必修2棱柱,棱锥,棱台,圆柱,圆锥,圆台性质,表面积,体积
08必修二空间几何体复习课
A .8
A
)cm3 ． B .8 2 D
3 . 2 12 3
1 3 2 2 主视图
C . 12
侧视图
2
俯视图
15. 如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该 几何体的表面积为 A . 6+ 3 + B . 18+
3+
（不考虑接触点）
2 1
3
C
2 2 2
2
4
C
1
A B C
D. 4cm
3
正视图
侧视图
俯视图
A'
B'
C'
C
B
9 7 2 2 3 cm cm 2 B ． 9 7 cm 2 C ． D ．3 2 cm 2 2 3 13. 有半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的
A．
A
高为 A ． 3r
（
B ． 3r
D
） C．
3 3 r 2
D．
3 r 2
14. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆） ， 根据图中标出的尺寸（单位：cm ） ，可得这个几何体的体积 是(
图（1）
V总 V球 V圆柱 V圆台 4 1 3 2 2 2 2 2 4 4 20 （ 7 7 10 10 ）4 3 3 256 （ 612） 2190 3
图（2）
若奖杯是空心（表面厚度忽略不计），则选用哪种设计 用料比较省？（见图（1）（2））
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
（２）所求多面体的体积
V V长方体 V三棱锥 1 1 284 4 46 2 2 2 cm3 3 2 3
必修2棱柱,棱锥,棱台,圆柱,圆锥,圆台性质,表面积,体积
求…..．
解：先求 SBC 的面积，过点S作 SD BC
S 交BC于点D．
a
因为SB=a，SD SB sin 60 3 a
A
2
BD
C
S ABC
1 BC SD 2
1 a 2
3a 2
3 a2 4
必修2
圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
D
C
A
BA
C A
BB
E
D C
必修2
棱柱的结构特征
底面 平行 侧面 平行四边形 侧棱 平行
必修2
试举例我们周围有哪些具有棱柱结构的物体？
三棱镜
魔方
螺杆的头部
必修2
棱锥
上面的两组几何体有什么不同，如何将上图中的棱柱 变换成各自上方的几何体?
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫 做棱锥(pyramid).
五棱锥、……
棱锥的表示方法：
图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示或棱锥S-AC
必修2
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的结构特征
底面 都是多边形(如三角形、四边形、五边形等） 侧面 有一个公共顶点的三角形
必修2
试举例我们周围有哪些具有棱锥结构的物体？
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
面
棱
顶点
食盐晶体
明矾晶体
石膏晶体
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
必修2
类比总结
线段
高中数学必修2知识点总结：第一章-空间几何体
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=222r rl S ππ+=第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第八章 立体几何初步 知识点汇总及解题规律方法提炼
第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′记作棱锥SABCD按底面多边形的边数分为三棱锥、记作棱台ABCDA′B′C′D′得的棱台分别为三棱台、四棱台、(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系典型应用1棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．典型应用2棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．典型应用1圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．典型应用2简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．典型应用3旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．8．2立体图形的直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．典型应用1画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．典型应用2画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.典型应用3直观图的还原与计算如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．柱、锥、台的表面积和体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台3S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 典型应用1柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 B ．3 倍 C ．2 倍D ．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．典型应用2柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥AA1BD＝V三棱锥A1ABD＝1 6a 3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．典型应用3组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC ， 即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r ) ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．典型应用1球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3 D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．典型应用2球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)． 【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.典型应用3与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】 932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝6 2a.8．4.1平面1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．典型应用1图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．。
人教课标版(B版)高中数学必修2知识归纳：人教B版数学必修2知识点
