模糊综合评价方法的理论基础
模糊综合评判法(原理)
05
多因素综合评判
根据权重和隶属度，对所有因素进行加权平均，得出 最终的综合评判结果。
02
模糊集合与隶属函数
模糊集合的概念
模糊集合
在经典集合论中，一个对象要么完全 属于某个集合，要么完全不属于该集 合。但在模糊集合中，一个对象可以 部分地属于某个集合。
模糊集合的表示
通常用大括号 {} 表示一个集合，在括 号内用小括号 () 括起来的元素表示该 集合中的成员。例如，A = {(x, y) | y = x^2} 表示一个曲线集合。
隶属函数的定义与分类
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合 的程度。它是一个函数，输入为一个 元素，输出为一个介于0和1之间的实 数，表示该元素属于该集合的隶属度。
分类
根据不同的分类标准，隶属函数可以 分为不同的类型。例如，按照形状可 以分为三角形、梯形、高斯型等；按 照参数化可以分为非参数化、半参数 化、参数化等。
模糊综合评判法(原理)
目
CONTENCT
录
• 模糊综合评判法概述 • 模糊集合与隶属函数 • 模糊矩阵的运算与模糊关系 • 模糊综合评判的步骤与实例 • 模糊综合评判法的改进与发展
01
模糊综合评判法概述
定义与特点
定义
模糊综合评判法是一种基于模糊数学和模糊逻辑的决策方法，用 于解决具有模糊性和不确定性问题的评价和决策。
模糊关系的扩展
将一个普通关系扩展为模糊关系，以便在模糊逻辑中使用。
模糊关系的传递性
模糊关系的传递性定义
如果对于任意三个模糊集合A、B和C，有A∩B=A∩C且A∪B=A∪C，则称A与 B的交集和并集分别等于A与C的交集和并集，即A与B的传递性。
模糊关系传递性的性质
模糊综合评价模型
模糊综合评价模型模糊综合评价模型（FCM）是一种基于模糊数学理论的多准则决策方法，广泛应用于各种评价问题中，如经济、管理、环境、教育等领域。
FCM能够处理多个评价指标同时存在的复杂评价问题，并通过对各个指标的权重进行模糊化处理，最终得到一个综合评价结果。
本文将介绍FCM的基本原理、应用场景以及优缺点。
FCM的基本原理是将评价指标和权重都表示成模糊数值，并进行模糊综合运算。
模糊数值是介于0和1之间的数值，表示一些事物或概念的模糊程度。
在FCM中，评价指标通过模糊隶属函数表示，权重通过模糊权重函数表示。
通过对这些模糊数值进行模糊综合运算，可以得到一个综合评价结果。
FCM的应用场景非常广泛。
在经济领域，FCM可以用于评估企业的综合实力，帮助企业进行战略决策。
在管理领域，FCM可以用于评估员工的绩效，帮助企业进行人力资源管理。
在环境领域，FCM可以用于评估环境影响，帮助政府进行环境保护政策的制定。
在教育领域，FCM可以用于评估学生的学术表现，帮助学校进行教学管理。
FCM的优点主要包括以下几个方面。
首先，FCM能够处理多个评价指标的模糊性和不确定性，使评价结果更加客观和准确。
其次，FCM能够考虑到不同指标的重要性，通过对权重进行模糊化处理，使评价结果更具权威性。
最后，FCM能够处理评价指标之间的相互关系，考虑到评价指标之间的相互作用，使评价结果更具有实际意义。
然而，FCM也存在一些缺点。
首先，FCM的模型建立需要大量的数据和专业知识支持，对于一些复杂的评价问题，模型建立可能会比较困难。
其次，FCM的模糊综合运算需要进行一系列的计算，计算过程比较复杂，需要一定的计算资源支持。
最后，FCM的评价结果具有一定的主观性，依赖于权重的确定和模糊数值的选择，可能会存在一定的不确定性。
综上所述，模糊综合评价模型是一种灵活、有效的多准则决策方法，可广泛应用于各种评价问题中。
通过对评价指标和权重进行模糊化处理，能够得到一个综合评价结果，帮助决策者进行决策。
基于模糊聚类的综合评价方法研究
基于模糊聚类的综合评价方法研究一、理论基础1、综合评价方法综合评价方法是根据事物特征，将多个指标量化并加权，以评估事物在各方面的表现，并给出相应的综合评价结果。
综合评价方法有很多种，常用的有层次分析法、模糊综合评价法、TOPSIS方法等。
综合评价方法的核心是权重的确定，即不同指标对整体评价的重要性。
权重的确定方式有主观权重法和客观权重法。
主观权重法是由评价人员根据其经验和判断，决定不同指标在整体评价中的重要性程度。
客观权重法则是通过数学方法，通过数据分析和计算，确定不同指标的权重。
2、模糊聚类方法模糊聚类方法是一种基于模糊理论的聚类分析方法。
