数列的概念与简单表示法讲义
8
已知数列
an
满足
a1=1,an+1=ana+n 2(n∈N*),若
bn+1=(n-2λ)·
1 +1
an
(n∈N*),b1=-32λ,且数列 bn
是递增数列,则实数λ的取值范围是 ( )
A.
λ<4
5
B.λ<1
C.λ<3
2
D.λ<2
.
题组二 常错题 ◆索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集 N*或其子集{1,2,…,n};求数列前 n 项 和 Sn 的最值时忽视项为零的情况;根据 Sn 求 an 时忽视对 n=1 的验证.
4.在数列-1,0,19,18,…,nn-22中,0.08 是它的第
项.
5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前 n 项和 Sn 取最大值时,n=
(2)用 n-1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系式,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2,n∈N*时的 通项;
(3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2,n∈N*时 an 的表达式,如果符合则可以把数列的
通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.
.
(2)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,则通项公式为
an=
.
[总结反思]
已知 Sn 求 an 的常用方法是利用 an=
S1,n = 1, Sn-Sn-1,n
≥
2转化为关于
an
的关系式,再求通
项公式.主要分三个步骤完成:
(1)先利用 a1=S1,求得 a1;
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联 想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过 常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于 n 为一次 递增或以 2n,3n 等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同, 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替 出现的情况,可用(-1)n 或(-1)n+1,n∈N*来处理.
式题 (1)数列15,24,35,48,63,…的一个通项公式为
.
2 5 10 17 26
(2)数列1,-4,9,-16,…的一个通项公式可以为
.
3 57 9
探究点二 由 an 与 Sn 求通项公式 an
2 (1)已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+n2+1(n∈N*),则通项公式为 an=
1 2
n
-1,则数列
an
的最大项为
.
5.【考向 2】若 an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{an}为递增数列,则实数λ的取值
范围为
.
探究点四 由数列的递推关系式求通项公式
考向 1 形如 an+1=an+f n ,求 an
5
若数列
an
满足
a1=1,且对于任意的
n∈N*都有
an+1=an+n+1,则a11
)
A.an=n+2 1
B.an=n1-1
C.an=n+n1 D.an=n+11
3.【考向 3】 在数列 an 中,a1=3,且点 Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线 4x-y+1=0 上,则数列 an 的通项
公式为
.
4.【考向 1】已知数列 an 满足 an+1-an=2n,且 a1=1.求数列 an 的通项公式.
7 已知数列 an 满足 an+1=3an+2,且 a1=2.
(1)求证:数列 an + 1 是等比数列;
(2)求数列 an 的通项公式.
[总结反思] 形如 an+1=pan+q 的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为 p 的等比数列 {an+x},即将原递推关系式化为 an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an} 的通项公式.
2 4 8 16
A.an=(-1)n·2n2+n 1
B.an=(-1)n·2n2+n 1
C.an=(-1)n+1·2n2+n 1
D.an=(-1)n+1·2n2+n 1
(3)数列 an 的前几项为 7,77,777,7777,…,则此数列的通项公式可能是
.
[总结反思] 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:
强化演练 1.【考向 2】已知 a1=2,an+1=2nan,则数列 an 的通项公式 an 等于 ( )
n2-n+1
A.2 2
n2+n+1
B.2 2
n2-n+2
C.2 2
n2-n-2
D.2 2
2.【考向 4】已知数列{an}满足 a1=1,an+1=a2na+n2 (n∈N*),则数列{an}的通项公式为 (
数列的概念与简单表示法讲义
1.数列的有关概念 有关概念 数列 数列的项
数列的通项 通项公式 前 n 项和
定义
按照
排列的一列数
数列中的
数列{an}的第 n 项 an
数列{an}的第 n 项 an 与
之间的关系式
数列{an}中,Sn =
2.数列的表示法 表示法 列表法
图像法
通项公式 公式法
递推公式
定义
通过表格表示 n 与 an 的对应关系 用平面直角坐标系内的
4 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3n(λ-n)-6,若 an 为递减数列,则λ的取值范围是 ( )
A. -∞,2
B. -∞,3 C. -∞,4
D. -∞,5
[总结反思] 数列的单调性是数列最重要的性质之一,它在求参数的取值范围、证明不等式及 恒成立等问题中有着广泛应用.应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常 用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用 比较法判断.
像,或利用求函数最值的方法,求出 f x 的最值,进而求出数列的最大(小)项;
(2)通过通项公式 an研究数列的单调性,利用
an an
≥ ≥
aann-+11, (n≥2)确定最大项,利用
an an
≤ ≤
aann-+11, (n≥2)
确定最小项.