人教B版数学必修2知识点一、立体几何初步（一）几何体1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱什么是棱柱、三棱柱、四棱柱、正三棱柱、正四棱柱？什么是圆柱的轴、圆柱的轴截面、圆柱的侧面、圆柱侧面的母线、圆柱侧面展开图.（2）锥什么是棱锥、棱锥的底、棱锥的侧面、棱锥的顶点；棱锥的侧棱，什么是三角锥、四边锥、正三角锥、正四边锥、正四面体什么是圆锥、圆锥的轴、圆锥的底面、圆锥的侧面、圆锥的轴截面，圆锥的侧面展开图是什么？（3）台什么是棱台、圆台台体与对应锥体的“亲子关系”及砍头定理.（4）什么是球球内接正方体棱长与球半径关系2．空间几何体的三视图是从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.柱、锥、台、球、正方体、正4面体的正视图、侧视图、俯视图；3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法“横等斜半45 竖也等”，直观图如何恢复成原图（2）平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.（二）面积与体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积公式和体积公式，注意：侧面积为各侧面积之和.2．圆柱、圆锥与球的表面积、侧面积公式和体积公式（三）空间点线面1．三公理三推论:推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面.2．空间2条直线的位置关系：相交、平行、异面，（1）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线. 3．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内 （2）直线和平面相交（3）直线和平面平行、线面平行的判定定理： ,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理： //,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．4．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理及平行的性质 5．判断线线垂直的方法：所成的角是直角； 6．线面垂直：定义、判定定理和性质定理7．面面垂直：定义：相交、判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）、性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）8.二面角的求法：先找二面角的棱，再在两个半平面内找(作)棱的垂线，其夹角即二面角的平面角.9.线垂直面，则垂直面上所有线，但线平行面，线与面上的线平行或异面 二、解析几何初步 1．倾斜角：范围为[)π,0.2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在.3．过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）.4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件.确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线. 5．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1. （2）若11112222:0,:0lA xB yC l A x B y C ++=++= 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1//l 2⇔111222A B C A B C =≠；②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠；④l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==；注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况.两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数. 6.距离（1）平面直角坐标系中两点间距离：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB ，在空间直角坐标系中，公式又是（2）平行线间距离：若1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=， 则距离d =注意点：x ，y 对应项系数应相等.（3）点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ ，则P 到l 的距离为：22Ax By Cd A B+++7．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>.特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.圆的一般方程22x y Dx Ey F ++++=，圆心为点(,)22D E --，半径r 2240DE F +->.8．直线0Ax By C ++=与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1）若d ，0d r >⇔⇔∆<相离；（2）0d r =⇔⇔∆=相切； （3）d r <⇔⇔∆>相交.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组22Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩求解，通过解的个数来判断： 9．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，12O O d=.124d r r >+⇔⇔外离条公切线；123d r r =+⇔⇔外切条公切线； 12122r r d r r -<<+⇔⇔相交条公切线；121d r r =-⇔⇔内切条公切线；120d r r <<-⇔⇔内含无公切线；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决. 10.中点坐标公式11.两圆相交则连心线垂直平分相交弦12、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距. 13、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上14.求支点的轨迹，参考课本例题，回忆初中学过的几何知识. 15.坐标法解题要建立适当的直角坐标系.16.课本、小测、月考、练习上多次重复出现的题目要重视.对做过的题目要做好复习.。
人教A高中数学必修2_第一章总复习
1、空间几何体的类型
（1）棱柱的定义: 一个多面体有两个面 互相，平其行余
每相邻两个面的交线 互相平，行这样的多 面体叫
做棱柱。
棱柱的每个侧面都是 平行四边形吗？
是的
1、空间几何体的类型
问题：有两个面互相平行， 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗？
答：不一定是。 如右图所示，不是棱柱。
问题：有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形的几何 体是棱柱吗？
由三棱锥、四棱锥、 五棱锥…截得的棱 台，分别叫做三棱 台，四棱台，五棱 台…
1、空间几何体的类型
2、旋转体定义：由一个平面图形绕一条 定直线旋转所形成的封闭几何体。
轴：绕之旋转的定直线 轴
1、空间几何体的类型 母线
母线
圆柱
1、空间几何体的类型 母线
母线
圆锥
1、空间几何体的类型
圆台
母线
母线
S rO
正方体
Байду номын сангаас
长方体
圆柱 一般柱体
2、空间几何体的表面积和体积
锥体的体积 P
V锥
1 3
Sh
A
O
C
B
D
2、空间几何体的表面积和体积
柱体、锥体与台体的体积
V柱体 Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体
1 3
Sh(S是底面积, h是高)
1 V台体 3 (S ' S ' S S )h
(S ', S分别是上下底面面积 , h是台体高 )
圆柱表面积 S 2r 2 2rl
2、空间几何体的表面积和体积
圆与扇形相关的公式
一、圆的周长公式 =2πr
二、圆的面积公式 S=πr2
数学人教B版必修2课件：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
S 正棱锥侧=12ch'.
