数据的概括性度量数据特征的描述
【统计学】4.数据的概括性度量
【统计学】4.数据的概括性度量【统计学】4.数据的概括性度量4.1 集中趋势的度量4.2 离散程度的度量4.3 偏态与峰态的度量学习⽬标1.集中趋势各测度值的计算⽅法2.集中趋势各测度值的特点及应⽤场合3.离散程度各测度值的计算⽅法4.离散程度各测度值的特点及应⽤场合5.偏态与峰态的测度⽅法6.⽤excel 计算描述统计量并进⾏统计4.1 集中趋势的度量集中趋势（central tendency ）1.⼀组数据向其中⼼值靠拢的倾向和程度，反映了⼀组数据中⼼点位置所在2.测度集中趋势就是寻找数据⽔平的代表值或中⼼值3.不同类型的数据不同的集中趋势测度值4.低层次数据的测度值适⽤于⾼层次的测量数据，但⾼层次的数据的测度值并不适⽤于低层次的测量数据4.1.1 分类数据：众数众数（mode ）1.⼀组数据中出现次数最多的变量值2.⼀般仅适合数据量较多时使⽤3.不受极端值得影响4.⼀组数据可能没有众数或有⼏个众数（众数可能不唯⼀也可能不存在）5.主要⽤于分类数据（分类数据只对应分类的频数），也可⽤于顺序数据和数值型数据4.1.2 顺序数据：中位数和分位数中位数（median ）1.⼀组数据排序后处于中间位置上的值2.中位数不受极端值的影响3.中位数主要⽤于顺序数据，也可⽤于数值型数据，但不适⽤于分类数据中位数（位置和数值的确定）排序位置确定n +12数值确定M e =x (n +12),n 为奇数12[x (n2)+x (n2+1)],n 为偶数因此中位数不⼀定是原数据中的某个变量值四分位数（quartile）1.排序后处于25%和75%位置上的值2.不受极端值的影响3.计算公式Q L 位置=n4,Q U 位置=3n4,4.如果是在0.25或0.75的位置上，则四分位数等于该位置的下侧值加上按⽐例分摊位置两侧数值的差值（加权平均数概念）{{4.1.3 数值型数据：平均数平均数（mean ）1.也称为均值2.集中趋势的最常⽤测度值3.⼀组数据的均衡点所在4.体现了数据的必然性5.易受极端值的影响6.有简单平均数和加权平均数之分7.根据总体数据计算，称为平均数，即为µ，根据样本数据计算的，称为样本平均数，即为x 简单平均数（算数平均数）设⼀组数据为：x 1,x 2,...x n (总体数据x N )样本平均数¯x =x 1+x 2+...+x n n =∑n i =1x i n 总体平均数µ=x 1+x 2+...+x N N =∑Ni =1x iN加权平均数（Weighted mean ）设各组的组中值为:M 1,M 2,...,M k 相应的频数为：f 1,f 2,...f k 样本加权平均¯x =M 1f 1+M 2f 2+...M k f kf 1+f 2+...+f k=∑k i =1M i f in总体加权平均µ=M 1f 1+M 2f 2+...M k f kf 1+f 2+...+f k=∑⼏何平均数（geometric mean ）1. n 个变量值乘积的n 次⽅根2. 适⽤于对⽐率数据的平均3. 主要⽤于计算平均增长率4. 计算公式为G =nx 1×x 2×...×x n =nn∏i =1xi4.1.4众数、中位数和平均数的⽐较1. 众数不受极端值影响具有不唯⼀性数据量较⼤时众数才有意义数据分布偏斜程度较⼤且有明显峰值时应⽤2. 中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较⼤时应⽤3. 平均数利⽤了全部数据信息，数学性质优良易受极端值影响数据对称分布或接近对称分布时应⽤4.2 离散程度的度量离中趋势1.数据分布的⼀个重要特征2.反映各变量值远离其中⼼值的程度（离散程度）3.从另⼀个侧⾯说明了集中趋势测度值的代表程度4.不同类型的数据有不同的离散程度测度值4.2.1 分类数据：异众⽐率异众⽐率（variation ratio ）1. 对分类数据离散程度的测度2. ⾮众数组的频数占总频数的⽐例3. 计算公式v r =∑f i −f m ∑f i=1−f m∑f i4.⽤于衡量众数是否具有代表性4.2.2 顺序数据：四分位差四分位差（quartile deviation ）1. 对顺序数据离散程度的测度2. 也称为内距或四分间距3. 上四分位数与下四分位数之差Q d =Q U −Q L4. 反映了中间50%数据的离散程度5. 不受极端值影响√√6. ⽤于衡量中位数是否具有代表性4.2.3 数值型数据：⽅差和标准差极差（range）1. ⼀组数值型数据的最⼤值和最⼩值之差2. 离散程度的最简单测度值3. 易受极端值影响4. 未考虑数据的分布，数据利⽤率低5. 