上海市2021学年高二数学9月月考试题(含解析)

上海市2021-2021学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。

【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。

【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。

3.已知向量(2,1)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________ 【答案】25- 【解析】 【分析】a 在向量b 方向上的投影为a b b，即可求解.【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b aa bb-+<>====- 【点睛】a 在向量b 方向上的投影a b b， b 在向量a 方向上的投影a b a，可以直接使用，基础题。

4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-，若212P P PP λ=，则实数λ=________ 【答案】23- 【解析】 【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。

【详解】解：1213PP PP =-⟹122213PP PP PP PP +=-+⟹12223PP PP =⟹21223P P PP =- 故：λ=23-【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。

5.已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，且它们的夹角为120°，则向量2a b +与向量a 夹角的大小为________【答案】π- 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。

【详解】解：()()2222224cos120413a b a b aa b b+=+=++=()21121222cos1202cos 2,131312a b a a a b a b a a b a⎛⎫+- ⎪++⎭<+>====-+又∵ 向量夹角的范围为[]0,π ，∴向量2a b +与向量a夹角的大小为π- 【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。

6.已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC AM BD λμ=+，则λμ+=________【答案】53【解析】 【分析】找一组基向量分别表示出,,AC AM BD ，再用待定系数法即可求得。

【详解】解：令,,AB a AD b ==则1,,=2AC a b AM a b BD b a =+=+-，有∵AC AM BD λμ=+，∴11+=+22a b a b b a a b λμλμλμ+=+--（）（）()+()， ∴=11+=12λμλμ-⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：4=31=3λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴5+=3λμ 【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．7.已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n，n ＋1)，n∈N *，则n= . 【答案】2 【解析】 【分析】把要求零点函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．8.若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、4-适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p q +=________ 【答案】26 【解析】 【分析】a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，可得a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0．不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列，即可得出．【详解】解：∵a ，b 是函数f （x ）＝x 2−px ＋q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点， ∴a ＋b ＝p ，ab ＝q ，p ＞0，q ＞0，△＝p 2−4q ＞0． 不妨设a ＜b ．由于a ，b ，−4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴−4，a ，b 或b ，a ，−4成等差数列，a ，−4，b 或b ，−4，a 成等比数列， ∴b −4＝2a ，ab ＝（−4）2， 解得a ＝2，b ＝8． ∴p ＝10，q ＝16． 满足△≥0． 则p ＋q ＝26． 故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】 【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32，故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．10.若数列{}n a 满足110a =，11810n n a a n +=++（*n ∈N ），记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则n →∞=________ 【答案】16【解析】 【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入n →∞求得答案． 【详解】解：由11810n n a a n +=++，得110a =， 又110a =，∴2118110a a -=⨯+，3218210a a -=⨯+，…118(1)10n n a a n --=-+，累加得：[]2118(1)1812(1)10(1)1092n n n a a n n n n n ⨯-=++++-+-=+=+．3n ===则16n n →∞→∞== 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋅⋅⋅，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么2222123nna a a a a +++⋅⋅⋅+（3n ≥）是斐波那契数列的第________项 【答案】1n + 【解析】 【分析】利用21n n n a a a ++=+，结合叠加法，即可得出结论． 【详解】解：∵21n n n a a a ++=+， ∴2111()n n n n n n n n a a a a a a a a +--=+=+，21121112()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=+=+，…232221a a a a a =+，∴22221121n n n n a a a a a a +-=++++，∴22221231nn na a a a a a +++++=故答案为：1n +．【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 满足*(,01)n n a n k n N k =⋅∈<<，给出下列命题：①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当k1k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项. 请写出正确的命题的序号__________． 【答案】③④ 【解析】分析：由于()()1111n n n n n kn k a a n k n+++⋅+==⋅，再根据k 的条件讨论即可得出. 详解：①当12k =时，12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，()111112212n n n n n a n a nn ++⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∴==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，当1n =时，12a a =，因此数列{}n a 不是递减数列，故①不正确；②当112k <<时，()()1111n n nn n k n ka a n k n+++⋅+⋅∴==⋅，由于()111122n k k k n n+<<<+< 因此数列{}n a 一定有最大项，故②不正确；③当102k <<时，()()1111112n n nn n k n k a n a n k nn+++⋅+⋅+∴==<≤⋅，1n n a a +∴<，因此数列{}n a 为递减数列，正确；④当k1k -为正整数时，()()11111n n nn n k n k a a n k n+++⋅+⋅===⋅，因此数列{}n a 必有两项相等的最大项，故正确. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二.选择题13.若0x >，则函数121y x x =++的最小值为（）121211【答案】B 【解析】 分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。