21.2.2用配方法解一元二次方程
(3)
3x2＋6x
－4=0；
(4) 4x2－6x－3=0；
(5) x2＋4x－9=2x－11；(6) x(x＋4)=8x＋12.
解下列方程 (1) x2＋10x＋9=0；
解：(1) 移项，得 x2＋10x=－9；
配方，得
x2＋10x＋52=－9＋52； (x＋5)2 =16
开方，得
x＋5= ± 4 ∴ x1=－ 9 ， x2) 3x2－6x＋4=0； (3) 移项，得
3x2－6x=－4；
二次项系数化为1，得
x2 x2
配方，得
4 －2x =－ 3 ；
－2x＋
1)2=
12
1 －3
4 =－ 3 ＋ 12 ； ；
(x－
∵实数的平方不会是负数，
∴原方程没有实数解.
解下列方程 (1)
x2＋10x＋9=0；
(2) x2 －x－ =0；
(x＋3)2 =5
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上
一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全 平方的形式．
x2 ＋ 6x ＋4 = 0
解 方 程 的 过 程
移项
x2 ＋ 6x = －4 x2＋6x＋9 =－4＋9 (x＋3)2 =5 x＋3= ± 5
两边加 9，左边 配成完全平方式
左边写成完全 平方形式 降次
x＋3= 5 ， 或 x＋3=－ 5 . ∴ x1=－3＋ 5 ， x2=－3－ 5
解一次方程
.
议一议：结合方程①的解答过程，说出解
一般二次项系数为 1 的一元二次方程的基本思
路是什么？具体步骤是什么？ 通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程
的方法，叫做配方法．
具体步骤：
(1)移项；
(2)在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
化简，得
(2)根据平方根的意义，得
x－ 1 = ± 3
即
x2 =9 ∴x= ±3 ∴ x1=3， x2=－3.
x－ 1 = 3
或 x－1=－ 3 . ∴ x1=1＋ 3 ，
x2=1－ 3 .
形如下列方程该怎样解？
x2 ＋ 2x －4 = 0 x2 －75x ＋350 = 0
x2 －x － 56 = 0
开方，得
；
x－2= ± 4 ∴ x1= 6 ， x2=－2 .
归纳小结 (1)用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为 (mx＋n)2=p(p≥0) 的形式，
运用 开平方法，降次求解．
(2)配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
(3)在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题?
今天作业
解下列方程
(2) 2x2 ＋1 =3x. (2) 移项，得
2x2－3x=－1；
二次项系数化为1，得
x 2－
配方，得
3 1 2 x =－ 2 ；
开方，得
3 1 ( 3 )2 3 )2 ( 2 x＋ 4 =－ 2＋ 4 ； (x－ 3 )2= 1 ； 4 16 x 2－
1 3 x－ 4 = ± 4 1 ∴ x1=1 ， x2= 2
4x2－6x=3；
二次项系数化为1，得
x 2－
配方，得
3 x =3 ； 2 4
3 3 )2 3 ( 3 )2 ( 2 x＋ 4 = 4＋ 4 ； (x－ 3 )2= 18 ； 16 4 3 2 3 开方，得 x－ 4 = ± 4 3 3 2 x= 3 －3 2 . ∴ x 1= 4 ＋ ， 2 4 4 4 x 2－
解下列方程 (1) x2－8x＋1=0； (2) 2x2 ＋1 =3x. (3) 3x2－6x＋4=0；
解下列方程
(1) x2－8x＋1=0；
解：(1) 移项，得
x2－8x=－1；
配方，得
x2－8x＋ 42 =－1＋ 42 ； (x－4)2=15；
开方，得
x－4 = ± 15
∴ x1=4＋ 15 ， x2=4－ 15 .
一般地，对形如x2=p(p≥0)或(mx＋n)2=p(p≥0)
的方程，根据平方根的意义，用直接开平方 法将这个一元二次方程降次，转化为两个一 元一次方程，分别求出这两个一元一次方程
的解，即可求出原一元二次方程的两个解。
解下列方程 (1) 3x2
－27=0；
(2) (x－1)2=3.
