2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题文【含答案】
江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题 文（满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<,(){}20Q x x x =->,则P Q 为（ ）A ．()0,2B ．()1,9C ．()2,9D ．()1,23．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上,则⎪⎭⎫⎝⎛+22sin πα的值等于（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ．54 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5．如图所示的程序框图可以计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10n＝,则输出的结果是（）A．11114(1)35717P=-+-+⋅⋅⋅+B．11114(1)35719P=-+-+⋅⋅⋅-C．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅+D．11114(1)35721P=-+-+⋅⋅⋅-6．已知实数,x y满足约束条件2202201,1x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y+的取值范围是（）A．(3,6]-B．[3,6]-C．3(,6]2- D．3[,6]2-7．在ABC∆中,4AC AD=,P为BD上一点,若13AP AB ACλ=+,则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．388．函数1()ln||1xf xx+=-的图象大致为（）9．将函数()17cos488f x x=+的图象向左平移12π个单位长度,向下平移78个单位长度后,得到()h x的图象,若对于任意的实数,126xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()h xω都单调递增,则正数ω的最大值为（）A．3B．52C．73D．7610．若将双曲线()22:10x y C mn m n-=>绕其对称中心旋转6π后可得某一函数的图象,则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．23B ．3C ．2或23D ．2或311．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了1000个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量（其中3≈π）（ ） A ．286B ．289C ．298D ．30212．已知数列{}n a 各项为正,12a =,211n n n a a a +=-+,记12111n nA a a a =++⋯+,12111n n B a a a =⋅⋅⋯⋅,则（ ）A ．202020201A B +> B ．202020201A B +< C ．2020202012A B -> D ．2020202012A B -< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c 55,47os ，a c B ===,则sin A =______.14．已知正实数a b ，满足236a b +=,则2311a b +--的最小值为______. 15．已知、A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,F 是C 的右焦点,点P 在C 上且满足PF OF ⊥（O 为坐标原点）,线段AP 交y 轴于点M ,连线段BM 交PF 于点N ,且MN 2NB =,则椭圆C 的离心率为______.16．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[)1,k ∈+∞,曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ,()22,N x y ,使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行()12x x ≠,则12x x +的取值范围为______.三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于6小时的有20人,在这20人中分数不足120分的有4人；在每周线上学习数学时间不足于6小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占1625： （1）请完成22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不足于120分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于6小时和线上学习时间不足6小时的学生共5名,若在这5名学生中随机抽取2人,求这2人每周线上学习时间都不足6小时的概率.（临界值表仅供参考）20()P K k ≥ 0.10 0.050.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）18．（本小题满分12分）已知正项单调递增的等比数列{}n a 中12313a a a ++=,且123133、、a a a 依次构成等差数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12b =,()*1(1)12,n n n b nb n n ---=≥∈N ,求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF ⊥平面ABCD ,33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）点G 在DE 上,且1EG =,求平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积之比？20．（本小题满分12分）已知抛物线2E 2y px =：上一点()1,n 到其准线的距离为2．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图A ,B ,C 为抛物线E 上三个点,()8,0D ,若四边形ABCD 为菱形,求四边形ABCD 的面积．21．（本小题满分12分）已知()()sin f x a x a R =∈,()xg x e =.（1）若=1a ,证明函数()()ln G x f x x =-+在()0,1单调递增；（2）设()()()f x g x F x a⋅= 0a ≠,对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()F x kx ≥恒成立,求实数k 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ,求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x=+-.（1）求不等式|4|()xf xx>的解集；（2）若()f x的最小值为M,且22(,,)a b c M a b c++=∈R,求证：2224 9a b c++≥.2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考答案一、单选题1-5．ADADB 6-10．BCDBC 11-12．BC 二、填空题13．214．25 15． 23 16．()2,+∞三、解答题17．【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）0.6 解：（1）2245(161694)8.712 6.63525202520K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” (6)（2）抽到线上学习时间不足于6小时的学生165420⨯=人，设为1A ，2A ，3A ，4A 线上学习时间不足6小时的学生1人，设为1B所有基本事件有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，、()11A B ，、()21A B ，、()31A B ，、()41A B ，共10种 (8)其中2人每周线上学习时间都不足6小时有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，共6种 (10)故2人每周线上学习时间都不足6小时的概率为35（或0.6）…………………………12 18.【答案】（I ）13n na （Ⅱ）23312n n n n S ---=（I ）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，由题可知133221131323a a a a a a ⎧⎪⎨+=++=⎪⎩所以21112111131323a a q a q a a q a q⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．所以1113n n n a a q --=⋅=．…………………4 （Ⅱ）当2n ≥时，由1(1)1n n n b nb ---=知11111(1)1n n b b n n n n n n--==----． 于是111n b b n n-=-，所以31n b n =-．…………………………8 ()()21231233321n n n n n n S a c a b b b b a -=++++-++--+⋅⋅⋅+=……………………… (12)19．【答案】（1）见解析（2）3:11.解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ， ∵ABAF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE (4)（2）过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM 、，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，………………6 取DG 中点N ，连CN ，则1ND GN EG ===，且GM //N C 则M 为EC 中点，1331=224EGM S ∆=⨯⨯…………………………………………8 131393334324E GFBM B EFG B EGM V V V ---∴=+=⨯⨯+⨯⨯= (10)E-GFBM ABCDEF V 923V 42114∴=⋅=V 3V 11∴=上下………………………………12 20．【答案】(1) 24y x = ；(2) 32或165（1）由已知可得122p+=，得2p = 抛物线E 的方程为24y x = (4)（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，菱形ABCD 的中心()00,M x y ,当AC x ⊥轴，则B 在原点，()4,0M ，8AC =，8BD =，菱形的面积1322S AC BD =⋅=，……………………………………6 当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t - 24y x x ty m⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --=, 121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩,()22212122121224244y y y y y y x x t m +-++===+………………8 202x t m =+，02y t =，∵M 为BD 的中点∴()2428,4B t m t +-，点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -． ()()2221644282,028t t m t t t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩解得：4m =，1t =±………………………………10 ()4,4B ±，BD =,12AC y y =-===12S AC BD ==32s =或12 21．【答案】（1）()G x 在(0,1)上单调递增（2）1k ≤【详解】解：（1）()()ln G x f x x =-+= ()sin ln sin ln x x x x -+=-+，()1'cos G x x x =-+ 1cos x x =-，由于()0,1x ∈，所以11x >，cos 1x <， 所以1cos 0x x->，即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增 (4)（2）()()()sin xf xg x F x e x a ⋅==，由题意：对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x e x kx -≥恒成立，设()sin x h x e x kx =-，()'sin cos x xh x e x e x k =+-………………………………6 又设()sin cos x xm x e x e x k =+- 则()sin cos cos sin x x x x m x e x e x e x e x +-'=+ 2cos 0x e x =≥，因此()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()()01m x m k ≥=-，………………………………8 1当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意.