(3)比较法:
若有 an+1-an=f(n+1)-f(n)>0
或
an>0
时,an+1>1
an
,则 an+1>an,则数列{an}是递增数列,所以数列{an}
的最小项为 a1=f(1);
若有 an+1-an=f(n+1)-f(n)<0
或
an>0
时,an+1<1
an
,则 an+1<an,则数列{an}是递减数列,所以数列{an}
的最大项为 a1=f(1).
考向 2 单调性的应用
3.【考向 2】设函数 f x =
1 2
x
-1,x
< 2,数列{an}的通项公式为 an=f
n
(n∈N*),若数列
an
是递
(k-2)x,x ≥ 2,
减数列,则实数 k 的取值范围为 ( )
A. -∞,2
B.
-∞,
13 8
C.
-∞,
7 4
D.
13 8
,2
4.【考向 1】数列
an
的通项公式为 an=(2n+1)
y轴
一系列孤立的点表示
an= an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1)
3.数列的分类 分类原则 类型
递增数列 单调性 递减数列 n∈N*
常数列
周期性 周期数列
有界数列 其他标准
摆动数列
4. an 与 Sn 的关系
满足条件
an+1=an 对 n∈N*,存在正整数常数 k,
使 an+k = 存在正数 M,使 从第 2 项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项
式题 (1)已知数列 an 的前 n 项和 Sn=13n2+23,则通项公式为 an=
.
(2)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则数列 an 的通项公式为 an=
.
探究点三 数列的函数特征 考向 1 求最大(小)项
3
(1)
已知 an=nn--
2017(n∈N*),则在数列
3
[总结反思] 形如 an+1=BaAna+n C(A,B,C 为常数)的递推关系式求通项公式时,一般对递推式两边同
时取倒数,化为 1 +x=C 1 + x 的形式,构造公比为C的等比数列 1 + x ,通过求 1 + x 的通项
an+1
A an
A
an
an
公式从而求出{an}的通项公式,其中用待定系数法求 x 是关键.
知识讲解_数列的概念与简单表示法_基础
数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
数列的概念与简单表示法 课件
由数列的前几项求通项公式
[典例]
(1)数列
3 5
，
1 2
，
5 11
，
3 7
，…的一个通项公式是
________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：35，48，151，164，…，分子满足：3 ＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的 项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整 数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且 为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如 果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是 不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不 同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－ 1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
分类标准 名称
含义
按项的 个数
按项的变 化趋势
有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列
项数_有__限__的数列 项数_无__限__的数列
从第_2_项起，每一项都_大__于__它的前 一项的数列
从第_2_项起，每一项都_小__于__它的前 一项的数列
_各__项__相__等__的数列 从第_2_项起，有些项_大__于__它的前一 项，有些项小__于__它的前一项的数列
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。
在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。
本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。
一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。
一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。
通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。
以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。
而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。
另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。
这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。
三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。
这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。
1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。
例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。
数列的概念与简单表示法 课件
(4)将数列各项改写为93，939，9939，9 9399，…，分母都是 3， 而分子分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以 an＝13(10n－1)．
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析， 抓住以下几方面的特征：
【解】 (1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10. (2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5 ＝2n＋3. ∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
1．数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的 关系，只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去 列方程．若方程有正整数解则是数列的一项；若方程无解或解不是 正整数，则不是该数列的一项．
将数列的通项变为“an＝n2＋2n－5”，第(2)问改为“判断数 列{an}的单调性”．
【解】 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，…， 所以 an＝2n2－n 1.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的 数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为 2 ＋1，所以 an＝(－1)n·2＋n－1n.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列 是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数 列是________．(将合理的序号填在横线上)
《数列的概念与简单表示法》课件
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
《数列的概念与简单表示法》课件
等差数列
基本概念
等差数列是指一个数列中任意两 项之间的差值都相等。
通项公式
等差数列的通项公式可以用来表 示数列中任意一项的公式。
前n项和公式
等差数列的前n项和公式可以用 来计算数列的前n项和。
等比数列
1
基本概念
等比数列是指一个数列中任意两项之间
通项公式
2
的比值都相等。
等比数列的通项公式可以用来表示数列
中任意一项的公式。
3
前n项和公式
等比数列的前n项和公式可以用来计算数 列的前n项和。
