棱柱棱锥棱台和球的表面积优秀课件
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棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 PPT课件 人教课标版
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积
与底面积之和.
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
a'
h h'
a
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长 为c’，则其侧面积的计算公式就是
S侧=c’·l.
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
h h'
a
二.正棱锥的表面积
h h' a
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
解：正棱锥的高PO，斜 高PE，底面边心距OE 组成直角三角形。
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
P
C
O
E
B
所以斜高 PE OE 2 4
sin30 0.5
因此S侧=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R，正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R，斜高为0.6R；
课件6：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【解析】 如图，设球 O 的半径为 R， 则由 AH∶HB＝1∶2 得 HA＝13·2R＝23R， ∴OH＝R3. ∵截面面积为 π＝π·(HM)2， ∴HM＝1.
在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝19R2＋HM2＝19R2＋1，∴R＝3
4
2 .
∴S 球＝4πR2＝4π·34 22＝92π.
【提示】 相等．
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 【提示】 是．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是 展开图的 面积．
知识2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．
1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？ 【提示】 不相等． 2．如何计算上述几何体的表面积？ 【提示】 几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．
【规律方法】 1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方 体对角面的截面图，然后通过已知条件求解． 2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结 构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球 的半径的等式求解．
【变式训练】 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面 α，H 为 垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为________．
【规律方法】 1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条 件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解 相应的量． 2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往 往通过解三角形来完成．
【变式训练】 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图示，求其表面积．
在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝19R2＋HM2＝19R2＋1，∴R＝3
4
2 .
∴S 球＝4πR2＝4π·34 22＝92π.
【提示】 相等．
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 【提示】 是．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是 展开图的 面积．
知识2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．
1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？ 【提示】 不相等． 2．如何计算上述几何体的表面积？ 【提示】 几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．
【规律方法】 1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方 体对角面的截面图，然后通过已知条件求解． 2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结 构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球 的半径的等式求解．
【变式训练】 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面 α，H 为 垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为________．
【规律方法】 1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条 件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解 相应的量． 2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往 往通过解三角形来完成．
【变式训练】 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图示，求其表面积．
课件5：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
(1)记住直棱柱和正棱锥的表面积公式的推导方式； (2)记住正棱台的表面积公式的推导方法； (3)记住球的表面积公式； (4)能运用直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式求解相关问题； (5)能够利用公式求球的表面积.
【知识梳理】
知识点 1 直棱柱的表面积 直棱柱的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (1)直棱柱的侧面展开图及侧面积： ①直棱柱的侧面展开图是矩形． ②直棱柱的侧面积： 设棱柱的高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面积计算公 式 S 直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的积． (2)直棱柱的全面积为 S 全＝S 侧＋2S 上(下)底
类型三 正棱台的表面积 【例 3】 正四棱台的高、侧棱、对角线长分别为 7 cm、9 cm、 11 cm.求它的侧面积． 思维启迪：先根据条件求出上、下底面边长和斜高，然后利用正 棱台的侧面积公式求解．
解：如图所示，在△AA1C1 中过 A 作 AE⊥A1C1 于点 E， 则 AE＝OO1＝7，∴A1E＝ A1A2－AE2＝4 2(cm)， C1E＝ AC21－AE2＝6 2，AO＝O1E＝A1O1－A1E ＝12(C1E－A1E)＝ 2，A1O1＝A1E＋O1E＝5 2(cm)．
讲拓展 长方体与正方体的表面积 (1)长方体的表面积为 S 全＝S 侧＋2S 底，若长方体的长、宽、高 分别为 a，b，c，则长方体的表面积为 S 表＝2(ab＋bc＋ca) (2)正方体的表面积：如果正方体的棱长为 a，则它的表面积为 S 表＝6a2.
知识点 3 正棱台的表面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，上下底面都是正多边形． 设正 n 棱台的上底面边长为 a，周长为 c，下底面边长为 a′，周长为 c′， 斜高为 h′，则可知： (1)正棱台的侧面积：S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′. (2)正棱台的表面积：正棱台的表面积等于正棱台的侧面积与底面积之 和，即 S ＝S 正棱台表 ＋S 正棱台侧 ＋S 上底面积 下底面积．
【学习目标】
(1)记住直棱柱和正棱锥的表面积公式的推导方式； (2)记住正棱台的表面积公式的推导方法； (3)记住球的表面积公式； (4)能运用直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式求解相关问题； (5)能够利用公式求球的表面积.