……………………………………9 2当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <， 若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=，故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意，综上，1k ≤为所求 (12)22.【解析】（1）由82x t =+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． (5)（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠， (7)当()04θρπ=>时，A ρ=，B ρ=，所以|||||A B AB ρρ=-==． (10)23.【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x >等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立；当02x <≤时，|4|()x f x x >等价于24>，该不等式不成立；当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224xx >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3 所以不等式|4|()x f x x >的解集为(,0)(3,)-∞+∞ (5)（2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=， (7)由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥ (10)。
江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测(二)(理数)
江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测（二）数 学（理科）注意事项：1．考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形， 平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何（直线、直线与圆的位置关系为主，可少量 涉及圆锥曲线）。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试 卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1．已知集合{}0)5)(2(≤-+=x x x M ， {}x y y N 2==，则=N M I A ．]2,0(B ．]5,0(C ．]5,2[D ．),2[+∞2．已知向量)2,1(-=m ),4(,λ=n ，其中.R ∈λ若n m ⊥，则=mn A ．5B ．2C ．52D ．23．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点)5,2(-P 是角α终边上的一点，则=α2cos A ．2920B ．2921C ．2921-D ．2920-4．现有如下命题：命题),0(:+∞∈∀x p “”0ln ,<-x x 的否定为”“0ln ],0,(000≥--∞∈∃x x x ；命题”“02sin :>x q 的充要条件为”“)(2)12(Z k k x k ∈+<<ππ， 则下列命题中的真命题是 A ．pB ．q p ∧C ．)(q p ⌝∨D ．q p ∧)(⌝5．已知椭圆13964:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ⋅，点P 在椭圆C 上，若6|1=PF ，则 21F PF ∠的余弦值为A ．103B ．107 C ．52 D ．536．如图，在正六边形ABCDEF 中，=EC A ．32- B ．23- C ．52-D ．25-7．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=32,6,sin 4cos 3)(2ππx x x x f ，则)(x f 的值域为 A ．)417,4[B ．)417,4(C ．]313,4[D ．]313,4( 8．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2221===AA BC AB F E ,分别是线段111,CC D A 的中点，若E '是E 在平面11B BDD 上的射影，点F '在线段1BB 上，且,//BC FF 则=''F EA ．15215B ．10215C ．15430D ．104309．函数xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅+--=32)2(4)(的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ，()28log 3f a =()2ln 3,f b =，21=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．若关于x 的不等式01ln 2≥--x m x 在]3,2[上有解，则实数m 的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 3,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-3ln 8,C ．(]1,2-∞-eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3ln 8,2ln 312．四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，ο120=∠ADC ，连接BD AC ,交于点⊥O A O 1,平面ABCD ，41==BD O A ，点C '与点C 关于平面D BC 1对称，则三棱锥ABD C -'的体积为A ．33B ．32C ．36D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上） 13．记等比数列}{n a 的前n 项和为n s ,若41105=s s，则=72a a14．若椭圆C 过点)2,2(，)3,2(，则椭圆C 的离心率为15．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥,4062,4y y x x y ，则44-+=x y z 的最大值为16．已知首项为3的正项数列}{n a 满足),1)(1(3))((11-+=-+++n n n n n n a a a a a a 记数列{})1(log 22-n a 的前n 项和为n S ，则使得440>n s 成立的n 的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知函数.1432)(23+--=x x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程； (2)求函数)(x f 的极大值． 18．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,13,,,=a c b a且⋅-+=-++ba AC a b c C A C A sin sin sin cos cos sin(1)求ABC ∆外接圆的半径；(2)若3=c ，求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分12分）直角梯形ABCD 如图(1)所示，其中CD AB //，AD AB ⊥，过点B 作CD BM ⊥，垂足为M ， 得到面积为4的正方形ABMD ，现沿BM 进行翻折，得到如图(2)所示的四棱锥.ABMD C -(1)求证：平面⊥CBM 平面;CDM(2)若ο90=∠CMD ，平面CBM 与平面CAD 所成锐二面角的余弦值为13133，求CM 的长．20．（本小题满分12分）已知圆C 过点)1,4()1,0(,)3,2(,，过点)0,2(-P 的直线与圆C 交于N M ,两点． (1)若圆9)4()2(:22=-++'y x C ，判断圆C 与圆C '的位置关系，并说明理由； (2)若135=，求MN 的值． 21．（本小题满分12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,42=a .)1(2n a S n n +=&等比数列{}n b 满足：32b a =， ⋅++=3213b b b a(1)求数列{}n b 的通项公式以及前n 项和n T . (2)求数列{}n a 的通项公式． 22．（本小题满分12分）已知函数e x x f x2)(=,其中Λ718.2=e 为自然对数的底数． (1)求函数)(x f 在[]1,5--上的最值； (2)若函数x a x x f x g ln 1)()(-+=,求证：当()e a 2,0∈时，函数)(x g 无零点．数学（理科）参考答案1．B 2．B3．C4．D5．A 6．B8．D9．C10．A11．B12．D13．31 14．2215．72-16．2117．解：(1)依题意310)1(,-=f （1分） 而,4)1(,422)(2-=--='f x x x f （3分）故所求切线方程为)1(4310--=⎪⎭⎫⎝⎛--x y ，即.02312=-+y x （4分） (2)依题意)2)(1(2)2(2)(2-+=--='x x x x x f （5分）令0)(='x f ，解得1-=x 或.2=x （6分）故当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)2,1(-∈x 时0)(,<'x f ； 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x f （8分）故函数)(x f 的极大值为310)1(=-f （10分） 18．解：(1)依题意b a a b c A C C A --+=++sin sin )sin(,，1sin sin sin --=+b a cA CB （1分）由正弦定理得1--=+ba ca cb （2分）整理得bc a c b -=-+222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A （4分） 因为π<<A 0，所以32π=A （5分） 故所求外接圆半径339313sin 2===A a r （6分） (2)因为13=a ，3=c ，32π=A 所以由余弦定理,cos 2222A bc c b a -+=得32cos329132π⨯⨯⨯-+=b b （8分） 即0432=-+b b ，解得1=b 或4-=b （舍去），（10分） 所以433233121sin 21=⨯⨯⨯==A bc S （12分）19．解：(1)在图(1)中，因为,CM BM ⊥,DM BM ⊥所以翻折后，在图(2)中有CM BM ⊥，,DM BM ⊥（2分） 又M DM CM =I ，所以⊥BM 平面CDM （3分）因为⊂BM 平面CBM ，故平面⊥CBM 平面.CDM （4分）(2)因为DM CM ⊥，BM CM ⊥，M BM DM =I ，所以⊥CM 平面ABMD又MD BM ⊥，以M 为原点，分别以MD ，MB ，MC 所在直线为x 轴，y 轴，z 油，建立 如图所示的空间直角坐标系，（5分）设)0(>=a a CM ，)0,0,2(D ，),0,0(a C ，)0,2,2(A ，则),0,2(a CD -=，),2,2(a -= 设平面CAD 的法向量为),,(z y x n =由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200az y x az x CA n n取a x =0,=y ，2=z ，即)2,0,(a n =（9分） 取平面CBM 的法向量为)0,0,2(=MD （10分）13133=，即131334222=+a a ，解得3=a ，即.3=CM （12分） 20．解：(1)设圆,0:22=++++F Ey Dx y x C则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++03213,01,0417F E D F E F E D ，解得4-=D ，2-=E ，1=F （3分）故圆,0124:22=+--+y x y x C 即4)1()2(22=-+-y x 而2353422+==+='C C ，故圆C 与圆C '外切．（5分）(2)当直线MN 与x 轴重合时，令0=y ，得32-=M x ，32+=N x ，可得PN PM 3434+-=，不符合题意。