解：(1) 移项，得 3x2 =27
x2 ＋6x =－4
两边加 9
③
a2＋2ab＋b2
x2＋6x＋9
(x＋3)2 =5
=－4＋9
2b=6
6 b= 2 =3
2 32 = 9 (6 ) = 2
在解法中，为什么在方程③两边加 9？
加其他数可以吗？如果不可以，说明理由． x2 ＋6x =－4 ③
2 2 (6 ) 3 2 = =9
两边加 9 x2＋6x＋9 =－4＋9
x2＋6x＋9 =5
①？
② 比较，
x2 ＋ 6x ＋4 = 0 ①
x2 ＋ 6x = －4 ③
怎样把方程①化成 方程②的形式呢？
怎样保证变形的 2 x ＋ 6x ＋ 9 = － 4 ＋ 9 两边加 9 正确①性呢？ 左边可写成平方形式 (x＋3)2 =5
在解法中，为什么在方程③两边加 9？
加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
课本P17页第2、3题
课件说明
学习目标：
1．理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 进一步加深对化归的数学思想的理解． 学习重点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程．
能否转换成(mx＋n)2=p(p≥0)形式？
(5)
x2－4x＋4=5；
整理，得
(x－2)2=5；
根据平方根的意义，得
x－2 =± 5
即
x－ 2 = 5
或 x－2=－ 5 . x2=2－ 5 .
∴ x1=2＋ 5 ，
第课3时 21.2.2
用配方法解一元二次方程
怎样解方程
试与方程 移项
x2＋6x＋4 =0
3x2＋6x=4；
二次项系数化为1，得
x2＋2x
配方，得
4 =3 ；
x2＋2x
＋ 12
(x＋1)2= 7 ； 3 21 x＋ 1 = ± 3 开方，得 21 21 ∴ x 1= ， x2=－ . － 1 － 1 3 3
4 = 3 ＋ 12 ；
解下列方程
(4) 4x2－6x－3=0； (4) 移项，得
(5) x2＋4x－9=2x－11；
(5) 整理，得
x2＋2x=－2；
配方，得
x2＋2x＋ 12 =－2＋ 12 ；
(x＋1)2=－1；
∵实数的平方不会是负数， ∴原方程没有实数解.
(6) x(x＋4)=8x＋12.
(6) 整理，得
x2－4x=12；
配方，得
x2－4x＋ 22 =12＋ 22； (x－2)2= 16
(2) x2 －x－
移项，得
7 =0； 4
x2－x=
7 4 ；
配方，得
x2－x＋( 1 )2= 7 ＋ ( 1 )2； 2 4 2 1 2 (x－ 2 ) = 2 ；
开方，得
1 x－ 2 = ± 2 1 1 ∴ x1= 2 ＋ 2 ，x2= 2 － 2 .
解下列方程
(3) 3x2＋6x－4=0； (3) 移项，得
21.2.2解一元二次方程 公式法【人教九上数学精彩课堂教案】
21.2解一元二次方程21.2.2公式法实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣置疑探究在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化?由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.复习探究(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么?①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)⑥求解:解一元二次方程.⑦定解:写出原方程的解.(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+ba x=-ca.配方,得x2+ba x+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac>0时,得x+b2a =±√b2-4ac2a,所以x=-b2a±√b2-4ac2a,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a.当b2-4ac=0时,得x1=x2=-b2a.当b2-4ac<0时,方程无实数根.[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.教材母题——第11页例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.【模型建立】用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.【变式变形】1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为(C)A.52B.32C.20D.-122.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是 (D)A .x 1,2=12±√122-3×42B .x 1,2=-12±√122-3×42C .x 1,2=-12±√-(-12)2-4×3×42×3D .x 1,2=-(-12)±√(-12)2-4×3×42×33.一元二次方程x 2+2√2x-6=0的根是 (C)A .x 1=x 2=√2B .x 1=0,x 2=-2√2C .x 1=√2,x 2=-3√2D .x 1=-√2,x 2=3√24.已知a 是一元二次方程x 2-3x-5=0的较小的根,则下面对a 的估计正确的是 (A)A .-2<a<-1B .2<a<3C .-3<a<-4D .4<a<5 5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)A .无实数根B .有一个正根,一个负根C .有两个正根,且都小于3D .有两个正根,且有一根大于36.方程x 2-2x-2=0的解是 x 1=1+√3,x 2=1-√3 .7.小明用公式法解方程2x 2+7x=4的过程如下: ∵a=2,b=7,c=4,∴b 2-4ac=72-4×2×4=17. ∴x=7±√174. ∴x 1=7+√174,x 2=7-√174.你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请给出正确的解答过程. 解:小明的解答过程不正确. 正确的解答过程如下: 移项,得2x 2+7x-4=0,∵a=2,b=7,c=-4,∴b 2-4ac=72-4×2×(-4)=81. ∴x=-7±√812×2=-7±94.∴x 1=-4,x 2=12.教材母题——第17页习题21.2第13题无论p 取何值,方程(x-3)(x-2)-p 2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由. 【模型建立】“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a;②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a;③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.【变式变形】1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不等于1的实数3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是p2-4q=0.4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠0.5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略(2)1或2]【评价角度1】利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.