它能够有效的处理数据的不确定性和模糊性，对于没有明显分界线的数据，模糊聚类能够将其归为一类。
模糊聚类的核心是将数据集分为多个模糊类别，使得同一类别内的数据之间的相似度高于不同类别的相似度。
基于模糊聚类的综合评价方法，是将模糊聚类与综合评价相结合，以处理综合评价中的不确定性和主观性问题。
在基于模糊聚类的综合评价方法中，首先需要将多个指标转化为模糊指标，并进行聚类分析，得到模糊类别。
然后，对模糊类别进行模糊综合评价，得到各个模糊类别的综合评价结果。
最后，通过模糊综合评价方法，得到整体评价结果。
在基于模糊聚类的综合评价方法中，需要将多个指标转化为模糊指标。
一般的，对于每个指标可以定义一个评价函数或指标函数，用于将该指标的取值范围映射到一定的隶属度域。
假设有n个指标，第i个指标的评价函数为M_i(X_i)，其中X_i表示第i个指标的取值，M_i(X_i)表示X_i对应的隶属度。
假设X = (X_1,X_2,…,X_n)，则X_i的隶属度函数可以用下述公式表示：M_i(x) = (x - S_i) / (U_i - S_i)其中，S_i和U_i分别表示第i个指标对应的最小和最大取值范围。
这样，对于每个指标，都可以通过评价函数将其转化为隶属度，得到一个模糊集合。
然后，将所有的模糊集合送入模糊聚类算法中进行聚类分析，得到若干个模糊类别。
模糊综合评价方法研究
模糊综合评价方法研究1.引言近年来，随着社会的不断发展和进步，科学技术日新月异，人们生活水平不断提高，对各种事物的评价标准以及评价方法也在不断完善和更新。
而模糊综合评价方法正是其中的一种，在各行各业都有着广泛的应用。
2.模糊综合评价方法的概述模糊综合评价方法是指将模糊集理论、层次分析法、灰色系统理论等多种评价方法结合起来，通过对多个评价因素进行量化处理，得出最终评价结果的一种方法。
3.模糊综合评价方法的基本原理模糊综合评价方法主要基于模糊数学的理论，采用隶属度函数来描述评价结果的不确定性，使得评价结果更加接近实际情况。
同时，该方法还可以通过建立评价模型，对各种评价因素之间的交互关系进行评估，使得评价结果更加准确和科学。
4.模糊综合评价方法的应用领域模糊综合评价方法在各种领域均有着广泛的应用，如经济、环境、农业、教育等领域。
例如，在农业生产中，可以通过对作物生长环境、土壤质量、气候等多种因素进行评价，来确定最适宜的作物种植方式和施肥量。
在环境评价中，可以通过对空气质量、水质等因素进行评价，来制定相应的环境保护措施。
在教育评价中，可以通过对学生的学习成绩、考试表现、学习态度等因素进行评价，来制定更加合理和科学的教学计划。
5.模糊综合评价方法的优缺点优点：（1）可以综合考虑多种影响因素，得出更加全面和准确的评价结果；（2）可以通过建立评价模型，对各种影响因素之间的交互关系进行评估，使得评价结果更加准确和科学。
（3）可以考虑自然界和人类社会的不确定性因素，使得评价结果更加接近实际情况。
缺点：（1）模型设计和数据处理较为复杂，需要较高的技术和专业知识；（2）模型结果可能会受到评价因素选择、评价结果处理等多种因素的影响，需要更加谨慎和科学的处理才能得出准确的评价结果。
6.结论总之，模糊综合评价方法是一种比较科学和全面的评价方法，具有广泛的应用价值。
在今后的实践中，我们应结合具体的评价对象，针对性的选取适合的评价方法，将评价结果公正、准确的呈现出来，使其在各行各业中得到更加广泛和深入的应用。
模糊综合评价方法及其应用研究
模糊综合评价方法及其应用研究一、本文概述本文旨在探讨模糊综合评价方法及其应用研究。
我们将对模糊综合评价方法进行概述，阐述其基本原理和特点。
接着，我们将深入探讨模糊综合评价方法在各种领域中的应用，包括但不限于企业管理、环境评估、医疗卫生等。
通过对实际案例的分析，我们将展示模糊综合评价方法在解决实际问题中的有效性和实用性。
我们还将对模糊综合评价方法的未来发展进行展望，以期为其在更多领域的应用提供参考和借鉴。
通过本文的研究，我们希望能够为相关领域的研究者和实践者提供有益的启示和帮助。
二、模糊综合评价方法理论基础模糊综合评价方法（Fuzzy Comprehensive Evaluation，简称FCE）是一种基于模糊数学理论的评价方法，旨在解决那些难以用精确数学语言描述的问题。
这种方法最早由我国学者汪培庄于1983年提出，现已在多个领域得到了广泛应用。
模糊综合评价方法理论基础主要包括模糊集合理论、模糊运算规则和模糊关系矩阵。
其中，模糊集合理论是该方法的核心。
