．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间与极值．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，14AA =，点E ，F ，G ，H 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且22BF DH AE ===，3CG =．（1）证明：F ，E ，H ，G 四点共面；（2）求平面ABCD 与平面EGH 所成角的余弦值．17．（15分）某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．（1）分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；（2）记前n 周中使用了乙密码的次数为Y ，求()E Y ．18．（17分）已知抛物线2:C x y =，过点()0,2E 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P ．（1）证明：P 在定直线上；（2）若F 为抛物线C 的焦点，证明：PFA PFB ∠=∠．19．（17分）设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即[]{}{}()01x x x x =+≤<，其中[]x 为x 的整数部分，{}[]x x x =-为x 的小数部分；③[][]()n x n x n Z +=+∈；④．若整数a ，b 满足()0,,,0a bq r b q r Z r b =+>∈≤<，则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）已知实数r 满足19202191546100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求[]100r 的值；（3）证明：对于任意的正整数n ，均有()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．2024年高考第二次联合模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CADBADCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011答案ADBCDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2-13．14914．9π8四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由()()2252xf x x x e=-+可知()()223x f x x x e =--'，所以()0033f e =-'=-，又()02f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为320x y +-=．（2）()()()()223e 123e xxf x x x x x =--=+-'，()f x 的定义域为R ．由()0f x '=，得32x =，或1x =-，当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当312x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当32x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故函数()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为()91f e-=；在32x =处取得极小值，极小值为3232f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．16．（1）证明：如图：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系则：()0,0,1E ，()2,0,2F ，()2,2,3G ，()0,2,2H ．所以()0,2,1FG = ，()0,2,1EH =，所以FG EH = ．∴四边形FEHG 为平行四边形，故F ，E ，H ，G 四点共面．（2）由（1）知，()0,0,0A ，()10,0,4A ，()0,2,1EH = ，()2,2,2EG =，∴平面ABCD 的法向量为()10,0,4AA =，设平面EGH 的法向量为(),,m x y z = ，则0m EH m EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以202220y z x y z +=⎧⎨++=⎩，令1y =，则2z =-，1x =，所以()1,1,2m =-，1116cos ,3m AA m AA m AA ⋅===- ．故平面ABCD 与平面EGH 所成角的余弦值为63．17．解：（1）设第k 周使用甲密码的概率为k a ，因为11a =，20a =，所以313a =，()433120139a a a =⨯+-=，答：第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29．（2）因为第k 周使用甲密码的概率为k a ，则第1k +周使用甲密码的概率为()1113k k a a +=-，整理得1111434k k a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为11a =，所以113044a -=≠，所以数列14k a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，公比为13-的等比数列，所以1131443k k a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即1311434k k a -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．设第k 周使用甲密码的次数为()1,2,,k X k n =⋅⋅⋅，则k X 服从01-分布，所以()()()()()1212n n E X E X X X E X E X E X =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+121139131144163413nn n n n a a a ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+．所以前n 周中使用甲密码次数的均值()9111634nnE X ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为乙、丙、丁地位相同，所以()()31134163nn E X n E Y ⎡⎤-⎛⎫==+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．18．证明：（1）设()211,A x x，()222,B x x ，则22121212ABx x kx x x x -==+-，直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-，即()1212y x x x x x =+-又因为直线AB 过点()0,2E ，所以122x x -=，即122x x =-设直线PA 的方程为()211y x k x x -=-，与抛物线方程2y x =联立，解得1x x =或1x k x =-又因为直线PA 与抛物线相切，所以11x k x =-，即12k x =所以直线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y xx x =-同理直线PB 的方程为2222y xx x =-由21122222y xx x y xx x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭故点P 在直线2y =-上．（2）证明：∵cos FA FPPFA FA FP⋅∠=⋅ ，cos FB FP PFB FB FP⋅∠=⋅ 注意到两角都在()0,π内，可知要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB ⋅⋅=而2111,4FA x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，129,24x x FP +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以()22121119174124416x x FA FP x x x +⎛⎫⋅=⋅--=-+ ⎪⎝⎭，又2114FA x ==+所以()2121741716144x FA FP FA x -+⋅==-+ ，同理74FB FP FB ⋅=- 即有FA FP FB FP FA FB⋅⋅= ，故PFA PFB ∠=∠．19．解：（1）令()1575x n n Z -=∈，则5715n x +=，∴103940n n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦又由高斯函数的定义有10390140n n +≤-<解得：1133010n -<≤，则0n =或1n =当0n =时，则715x =；当1n =时，则45x =；（2）设[]r n =，设19100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，20100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，21100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，91100r ⎡⎤+⎢⎣⎦中有k 个为1n +，()73k -个n ，()073k ≤≤，据题知：()()731546k n k n -++=，则有35773kn -=+，解得:35k =，7n =所以568100r +<，578100r +≥，即743100744r ≤<故[]100743r =．证明（3）：据题形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-设()1403,n q r r q Z +=+≤<∈，则有()114424n n r r q q n +++<<+-从而()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭．而144n r q +=+，则144n r +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴()11 424n n nn⎧⎫++⎧⎫>⎨⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．又当1n=，2时，经检验原式成立，故对一切的自然数n，原式成立．。