例1一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根例2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定例3已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,∴无论m取何实数,此方程总有实数根.【评价角度2】利用公式法解一元二次方程方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.例解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+√5,x2=-2-√5]【评价角度3】根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.例1若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-94例2若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【评价角度4】一元二次方程的根的情况的实际应用方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.例小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.解:小峰的说法是对的.理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.由题意可得x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.课题21.2.2公式法授课人教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=-b±√b2-4ac2a,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0.6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.教学重点一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式的推导.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题:问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些?总结用配方法解一元二次方程的一般步学生回答,教师点评,并做好指导工作.(1)移项.(2)二次项系数化为1.(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解.(6)定解.问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解?当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧!通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.活动二: 探究与应用问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生自主解方程,确定一名学生进行板演.教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去.解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2.变形,得x+b2a2=b2-4ac4a2.当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x+b2a=±√b2-4ac2a.1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.所以方程的解为 x 1=-b+√b 2-4ac2a,x 2=-b -√b 2-4ac2a.【应用举例】例1 用公式法解下列方程:题目的设置存在梯度,给予学生层次递进(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导.变式练习:用公式法解下列方程:(1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2√2x-6=0.教师做好总结:用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值.②求出b2-4ac的值.③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解.④写出方程的解.用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.例2不解方程,判别下列一元二次方程根的情况.(1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0.的学习过程.活动二: 探究与应用变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.教师做好总结:利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.【拓展提升】例3已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根?学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.握.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是(B)A.方程总有两个实数根B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根2.方程x2-3x=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为-1或2.4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<1.5.解下列方程:(1)2x2-3x-5=0;(2)23x2+13x=2.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.活动三: 课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点.②[讲授效果反思]重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用.③[师生互动反思]从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
21.2.2直接开平方法和配方法
5 2 )2
(4) x 2
2 3
x ( (1)2 )=(x-
3
1 3
)2
例1：解下列方程
(1)x2 6x 3 0 (2)3x2 1 2x (3)3x2 6x 4 0
解下列方程
(1)x2 10 x 9 0
(3)3x2 6x 4 0
(2)x2 x 7 0 4
例 2 (1) 证明:无论x为何值 二次三项式
2x2 3x 4 必是正数
(2) 设m为任意实数,求代数式
7m 10m2 4 的范围
练习
1. 用配方法说明：不论k取何实数，多 项式k2－3k＋5的值必定大于零.