江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题 (含答案)
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考试卷（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：临川一中高三数学备课组一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位,若复数1z ,2z 在复平面内对应的点分别为(2,1),(1,2)-,则复数12z z i⋅=（ ） A ．34i -- B ．34i -+C ．43i --D ．3-2．已知集合{|20}A x x =-≥,{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ,则A B =I （ ）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若41012222a a a ++=,则14S =（ ）A ．56B ．66C ．77D ．784．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且在区间[]1,2上是减函数,令2log 3a =,12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A.()()()f a f b f c << B.()()()f a f c f b << C.()()()f b f a f c <<D.()()()f c f a f b <<5．若点()x y P 2sin ,cos -=在直线αα上,则sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ．546. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降7．已知1111114357941π≈-+-+-+L ,如图是求π的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（ ）A ．()n+1121i n -=+ B ．(1)21n i n -=+ C ．()n+112i i -=+ D ．(1)2n i i -=+8．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ） A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-9．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ）10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．72B ．84C ．96D ．12011．已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点,过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列,且1||PQ PF =,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．23B ．34CD12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（ ）A ．(]1,-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设向量a v 与b v 的夹角为θ,定义a v 与b v 的“向量积”：a b ⨯v v是一个向量,它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅v v v v .若()1,a b =-=r r ,,则a b ⨯=v v____________.14. 若2a xdx =⎰,则()51-+ay x 的展开式中22x y 的系数为___________.15．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段11A D 的中点,若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 .16．已知1(3,0)A -,2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点,双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =,则b 的最大值为________．0x =()()tan f x x ax x =-a三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形ABCD 中,2BC =,23CD =,且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=,求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PAB ∆是正三角形,BC AB ⊥,BC CD=23=,AB AD 2==. （1）若3PB BE =,求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =,求二面角A PCB --的正弦值．19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元）2 3 6 10 13 15 18 21销量y （万盒）1 12 2.5 3.5 3.5 4.5 6（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ,2A ,3A ,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为12,34,35,第二次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为45,23,23．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后1A ,2A ,3A 三类剂型合格的种类数为X ,求X 的分布列与数学期望．附：（1）1221ˆˆˆbni ii nii x y nx ya y bx xnx==-==--∑∑，（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，．20．（本小题满分12分）给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,称圆心在原点O ,半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ，,其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N .①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间,求实数的取值范围；（2）设,若,恒有成立,求的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ,求||AB ．()sin axf x e x =()f x a 1a ≥0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()f x bx ≤2b e a -23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-.（1）求不等式|4|()x f x x >的解集；（2）若()f x 的最小值为M ,且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ,求证：22249a b c ++≥.2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠==∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=………………3分 当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分 ∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或 (3)分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅()222232223cos 1683cos θθ=+-⨯⨯=-……8分 ∴21113sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD BD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅+四边形 23sin 436cos 43sin 433πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭.……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值83. ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分 （2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分 18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分 因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r m m，即1110y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即2222200y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .………………10分所以,cos ==m n ………………11分则n s ,i =m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分. 19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分 由公式12221ˆ34781138313088b 11340ni ii n i i x y nx y x nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分 83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分 由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=； ①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）c a b ==∴=Q 2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分 所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，，此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以201220616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin ax f x e x =，得()()'sin cos ax f x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a > ∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin ax bx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos ax g x e a x x b =+-.设()()sin cos ax h x e a x x b =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分 因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a e b ae πππ≤<， 综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分 因此2222a b e a e e a ππ-≥-. 设()222a G a e e a ππ=-，则()22'ae a e G π=-， 令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分 备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t =+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=，B ρ，所以|||||A B AB ρρ=-==10分备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞U （2）见详解【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。