它允许在元素对集合的隶属程度不唯不精确的情况下进行定量描述，从而突破了传统集合理论中元素对集合的隶属关系必须明确的限制。
在模糊综合评价中，评价对象通常被视为一个模糊集合，而评价因素则构成该集合的多个子集。
每个子集都有一个隶属函数，该函数描述了评价对象在不同因素下的隶属程度。
通过对隶属函数进行计算和分析，可以得出评价对象在各个因素上的综合评价结果。
模糊运算规则是模糊综合评价方法的另一个重要组成部分。
它定义了模糊集合之间的运算方式，如并、交、补、差等，使得我们能够根据实际需求进行模糊集合的组合和转换。
模糊关系矩阵则用于描述评价对象与评价因素之间的模糊关系。
该矩阵中的元素表示评价对象在不同因素上的隶属度，是进行模糊综合评价的重要依据。
模糊综合评价方法理论基础包括模糊集合理论、模糊运算规则和模糊关系矩阵。
这些理论和方法为我们在复杂系统中进行综合评价提供了有效的工具。
模糊综合评价法讲解
B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12) 若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升， 则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教
是由一个指标实际值来刻画，因此从这个角度讲，
模糊综合评价要求更多的信息），ri 称为单因素评
价矩阵，可以看作是因素集U和评价集V之间的一种 模糊关系，即影响因素与评价对象之间的“合理关
系”。
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题 相关的专业人员依据评判等级对评价对象进行打分
，然后统计打分结果，然后可以根据绝对值减数法
1.80 1.93 0.87 1.12 1.21 0.87 0.89 2.52 0.81 0.82 1.01
A＝（0.2，0.3，0.5）
专家评价结果表
由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自 的评价矩阵P、Q、R：
0.7 0.2 0.1 P 0.1 0.2 0.7
0.3 0.6 0.1
0.3 0.6 0.1 Q 1 0 0
0.7 0.3 0
0.1 0.4 0.5 R 1 0 0
0.1 0.3 0.6
例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋 升教授为例
因素集：
U={政治表现及工作态度，教学水平，科 研水平，外语水平}；
评判集：
V={好，较好，一般，较差，差}；
（1）建立模糊综合评判矩阵
当学科评审组的每个成员对评判的对象进 行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分 或投票的方法表明各自的评价
模糊综合评价法
模糊综合评价法2篇模糊综合评价法模糊综合评价法是一种综合评价方法，其特点在于能够处理不确定性和模糊性的信息，并给出一个相对比较合理的结论。
在各个领域的研究中，模糊综合评价法被广泛应用，包括经济、环境、管理、工程等领域。
一. 模糊综合评价法的基本原理模糊综合评价法是将模糊集合论和综合评价方法相结合的一种方法。
模糊集合论是一种数学理论，它能够表示不确定性和模糊性的信息，而综合评价方法是用来确定若干个评价指标对某个事物或现象的影响程度，并给出一个综合的评价结果。
在模糊综合评价法中，首先需要确定评价指标，然后对每个评价指标进行模糊化处理，将其转化为模糊数。
模糊数是一个区间，表示评价指标的可能取值范围。
然后需要对评价指标的权重进行确定，这可以通过专家咨询、问卷调查等方法来获取。
最后，根据每个评价指标的权重和模糊数，通过模糊运算得出综合评价的结果。
二. 模糊综合评价法的应用模糊综合评价法可以在各个领域中得到应用。
1. 经济领域：在经济领域中，模糊综合评价法可以用来评价企业的绩效、市场的竞争力等。
通过对各个评价指标的模糊化处理和权重的确定，可以得出一个相对准确的评价结果，为决策提供参考。
2. 环境领域：在环境领域中，模糊综合评价法可以用来评价环境质量、环境影响等。
通过对各个评价指标的模糊化处理和权重的确定，可以对环境状况进行评价，并根据评价结果制定相应的环境保护措施。
3. 管理领域：在管理领域中，模糊综合评价法可以用来评价员工的绩效、项目的执行情况等。
通过对各个评价指标的模糊化处理和权重的确定，可以对员工和项目进行综合评价，为管理决策提供参考。