计算公式为R=max(x i)−min(x i)标准差（mean deviation）1. 各变量值与其平均数离差绝对值的平均数2. 能全⾯反映⼀组数据的离散程度3. 数学性质差，实际应⽤较少4. 计算公式未分组数据M d=∑n i=1|x i−¯x|n组距分组数据Md=∑k i=1|M i−¯x|fin⽅差和标准差(variance and standard deviation)1. 各变量与其平均数离差平⽅的平均数2. 数据离散程度的最常⽤测度值3. 反映了各变量与均值的平均差异4. 根据总体数据计算的，称为总体⽅差（标准差）σ2(σ)根据样本数据计算的，称为样本⽅差(标准差)s2(s)⽅差的计算公式未分组数据s2=∑n i=1(x i−¯x)2n−1组距分组数据s2=∑k i=1(M i−¯x)2fin−1标准差的计算公式未分组数据s=∑n i=1(x i−¯x)2n−1组距分组数据s=∑k i=1(M i−¯x)2fin−1为什么是除以n-1⽽不是n？⾃由度（degree of freedom）1. ⾃由度是指数据个数与附加给独⽴观测值的约束或限制的个数之差2. 从字⾯涵义看，⾃由度是指⼀组数据中可以⾃由取值的个数3. 当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以⾃由取值，其中必有⼀个数据不能⾃由取值。
数据的概括性度量数据特征的描述
Hm
Mi fi Mi fi
Mi
Mi fi fi
2024/9/29
30
例题分析：调和平均数
【例4.10】某蔬菜批发市场三种蔬菜旳日成交数 据如下表，计算三种蔬菜该日旳平均批发价格.
解:由公式
Hm
M i fi Mi fi Mi
Mi fi fi
所以H m
成交额
成交额 批发价格
n
lg Gm
1 n
(lg
x1
lg
x2
lg xn )
lg xi
i 1
n
2024/9/29
32
例题分析
【例4.11】某水泥生产企业1999年旳水 泥产量为100万吨，2023年与1999年相比 增长率为9%，2023年与2023年相比增长 率为16%，2023年与2023年相比增长率为 20%。求各年旳年平均增长率。
7
集中趋势(Central tendency)
集中趋势:一组数据向其中心值靠拢旳倾 向和程度.测度趋势就是寻找数据水平旳 代表值或中心值。
注意：不同类型旳数据用不同旳集中趋势测 度值；低层次数据旳测度值合用于高层次 旳测量数据，但高层次数据旳测度值并不 合用于低层次旳测量数据。
2024/9/29
8
位置 n 1 9 1 5 Me 1080
22
2024/9/29
17
2）10个家庭旳人均月收入数据
排 序: 660 750 780 850 960 1080
1250 1500 1630 2023
位 置: 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10
位置 n 1 10 1 5.5
2
Gm n x1 x2 xn
统计学第4章学习指导
第4章（数据的概括性度量）学习指导数据分布的特征可以从三个方面进行描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布偏斜程度和峰度。
掌握计算、特点及其应用场合。
主要内容学习要点2．1 集中趋势的度量众数▶概念：众数。
▶众数的特点。
中位数和分位数▶概念：中位数，四分位数。
▶中位数和四分位数的特点。
▶中位数和四分位数的计算。
平均数▶概念：平均数，简单平均数，加权平均数，调和平均数，几何平均数。
▶简单平均数和加权平均数的计算。
▶用Excel中的统计函数计算平均数。
▶几何平均数的计算和应用场合。
众数、中位数和平均数的比较▶众数、中位数和平均数在分布上的关系。
▶众数、中位数和平均数的特点及应用场合。
异众比率▶概念：异众比率异众比率的计算和应用场合。
2．2离散程度的度量四分位差（内距）概念：四分位差。
四分位差的计算。
用Excel中的统计函数计算四分位差。
方差和标准差概念：极差，平均差，方差，标准差。
样本方差和标准差的计算。
用Excel计算标准差。
离散系数概念：离散系数。
离散系数的计算。
离散系数的用途。
2．3偏态与峰态的度量偏态及其测度概念：偏态，偏态系数。
用Excel计算偏态系数。
偏态系数数值的意义。
峰态及其测度概念：峰态，峰态系数。
用Excel计算峰态系数。
峰态系数数值的意义。
Excel统计函数的应用。
一）判断题1，各变量值与其平均数的离差之和为最小值。
( )2．当各组的变量值所出现的频率相等时，加权算术平均数中的权数就失去作用，因而，加权算术平均数也就等于简单算术平均数( )3．比较两总体的平均数的代表性，离散系数较小的总体，平均数代表性亦小。