【知识梳理】
知识点 1 直棱柱的表面积 直棱柱的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (1)直棱柱的侧面展开图及侧面积： ①直棱柱的侧面展开图是矩形． ②直棱柱的侧面积： 设棱柱的高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面积计算公 式 S 直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的积． (2)直棱柱的全面积为 S 全＝S 侧＋2S 上(下)底
类型三 正棱台的表面积 【例 3】 正四棱台的高、侧棱、对角线长分别为 7 cm、9 cm、 11 cm.求它的侧面积． 思维启迪：先根据条件求出上、下底面边长和斜高，然后利用正 棱台的侧面积公式求解．
解：如图所示，在△AA1C1 中过 A 作 AE⊥A1C1 于点 E， 则 AE＝OO1＝7，∴A1E＝ A1A2－AE2＝4 2(cm)， C1E＝ AC21－AE2＝6 2，AO＝O1E＝A1O1－A1E ＝12(C1E－A1E)＝ 2，A1O1＝A1E＋O1E＝5 2(cm)．
讲拓展 长方体与正方体的表面积 (1)长方体的表面积为 S 全＝S 侧＋2S 底，若长方体的长、宽、高 分别为 a，b，c，则长方体的表面积为 S 表＝2(ab＋bc＋ca) (2)正方体的表面积：如果正方体的棱长为 a，则它的表面积为 S 表＝6a2.
知识点 3 正棱台的表面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，上下底面都是正多边形． 设正 n 棱台的上底面边长为 a，周长为 c，下底面边长为 a′，周长为 c′， 斜高为 h′，则可知： (1)正棱台的侧面积：S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′. (2)正棱台的表面积：正棱台的表面积等于正棱台的侧面积与底面积之 和，即 S ＝S 正棱台表 ＋S 正棱台侧 ＋S 上底面积 下底面积．
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(优秀经典公开课课件)
连接 OE、O1E1， 则 OE＝12AB＝21×12＝6， O1E1＝21A1B1＝3. 过 E1 作 E1H⊥OE，垂足为 H，
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在 Rt△E1HE 中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以 E1E＝3 17. 所以 S 侧＝4×21×(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3 17＝108 17.
[素养聚焦] 通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中．
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
[触类旁通]
2.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三
棱锥 B-AB1C 的体积为( )
A．41
B．21
C．
3 6
D．
3 4
解析
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体 究，提升逻辑推理的素养.
的表面积与体积．(重点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开 图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系 吗？
A．75
B．250
C．150
D．300
解析 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边
长为 5，所以侧面积为 S 侧＝4×5×15＝300.
答案 D
题型二 简单几何体的体积(一题多解) [例 2] 如图所示，在长方体 ABCD -A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥 C -A′DD′，求棱锥 C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在 Rt△E1HE 中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以 E1E＝3 17. 所以 S 侧＝4×21×(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3 17＝108 17.
[素养聚焦] 通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中．
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
[触类旁通]
2.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三
棱锥 B-AB1C 的体积为( )
A．41
B．21
C．
3 6
D．
3 4
解析
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体 究，提升逻辑推理的素养.
的表面积与体积．(重点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开 图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系 吗？
A．75
B．250
C．150
D．300
解析 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边
长为 5，所以侧面积为 S 侧＝4×5×15＝300.
答案 D
题型二 简单几何体的体积(一题多解) [例 2] 如图所示，在长方体 ABCD -A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥 C -A′DD′，求棱锥 C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
高中数学教学课件《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》
S= 1 (a + b)h
S=
1
rl
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你
知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
1.了解柱体、锥体与台体的表面积. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (重点）
3.培养学生空间想象能力和逻辑思维能力.（难点）
【概念理解】 探究1 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
S 球 4R
2
化为准确和
【例题讲解】
例1.已知正四棱锥底面正方形的
边长为4 cm，高与斜高的夹角为
D O
A B E C
35°(如图)，求正四棱锥的侧面
积及全面积（单位：cm2，精确到 0.01）.
解：正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成直
角∆POE.
因为OE=2 cm，∠OPE=35°,所以 斜高PE=OE/sin 35° =2/0.574≈3.49(cm). 因此 S棱锥侧=
积？
侧面展开
h' h'
空间问题
平面问题
正棱台的侧面积 正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形，设棱台
下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a＇、周长为
c＇，斜高为h＇，可以得出正n棱台的侧面积公式：
S正棱台侧=n· (ａ+ａ＇)ｈ＇=
2 1 1 2
(ｎａ+ｎａ＇)ｈ＇
=
1 2
(ｃ+ｃ＇)ｈ＇
S正棱台侧= ｎ·(ａ+ａ＇)ｈ＇
l
圆锥的侧面展开图是扇形
r
O
圆台
圆台的侧面展开图是扇环
r ' O′
S=
1
rl
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你
知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
1.了解柱体、锥体与台体的表面积. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (重点）
3.培养学生空间想象能力和逻辑思维能力.（难点）
【概念理解】 探究1 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
S 球 4R
2
化为准确和
【例题讲解】
例1.已知正四棱锥底面正方形的
边长为4 cm，高与斜高的夹角为
D O
A B E C
35°(如图)，求正四棱锥的侧面
积及全面积（单位：cm2，精确到 0.01）.
解：正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成直
角∆POE.