4. 工程领域：在工程领域中，模糊综合评价法可以用来评价工程的质量、安全性等。
通过对各个评价指标的模糊化处理和权重的确定，可以对工程进行综合评价，并根据评价结果制定相应的改进措施。
三. 模糊综合评价法的优点和不足模糊综合评价法具有以下优点：1. 能够处理不确定性和模糊性的信息，能够对复杂问题进行较好的评价和决策。
AHP——模糊综合评价方法的理论基础
AHP—模糊综合评价方法得理论基础1、层次分析法理论基础1970-1980年期间，著名学者Saaly最先开创性地建立了层次分析法■英文缩写为AHP。
该模型可以较好地处理复杂得决策问题,迅速受到学界得高度巫视。
后被广泛应用到经济计划与管理、教育与行为科学等领域。
AHP建立层次结构模型•充分分析少量得有用得信息■将一个具体得问题进行数理化分析，从而有利于求解现实社会中存在得许多难以解决得复杂问题。
一些定性或定性与定量相结合得决策分析特别适合使用AHPo被广泛应用到城市产业规划、企业管理与企业信用评级等等方面■就是一个有效得科学决策方法。
Diego Falsini^ Federico Fondi Massimiliano M、Schiraldi(2012)运用 AHP 与DEA 得结合研究了物流供应商得选择:Radivojevic s Gordana 'j Gajovic, Vladimir(20⑷研究了供应链得风险因素分析;K、D、Maniya与M、G、Bhatt(2011) 研究了多属性得车辆自动引导机制;朱春生(2013)利用AHP分析了高校后勤HR 配置得风险管理;蔡文飞(2013)运用AHP分析了煤炭管理中得风险应急处理;徐广业(2011)研究了 AHP与DEA得交互武应用;林正奎(2012)研究了城市保险业得社会贵任。
第一■递阶层次结构得建立一般来说■可以将层次分为三种类型:(1)最高层(总U标层):只包含一个元素，表示决策分析得总U标■因此也称为总日标层。
(2)中间层(准则层与子准则层):包含若干层元素，表示实现总U标所涉及得各子U 标■包含各种准则、约束、策略等■因此也称为U标层。
(3)最低层(方案层):表示实现各决策U标得可行方案、描施等，也称为方案层。
典型得递阶层次结构如下图1:一个好得递阶层次结构对解决问题极为重要，因此•在建立递阶层次结构时.应注意到:(1)从上到下顺序地存在支配关系•用直线段(作用线)表示上一层次因素与下一层次因素之间得关系■同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
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AHP——模糊综合评价方法的理论基础1. 层次分析法理论基础1970-1980年期间，著名学者Saaty最先开创性地建立了层次分析法，英文缩写为AHP。
该模型可以较好地处理复杂的决策问题，迅速受到学界的高度重视。
后被广泛应用到经济计划和管理、教育与行为科学等领域。
AHP建立层次结构模型，充分分析少量的有用的信息，将一个具体的问题进行数理化分析，从而有利于求解现实社会中存在的许多难以解决的复杂问题。
一些定性或定性与定量相结合的决策分析特别适合使用AHP。
被广泛应用到城市产业规划、企业管理和企业信用评级等等方面，是一个有效的科学决策方法。
Diego Falsini、Federico Fondi 和Massimiliano M. Schiraldi（2012）运用AHP 与DEA的结合研究了物流供应商的选择；Radivojević、Gordana和Gajović, Vladimir（2014）研究了供应链的风险因素分析；K.D. Maniya和M.G. Bhatt（2011）研究了多属性的车辆自动引导机制；朱春生（2013）利用AHP分析了高校后勤HR配置的风险管理；蔡文飞（2013）运用AHP分析了煤炭管理中的风险应急处理；徐广业（2011）研究了AHP与DEA的交互式应用；林正奎（2012）研究了城市保险业的社会责任。
第一，递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层（总目标层）：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层（准则层和子准则层）：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层（方案层）：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下图1：一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此，在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