江西省抚州市抚州一中2020届高三第一次模拟测试卷理科数学试题(附答案解析)
江西省抚州市抚州一中第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟 注意事项：答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码； 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改 动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆A D ．3∈A2.设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A.0B.12C.1D.23.设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q ) D ．¬q4.函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 5.函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )6.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )7.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．28.已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}9.已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )A.3B.4C.5D.6 10.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )A.42＋23＋2 B .43＋4 C.22＋43＋2 D.82＋411.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |2x ﹣1＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A ．[1，2）B ．[1，2]C ．（0，3]D ．（1，2]2．（5分）设i 为虚数单位，则复数z =1+ii 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF →=2FB →，那么EF →=（ ）A ．12AB →−13AD →B ．13AB →+12AD →C ．12AB →−23AD →D ．14AB →+12AD →4．（5分）函数y =x 2e |x|+1（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．π2C ．π2−1D ．2−π26．（5分）(3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为（ ） A ．14B ．﹣14C ．16D ．﹣167．（5分）已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为（ ） A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°8．（5分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√539．（5分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π10．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n=2a n +2﹣a n +1（n ∈N *），则数列{1nb n}的前99项和为（ ） A ．9798B ．9899C ．99100D ．10010111．（5分）已知函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2．若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为（ ） A ．√22B ．12C ．√24D ．√5312．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ．交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．√52二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f （x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x （a ∈R ）为偶函数，则a ＝ ． 14．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5＝6，则a 8＝ ．15．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 ．16．（5分）在四面体P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P ﹣ABC 的体积为 ． 三、解答题（共7题，每题12分，共70分）17．（12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a sin （A +B ﹣C ）＝c sin （B +C ）．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2a +b ＝6，且△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ：（Ⅱ）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的余弦值．19．（12分）已知椭圆：C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p＞0）的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E ．当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论． 20．（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n （n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）＝ae x ﹣e ﹣x ﹣（a +1）x （a ∈R ），f （x ）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0＜a ＜1时，x 1，x 2分别为f （x ）的极大值点和极小值点．且f （x 1）+kf （x 2）＞0，求实数k 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥3﹣2|x |的解集；（Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|的最小值为m ，正数a ，b 满足a +b ＝m ．求证：a 2b +b 2a≥4．2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |2x ﹣1＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A ．[1，2）B ．[1，2]C ．（0，3]D ．（1，2]【解答】解：∵2x ﹣1＞1，∴A ＝{x |x ＞1}， 又x 2﹣2x ≤0，则B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}＝（1，2]， 故选：D ．2．（5分）设i 为虚数单位，则复数z =1+ii 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z =1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i ， ∴复数z =1+ii在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），所在的象限是第四象限， 故选：D ．3．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF →=2FB →，那么EF →=（ ）A ．12AB →−13AD →B ．13AB →+12AD →C ．12AB →−23AD →D ．14AB →+12AD →【解答】解：EF →=EC →+CF →=12DC →+23CB →=12AB →−23AD →，故选：C ． 4．（5分）函数y =x 2e |x|+1（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f （﹣x ）=(−x)2e|−x|+1=f （x ），则函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，当x →+∞，f （x ）→0，排除B ，当x ＞0时，f （x ）=x 2e x+1，则f （1）=1e 2，f （12）=14e 32=14e 32，则f （1）＞f （12），排除C ， 故选：D ．5．（5分）在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．π2C ．π2−1D ．2−π2【解答】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为8×(14π×12−12×1×1)=2π−4． ∴所求概率P =2π−44=π2−1．故选：C ．6．（5分）(3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为（ ） A ．14B ．﹣14C ．16D ．﹣16【解答】解：∵(3x +1)(1x −1)5=（3x +1）（1x 5−5x 4+10x 3−10x 2+5x−1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14， 故选：A ．7．（5分）已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为（ ） A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°【解答】解：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10°)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1， 即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10°=1，则：cosα⋅2sin40°cos10°=1．当α＝40°时，两边相等． 故选：B ． 8．（5分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√53【解答】解：△PEF 2的周长为|PE |+|PF 2|+|EF 2|＝|PE |+|PF 2|+|EF 1|， 当P ，E ，F 1共线时，此时周长最小， ∴|PE |+|PF 2|+|EF 1|＝|PF 2|+|PF 1|＝2a ＝3b ， ∴4a 2＝9（a 2﹣c 2），5a 2＝9c 2 ∴e =c a =√53， 故选：D ．9．（5分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径r =BC2，而AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，所以BC ＝2√2，所以r =√2，过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：R 2＝r 2+（AA 12）2＝2+92=132，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝26π， 故选：C ．10．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n=2a n +2﹣a n +1（n ∈N *），则数列{1nb n}的前99项和为（ ） A ．9798B ．9899C ．99100D ．100101【解答】解：a n +S n =2n ，a n+1+S n+1=2n+1， 两式作差得a n+1−a n +S n+1−S n =2n ， 2a n+1=a n +2n ，故2b n=2a n +2﹣a n +1＝2n +1，b n ＝n +1， 所以1nb n=1n−1n+1，所以S 99=1−12+12−13+⋯+199−1100=99100， 故选：C ．11．（5分）已知函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2．若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为（ ） A ．√22B ．12C ．√24D ．