圆锥曲线地第三定义
椭圆的第一定义第二定义第三定义
椭圆的第一定义第二定义第三定义
椭圆的第一二三定义：
第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。
第二定义：平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
第三定义：椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1.
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
圆锥曲线第三定义
圆锥曲线第三定义简介
---------------------------------------------------------------------- 第三定义：
只有椭圆和双曲线有第三定义即椭圆或双曲线上一动点（两顶点除外）与两顶点（a,0）（-a,0）或（0，a）（0，－a）连线的斜率的乘积为定值e＾2－1。
圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。
圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。
起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。
定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
【拓展】
第一定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。
即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。
P为椭圆的动点。
第二定义：
椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
高三数学圆锥曲线的定义(理)人教版知识精讲
高三数学圆锥曲线的定义（理）人教版知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆锥曲线的定义二. 重点、难点： 1. 第一定义椭圆：a PF PF 221=+ 双曲线：a PF PF 221=- 2. 第二定义e l P d PF=),(〔1〕)1,0(∈e 为椭圆 〔2〕1=e 为抛物线〔3〕),1(+∞∈e 为双曲线【典型例题】[例1] 求过M 〔2,3-〕且与椭圆14922=+y x 共焦点的〔1〕椭圆方程〔2〕双曲线方程。
解：〔1〕设12222=+b y a x ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+10155149222222b a b a ba ∴ 1101522=+y x 〔2〕设12222=-b y a x ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-235149222222b a b a ba ∴ 12322=-y x 另解：14922=-+-λλy x ∴ 14499=-+-λλ ∴ 6±=λ ∴ 6=λ时，双曲线12322=-y x 6-=λ时，椭圆1101522=+y x[例2]〔1〕P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，P 不在x 轴上，21F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆；〔2〕P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆。
解：〔1〕221222142a PF PF PF PF =⋅++22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅-+α ∴ 2214)cos 1(2b PF PF =+⋅α∴ αcos 12221+=⋅b PF PF∴ αsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S F PF 2tan cos 1sin 22αααb b =+⋅=〔2〕221222142a PF PF PF PF =-+ 22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅⋅-+α∴ 2214)cos 1(2b PF PF =-⋅⋅α αcos 12221-=⋅b PF PF∴ 2cot cos 1sin sin 21222121ααααb b PF PF S PF F =-⋅=⋅⋅=∆[例3]〔1〕椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x ，P 为M 上一点，︒=∠3021F PF ，12F PF ∠︒=120，求离心率；〔2〕双曲线M ：12222=-by a x ，P 为M 上一点，︒=∠1521F PF ，︒=∠7512F PF ，求离心率。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆曲第三定义证明
圆曲第三定义证明一般来说，曲线的定义方法和曲线上的点的性质是等价的，所以可以用满足一定性质的点的轨迹来定义曲线。
掌握了这些曲线的性质和定义方法除了对完成解析几何的题目有帮助之外还可以对解三角形、平面向量的题目有启发作用。
下面就来看一看我们熟悉的图形有哪些我们不熟悉的定义方法。
（注：一下讨论内容均在同一平面内）1.圆（1）到定点距离为定值的点的集合为圆。
最基本的定义，不多说了（2）到两不同定点距离比值为定值（不为1）的点的集合用代数语言描述就是：设 [公式] ，动点P满足 [公式] ，设P的坐标是 [公式]则 [公式] ，平方后移项展开得到 [公式]代入圆的一般方程的判别式知判别式大于0，所以P点的轨迹方程是圆的方程。
这就是大名鼎鼎的阿波罗尼亚斯圆了。
（3）到两定点连线夹角为直角的点的集合设 [公式] ，动点P 满足 [公式]这种定义还有其他两个说法： [公式] ，以及 [公式]注意一下这三种定义并不完全等价，当用斜率以及角来定义P的轨迹时，P的轨迹是不包含A,B两点的，但是当用向量的内积来定义时轨迹是包含A,B两点的。
但是这三种定义方法大概是差不多的（毕竟P与A或B重合没啥研究价值）。
special:到两定点连线夹角为定值（0到 [公式] 之间）的点的集合。
当P点在AB的圆弧上方或者下方移动时， [公式] 可以保持定值，但如果从上方移动到下方那么 [公式] 的值就会变化，就不满足要求了。
即使这种定义方法定义出来的轨迹不是完整的圆，但仍能在做题中帮助我们许多。
2.椭圆（1）到两定点的距离之和为定值的点的集合课本上最基础的定义，不多说了。
（2）到定点的距离与到定直线的距离的比值为定值（介于0和1之间）的点的集合这种定义方法是圆锥曲线的统一定义，也可以叫圆锥曲线的第二定义。
对于圆锥曲线而言，这个定点是焦点，这条定直线称为准线。
对于椭圆 [公式] (a>b>0)而言，其焦点为[公式] ,其准线为[公式]其中半焦距 [公式] ,离心率 [公式]设P为椭圆上一点，P到 [公式] 的距离为 [公式] ,P到 [公式] 的距离为 [公式] ，则有[公式](3)到两定点连线斜率乘积为定值的点的集合（第三定义）如果考虑到上面提到圆的第（3）点，在坐标系内作伸缩变化，那么这就是个很自然的结论。
圆锥曲线 第三定义
