(4)高中数学不等式典型例题解析、恒成立、均值不等式的运用

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，

则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d

>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或

>

4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。如

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______

（答：137x y ≤-≤）；

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a

c

的取值范围是______

（答：12,2⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2

1

log log 21+t t a a 和的大小

（答：当1a >时，

11log log 22

a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11

log log 22

a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1

2

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

（答：p q >）；

（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当4

13

x <<时，1+3log x ＜

2log 2x ；当4

3

x =时，1+3log x ＝2log 2x ）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是

A 、1

y x x =+的最小值是2

B

、2y =的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x =-->

的最大值是2-

D 、4

23(0)y x x x

=-->

的最小值是2-

（答：C ）；

（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______

（答：3+）；

4.常用不等式有：（1

2211

a b a b

+≥≥+(根据目标不等式左右

的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222

a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c

==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如

如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：21111111

1(1)(1)1n n n n n n n n n

-

=<<=-++--

=

<<=如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y

x a y b

>

++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：l g l g l g l g l g l g

222

a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；

(6)若*n N ∈，求证：(1)n +

(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||

||||

a b a b a b a b -+≤

-+； （8）求证：222111

1223n

++++< 。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；

（2）不等式(0x -≥的解集是____

（答：{|3x x ≥或1}x =-）； （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥

的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x > 的解集为______

（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）； （4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值

至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

（答：81

[7,)8

）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式2

5123

x

x x -<--- （答：(1,1)(2,3)- ）；

（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ）.