√53【解答】解：画出函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f （a ）＝f （b ），且a ＜b ， 设2+log 12a ＝2b ＝k ，则2＜k ≤4；所以a =(12)k−2，b ＝log 2k ；当k ＝4时，ab =(12)2•log 24=14•2=12；考虑ab −12=(12)k−2•log 2k −12=(12)k−2•（log 2k ﹣2k ﹣3），在同一坐标系中画出函数y ＝log 2x 和y ＝2x ﹣3的图象，其中x ∈（2，4]，如图②所示；则函数y ＝log 2x 的图象总在y ＝2x﹣3的图象上方，所以ab −12≥0，即ab 的最小值为12．故选：B ．12．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ．交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．√52【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0），渐近线OB 的方程为y =ba x ，渐近线OA 的方程为y =−ba x ， 可得|BF |=√b +a 2=b ，|OB |=√c 2−b 2=a ，|AB |=√(5a3)2−a 2=4a3，可得tan ∠AOB =|AB||OB|=43=−b a −ba1−b2a2， 解得b ＝2a 或b =−12a （舍去）， 可得|AF |=4a 3+2a =10a3，由|OB |2＝|CB |•|BF |， 可得|CB |=a 2b =12a ，则|CF |＝b +12a =5a2，则|FA||FC|=43．故选：B ．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f （x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x （a ∈R ）为偶函数，则a ＝12．【解答】解：根据题意，函数f(x)=αx −log 2(2x +1)+cosx ，其定义域为R ， 若f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），则有a （﹣x ）﹣log 2（2﹣x +1）+cos （﹣x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x ，变形可得：2ax ＝log 2（2x +1）﹣log 2（2﹣x +1）＝x ，必有a =12； 故答案为：12．14．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5＝6，则a 8＝ 3 ．【解答】解：S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且设公比为q ， 由S 3，S 9，S 6成等差数列，可得2S 9＝S 3+S 6， 显然q ＝1时，18a 1＝9a 1，即a 1＝0不成立； 则2•a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+a 1(1−q 6)1−q，化为2q 9＝q 3+q 6，即2q 6﹣q 3﹣1＝0，解得q 3=−12， 由a 2+a 5＝6，可得a 1q +a 1q 4＝a 1q （1+q 3）=12a 1q ＝6， 则a 8＝a 1q 7＝a 1q （q 6）=14a 1q =12×6＝3． 故答案为：3．15．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 （−√3，2] ． 【解答】解：f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称， 所以2×π12+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ=kπ+π3， 当k ＝0时，φ=π3． 所以f （x ）＝2sin （2x +π3）． 由于∃x 0∈(0，π2)， 所以π3＜2x 0+π3＜4π3，所以−√3＜f （x 0）≤2， 即a 的范围为（−√3，2]． 故答案为：（−√3，2]．16．（5分）在四面体P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8√11．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且AD=√36−9=3√3，DE＝4，AE=√36−25=√11，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC=13⋅S△PBC⋅AE=13×12×PB×BC×AE=13×12×8×6×√11=8√11．故答案为：8√11．三、解答题（共7题，每题12分，共70分）17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin （B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．【解答】解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C=1 2，∵0＜C＜π，∴C =13π，（II ）由题意可得，12ab ×√32=√3，∴ab ＝4， ∵2a +b ＝6，联立可得，{a =1b =4或{a =2b =2，若a ＝1，b ＝4，则由余弦定理可得，c 2＝1+16−2×1×4×12=13，此时a +b +c ＝5+√13， 若a ＝2，b ＝2，则此时△ABC 为等边三角形，此时周长6．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ：（Ⅱ）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，又AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1均在平面ABC 1内， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AO ⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AO ，∵AB ＝AC 1，O 为BC 1的中点， ∴AO ⊥BC 1，又B 1C ∩BC 1＝O ，B 1C ，BC 1均在平面BB 1C 1C 内， ∴AO ⊥平面BB 1C 1C ； （Ⅱ）∵AB ∥A 1B 1，∴直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成角等于直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，∵AO ⊥平面BB 1C 1C ，∴直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角为∠ABO ，即∠ABO ＝45°，设菱形BB 1C 1C 的边长为2，则在等边△BB 1C 中，BO =√3，CO =B 1O =1，在直角△ABO 中，AO =BO =√3，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，O(0，0，0)，A(0，0，√3)，A 1(−√3，1，√3)，B 1(0，1，0)，C 1(−√3，0，0)，A 1B 1→=(√3，0，−√3)，A 1C 1→=(0，−1，−√3)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅A 1B 1→=√3x −√3z =0m →⋅A 1C 1→=−y −√3z =0，令x =√3，则m →=(√3，−3，√3)，易知平面B 1C 1B 的一个法向量为OA →=(0，0，√3)， ∴cos ＜m →，OA →＞=m →⋅OA →|m →||OA →|=3√3+9+3⋅√3=√55，又二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 为钝角，故其余弦值为−√55．19．（12分）已知椭圆：C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p＞0）的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E ．当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a =p2，则C 2：y 2＝4ax ，代入x ＝c ，得y 2＝4ax ，即y ＝±2√ax ，所以4√ac =4√2， 则有ac ＝2，ca=12，a 2﹣b 2＝c 2⇒a ＝2，b =√3，c ＝1，p ＝4，所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1，抛物线C 2的方程为y 2＝8x ；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 设为y ＝k （x +4），联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12， 消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），E （x 1，﹣y 1）， 可得x 1+x 2=−32k23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k2，直线EN 的方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1（x ﹣x 1），即为y +k （x 1+4）=k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1（x ﹣x 1）， 即y =k(x 1+x 2)+8k x 2−x 1•x −2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)x 2−x 1， 代入韦达定理可得y =1x 2−x 1•24k 3+4k 2（x +1），则直线EN 过定点（﹣1，0）．20．（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n （n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1． ∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B （5，14），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P （X ＝2）=C 52(14)2(34)3=135512． （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n ， P （ξ＝0）=14，P （ξ＝1）=34×14，P （ξ＝2）=(34)2⋅14，…，P （ξ＝n ﹣1）=(34)n−1⋅14，P （ξ＝n ）=(34)n ， ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 … n ﹣1 n P 1434⋅14(34)2⋅14…(34)n−1⋅14(34)nE （ξ）=34⋅14+2⋅(34)2⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1⋅14+n ⋅(34)n ，① 34E （ξ）=(34)2⋅14+2⋅(34)3⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n +n ⋅(34)n+1，②①﹣②，得：14E （ξ）=34⋅14+(34)2⋅14+(34)3⋅14+⋯+(34)n−1⋅14+(34)n ⋅14∴E （ξ）=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n =34[1−(34)n ]1−34＝3﹣3•(34)n ．21．（12分）已知函数f （x ）＝ae x ﹣e ﹣x ﹣（a +1）x （a ∈R ），f （x ）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0＜a ＜1时，x 1，x 2分别为f （x ）的极大值点和极小值点．