数列的应用
等差数列的实际应用
等比数列的实际应用
斐波那契数列的应用
等差数列可以用来表示各种实际 问题，例如等差数列的应用问题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等比数列可以用来表示各种实际 问题，例如等比数列的应用问题。
斐波那契数列在自然界中有许多 有趣的应用，例如植物叶子的排 列方式。
《数列的概念与简单表示 法》课件
欢迎来到《数列的概念与简单表示法》课件！通过本课件，我们将一起探索 数列的基本概念、常见表示方法以及它们在实际问题中的应用。让我们开始 吧！
数列的基本概念
定义
数列是按照一定的规律排列 的一组数。
分类
数列可以根据增减规律分类 为等差数列、等比数列等。
通项公式
通项公式可以用来表示数列 中任意一项的公式。
总结
1 基本概念与表示方法
我们学习了数列的基本概念以及等差数列和等比数列的表示方法。
2 在实际问题中的应用
数列在实际问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种数学和科学难题。
3 拓展学习和进一步发展
数列是数学中的基础概念，继续学习数列的高级应用和推广可以进一步发展自己的数学 能力。
数列的概念(基础)
数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列概念，了解数列的分类；理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；2. 理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；提高观察、抽象的能力． 【知识梳理】1．数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别_________________________________________________________________2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：按项数分类：_______________ _______________按项与项间的大小关系 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 序号n 之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ， 也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 7．数列的表示形式：_________ __________ __________ 8.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .【典例精析】：【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）0，1，2，3，…。
2022高考理数复习资料讲义：第6章 数列 第1讲
第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法[考纲解读] 1了解数列的概念和几种简单的表示方法列表、图象、通项公式，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2掌握数列求通项的几种常用方法：利用S n与a n的关系求通项；利用递推关系求通项．重点、难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n 项和综合考查，涉及题型有：①由S n求a n；②由递推关系求a n；③根据a n＝fn求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{a n}的a n与S n的关系1数列{a n}的前n项和：S n＝a1＋a2＋…＋a n特别提醒：若当n≥2时求出的a n也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示a n，否则分段表示．1．概念辨析1相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．2根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．3若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．4如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n答案1×2√3√4√2．小题热身1已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是A．21B．33C．152D．153答案C解析代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C2设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为A．15B．16C．49D．64答案A解析a8＝S8－S7＝82－72＝153在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋n≥2，则a5等于答案D解析a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝4数列－，，－，，…的一个通项公式a n＝________答案n∈N*解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式a n＝n∈N*．题型知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1－1,7，－13,19，…；2,,，…；31,0，，0，，0，，0，…；4，1，，，…解1符号问题可通过－1n或－1n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n＝－1n6n－5．2将数列变形为1－，1－，1－，…，∴a n＝3把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为a n＝或a n ＝4将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为c n＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为a n＝由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法．2具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明4．⑤对于符号交替出现的情况，可用－1或－1＋1，∈N*处理．如举例说明1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：1，，，，，…；2，，－，，－，，…；3，2，，8，，…；45,55,555,5555，…解1这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n＝2数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为a n＝－1n3数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n＝4将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n＝10n－1．题型由a n与S n的关系求通项公式1．已知S n＝3n＋2n＋1，则a n＝________答案解析因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n＋2n＋1－[3n－1＋2n－1＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以a n＝2．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________答案－解析由已知得a n＋1＝S n＋1－S n＝S n S n＋1，两边同时除以S n S n＋1得－＝1，即－＝－1又∵＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴＝－1＋n－1×－1＝－n，即S n＝－条件探究1 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S n＝2a n＋1”，求a n1”改为“解依题意得S n＋1＝2a n＋1＋1，S n＝2a n＋1，两式相减得S n＋1－S n＝2a n＋1－2a n，即a n＋1＝2a n又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{a n}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，a n＝－2n－1条件探究2 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S2＝4，a n＋1＝2S n＋1”．