第二，构造比较判断矩阵设有m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m 个目标两两进行比较，把第i 个目标（i=1,2,…,m ）对第j 个目标的相对重要性记为ij a ，这样构造的m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作ij m m A ⨯=（a ）。
Satty 于1980年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表（见表1）。
利用该表取的ij a 值，称为1-9标度方法。
表1 目标重要性判断矩阵A 中元素的取值若决策者能够准确估计ij a ，则有：1,*,1ij ij ik kj ii jia a a a a a === ，其基本的定理如下：第一，设A=(a ij )m×m ，A>0，（即a ij >0;i,j=1,2,…,m ），如果满足条件（1）a ii =1（i =1,2,…,m ）；（2）a ij =1/a ji （i,j =1,2,…,m ），则称矩阵A 为互反正矩阵。
第二，设A=(a ij )m×m ，A>0，如果满足条件a ij= a ik ·a kj （i,j,k=1,2,…,m ）则称矩阵A 为一致性矩阵。
第三，对于任何一个m 阶互反正矩阵A ，均有m ax λ≥m ，其中m ax λ是矩阵A 的最大特征值。
第三，m 阶互反正矩阵A 为一致性矩阵的充分必要条件是A 的最大特征根为m 。
第三，单准则下的排序层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。
由于每个准则都支配下一层若干因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。
因此根据比较判断矩阵如何求得各因素w 1,w 2, …,w m 对于准则A 的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。
这里设A=(a ij )m×m ，A>0。
方法一：本征向量法利用AW=λW 求出所有λ的值，其中m ax λ为λ的最大值，求出m ax λ对应的特征向量W *，然后把特征向量W *规一化为向量W ，则W=[w 1,w 2, …w m ]T 为各个目标的权重。
求λ需要解m 次方程，当m≥3时，计算比较麻烦，可以利用matlab 来求解。
（2）判断矩阵的近似解法判断矩阵是决策者主观判断的定量描述，求解判断矩阵不要求过高的精度。
这里，介绍三种近似计算方法：根法、和法及幂法。
幂法适于在计算机上运算。
第一，根法①A 中每行元素连乘并开m 次方，得到向量Tm w w w W ),...,,(**2*1*=其中，m mj ij ia w ∏==1*②对W *作归一化处理，得到权重向量W=(w 1,w 2, …w m )T，其中∑==mi i ii w w w 1**/③对A 中每列元素求和，得到向量S=(s 1,s 2, …s m )，其中s j =∑=mi ij a 1④计算m ax λ的值，SW w s i mi i ==∑=1max λ=∑=m i i iw AW m 1)(1方法二：和法①将A 的元素按列作归一化处理，得矩阵Q=(q ij )m×m 。
其中，∑==mk kj ij ij a a q 1/②将Q 的元素按行相加，得向量Tm ),...,,(21αααα=。
其中，∑==mj ij i q 1α③对向量α作归一化处理，得权重向量W=(w 1,w 2, …w m )T，其中∑==mk k i i w 1/αα④求出最大特征值∑==m i iiw AW m 1max )(1λ方法三：幂法幂法是一种逐步迭代的方法，经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量。
设矩阵A=(a ij )m×m ，A>0，则CW e A e eA k T k k =∞→lim ，其中，W 是A 的最大特征值对应的的特征向量，C 为常数，向量e=(1,1,…,1)T 。