圆锥曲线第三定义
圆锥曲线的第三定义是指通过取定一个固定点F（焦点）和一个固定线段L
（准线），对于平面内的所有点P，其到焦点F的距离与其到准线L的距离之比始终保持不变。
这个比值称为离心率，用e表示。
根据这个定义，我们可以得到三种不同形状的圆锥曲线，分别是椭圆、双曲线
和抛物线。
对于椭圆来说，焦点和准线之间的距离相等，即e=1。
在平面上的任意一点P 上，PF与PL之比始终为1，这使得椭圆具有对称性。
椭圆的形状与焦点和准线之
间的距离有关，当焦点和准线的距离增大时，椭圆的形状趋向于扁平。
双曲线的离心率大于1，即e>1。
对于双曲线上的任意一点P，PF与PL之比
始终大于1，这使得双曲线具有两个分支，分别向着焦点和准线延伸。
双曲线的形
状与焦点和准线之间的距离有关，当焦点和准线的距离增大时，双曲线的形状趋向于扁平。
抛物线的离心率等于1，即e=1。
对于抛物线上的任意一点P，PF与PL之比
始终为1，这使得抛物线具有对称性。
抛物线的形状与焦点和准线之间的距离有关，当焦点和准线的距离增大时，抛物线的形状趋向于扁平。
通过圆锥曲线的第三定义，我们可以理解不同形状的椭圆、双曲线和抛物线，
并且可以对它们的特点进行分析和比较。
圆锥曲线在数学和物理等领域中有着广泛的应用和研究价值。
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圆锥曲线的第三定义及运用一、 椭圆和双曲线的第三定义1. 椭圆在椭圆()2222C 10x y a b a b +=f f ：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a•--证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论：222=1=MO PB b k k e a•--知此结论成立。
2. 双曲线在双曲线2222C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PBk k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a •-证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
二、 与角度有关的问题例题一：已知椭圆()2222C 10x y a b a b+=f f ：的离心率2e =，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2βαβ+.解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4e αγ•--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++•=+++-•点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。
两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。
题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。
变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线22C 2015x y -=：的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线右支一点，且=4PAB APB ∠∠，求=PAB ∠.解答：令=02PAB πα⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，=02PBA πβ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，则=5βα，由双曲线的第三定义知：2tan tan =tan tan5=1=1e αβαα••-则：1tan ==tan 5=5=tan52212πππαααααα⎛⎫-⇒-⇒ ⎪⎝⎭点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。
两锐角正切乘积为1即表示sin α=cos β，cos α=sin β⇒两角互余☆，则可解出α的值。
当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。
三、 与均值定理有关的问题例题2：已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b+=f f 长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为12k k 、，且120k k ≠。
若12k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为.解答一（第三定义+均值）：由题意可作图如下：连接MB ，由椭圆的第三定义可知：222=1=AMBM b k k e a •--，而BM BN k k =-⇒2122=b k k a∴1221=1==22b b k k e a a +≥⇒⇒解答二（特殊值法）：这道题由于表达式()12min1k k +=非常对称，则可直接猜特殊点求解。
121==2k k 时可取最值，则M 、N 分别为短轴的两端点。
此时：121====22b k k e a ⇒。
点评：对于常规解法，合理利用M 、N 的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a 、b 表示出最值1。
当然将12k k 、前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。
变式2-1：已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b+=f f 长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为12k k 、，且120k k ≠12+的最小值为1，则椭圆的离心率为.解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：222=1=AM BMbk k ea•--，而BM BNk k=-⇒2122=bk ka∴1241=1=4b bea a+≥⇒⇒变式2-2：已知A、B是椭圆()222210x ya ba b+=f f长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使23AQBπ∠=，则椭圆的离心率的取值围为.解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，直线QB的倾斜角为2πβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，。
2AQBππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，()tan tantan tan1tan tanAQBβαβαβα-∠=-=+由椭圆的第三定义：22tan tan=baαβ-，则22tan=tanbaβα-带入可得：22222222tantan tantan tan tan==1tan tan11bbaab ba aαααβααβα⎛⎫-+⎪---⎝⎭+--2222222=11babab a ba a--≤---（取等条件：tanbaα=，即Q为上顶点）而tanx在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单增，则Q为上顶点时()maxAQB∠，所以此时23AQBπ∠≥，故1e⎫∈⎪⎪⎣⎭解答二（极限法）：当Q趋近于A、B两点时，2AQBπ∠→（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，AQB ∠相当于直径所对的圆周角）；当Q 在A 、B 间运动时2AQB π∠f （Q 在以AB 为直径的圆部，AQB ∠f 直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q 为短轴端点时()max AQB ∠。
由于：椭圆上存在Q ，使23AQB π∠=，那么 Q 为短轴端点时()max 23AQB π∠≥。
取临界情况，即Q 为短轴端点时23AQB π∠=，此时3a e b ==；当椭圆趋于饱满（0e →）时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（1e →）时，()maxAQB π∠→，满足。
故1e ⎫∈⎪⎪⎣⎭。
当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。
点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q 趋近于A 、B 两点时，2AQB π∠→”时能会颠覆“AQB π∠→”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。
要搞清楚，不然会被弄晕的。
对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三定义发生联系②tanx 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单增便于利用tanx 的大小比较角度的大小。
四、 总结归纳1. 上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。
2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。
这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P 在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续）， 所以只需考虑边界值。
4. 做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。
5. 常以正切值刻画角度大小。
6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。
7. .8..五、 方法针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。
例题3：在平面直角坐标系XOY 中，给定两点()1,2M - 和()1,4N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为.解答一（正切+均值）：已知：()1,2M - 、()1,4N ，:3MN l y x =+与x 轴交于()03,0P - 令(),0P t ，则：21MP k t =--，41NP k t=-，=MPN θ∠ ① 当3t =-时，=0θ② 当3t -f 时，MP l 的倾斜角较大，226tan ==17MP NP MP NP k k t k k t θ-++•+令30x t =+f ，则222622tan ===1676166t x t x x x x θ+≤+-++-（tan 0θf ） 此时4x =，1t =，max 4πθ=③ 当3t -p 时，NP l 的倾斜角较大，226tan ==17NP MP MP NP k k t k k t θ-+-+•+()30x t =-+f，则2226221tan ===16761676t x t x x x x θ+-≤+++++ （tan 0θf ）此时4x =，7t =-，()max 1tan 7θ=由于[)0θπ∈，，且tan θ在[)0θπ∈，上单增，[]tan 01θ∈，max 4πθ∴=，此时1t =解答二（圆周角定理）：本题中的取极值时的P 点的几何意义为：过M 、N 的圆与x 轴切于P 点。
下面给出证明：证明：以与x 轴切于2P 点的圆满足所求最大角为例：由于3MN l y x =+：是过M 、N 两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在3l y x =-+：上 随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r 较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x 轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x 轴有两交点3P 、4P 。
此时：根据圆周角定理：342Q =MP N MP N M N MP N ∠=∠∠∠p ，可知：圆与x 轴相切时，()max MPN ∠。
R 较小的情况（圆与x 轴相离） R 较大的情况（圆与x 轴相交于3P 、4P ）所以：过M 、N 的圆与x 轴切于3P 、4P 点时，分别有()max MPN ∠⇒只需比较1MPN ∠与2MP N ∠，哪一个更大。
令与x 轴相切的圆的圆心为(),x y ，则切点(),0P x ，半径为y圆满足：()()()()2222222126707114x y y x x x or x y y⎧++-=⎪⇒-+=⇒=-⎨-+-=⎪⎩ （消去y ）比较可知：当x=1时，()max MPN ∠点评：常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。
用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。
（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。
）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。
☆变式3-1：若G 为△ABC 的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为.解答一（余弦定理+均值）：令()0,0G ，(),0A a ，()0,b B ，则由()()()13,13G A B CG A B Cx x x x C a b y y y y ⎧=++⎪⎪⇒--⎨⎪=++⎪⎩由点间的距离公式：AB =AC =BC =由余弦定理：22222222244cos 2a b a b a b AC BC AB C AC BC +++-++-=⨯⨯222242a b a b++()22522a ba b +≤⇒≤+ ()max 433cos 0sin sin 555C C C ∴≥⇔≤≤⇔= 解法二（圆周角定理）：令()1,0A -，()1,0B ，()G sin ,cos θθ，则()C 3sin ,3cos θθ题目转化为：()1,0A -，()1,0B ，()C ,x y 满足：229x y +=，求sin C 的最大值。