且f （x 1）+kf （x 2）＞0，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）＝ae x+e ﹣x﹣（a +1）=ae 2x −(a+1)e x +1e x =(ae x −1)(e x −1)e x，∵f （x ）存在极大值点x 1和极小值点x 2， ∴a ＞0且a ≠1，令f ′（x ）＝0，解得x 2＝﹣lna ，或x 1＝0， ①0＜a ＜1时，﹣lna ＞0，∴当x ＜0或x ＞﹣lna 时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当0＜x ＜﹣lna 时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，∴当x 1＝0时，函数取得极大值，当x 2＝﹣lna 时，函数取得极小值， ②a ＞1时，﹣lna ＜0，∴当x ＞0或x ＜﹣lna 时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当﹣lna ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，∴当x 1＝0时，函数取得极小值，当x 2＝﹣lna 时，函数取得极大值， 故a 的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a ＜1，且f （x ）的极大值点为x 1＝0，极小值点为x 2＝﹣lna ， ∴f （x 2）＝f （﹣lna ）＝1﹣a +（a +1）lna ，f （x 1）＝f （0）＝a ﹣1， ∵f （x 1）＞﹣kf （x 2），令﹣k ＝m ，∵a ﹣1＞m [1﹣a +（a +1）lna ]对任意0＜a ＜1恒成立， 由于此时f （x 1）＜f （x 2）＜0，故m ＞0， 故（a +1）lna ＜（1+1m）（a ﹣1）， 即lna ＜（1+1m ）⋅a−1a+1，设g （x ）＝lnx ﹣（1+1m ））⋅x−1x+1， g ′（x ）=x 2−2x m +1x(x+1)2，令x 2−2xm +1＝0（*），Δ=4m 2−4，①m ≥1时，△≤0，故g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，1）递增， 故g （a ）＜g （1）＝0，即lna ＜（1+1m）a−1a+1，符合题意，②0＜m ＜1时，Δ＞0，设（*）的两根为x 3，x 4，且x 3＜x 4， 则x 3+x 4＞0，x 3•x 4＝1，故0＜x 3＜1＜x 4， 则当x ∈（x 3，x 4）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，故当0＜a ＜1时，g （a ）＞g （1）＝0，即lna ＞（1+1m ）⋅a−1a+1，矛盾，不合题意， 综上，m ≥1，即﹣k ≥1， ∴k ≤﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt（t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值． 【解答】解：（1）∵直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），∴直线l 1的普通方程为y ＝k （x +√3），① ∵直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）， ∴直线l 2的普通方程为y =13k （√3−x ），② ①×②，消k ，得：x 23+y 2＝1．∵k ≠0，∴y ≠0，∴曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1（y ≠0）．（2）∵直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2， ∴直线C 2的直角坐标方程为x +y ﹣8＝0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα，（α为参数，α≠k π，k ∈Z ），∴曲线C 1上的点Q （√3cosα，sin α）到直线的距离为：d =|√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin （α+π3）＝1时，d 取最小值3√2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥3﹣2|x |的解集；（Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|的最小值为m ，正数a ，b 满足a +b ＝m ．求证：a 2b +b 2a≥4．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝|x ﹣1|，∴由f （x ）≥3﹣2|x |，得|x ﹣1|+2|x |≥3．∵|x ﹣1|+2|x |={3x −1，x ＞1x +1，0≤x ≤1−3x +1，x ＜0，∴由|x ﹣1|+2|x |≥3，有{3x −1≥3x ＞1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x ＜0，∴x ≥43或x ≤−23，∴不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤−23}．（Ⅱ）证明：g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|＝|x ﹣1|+|x ﹣5|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣5）|＝4， ∴g （x ）min ＝m ＝4，∴a +b ＝m ＝4， ∴a 2b+b 2a=(a 2b+b)+(b 2a+a)−4≥2a +2b ﹣4＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a 2b+b 2a≥4．。
江西省临川第一中学2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学理科试卷
江西省临川第一中学2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学理科试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．42．下列说法正确的是（ ）A ．若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B ．命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D ．“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”3．命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．0a ≤ B ．1a ≤ C ．2a ≤ D ．3a ≤ 4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A ．2AB CA ⋅ B ．2AC FG ⋅ C ．2AD DC ⋅ D ．2EF DB ⋅ 5．命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a >B ．0a ≥C ．04a ≤<D ．04a <≤6．设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）A B ． C D ．7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A B C ．3 D 8．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F △是等腰直角三角形，则a b的值为（ ）A ．2BC ．2D ．549．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，F 是侧面11AA B B (含边界)上的动点.要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1C F 的长的最大值为（ ）A B ．C D ．10．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12019的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．4036 B ．4037 C ．4038 D ．403911．已知正四棱锥S ABCD -，E 是线段AB 上的点且13AE AB =，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，则（ ）A ．123θθθ<<B ．321θθθ<<C ．132θθθ<<D ．231θθθ<<12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭二、填空题 13．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.14．给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________.15．函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.16．已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．三、解答题17．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}2|20C x x ax =+-≤，命题:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.18．如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，2AB AC ==，BC =F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ；（2）求直线BC 与平面BDE 所成角.19．已知:()P f x =R ，:q x ∃∈R ，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B .（1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20．长方形ABCD 中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --，说明理由.21．已知动点G(x,y)4=（1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；22．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程（2）求圆E半径的最大值参考答案1．D【解析】【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2．C【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立. 即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤.故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4．B【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022a AC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足 对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D,222cos 22a EF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足 故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题. 5．A【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242a a ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩. 故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6．B【分析】 根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan2S b θ=求解即可. 【详解】由题知12609tan 2F PF S ︒=⨯=.设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅==故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7．D【分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面. 又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离1A P .又11111111111111225A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算1A P ,属于中档题.8．C【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得02OF OF =计算即可.【详解】根据题意有()0,0F c,(2F ,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得 02OF OF =,即()22222222322a b c c b a b b -=⇒=-⇒=.故a b 故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9．A分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可. 