( )4，平均数与次数和的乘积等于各变量值与次数乘积的和。
( )5．若两总体的平均数不同，而标准差相同，则离散系数也相同。
( )6．并非任意一个变量数列都可以计算其算术平均数、中位数和众数。
统计学第四章-数据的概括性度量
class), or two or more modes (or modal class). 数据集可能有一个众数（组），或两（多）个众数
（组）。
The modal class 众数组
(计算公式)
Me
1X2NX21N2
XN21
当N为奇数时 当N为偶数时
数值型未分组数据的中位数
(5个数据的算例)
位 置 N1513 22
中位数 22
数值型未分组数据的中位数
(6个数据的算例)
原始数据: 10 5 9 12 6 8 排 序: 5 6 8 9 10 12 位 置: 1 2 3 4 5 6
零
n
(xi x) 0
i1
2）. 各变量值与均值的离差平方和最小
n
(xi x)2 min
i1
（二）、调
和平均数 是总体各单位标志值倒数的算术平
harmean （harmonic mean）
均数的倒数，又叫倒数平均数
【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平 均数可由定义计算如下：
⒈求各标志值的倒数 ： 1 ，1 ，1 ，1
第四章 数据的概括性度量
4.1 集中趋势度量 4.2 离散程度的度量 4.3 偏态与峰态的度量
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度) 偏态和峰度 （形状）
4.1 集中趋势的度量
4.1.1. 分类数据：众数 4.1.2. 顺序数据：中位数和分位数 4.1.3. 数值型数据：均值 4.1.4. 众数、中位数和均值的比较
2. 相邻两组的频数相等时，众不相等时，众数采用 下列近似公式计算
贾俊平统计学 第七版 课后思考题
第一章导论1.什么是统计学？统计学是搜集、处理、分析、解释数据并从中得出结论的科学。
2.解释描述统计与推断统计。
描述统计研究的是数据搜集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计研究的是如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？按照计量尺度可分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照数据的搜集方法，可以分为观测数据和试验数据；按照被描述的现象与实践的关系，可以分为截面数据和时间序列数据。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义。
分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据；顺序数据是只能归于某一有序类别的非数字型数据；数值型数据是按照数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念。
总体是包含所研究的全部个体的集合，样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量，变量是用来说明现象某种特征的概念。
6.变量可分为哪几类？变量可分为分类变量、顺序变量和数值型变量。
分类变量是说明书屋类别的一个名称，其取值为分类数据；顺序变量是说明十五有序类别的一个名称，其取值是顺序数据；数值型变量是说明事物数字特征的一个名称，其取值是数值型数据。
7.举例说明离散型变量和连续型变量。
离散型变量是只能去可数值的变量，它只能取有限个值，而且其取值都以整位数断开，如“产品数量”；连续性变量是可以在一个或多个区间中取任何值的变量，它的取值是连续不断的，不能一一列举，如“温度”等。
第二章数据的搜集1.什么是二手资料？使用二手资料需要注意些什么？与研究内容有关、由别人调查和试验而来、已经存在并会被我们所利用的资料为二手资料。
使用时要评估资料的原始搜集人、搜集目的、搜集途径、搜集时间且使用时要注明数据来源。
2.比较概率抽样和非概率抽样的特点。
举例说明什么情况下适合采用概率抽样，什么情况下适合采用非概率抽样。
第四版统计学课后习题答案
第四版统计学课后习题答案《统计学》第四版统计课后思考题答案第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
第三章---数据的概括性度量PPT课件
vs
s x
.
