第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
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工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
梁的剪力图与弯矩
梁的剪力图与弯矩
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
4.5 图和弯矩图.
F AX
l
F
FS x F B M x Fx
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
8
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
F+qL
1/2qL2+FL
FL
q B
l
qL
1/2qL2
19
例题 4.14
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
20
例题 4.15
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m 2m 2m 2m
M2 M1
x2 x1
FS x
11
dx
q
A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
FA +
x
-
FB
+
FAa
FBb
12
例题
4.7 4.8
a
F
F AX
l
F
FS x F B M x Fx
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
8
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
F+qL
1/2qL2+FL
FL
q B
l
qL
1/2qL2
19
例题 4.14
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
20
例题 4.15
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m 2m 2m 2m
M2 M1
x2 x1
FS x
11
dx
q
A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
FA +
x
-
FB
+
FAa
FBb
12
例题
4.7 4.8
a
F
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| FQ | max = 1 ql 2
| M | max =
1 2 ql 8
5 － 7 静定梁承受平面载荷但无集中力作用,其剪力图如图所示.若已知 A 端弯矩
M ( A) = 0 ,试确定梁上的载荷及梁的弯矩图,并指出梁在何处有约束,且为何种约束。
FRA = 20 kN（↑）
课
后 答
案
FRB = 40 kN（↑）
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
dFQ
w. kh d
(B)
aw .
。 正确答案是 b、c、d
3
四种答案中哪几种是正确的：
课
后 答
5－2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列
案
网
习题 5－2 图
co m
。
5－3 已知图示梁的剪力图以及 a、e 两截面上的弯矩 M a 和M e ,现有下列四种答案, 试分析哪一种是正确的。
A 截面－ FQ = qa , M = 0
5
ww
M0 , M =0 a+b
M0 a , M= M0 a+b a+b M0 b , M= M0 a+b a+b M0 , M =0 a+b
w. kh d
b FP , M = 0 a+b b ab C 截面－ FQ = FP , M = FP a+b a+b a ab D 截面－ FQ = − FP , M = FP a+b a+b a B 截面－ FQ = − FP , M = 0 a+b
上述各式中 Aa∼ b ( FQ ) 为截面 a、b 之间剪力图的面积,以此类推。 解：根据微分关系的定积分以及 a、b 之间剪力图的面积为负值，有
因为 d、e 之间剪力图的面积为正值，所以有
以及
课
改写后为
因此，正确答案是 (B)。
后 答
M b＝M a − Aa →b ( FQ )
M e＝M d + Ad → e ( FQ )
FRA = 5 ql （↑） 4
1 − ql ⋅ l = 0 2
| FQ | max =
| M | max =
题（e）
5 ql 4
25 2 ql 32
案
∑ F y = 0 ，FRC = 0
网
后 答
∑ M C = 0 ， − ql ⋅
M C = ql 2
1 2 ql 2
课
∑MB =0 ，MB =
∑ F y = 0 ， FQB = ql
10
∑MD =0， MD =
25 2 ql 32
aw .
q 2 ∑MB =0 ， MB = l 2
co m
∑ F y = 0 ， FRB = ql （↑）
3 4
FQB =
1 ql 2
l l l 1 ql ⋅ − q ⋅ + M D = 0 2 2 2 4
∑MD =0，
1 M D = − ql 2 8 1 M E = ql 2 8
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
1. FQ ( x ) = −
aw .
ql + qx , 2 ql 2. FQ ( x ) = − + q ( 2l − x ) , 2
1 1 M ( x ) = − qlx + qx 2 2 2 ql 1 2 M ( x ) = ( 2l − x )− q ( 2l − x ) 2 2
aw .
co m
q = 15 kN/m 由 FQ 图 D、B 处为零可知，M 在 D、B 处取极值
M D = 20 ×
40 4 1 4 − 15 × ( ) 2 = kN·m 3 2 3 3
MB =−
1 q × 12 = −7.5 kN·m 2
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图所示。
5－8 已知静定梁的剪力图和弯矩图,试确定梁上的载荷及梁的支承。. 解：由 FQ 图知，全梁有向下均布 q 载荷，由 FQ 图中 A、B、C 处突变，知 A、B、C 处 有向上集中力，且
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
网
ww
w. kh d
aw . 案
1
解：题（a） ：
co m
C
－
习题 5－9 图
C
2
B
B
1
后 答
D
M(FPl)
1 +
D
课
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
4000
习题 5－8 载荷图之一
q A
4000
课
习题 5－8 图
C
4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
9
w. kh d
aw .
co m
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
| M | max = 3 2 ql 2
l 2
题（d）
∑ M B = 0 , FRA ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅
案
网
∑ M A = 0 ， FRB =
Hale Waihona Puke wwM （↑） 2l M = （↓） 2l
8
w. kh d
aw .