【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.故111tan tan FDB B AA ∠=∠即1111111111FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒==2411BB =<满足题意 .此时1C F ===故选：A 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题. 10．C 【分析】根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可.【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时n 取得最大值.此时121PF ==. 23n P F ==.又数列{}n P F 是公差12019d >的等差数列, ()2131112019n d d n =+-⇒=>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题. 11．B作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B 【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题. 12．D 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得,22a N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛∈-- ⎝⎭,即1133b a -<<-⇒<<.故e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 13【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可. 【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离1CC AC ===.【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题. 14．30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥.故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题. 15．(0,1] 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1] 【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16．2【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率． 【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=． 相减可得：22221212220x x y y a b --+=AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+．E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为e ==, 故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．17．（1）3a <-（2）31a -≤≤- 【分析】 (1)由题意AB =∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--（1）由命题p 是假命题,可得A B =∅,即得12,3a a --><-.（2）p q ∧为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.∴有121204220a a a --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a -≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题. 18．（1）证明见解析（2）30°. 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可. 【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则B,(0,C,(0,2)D ,(1,0,1)E ,(0,BC ∴=-,(0,2)BD =-,(1,BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19．（1）10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围． 【详解】（1）:p 真 f （x ）=的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意。
临川一中2020届高三模拟考试理科数学答案
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。
2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷Word版含答案
23322233⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(21OF OP OQ +=2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数,2i z -=则zz 10+等于（ ） A. i -2 B. i +2 C.i 24+ D.i 36+2.设全集U = R ，A = {x |x - 2x + 1＜0}，B = {y | y = cos x ，x ∈A }，则A ∩B =( ) A.( cos2，1] C.(- 1，2 )B.[cos2，1] D.(- 1，cos2 ]3.已知 | a | = 5，| b | = 5，a ·b = - 3，则 | a + b | =( )A.23B.35C.2 11D.354.对任意非零实数b a ,，若b a *的运算原理如图所示，那么=*⎰πsin 2xdx （ ）A. B.C. D.5.某项测量中，测量结果X ~)0)(,1(2>σσN ，若X 在)1,0(内取的概率为4.0，则X 在)2,0(內取值的概率为（ ）A. 8.0B. 4.0C. 3.0D.2.06. ,0,0>>b a 设则“122≥+b a ”是“1+≥+ab b a ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要7.已知的展开式中的第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A.128 B.64 C. 32 D.168.已知正数y x ,满足，则1log log 22++=y x z 的最大值为（ ） A.8 B.4 C. 2 D. 19.已知双曲线 上一点P 到F （3，0）的距离为6，O 为坐标原点，则15422=-y x=OQ （ ）A. 1B. 2C. 2或5D.1或5 10.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图像关于直线对称，且，则ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11.12． 已知x xxx f ln 1ln )(-+=，)(x f 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为（ ） ①00)(x x f <；②00)(x x f =；③00)(x x f >；④ 21)(0<x f ；⑤21)(0>x f .A ．①④B ．②④C ． ②⑤D ．③⑤第二卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.若焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cos C 的值是 ．15.在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B 的平面角为060时，则=BD ．16.已知数列{}n a 的通项公式为,15+=n n a 数列{}n c 的通项公式为nn n a c )2(-+=λ，若数列{}n c 递增，则λ的取值范围是 .三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f (x ) = cos 2(x + π12)，g (x ) = 1 + 12 sin 2x .(1) 设x = x 0是函数y = f (x )图像的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2) 求函数h (x ) = f (x ) + g (x )，x ∈[ 0 , π4]的值域.1222=+my x 213π=x 0)12(=πf18．(本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。
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2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)>0}则C R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2.已知复数z=1+i，则|z2−1|=()A. 5B. 2√5C. √5D. 23.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为()A. √(π+4)2+1B. √π2+1C. √4π2+1D. √374.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.已知△ABC的三个顶点是A(−a,0)，B(a,0)和C(a2,√32a)，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.下列函数图象不是轴对称图形的是()A. y=1xB. y=cosx，x∈[0,2π]C. y=√xD. y=lg|x|7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计m73SA. 10，38B. 17，45C. 10，45D. 17，388. 一个圆经过以下两个点B(−3,0)，C(0,−2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )A.B. x 2+(y ±54)2=(134)2 C. x 2+(y −54)2=134D. x 2+(y −54)2=(134)29. 已知F 1(−8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|−|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A. 3518 B. 2536 C. 25144 D. 257211. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. √151512. 已知函数f(x)=k(x −lnx)−e x x，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−∞,e)C. (−∞,e]D. (−∞,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.f(x)=(2−x)e2x的单调递增区间是__________．)5的展开式中x4的系数为________．14.(x2+2x15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台底部连线成30o角，则两船的距离是__________．16.已知函数f(x)=axlnx−e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设f(x)=6cos2x−√3sin2x．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；α的值．(2)若锐角α满足f(α)=3−2√3，求tan4518.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．19.已知函数(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．20. 已知函数，f(x)=log 2x −x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n=2,(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ).21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√22． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(1,−√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥7−|x−1|；(2)若f(x)≤2的解集为[−1,3]，m+2n=2mn−3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．解：由(x−2)(x+1)>0得x>2或x<−1，∴A={x|x<−1或x>2}，∴C R A={x|−1≤x≤2}．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2−1，再根据复数模的求法即可求得结果．解：由复数z=1+i，得z2−1=(1+i)2−1=2i−1，所以|z2−1|=√22+(−1)2=√5．故选：C．3.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，×2π×r=π，圆柱部分的底面弧长为14其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，故选A．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a2)(√3a2)=√3a，|BC|=a2)(√3a2)=a，所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，故选C．6.答案：C解析：解：对于A，y=1x为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=−x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，对于C：y=√x不是轴对称图形，对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，故选：C．根据常见函数的图象即可判断本题考查了函数的图象和性质，属于基础题7.答案：B解析：本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解．解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．8.答案：D解析：本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ， 则圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2， 则{9+b 2=r 2(b +2)2=r 2, 解得b =54，r 2=16916，∴圆的标准方程为x 2+(y −54)2=(134)2． 故选D ．9.答案：D解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|−|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．10.答案：C解析：根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB 的方程为6x −3y −4=0中， 令x =1得A(1,23)， 令y =−1得B(16,−1)． ∴三角形ABC 的面积为S =12AC ×BC =12×(1+23)(1−16)=2536∵图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25364=25144．故选：C ．11.答案：D解析：本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，根据条件可求以下几点坐标：A(1,0，0)，B 1(0,1，√22)，B(0,0，√22)，C 1(0,1，0)；∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,√22)；∴cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−12√1+24×√1+1+24=√1515．∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515．故选D ．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，令ℎ(x)=e x x，根据函数的单调性结合ℎ(x)=e x x的图象，求出k 的范围即可． 解：函数f(x)=k(x −lnx)−e x x(k ∈R )，∴f ′(x)=(x−1)(kx−e x )x 2，x ∈(0,+∞)；令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，设，则ℎ′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2，由ℎ′(x)>0，得x >1； 由ℎ′(x)<0得0<x <1．当x =1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e ． 作出函数ℎ(x)=e x x的图象如图所示：结合函数ℎ(x)的图象，则k <e 时，函数f(x)只有一个极值点x =1；k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；k>e时不满足条件，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(−∞,e]．故选C．13.答案：(−∞,32)解析：f′(x)=−e2x+2(2−x)e2x=e2x(3−2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3−2x)>0得x<32.即f(x)的单调递增区间为(−∞,32)．本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．15.答案：30米解析：本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，由余弦定理可得：AB2=DA2+DB2−2DA·DBcos30°=900．∴AB=30米(负值舍去)．故答案为30米．16.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx+a−e x=a(lnx+1)−e x，令f′(x)=0，即a(lnx+1)−e x=0，解得x=0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．−√3sin2x17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x2=3cos2x −√3sin2x +3 =2√3(√32cos2x −12sin2x)+3=2√3cos(2x +π6)+3故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =2π2=π(2)由f(α)=3−2√3得2√3cos(2α+π6)+3=3−2√3， 故cos(2α+π6)=−1又由0<α<π2得π6<2α+π6<π+π6，故2α+π6=π，解得α=512π． 从而tan 45α=tan π3=√3．解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ⊂B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1(2)证明：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ⊂面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，，∴f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=92−a；当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，；当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=e22−(a+1)e+5+a，综上所述，当a≤1时，f(x)min=92−a；当1<a<e时，；当a≥e时，f(x)min=e22−(a+1)e+5+a解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．20.答案：解：(I)∵a n+1a n =2，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2×2n−1=2n；(II)由(I)可得f(a n)=log22n−2n+1=(n+1)−2n，∴f(a1)+f(a2)+⋯+f(a n)=[2+3+⋯+(n+1)]−(2+22+⋯+2n]=n(n+3)2−2n+1+2．解析：(I)根据a n+1a n=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；(II)由(I)可得f(a n )=log 22n −2n +1=(n +1)−2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，∴PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x,−y )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−y 0)， ∵2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 0=x ，y 0=2√3y3， 代入圆的方程得，x 2+43y 2=4， 即x 24+y 23=1，故动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (−2,0)， ∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DA ⊥DB ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，…①∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1x 1+2×y 2x 2+2=−1， 即−y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2−16km +4k 2=0，得： (7m −2k )(m −2k )=0，即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +27)，或y =k (x +2)， 当直线l 的方程为y =k (x +27)时，l 过定点(−27,0)；满足Δ>0当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(−2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾． 故直线l 的方程为y =k (x +27)，过定点(−27,0)．解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为−1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．22.答案：解：(1)因为，所以，将，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8； 因为直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t, 消去参数t 得x +√3y +2=0，所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,−√3)在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 可得5t 2−12√3t −4=0，设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=12√35，t 1t 2=−45， 于是1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4√2.解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，利用参数的几何意义，求1|PA |+1|PB |的值．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|，f(x)≥7−|x −1|，即|x +1|+|x −1|≥7，故{x ≥1x +1+x −1≥7或{−1<x <1x +1+1−x ≥7或{x ≤−1−x −1+1−x ≥7, 解得：x ≥72或x ≤−72，故不等式的解集是(−∞,−72]∪[72,+∞)；(2)令f (x )≤2，即|x −a|≤2，解得−2+a ≤x ≤2+a ， 由f (x )≤2的解集是[−1,3]，易得a =1，m +2n =2mn −3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ， 当且仅当m =2n =3时“=”成立， 故(m+2n 2)2≥(m +2n)+3，∴m +2n ≥6．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。