求a n1”改为“解因为a n＋1＝2S n＋1，①所以a2＝2S1＋1，即a2＝2a1＋1又因为a1＋a2＝S2＝4，所以a1＝1，a2＝3当n≥2时，a n＝2S n－1＋1，②①－②得a n＋1＝3a n n≥2，又a2＝3a1，故数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，因此a n＝3n－1n∈N*．1．已知S n求a n的三个步骤1先利用a1＝S1求出a12用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S nn≥2时a n的表达式．－1n≥2便可求出当3对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明12．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．1利用a n＝S n－S n－1n≥2转化为只含S n，S n－1的关系式．如举例说明22利用S n－S n－1＝a n n≥2转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究1,21．2022·全国卷Ⅲ改编设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，则a n＝________答案n∈N*解析因为a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋2n－3a n－1＝2n－1．两式相减得2n－1a n＝2，所以a n＝n≥2．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝n∈N*．2．若数列{a n}的前n项和为S n首项a1>0且2S n＝a＋a n n∈N*．求数列{a n}的通项公式．解当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－，即a n＋a n－1a n－a n－1－1＝0⇒a n＝－a n－1或a n＝a n－1＋1，∴a n＝－1n－1或a n＝n题型由递推关系求通项公式角度1 形如a n＋1＝a n＋fn，求a n 1．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln，求通项公式a n 解∵a n＋1＝a n＋ln，∴a n－a n－1＝ln＝ln n≥2，∴a n＝a n－a n－1＋a n－1－a n－2＋…＋a2－a1＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2＝2＋ln＝2＋ln nn≥2．又a1＝2适合上式，故a n＝2＋ln nn∈N*．角度2 形如a n＋1＝a n fn，求a n2．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1n≥2，求通项公式a n解∵a n＝a n－1n≥2，∴a n－1＝a n－2，…，a2＝a1以上n－1个式子相乘得a n＝a1···…·＝＝当n＝1时也满足此等式，∴a n＝角度3 形如a n＋1＝pa n＋q，求a n3．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求通项公式a n解递推公式a n＋1＝2a n＋3可以转化为a n＋1－t＝2a n－t，即a n＋1＝2a n－t⇒t＝－＋1＋3＝2a n＋3，令b n＝a n＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2所以{b n}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n＝4×2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－31．叠加法求通项公式的四步骤2．叠乘法求通项公式的四步骤3．构造法求通项公式的三步骤1．数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＋a n＝2n，则通项公式a n＝________答案n∈N*解析a n＋1＋a n＝2n，∴a n＋2＋a n＋1＝2n＋2，故a n＋2－a n＝2即数列{a n}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n为偶数时，a2＝1，故a n＝a2＋2＝n－1当n为奇数时，∵a n＋1＋a n＝2n，a n＋1＝nn＋1为偶数，故a n ＝n综上所述，a n＝n∈N*．2．在数列{a n}中，a1＝3，3n＋2a n＋1＝3n－1a n n≥1，则a n＝________答案解析∵3n＋2a n＋1＝3n－1a n，∴a n＋1＝a n，∴a n ＝··…···a1＝××…×××3＝3．设{a n}是首项为1的正项数列，且n＋1·a－na＋a n＋1·a n ＝0n＝1,2,3，…，则它的通项公式a n＝________答案解析因为n＋1a－na＋a n＋1·a n＝0，所以a n＋1＋a n[n＋1a n＋1－na n]＝0又因为a n>0，所以a n＋1＋a n>0，所以n＋1a n＋1－na n＝0，即＝，n∈N*所以＝，＝，＝，…，＝，以上各式相乘得＝···…·＝又a1＝1，所以a n＝题型数列的性质及应用1．已知a n＝，那么数列{a n}是A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列答案A解析a n＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在，＋∞上是减函数，所以数列{a n}是递减数列．2．2022·大庆模拟已知数列{a n}的通项公式a n＝n＋2·n，则数列{a n}的项取最大值时，n＝________答案4或5解析因为a n＋1－a n＝n＋3n＋1－n＋2n＝n＝n·当n<4时，a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n；当n＝4时，a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n；当n>4时，a n＋1－a n<0，即a n＋1<a n所以该数列中最大项为第4项和第5项．3．2022·大兴一中模拟数列{a n}满足a n＋1＝a1＝，则数列的第2022项为________．答案解析∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝∴a3＝2a2＝∴a4＝2a3＝∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…∴该数列的周期为4∴a2022＝a3＝1．判断数列单调性的两种方法1作差比较法：a n＋1－a n>0⇔数列{a n}是单调递增数列；a n＋1－a n<0⇔数列{a n}是单调递减数列；a n＋1－a n＝0⇔数列{a n}是常数列．2作商比较法①当a n>0时，>1⇔数列{a n}是单调递增数列；<1⇔数列{a n}是单调递减数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．②当a n<0时，>1⇔数列{a n}是单调递减数列；<1⇔数列{a n}是单调递增数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法1可以利用不等式组n≥2找到数列的最大项；2利用不等式组n≥2找到数列的最小项．1．若数列{a n}满足a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，则a2022＝B．答案A解析因为a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝，a7＝＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2，所以{a n}的周期T＝6，所以a2022＝a6×336＋3＝a3＝2．已知数列{a n}的通项为a n＝，则数列{a n}的最大项的值为不存在答案C解析a n＝＝，函数y＝＋在0，上单调递减，在，＋∞上单调递增．且7<<8当n＝7时，n＋＝7＋＝15，当n＝8时，n＋＝8＋＝15<15，所以n＋的最小值为15所以n＝8时，数列{a n}的最大项的值为。