因为OE=2 cm，∠OPE=35°,所以 斜高PE=OE/sin 35° =2/0.574≈3.49(cm). 因此 S棱锥侧=
积？
侧面展开
h' h'
空间问题
平面问题
正棱台的侧面积 正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形，设棱台
下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a＇、周长为
c＇，斜高为h＇，可以得出正n棱台的侧面积公式：
S正棱台侧=n· (ａ+ａ＇)ｈ＇=
2 1 1 2
(ｎａ+ｎａ＇)ｈ＇
=
1 2
(ｃ+ｃ＇)ｈ＇
S正棱台侧= ｎ·(ａ+ａ＇)ｈ＇
l
圆锥的侧面展开图是扇形
r
O
圆台
圆台的侧面展开图是扇环
r ' O′
课件7：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周 长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r， 母线长为 l， 则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)， 其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
例 2 如图所示是一个容器的盖子，它是用一 个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径 为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R， 斜高为 0.6R： (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示，焊接处对面积的影响忽略 不计); (2)若 R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2，计 算为 100 个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面 展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表 面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【知识梳理】
1．直棱柱的侧面积公式 S＝ ch ，其中 c 为底面多边形的周长， h 为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积 ． 2．正棱锥的侧面积公式 S＝ 12nah′＝ 12ch′，其中底面边长为 a，c 为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为 正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 .
跟踪训练 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，
棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt
O`
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 PPT课件 1 人教课标版
知新益能
1．直棱柱的表面积 直棱柱的侧面展开图是__矩__形_____，由矩形的面积 公式可得直棱柱的侧面积公式为S直棱柱侧＝ch，其 中棱柱的高为h，底面多边形的周长为c. (1)语言叙述：直棱柱的侧面积等于它的底面周长 和高的乘积． (2)直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面积的 和．
(3)求斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积， 然后求和，也可以用直截面周长与_____侧_棱__长__的 乘积表示，其中直截面是指_____垂__直__于_棱____的截 面，即S斜棱柱侧＝c′l(其中直截面周长为c′，侧 棱长为l)． 2．正棱锥的表面积 正棱锥的侧面展开图是一些_全__等__的__等_腰__三__角__形___， 底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面 周长为c，斜高为h′，
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
•
15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。
•
16、心态决定命运，自信走向成功。
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
棱柱、棱锥、棱台和球的表面 积
学习目标
1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念， 了解它们的侧面展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式， 并会求它们的表面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
1．1.6
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．柱、锥、台和球体的结构特征． 2．直三棱柱的侧面展开图是__矩__形______，其 面积就是三棱柱的__侧__面__积______．
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1 2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R，正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R，斜高为0.6R；
（1）求这个容器盖子的表面积；
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
棱柱棱锥棱台和球的表面积
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下 底面面积的和.
二.正棱锥的表面积 1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜
高乘积的一半，即S正棱锥侧=
1 2
na·h’.
或S正棱锥侧=
1 2
解：（1）因为
S正四棱台=4×
1 2
×(2.5R+3R)×0.6R
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面
积为S全=(21.85+4π)R2.
（2）取R=2，π=3.14，得 S全=137.67cm2.
又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，
c ·h’.其中a为底面正多边
形
的2边．长正，棱底锥面的周表长面为积c等，斜高为h’。
于正棱锥的侧面积与
h h'
底面积之和.
a
三. 正棱台的表面积
1．正棱台的侧面积是S=
1 2
(c+c’)·h’，其中
上底面的周长为c’，下底面的周长为c，斜
高为h’.
a'
3．正棱台的表面积
h h'
等于它的侧面积与
底面积之和。
1 2
(c1+c2)l，其中r，R
分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为
上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
五.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍，
即S球=4πR2，其中R为球的半径.
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
例2. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm， 高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧 面积及全面积.（单位：cm2，精确到0.01 ）
解：正棱锥的高PO，斜 高PE，底面边心距OE 组成直角三角形。
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
P
C
O
E
B
所以斜高 PE OE 2 4
sin30 0.5
因此S侧=
4 3 3 a2
2
（B）
（D）
3 4
a
2
(3 3 )a2 24
3. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
4. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4，高是2，则这个棱台的侧面积等需涂料0.6kg.
练习题：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ）
（A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
2. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底
面边长为a，该三棱锥的全面积是（ ）
（AA） （C）3 3 a 2
a
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一
条母线剪开，展开
在一个平面上，其
展开图是一个扇形，
S
c=2 r
扇形的半径为圆锥
的母线，扇形的弧 l
是圆锥底面圆的圆
周，
Or
A
1
S圆锥侧= 2
·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，
r为底面圆半径。
（3）圆台可以看成
是用一个平行底面
的平面截圆锥所得， S
因此圆台的侧面展
c1 c2
开图是一个扇环，
r
设圆台上、下底半
O1
l
径为r、R，母线长
为l，
R O2
则S圆台侧=π(r+R)l=