习题 5－6b 解图
co m
后 答
习题 5－6c、e 解图
案
网
ww
习题 5－6d、f 解图
课
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
1 = ql （↑） 4
∑ F y = 0 ， FRA =
M C = FRB ⋅ l =
1 ql （↓） ， 4
1 1 ql ⋅ l = ql 2 （＋） 4 4
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
q=
0.3 − (−0.5) = 0.2 kN/m（↓） 4
w. kh d
aw .
q C FC
由 MA = MB = 0，可知 A、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图所示。
co m
4000
FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑）
A
B
网 案
ww 后 答
由
∑ Fy = 0
FRA + FRB − q × 4 = 0
11
网
习题 5－7 图
ww
w. kh d
解：由 FQ 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布载荷 q，由 A、B 处 FQ 向上突变 知，A、B 处有向上集中力；又因 A、B 处弯矩无突变，说明 A、B 处为简支约束，由 A、B 处 FQ 值知
aw .
co m
B 截面－ FQ = 0 , M = 0 题(e) A 截面－ FQ = −2 FP , M = FP l C 截面－ FQ = −2 FP , M = 0 B 截面－ FQ = FP , M = 0 A 截面－ FQ = 0 , M =
题(f)
FPl 2
C 截面－ FQ = 0 , M =
(A) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ); (B) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (C) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (D) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ).
习题 5－1 图 （A）
ww
正确答案是
dM ＝FQ ; dx dx dF dM （B） Q ＝－q ( x) , ＝－FQ ; dx dx dFQ dM （C） ＝－ q ( x) , ＝FQ ; dx dx dFQ dM （D） ＝q ( x ) , ＝－FQ ; dx dx ＝q ( x ) ,
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
题(e)
1. FQ ( x ) = qx , 2. FQ ( x ) = ql − q ( x − l ) ,
题(f)
1 M ( x ) = qx 2 2 l⎞ 1 2 ⎛ M ( x ) = ql ⎜ x − ⎟− q ( x − l ) 2⎠ 2 ⎝
Ad → e ( FQ ) = Ae → d ( FQ )
M d =M e − Ae → d ( FQ )
案
网
ww
4
习题 5－3 图
w. kh d
aw .
co m
5－ 4
试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。
| M | max =
1 2 ql 8
5 － 7 静定梁承受平面载荷但无集中力作用,其剪力图如图所示.若已知 A 端弯矩
M ( A) = 0 ,试确定梁上的载荷及梁的弯矩图,并指出梁在何处有约束,且为何种约束。
FRA = 20 kN（↑）
课
后 答
案
FRB = 40 kN（↑）
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
dFQ
w. kh d
(B)
aw .
。 正确答案是 b、c、d
3
四种答案中哪几种是正确的：
课
后 答
5－2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列
案
网
习题 5－2 图
co m
。
5－3 已知图示梁的剪力图以及 a、e 两截面上的弯矩 M a 和M e ,现有下列四种答案, 试分析哪一种是正确的。
A 截面－ FQ = qa , M = 0
5
ww
M0 , M =0 a+b
M0 a , M= M0 a+b a+b M0 b , M= M0 a+b a+b M0 , M =0 a+b
w. kh d
b FP , M = 0 a+b b ab C 截面－ FQ = FP , M = FP a+b a+b a ab D 截面－ FQ = − FP , M = FP a+b a+b a B 截面－ FQ = − FP , M = 0 a+b
上述各式中 Aa∼ b ( FQ ) 为截面 a、b 之间剪力图的面积,以此类推。 解：根据微分关系的定积分以及 a、b 之间剪力图的面积为负值，有
因为 d、e 之间剪力图的面积为正值，所以有
以及
课
改写后为
因此，正确答案是 (B)。
后 答
M b＝M a − Aa →b ( FQ )
M e＝M d + Ad → e ( FQ )
FRA = 5 ql （↑） 4
1 − ql ⋅ l = 0 2
| FQ | max =
| M | max =
题（e）
5 ql 4
25 2 ql 32
案
∑ F y = 0 ，FRC = 0
网
后 答
∑ M C = 0 ， − ql ⋅
M C = ql 2
1 2 ql 2
课
∑MB =0 ，MB =
∑ F y = 0 ， FQB = ql
10
∑MD =0， MD =
25 2 ql 32
aw .