39
4.3 偏态与峰态的度量
• 4.3.1 偏态及其测度 • 4.3.2 峰态及其测度
.
40
偏态与峰态分布的形状
.
41
偏态(skewness)
1. 统计学家Pearson于1895年首次提出 2. 数据分布偏斜程度的测度
3. 偏态系数=0为对称分布
4. 偏态系数> 0为右偏分布
5. 偏态系数< 0为左偏分布
(Population variance and Standard deviation)
.
34
标准分数(standard score)
1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier) 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为
6. 偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布； 偏态系数在0.5～1或-0.5～-1之间，被认为是中 等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越 低
第 3 章 数据的概括性度量
• 集中趋势的度量 • 离散程度的度量 • 偏态与峰态的度量
.
1
数据分布的特征
.
2
3.1集中趋势(central tendency)
• 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 • 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值
或中心值 • 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 • 低层次数据的测度值适用于高层次的测量
4. 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的 约束个数为k个，自由度则为n-k
.
32
5. 样=据本5可。有以当3自个由x数取=值值5，确，即定另x后1一=2，个，x则x1，2=不4x能，2和x自x3=3由有9，取两则值个数，x 比取其如他x1=值6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能
第章数据的概括性度量
另一总体同类指标数值
• 甲公司2006年中期报告主营业务利润 7539万元，而乙公司2006年中期报告主营 业务利润4 510.6万元。则：
乙公司2006年中期主营利润 为甲公司的百分比
=
=
乙公司2006年中期主营利润
甲公司2006年中期主营利润
4 510.6 7 539
=3
2788693568人7人×1
000
‰
= 7.64‰
2006年人口自然增长率 = 18.23‰ - 7.64‰ = 10.59‰
• A公司2006年中期报告净利润为4 021万 元，净资产为36 569万元。则：
2006年中期净资产收益率 =
2006年中期净利润 2006年中期净资产
=
4 021万元 36 569万元
第章数据的概括性度量
综合指标
• 经过统计整理，将大量反映总体单位数量 特征的原始资料进行加工、汇总，可以得到反 映社会经济现象总体数量特征的统计指标，即 综合指标。 • 统计上常用综合指标对社会经济现象的数 量方面进行分析，这种分析方法叫综合指标法。 • 利用综合指标法可分析研究现象的总量、 相对水平、平均水平和变异情况。
非常不满意
24
8
不满意
108
36
一般
93
31
满意
45
15
非常满意
30
10
合计
300
100.0
解：这里的数据为顺 序数据。变量为“回 答类别”
甲城市中对住房 表示不满意的户数最 多，为108户，因此 众数为“不满意”这 一类别，即
Mo＝不满意
由组距数列确定众数
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2020/4/28
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰态
6
第1 节 集中趋势的度量
一. 分类数据：众数 二. 顺序数据：中位数和分位数 三. 数值型数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较
2020/4/28
7
集中趋势(Central tendency)
2020/4/28
13
2、中位数位置的确定
设一组数据为： x1,x2,,xn, 按从小到大排列为： x(1),x(2),,x(n),
中位数位 n置 1 2
其中பைடு நூலகம்为数据个数
2020/4/28
14
3、中位数数值计算公式
数值的确定 Me
x
n1 2
12x
n 2
x
n1 2
n为奇数 n为偶数
2020/4/28
1080 排 序: 750 780 850 960
1250 1500 1630 2000
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
位置 n1915 Me 1080
22
2020/4/28
17
2）10个家庭的人均月收入数据
排 序: 660 750 780 850 960 1080
1250 1500 1630 2000
10
例4.2
2020/4/28
解：这里的变量为“饮料 品牌”，这是个分类变量 ，不同类型的饮料就是变 量值。
在所调查的50人中， 购买可口可乐的人数最多 ，为15人，占总被调查 人数的30%，因此众数为 “可口可乐”这一品牌， 即
Mo＝可口可乐
11
例4.3
2020/4/28
解：这里变量为“回答类 别”，该数据为顺序数据 。甲城市中对住房表示不 满意的户数最多，为108 户，因此众数为“不满意 ”这一类别，即