2 求代数式 3x2 x 1 的最小值
3、用22cm的铁丝围成一个矩形.(1)若 矩形面积为30平方厘米,求矩形的相邻两 边长.(2)能围成面积为32平方厘米的矩 形吗?为什么? 作业：
拓展空间 例1 用配方法解一元二次方程
(1)mx2 (m 1)x 1 0 (2)ax2 (a2 1)x a 0
同步练习
(1)3x2 11x 4, (2) y2 (1 2 3) y 3 3 0 (3)x2 (2m 1)x m2 m 0 (4)mx2 (mn 1)x n 0(m 0)
1 x2 4
2 x2 27
3
【直接开平方法】一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例1.解方程
(1)2x2 4, (2)3x2 1 0 9
练1. 解下列方程： （1） x2 ＝50 （2）y2－ 81＝0 （3）9x2-5=3 （4）16x2-49=0
21.2.2一元二次方程的解法--配方法教学课件26
转化思想，把一个一元二次方程“降次”转化为
两个一元一次方程。即： ax² +bx+c=0 →（x+n）² =p（p≥0） → x+n=
p
或 x+n= -
p
“转化”的数学思想，就是把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转 化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题， 把高次问题转化为低次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题 转化为几个基本问题。转化的目的是不断发现问题、分析问题，最终解决问 题。 只要主动参与，认真思考，勤于动手，就能感悟到 “数学数学真奇妙，学好数学更聪明”！
① 移项：把常数项移到方程的右边； ② 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③ 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：方程变成（x+n)2 =p的形式； ⑤ 求解（直接开平方）：若p≥0，转化成两个一 元一次方程求解；若 p＜0，则原方程无实数根。 ⑥ 定解：写出原方程的解，即 x1= ， x2 = 。
配方法解一元二次方程应注意
1、移项时注意变符号； 2、二次项系数化为1时，每一项都要除以二 次项系数； 3、配方时，方程两边都要加上一次项系数一 半的平方； 4、当p≥0，开方时方程两边都要开平方，且 有两个根； 5、注意书写格式的规范性。
转化的数学思想方法
配方法是重要的数学思想方法，其实质就是
2.拓展题（任选一题做）:
（1）利用配方法求代数式的值：
若x²-4x+y²+6y+
z2
+13=0，求（xy）²的值。
（2）求证：不论a取何值，a2-a+1的值总是 一个正数。
2
（3）配方法求最值：x -6x+12的最值。
21.2.2配方法解一元二次方程作业及答案(2)
21.2.1配方法作业(2)一、选择题1.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（）A.(x+2)2=6B.（x+2）2=9C. （x-1）2=6D. （x-2）2=92.方程9x2-（m-3）x+1=0的左边能配成一个完全平方式，则m的值为（）A.-9或-3B. -3C. 9或-3D. 3或-93.多项式x2-x+1的最小值是（）A. 1B. 54C.12D.344.方程x2+16x+64=0的根是（）A.X1=x2=8B. x1=x2=-8C. x1=-8,x2=8D. 无实根5.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）A.(x+2)2=1B. (x-2)2=1C. (x+2)2=9D. (x-2)2=96.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的（）A.(x-p)2=9B. (x-p)2=5C. (x-p+2)2=9D. (x-p+2)2=57.用配方法将方程x2-6x=1转化为(x+a)2=b的形式，则a. b的值分别为（）A.A=3,b=1B. a=-3 ,b=1C. a=3 , b=10D. a=-3 , b=108.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p，q的值分别是（）A.P=4,q=2B. p=4, q=-2C. p=-4 , q=2D. p=-4 , q=-29.小刚用配方法解方程2x2-bx+a=0得31522x,则b的值为（）A.-6B. -3C. 3D. 610.对于任意实数x，多项式x2-4x+5的值一定是（）A.非负数B. 正数C. 负数D. 无法确定二、填空题11.若三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是_____.12.用适当的数填空：（1）X2-4x+___=(x-___)2; （2）m2_____m+94=(m______)213.若将方程x2-8x+1=0配方成（x-p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过第___象限。
配平法解一元二次方程.2.2配方法
）
6
2
2
左边配成 x2＋2bx＋b2
求 解
x2+6x＋9=16＋9
的
思
( x + 3 )2=25
路
左边写成平方形式
流 程
x+3=±5
直接开平方降次
x＋3=5,x＋3=－5
x1=2，x2=－8
解一次方程
以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两
边加9？加其他数行吗？加其它数不行．
根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的
3 4
2
,
x2 3 x 1 , 22
由此可得
方程的二次项系数不
x
3 4
2
1 16
,
是1时，为便于配方， 可以让方程的各项除 以二次项系数．
x3 1, 44
1
x1
1, x2
. 2
3 3x2 6x 4 0
移项，得
3x2 6x 4,
1解下列一元二次方程一复习旧知1x1x12或x1解下列一元二次方程二创设情境引入新知2x19通过对以上两个方程的等号左边的对比进而联想到把2的左边利用完全平方差公式进行配方从而用开平方的结论解此方程
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.2 配方法
一、复习旧知
1、解下列一元二次方程
（1） (x-1) 2=4 解： x-1 =±2 x-1 =-2 或x-1 =2
x1=-1 x2=3 综上，此方程的根是x1=-1，x2=3。
二、创设情境，引入新知 解下列一元二次方程
（2）x2-2x+1=9
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
21.2.2用公式法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤 化：把原方程化成 x2 ＋px＋q = 0 的形式。 移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 p 2 p 2 2 方程右边 x ＋px＋ ( ) = － q＋ ( ) 2 2 是非负数 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。 p 2 p 2 ( x+ ) =－ q ＋ ( ) 2 2 求解：解一元一次方程。 定解：写出原方程的解。
一般地,对于一元二次方程
0时, 它的根是 :
ax2+bx+c=0(a≠0)
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
当 b 2 4 ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
练习2
一、填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 _______________ 有两个不相等的实数根 2 有两个相等的实数根，则∆ABC为 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+
ac 直角 4
=0 三角形
二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0 必有两个不相等的实数根.