q 2 ∑MB =0 ， MB = l 2
co m
∑ F y = 0 ， FRB = ql （↑）
3 4
FQB =
1 ql 2
l l l 1 ql ⋅ − q ⋅ + M D = 0 2 2 2 4
∑MD =0，
1 M D = − ql 2 8 1 M E = ql 2 8
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
1. FQ ( x ) = −
aw .
ql + qx , 2 ql 2. FQ ( x ) = − + q ( 2l − x ) , 2
1 1 M ( x ) = − qlx + qx 2 2 2 ql 1 2 M ( x ) = ( 2l − x )− q ( 2l − x ) 2 2
aw .
co m
q = 15 kN/m 由 FQ 图 D、B 处为零可知，M 在 D、B 处取极值
M D = 20 ×
40 4 1 4 − 15 × ( ) 2 = kN·m 3 2 3 3
MB =−
1 q × 12 = −7.5 kN·m 2
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图所示。
5－8 已知静定梁的剪力图和弯矩图,试确定梁上的载荷及梁的支承。. 解：由 FQ 图知，全梁有向下均布 q 载荷，由 FQ 图中 A、B、C 处突变，知 A、B、C 处 有向上集中力，且
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
网
ww
w. kh d
aw . 案
1
解：题（a） ：
co m
C
－
习题 5－9 图
C
2
B
B
1
后 答
D
M(FPl)
1 +
D
课
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
4000
习题 5－8 载荷图之一
q A
4000
课
习题 5－8 图
C
4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
9
w. kh d
aw .
co m
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
| M | max = 3 2 ql 2
l 2
题（d）
∑ M B = 0 , FRA ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅
案
网
∑ M A = 0 ， FRB =
Hale Waihona Puke wwM （↑） 2l M = （↓） 2l
8
w. kh d
aw .
习题 5－6b 解图
co m
后 答
习题 5－6c、e 解图
案
网
ww
习题 5－6d、f 解图
课
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
1 = ql （↑） 4
∑ F y = 0 ， FRA =
M C = FRB ⋅ l =
1 ql （↓） ， 4
1 1 ql ⋅ l = ql 2 （＋） 4 4
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
q=
0.3 − (−0.5) = 0.2 kN/m（↓） 4
w. kh d
aw .
q C FC
由 MA = MB = 0，可知 A、B 简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图所示。
co m
4000
FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑）
A
B
网 案
ww 后 答
由
∑ Fy = 0
FRA + FRB − q × 4 = 0
11
网
习题 5－7 图
ww
w. kh d
解：由 FQ 图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布载荷 q，由 A、B 处 FQ 向上突变 知，A、B 处有向上集中力；又因 A、B 处弯矩无突变，说明 A、B 处为简支约束，由 A、B 处 FQ 值知
aw .
co m
B 截面－ FQ = 0 , M = 0 题(e) A 截面－ FQ = −2 FP , M = FP l C 截面－ FQ = −2 FP , M = 0 B 截面－ FQ = FP , M = 0 A 截面－ FQ = 0 , M =
题(f)
FPl 2
C 截面－ FQ = 0 , M =
(A) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ); (B) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (C) M b = M a + Aa∼ b ( FQ ), M d = M e − Ae∼ d ( FQ ); (D) M b = M a − Aa∼ b ( FQ ), M d = M e + Ae∼ d ( FQ ).
习题 5－1 图 （A）
ww
正确答案是
dM ＝FQ ; dx dx dF dM （B） Q ＝－q ( x) , ＝－FQ ; dx dx dFQ dM （C） ＝－ q ( x) , ＝FQ ; dx dx dFQ dM （D） ＝q ( x ) , ＝－FQ ; dx dx ＝q ( x ) ,
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
题(e)
1. FQ ( x ) = qx , 2. FQ ( x ) = ql − q ( x − l ) ,
题(f)
1 M ( x ) = qx 2 2 l⎞ 1 2 ⎛ M ( x ) = ql ⎜ x − ⎟− q ( x − l ) 2⎠ 2 ⎝
Ad → e ( FQ ) = Ae → d ( FQ )
M d =M e − Ae → d ( FQ )
案
网
ww
4
习题 5－3 图
w. kh d
aw .
co m
5－ 4
试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。