梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯...
4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
4-4 试作下列具有中间铰的剪力图和弯矩图。
4-14 一根搁在地基上的梁承受载荷如图所示。
假设地基的反力按直线规律
连续变化。
试求反力在两端A点和B点处的集度q A和q B，并作梁的剪力图和弯矩图。
4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
4-22 厚度为h＝1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。
已知钢的弹性模量E＝210GPa。
4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力力偶作用，如图所示。
试求截面m－m和固定端截面n－n上A、B、C、D四点处的正应力。
4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。
4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F ＝5kN ，a ＝1.5m ，[σ]＝10MPa 。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h /b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
4-48 一矩形截面木梁，其截面尺寸及载荷如图，q ＝1.3kN/m 。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝2MPa 。
试校核梁的正应力和切应力强度。
4-52 图示木梁受一可移动的载荷F ＝40kN 作用。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝
3MPa 。
木梁的横截面为矩形，其高宽比23=b h 。
试选择梁的截面尺寸。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整体平衡 由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M 得lM F eRA -= 由 0,0=-⋅=∑e RB A M l F M 得 lM F eRB= 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和剪力图 弯矩表达式为：()l M F x F eRA S -== ()x lM x F x M eRA ⋅-=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。
(如图) 解：首先求出支座反力。
考虑梁的平衡由 0452,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c得 ql F RB 85=由 021,02=+⋅=∑ql l F M RC B得 ql F RC 21-=则相应的剪力方程和弯矩方程为：AB 段：（201l x ≤≤） 剪力BC段：（2322lxl≤≤）AB段剪力方程为x1的一次函数，弯矩方程为x1的二次函数，因此AB段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。
（如图）5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：由梁的平衡求出支座反力：AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。
（如图）（5）解：由梁的平衡求出支座反力：KNFKNFRBRA5.6,5.3==AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
5-7.试列出下列梁的画力方程和弯拒方程，并ntuw 力图和弯拒图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整休平何由 £M fi =0, Fg/ + M<,=o由工M 「0, F 加/-M 严0则距左端为X 的任一横截面上的剪力和 弯葩表达式为：两力方程为常数，表明囲图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是X 的一次函 数，表明弯矩图是一条斜直线。
（如图）解：首先求岀支座反力。
考虑梁的平衡由工瓯=0,你小-“£心0 得F RB =討由》％=0,甩./ + *厂=0 得 F RC = - * qi则相应的画力方程和弯犯方程为：©M./1兀⑴=F RA = --—•X剪力图0」25g/8KN.M6.4KN.M弯矩图解：由梁的平求出支座反力：梯=8KN, F42KNAB段作用有均布荷裁，所以AB I?的剪力图为下颐直线，弯矩图为下凹二次I!物线；BC段没有荷教作用，所以BCI3的卿力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，卿力图有突变，AB段：心是）心（“）=一处BC段：（*弓）集（小¥-如qiTAB段剪力方程为冷的一次函数，弯矩方程为冷的二次函数，因lit ABH的卿力图为斜直线，弯矩图为二次枢物线；BC段卿力方程为常数，弯拒方程为X2的一次函数，所以BC段勢力图为平行梁轴线的水平线fL弯葩图为斜直线。
（如图）5-9用简便方法画下列各梁的卿力图和弯葩图。
A/ (x2) = -q ・—・ x2(2 ) g=5KN/m Mr =8KN.mF RA4m F RB 2m解：由梁的平求岀支座反力：匚=3.5KN, F KB = 6.5KNAB 与BC 段没有外载作用，所 以AB 、BCB 的勇力图为平行 梁轴线的水平线段，弯矩图为 直线；CD 段作用均布荷载， 所以CD 段的卿力图为下颐直 线，弯拒图为下凹二次拋物 线。
在B 处，剪力图有突变，突变5)反力F RB ）的大小;弯矩图有 转折，转折方向习集中力方向 一致。
梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
例题
4.9
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
例题
4.10
4kN m
6kN
1m
1m
4.5
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
MC Fl MC Fl
MC 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
截开后取左边为示力对象：
❖向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； ❖向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； ❖顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。
剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线.
梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。
若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
图5-10解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即(1)方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。
设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。
由平衡方程将(1) 式代入上面两式，解得（ 2 ）（ 3 ）(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。
只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。
由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。
例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。
由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。
试作梁的剪力图、弯矩图。
图5-11解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
(0 x 1m)
(1m x 2m) (1m x 2m)
FS3 1 2x (2m x 4m)
M3 x2 x 10 (2m x 4m)
22
DE段：
FS4 2kN (4m x 5m)
M4 2x 10 (4m x 5m)
例：试建立图示梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。
F1=10kN
q=2kN/m
AB FA
C M0=4kN.m
F2=2kN
DE FD
解： (1) 求支反力，
由梁的平衡： FA=7kN
FD=9kN
1m 1m
2m
1m (2) 建立剪力方程和弯矩
方程（由载荷形式将梁分
AB段：
成四个区域）
M1
FA FS1 0 FS1 FA 7kN
F[(4
x)
A
1]
M3 x FS3
0
q
M
FD
3
F2 D
x2
E
x
10
FS3 1 2x (2m x 4m) M3 x2 x 10 (2m x 4m)
郭德伟 6
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
F1=10kN
q
AB FA
1m
C
M0=4kN.m
1m
7
| FS |max 7kN
(kN.m)
| M |max 8kN m
2
郭德伟 8
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的
解析表达式。
AC段(0<x1<a)：
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5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。
若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即
它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即
(1)
方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。
设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。
由平衡方程
将(1) 式代入上面两式，解得
（ 2 ）
（ 3 ）
(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。
只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。
由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。
例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当
时，；当时，。
由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为
在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为
例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。
试作梁的剪力图、弯矩图。
解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为
反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。
两个支反力形成的力偶矩刚好与集中力偶M0平衡。
(2) 建立剪力、弯矩方程由于梁上作用有集中力偶，剪力、弯矩方程同样应分段列出。
利用截面法分别在AC 与CB 段内截取截面，根据截面左侧( 或右侧) 梁段上的外力，列出剪力方程和弯矩方程为
AC 段
(1)
(2)
CB 段
(3)
(4)
(3 )绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3)两式可知，两段梁上的剪力相等，因此,AB 梁的剪力图为一条平行于x 轴的直线( 图5-11b) 。
由(2) 、(4)两式可知，左右两段梁上的弯矩图各为一条斜直线，如图 5 - 11c 所示。
由图可见，对于a<b 的情况，绝对值最大的弯矩发生在集中力偶作用处的右侧截面上，其值为
而且，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，其突变量等于集中力偶矩的数值。
例5-3 简支梁AB 承受集中力P 作用，如图 5 - 12a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由平衡方程
求得
方向如图5 - 12a 所示。
(2 ) 建立剪力、弯矩方程由于梁在C 截面上作用集中力P ，在建立剪力方程和弯矩方程时，必须分为AC 、CB 两段来考虑。
在AC 段内，距 A 点x 处取一横截面，其左侧梁段上向上的支反力只R A 引起正值剪力和正值弯矩，则AC 段上的剪力方程和弯矩方程分别为
(1)
(2)
在CB 段内，距 A 端x 处取一横截面，其左侧梁段上除R A 之外，还有向下的集中力P 。
P 将引起负值剪力和负值弯矩，因此，任一截面上的剪力方程和弯矩方程分别为
(3)
(4)
实际上，在列出CB 段的内力方程时，选用右侧梁段更为简便。
(3) 绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3) 两式可知，AC 、CB 两段上剪力分别为常数，故剪力图为两条平行于x 轴的直线，如图5-12b 所示，由(2) 、
(4) 两式可知，弯矩方程均为线性函数，故弯矩图为两条斜直线，如图5 - 12c 所示。
由内力图可知，当a ＞b 的情况下，绝对值最大的剪力在CB 段上，其值为。
最大弯矩在集中力作用点处，其值为。
在诙截面处，剪力图上有突变，其突变量等于集中力的数值。
5.4.2 刚架的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
在工程中，常常遇到几根杆件组成的框架结构。
例如，图5-13 所示的钻床机架由AB 、BC 两根直杆刚性连接而成。
在结点 B 处，两杆的截面不能发生相对转动。
或者说，在结点处两杆间的夹角保持不变，这样的结点称为刚结点，具有刚结点的框架称为刚架。
如果刚架的支座反力和内力均能由静力平衡条件确定，这样的刚架称为静定刚架。
直杆内力图的绘制方法，基本上适用于刚架。
例5-4 平面刚架ABC ，承受图 5 - 14a 所示载荷作用，已知，试作刚架的弯矩图。
解：(1) 计算支反力利用刚架的平衡条件确定支座反力。
设固定铰 A 的反力X A,Y A，可动铰C 的反力为Y A，则
(2) 建立弯矩方程并作弯矩图在BC 杆上，以C 为原点，取坐标x 1 。
由于集中力P 的作用，BC 杆上的弯矩方程应分段列出。
CD 段
DB 段
在AB 杆上，以 A 为原点，取坐标x 2 。
则该杆的弯矩方程为
根据各段的弯矩方程作出刚架弯矩图，如图5-14b 所示。
在绘制弯矩图时一般规定把弯矩图画在杆件弯曲变形凹入的一侧，也就是画在杆件受压的一侧。