名师点拨 一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特 征不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面 积求和,即为相应的侧面积.
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1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
目标导航
知识梳理
题型一 题型二 题型三 题型四
棱柱、棱锥、棱台的面积问题 【例1】
S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+4×4=48(cm2).
反思 解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的 直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的 表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面 几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.
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目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四
解析：(方法一)该组合体的上半部分是一个底面半径为2,母线长 为8的圆柱,下半部分是一个长、宽、高分别为8,8,4的长方体.
圆柱的表面积是2π×2×8+2π×22=40π, 长方体的表面积是(4×8+4×8+8×8)×2=256. 两几何体重叠面的面积为π×22=4π. 所以该组合体的表面积为S=40π+256-2×4π=256+32π.
答案：C
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1.1.6 棱柱、棱锥、 棱台和球的表面积
目标导航
123
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂练习
【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的 侧面积与轴截面面积的比值为( )
A.2π
B.32π
C.2
3π 3
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
导学
探索新知
圆台的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
2
2
S上底 =πr ，S下底 =πr .
r O′
l
r
O
(r′、r分别是上、下底面
半径，l是母线长)
圆台的侧面展开图是扇环
导学
圆台的表面积
探索新知
x
2πr
x
2πr
O′ r
l
O
r
(r′、r分别是上、
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
预学
棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的
面积的和，即侧面积+底面积
那你认为圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样的呢？
S
O'
r O
l
O'
l
r O
r'
l
rO
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的
面积和,即 S 表 S 底 S 侧
导学
探索新知
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
圆锥的表面积
探索新知
S 表面积 S 底面积 S 侧面积
S底 =πr
S
l
2πr
2
1
扇形的面积公式 ： S扇形 = lr
2
(r是扇ห้องสมุดไป่ตู้所在圆半径，l是弧长)
r
O
(r是底面半径，l是
母线长)
S圆锥 =πr +πrl πr (r l )
2
互学
例题讲解
例1、将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆
圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 (
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必修2
基本几何体三视图
对于基本几何体棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三 视图是怎样的？
必修2
棱柱的三视图
俯
左
六棱柱
必修2
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
必修2
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
必修2
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
必修2
圆台的三视图
俯
左
圆台
必修2
圆台的三视图
俯
左
圆台
必修2
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
必修2
我们学习过集合的知识，其实集合的知识不只在代 数中应用，在立体几何中同样适用。
内，记作：A∈ 点A在不在平面 内，记作：A∈ 直线b在平面 内，记作： b 直线b不在平面 内，记作：b
点A在平面
平面Q与平面R相交于直线a，记作：Q∩R =a
直线l和m相交于点A，记作：l∩m =A
必修2
三视图
必修2
必修2
必修2
必修2
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C 正投影
D
必修2
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形． 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布 置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形． 从左向右正对着物体观察，画出左视图，布 置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形.
必修2
空间几何体
必修2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
思考：这些多面体可以分成几类? 每一类各有哪些多面体?
(6) (12)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
必修2
第一类： 棱柱
(1)
第二类：
(2)
(5)
(8)
棱锥(4Βιβλιοθήκη (6)(7)第三类：
(12)
棱台
(3) (10) (11)
(9)
必修2
棱柱
必修2
棱柱的分类
根据棱柱底面多边形的边数
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……
把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
必修2
棱柱的表示法
通常用表示底面各顶点的字母来表示棱柱
棱柱ABCD- A1B1C1D1
D1 A1
C1
C1 A
1
B1 D
A1 B1 B1
E1
D1
C1
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
必修2
一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立 体图形吗?