南宁市2020届高三文科数学第二次适应性考试试题含答案
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南宁市届高中毕业班第二次适应性测试
数!学文史类
考 试 时 间 $!" 分 钟 ! 试 卷 满 分 $#" 分 注意事项
$(答 卷 前 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 !(回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂 黑 如需 改 动用橡皮擦干净后再选涂其它答案 标 号 回 答 非 选 择 题 时将 答 案 写 在 答 题 卡 上 写 在 本 试 卷上无效 )(考 试 结 束 后 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回
2020年广西南宁市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广西南宁市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到两个红球的概率为A. 13B. 12C. 23D. 344. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日—27日(共10天)他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是( )A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=18−a 7，S 8=( )A. 18B. 36C. 54D. 726.若函数y=a x+b−1(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限，则有()A. a>1且b≥0B. a>1且b≥1C. 0<a<1且b≤0D. 0<a<1且b≤17.过椭圆x216+y29=1的右焦点F2作直线l交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为()A. 20B. 16C. 12D. 108.执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A. D1O//平面A1BC1B. D1O⊥平面MACC. 异面直线BC1与AC所成的角为60°D. MO与底面所成角为90°10.函数f(x)={x 2−2,x≤0,2x−6+lnx,x>0的零点个数是______．A. 2B. 1C. 3D. 411.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，以OF(O为原点)为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N(M,N异于点O).若∠MFN=120°，则双曲线E的离心率为A. 4B. 2C. 43D. 2√3312. 若函数f (x )=sin (ωx +π3)−1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对称轴为( )A. x =−π18B. x =−5π2C. x =7π18D. x =π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的大小为______ ． 14. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则S5S 2=_______________． 15. 甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问打碎玻璃的是___________．16. 正方形ABCD 的边长为2√2，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，沿AE,EF,FA 折成一个三棱锥A −EFG(使B,C,D 重合于G)，则三棱锥A −EFG 的外接球表面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5．(1)求cos∠ADB ； (2)若DC =2√2，求BC ．18. 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得表数据．(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断该高三学生的记忆力x 和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．(参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2)19. 已知四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，又PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，且AD =PD =4． (1)证明：平面BEF ⊥平面PAD ；(2)若PA//平面BEF ，求四棱锥F −BCDE 的体积．20. 已知函数f(x)=x2+ax+2x，x ∈[1,+∞)．(1)当a =−√2时，求f(x)的最小值．(2)若对任意x ∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围．21. 已知抛物线E ：y 2=4x ，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同两点A ，B ，直线n 交E 于不同两点C ，D ，记直线m 的斜率为k ． (1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：直线MN 过定点Q(2,0)．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√213cosθy =2+√213sinθ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=85−3cos2α，点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上．(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程; (2)求|PQ|的最大值．23. 已知正实数x ，y 满足x +y =1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， 则A ∩B ={x|0≤x ≤1}=[0,1]， 故选：A求出集合B ，根据交集定义进行求解． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查古典概率等基本知识，考查运算求解能力，先令红球为a ，b ，c ，白球为D ，列出取出两个小球的所有基本事件，故可得取到两个红球的概率解：令红球为a ，b ，c ，白球为D ，取出两个小球的所有基本事件有(a,b)，(a,c)，(a,D)，(b,c)，(b,D)，(c,D)，共6个，其中满足条件的有3个，故所求概率为12． 故选B ．4.答案：D解析：本题考查统计图表等基础知识，属基础题．直接根据统计图表可知，A，B，C项错误，D项正确．解：根据统计图表可知，前5天在线学习人数的比较稳定，后5天在线学习人数的波动较大，前5天在线学习人数的方差小于后5天在线学习人数的方差，A错误；前5天在线学习人数的增长比例的极差小于后5天的在线学习人数的增长比例的极差，B错误；这10天学生在线学习人数在逐日增加，但是增长比例并不是逐日增大项，故C错误，D项正确．故选D．5.答案：D解析：解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8=a2+a7．∴S8=8(a1+a8)2=4×18=72．故选：D．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8=a2+a7.再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：A解析：本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．解：∵函数y=a x+b−1(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限，∴{a>1b−1≥−1，解得a>1,b≥0．故选A．7.答案：B解析：解：椭圆x216+y29=1的a=4，由椭圆的定义可得，△AF1B的周长为c=|AB|+|AF1|+|BF1|。