a 1, b 8, c 17
这里的a、b、 c的值分别是 什么？
△ b2 4ac (8)2 4 117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。 2. 求出 ∆ 的值。 b b 2 4ac 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x 2a 写出一元二次方程的根： x1 = ______ ，x2 = ______ 。 b x x (b)当∆=0时，代入求根公式： 1 2 2a 写出一元二次方程的根： x1 = x2 = ______ 。 (b)当∆<0时，方程无实数根。
21.2.2公式法《用求根公式解一元二次方程》教案
-通过实际例题，使学生体会求根公式在解决一元二次方程中的应用价值。
举例解释：求根公式是一元二次方程解决的核心工具，教学中应重点关注公式本身的记忆、理解和应用。例如，对于公式中的判别式Δ=b²-4ac，应强调其与根的关系，即Δ>0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时无实数根。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了求根公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式本身及其推导过程这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和根的情况判断，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的问题，如土地分割、物体抛物线运动等。
2.实验操作：为了加深对求根公式的理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制一元二次方程的图像，观察不同判别式下根的情况。
3.能够运用求根公式解决实际问题；
4.通过求根公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.理解并掌握一元二次方程求根公式，提高学生的数学运算能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
3.通过对求根公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维、抽象思维和推理能力；
21.2.2公式法解一元二次方程(一)
21.2.2公式法解一元二次方程（1）主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握用求根公式法解一元二次方程的一般步骤，会用公式法解一元二次方程。
2、 经历求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力，体验数学的简洁美。
3、 进一步体会分类、类比、转化、降次的数学思想方法。
学习重点：公式法解一元二次方程学习难点：求根公式的推导过程学习过程：一 复习回顾1、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= 。
2、在方程x x 8172=+中，a= ，b= ，c= 。
3、用配方法解下列方程。
（1）0142=+-x x （2）x x 2132=-二 新知探究1、（探索与思考）用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax2、总结与归纳：（1）由上可知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是由系数a 、b 、c 而定，因此，用公式法解一元二次方程的基本步骤是：第一步： 第二步： 第三步：(2) 由上可知，一元二次方程解的个数情况是由ac b 42-决定的。
当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，一元二次方程没有实数根；3、例题讲解（1）0742=--x x （2）012222=+-x x（3）1352+=-x x x （4）x x 8172=+三 巩固练习解下列方程（1）062=-+x x （2）04132=--x x（3）02632=--x x （4）0642=-x x（5）114842+=++x x x （6）x x x 85)42(-=-四 变式训练1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 ，用求根公式的前提是 。
2、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，方程的两根为=1x ，=2x 。
人教版九年级数学上册21.2.2用公式法解一元二次方程
无实数根．
归
纳 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式.通常用希腊字母 ∆表示它，即∆= b2-4ac.
当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当∆=0 时，方程有两个相等的实数根；
当∆＜0时，方程无实数根.
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
例4 已知关于x的方程 x2(m1)x1m20. 4
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2) 若方程有两个相等的实数根，求m的值； (3) 若方程有两个实数根，求m的取值范围； (4) 若方程无实数根，求m的取值范围.
练习 关于x的一元二次方程 x22xm0有两个实数
0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
例2 用公式法解方程：
(1) x2-4x-7=0；
(2) 6x2-7x+1=0.
解a 1, b 4, c 7
b 2 4 a ( c 4 )2 4 ( 7 ) 4 0 4
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
ห้องสมุดไป่ตู้
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2