四棱锥
必修2
如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正 视 图
左 视 图
俯 视 图
必修2
如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正 视 图
侧 视 图
俯 视 图
总结:
几何体的性质，特点；
表面积，体积；
三视图。
必修2
棱锥的元素
顶点
A
类比棱柱，给棱锥各元素命名
顶点
C
B
S
由棱柱的一个 底面收缩而成 的点 底面 余下的那个 多边形
C
B
底面
A
C
B
A
侧面
侧面 有公共顶点的 各三角形面 侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
必修2
棱锥的分类与表示法
S
A B C D
思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类
棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥、…… 棱锥的表示方法： 图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示或棱锥S-AC
必修2
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的结构特征
底面 侧面
都是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
有一个公共顶点的 三角形
必修2
试举例我们周围有哪些具有棱锥结构的物体？
必修2
棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
面
棱
顶点 明矾晶体 石膏晶体
食盐晶体
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
必修2
类比总结
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
必修2
W V
正视图
俯视图 侧视图
H
必修2
主 视 图
左视图 俯视图
必修2
三视图的特点
长对正 高平齐
宽相等
必修2
三视图的对应规律
• 作三视图的原则: • “长对正、高平齐、宽相等” • 它是指：正视图和俯视图一样长：正视图和侧视图 一样高：俯视图和侧视图一样宽
正视图和俯视图长对正 正视图和左视图高平齐 俯视图和左视图宽相等
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积， h为高。
1 棱锥的体积公式也是 S Sh ，其中S为底面面积， 3 h为高。
必修2
圆锥与同底等高的圆柱体积之间的关系？
O`
S
O
O
1 它是同底同高的圆柱的体积的 3 1 V Sh 3
必修2
3.是否存在与一个平面没有公共点的直线？
存在。与平面平行的直线和这个平面就没有公共点。
4.一扇门，可以想象为平面的一部分，通常用两个合页把它 们固定在门框的一边上，当门不锁上时，可以自由转动， 如果门锁上，则门就固定在墙上，这个事实说明平面具有 哪条基本性质？
推论1：经过一条直线和直线外 的一点，有且只有一个平面。
上面的几何体可以看作是由一个怎样的平面多边形
经过怎样的平移而形成的空间几何体？
一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体叫做棱柱(prism).
必修2
棱柱的元素
底面 侧面 侧棱
顶点
①底面 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面. ②侧面 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面. ③侧棱 相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. ④顶点 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
必修2
1.判断下列命题的真假：
(1) 如果两个平面有两个公共点A,B，那么它们就有无数多个 公共点，并且这些公共点都在直线AB上（ ）； (2) 过一条直线的平面有无数多个（ ）；
）；
(3) 两个平面的公共点的集合，可能是一条线段（
2.线段AB在平面a内，直线AB是否在平面a内？为什么？
直线AB在平面a内，因为两点确定一条直线。线段AB上的A 点和B点，也同样在直线AB上。
2
必修2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
必修2
蜜蜂爬行的最短路线问题.
B
易拉罐 的底面 直径为 8cm,高 25cm.
A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转 化为平面几何的问题.
必修2
柱体、锥体、台体的体积
A B
棱台的分类和表示
棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分 别叫做三棱台、四棱台、五棱台、…… 棱台的表示方法： 图中的三棱台可用棱台ABC-A1B1C1表示.
必修2
下图中的几何体是不是棱台?为什么?
棱台的结构特征
上下底面平行，且对应 边成比例各侧棱延长后交 于一点。
必修2
试举例我们周围有哪些具有棱台结构的物体？
必修2
一. 点，线，面之间的位置关系
1.平面的基本性质与推论： （1）平面的基本性质:
①点和直线的基本性质：连接两点的线中，线
段最短。
②过两点有一条直线，并且只有一条直线。
（1）现实生活小技巧：工程人员在检
查物体表面是不是平坦时，把直尺放在物 体的各个表面上，如果直尺边缘与物体表 面都不出现缝隙，就可以判断这个物体表 面是平的。
A
O
B
必修2
圆台
用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥,底面与 截面之间的部分是圆台.
O’ O
必修2
球
以半圆的直径所在的直线为 旋转轴，将半圆旋转所形成的曲 面叫作球面，球面所围成的几何 体叫作球体，简称球. 注意: 球与球面的区别与联系.
必修2
多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体 和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？
必修2
（2）平面基本性质的推论 有平面的基本性质，可以得到下面的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有 一个平面。
A B 图1-4 C
必修2
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 (图1-5) 。
B
A
C
图1-5
A
B 图1-6
C
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 (图1-6)
叫做平行线，平行公理：过直线外一点 有且只有一条直线和这条直线平行。 在初中我们还学过，在同一平面内，如果两条直 线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行。
必修2
公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。 如果a//b,b//c,那么a//c。上述这个性质通 常又叫做空间平行线的传递性。 定理：如果一个角的两边与 另一个角的两边分别对应平 行，并且方向相同，那么这 两个角相等。