1、教学重点：集中趋势各测度值的的特点及计算 方法；离散程度各测度值的的特点及计算方法。
2、教学难点：各测度值的的特点及计算。
2020/4/28
2
三、教学过程与内容
利用图表显示数据，可以对数据分布特征 和规律有一个大概的了解，但要全面把握 数据的特征和规律，还需要找出反映数据 分布特征的代表值。
一般来说，数据分布的特征可以从三个方 面进行测度和描述。
2020/4/28
3
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
集中趋势：反映各数据向其中心靠拢和聚 集的程度
离散程度 (离中趋势)
离散程度：反映各数据远离中心的趋势
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4
分布形状 （偏态和峰态）
分布形状：反映数据分布的偏态和 峰态
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5
数据分布特征的测度
数据特征的测度
集中趋势
第 4 章数据的概括性度量
第1 节 集中趋势的测度 第2节 离散程度的测度 第3 节 偏态与峰态的测度
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1
一、教学目的与要求
掌握集中趋势各测度值的计算方法；
掌握集中趋势各测度值的特点及应用场合； 掌握离散程度各测度值的计算方法；
掌握离散程度各测度值的特点及应用场合； 了解偏态与峰态的测度方法 会用Excel计算描述统计量并进行分析 二、教学重点与难点
QL = 不满意 QU = 一般
21
数值型数据的四分位数
9个家庭的人均月收入数据
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630
排 序: 2000
位 置:
750 780 850 960 1080 1250 1500 1630
1 2 3 4 5 6 7 8
位 置: 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10
位 置 n110 15.5 22
Me 960210801020
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18
（二）四分位数(quartile)
1、四分位数定义
四分位数：排序后处于25%和75%位置上的值。它不 受极端值的影响。
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
注意：主要用于顺序数据，也可用于数值型数
集中趋势:一组数据向其中心值靠拢的倾 向和程度.测度趋势就是寻找数据水平的 代表值或中心值。
注意：不同类型的数据用不同的集中趋势测 度值；低层次数据的测度值适用于高层次 的测量数据，但高层次数据的测度值并不 适用于低层次的测量数据。
2020/4/28
8
一、众数
众数：出现次数最多的变量值。它不受极端
Mo＝不满意
12
二、中位数和分位数
（一）中位数(median)
1、中位数定义
中位数：排序后处于中间位置上的值。一般用
Me表示。
50%
50%
Me
注意：它不受极端值的影响.主要用于顺序 数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数
据。各变量值与中位数的离差绝对值之和最小， 即
n
xi Me min
i1
据，但不能用于分类数据。
2020/4/28
19
2、四分位数位置的确定
Q
L
位置
Q
U
位置
n 4
3n 4
注:见 P90
2020/4/28
20
2020/4/28
3）例题分析
顺序数据的四分位数
解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3×300)/4 =225
从累计频数看， QL在“ 不满意”这一组别中； QU 在“一般”这一组别中。因 此
15
2020/4/28
例4.4求下述问题的中位数 （顺序数据的 例题分析）
解：中位数的位 置为:
中位数位n置 13001 22
15.50
从累计频数看， 中位数在“一般 ”这一组别中。
因此:
Me=一般
16
例4.5求下列数值型数据的中位数
(9个数据的算例)
1）9个家庭的人均月收入数据
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630
9 Q L 位 9 4 置 2 .25 Q U 位 3 置 4 9 6 .75
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即QL在第2个数值（780）和第3个数值 （850）之间0.25的位置上，所以：
Q L 7 8 ( 80 5 7) 0 8 0 .2 0 7 5.5 9 ( 元 7 ）
因为QU在第6个数值（1250）和第7个数 值(1500)之间0.75的位置上，所以：
值的影响。一般用M0 表示
注意：一组数据可能没有众数或有几个众数； 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和 数值型数据。
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例4.1
原始数据: 10 5 9 12 6 8 无众数
原始数据: 6 5 9 8 5 5
一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
多于一个众数
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