幂法的计算步骤是：①任取初始正向量X (0)=(x 1(0), x 2(0), …, x m (0))T ，计算0)0()0()0()0(0/},{max m X Y x X m i i===∞②迭代计算，对于k=0,1,2, …计算1)1()1()1()1(1)()1(/},{,max ++++∞+++====k k k k i ik k k k m X Y x X m AY X③精度检查。
当ε<-+k k m m 1时，转入步骤④；否则，令k=k+1，转入步骤②。
④求最大特征值和对应的特征向量，将Y (k+1)归一化，即：1max 1)1()1(,/+=++==∑k mi k i k m y YW λ第四，单准则下的一致性检验由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是不太可能的。
因此在我们构造比较判断矩阵时，我们并不要求n(n-1)/2次比较全部一致。
但这可能出现甲与乙相比明显重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比明显重要，这种比较判断会出现严重不一致的情况。
我们虽然不要求判断具有一致性，但一个混乱的，经不起推敲的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体一致。
而上述计算权重的方法，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。
因此，对于每一层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。
一致性指标（Consistency Index,CI ）:1max --=m mCI λ随机指标（Random Index,RI ）一致性比率（Consistency Rate,CR ）:CR=CI/RI当CR 取0.1时，最大特征值'm ax λ=CI·(m-1)+m=0.1·RI·(m-1)+m 表2 随机指标RI ，'m ax λ取值表表中当n=1,2时，RI=0，这是因为1,2阶判断矩阵总是一致的。
当n≥3时，若CR<0.1即m ax λ<'m ax λ，认为比较判断矩阵的一致性可以接受，否则应对判断矩阵作适当的修正，直到m ax λ小于'm ax λ通过一致性检验时，求得的W 才有效。
第五，层次总排序计算同一层次中所有元素对最高层（总目标）的相对重要性标度（又称权重向量）称为层次总排序。
（1）层次总排序的步骤为：第一，计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的权重向量，这一过程是自上而下逐层进行；第二，设已计算出第k-1层上有n k-1个元素相对总目标的权重向量为w (k-1)=(w 1(k-1), w 2(k-1),…, w n(k-1)(k-1))T第三，第k 层有个n k 个元素，他们对于上一层次（第k-1层）的某个元素j 的单准则权重向量为p j (k)=(w 1j (k), w 2j (k),…, w nkj)(k))T （对于与k-1层第j 个元素无支配关系的对应w ij 取值为0）；第四，第k 层相对总目标的权重向量为w k = (p 1(k), p 2(k),…p k-1(k),)w (k-1) （2）层次总排序的一致性检验人们在对各层元素作比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验。
第k 层的一致性检验指标CIk=(CI 1(k-1), CI 2(k-1),…, CIn K (k-1))w (k-1) RI k =(RI 1(k-1), RI 2(k-1),…, RIn K (k-1))w (k-1) CR k =CR k-1+CI k /RI k (3≤k≤n)当CR k <0.1，可认为评价模型在第k 层水平上整个达到局部满意一致性。
第六，递阶层次结构权重解析过程 （1）树状结构目标体系目标可分为多个层次，每个下层目标都隶属于一个而且只隶属一个上层目标，下层目标是对上层目标的具体说明。
对于树状结构的目标体系，需由上而下逐步确定权重，即由树干向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权重。
（2）网状结构目标体系网状结构的目标也分为多个层次，每个下层目标隶属于某几个上层目标（至少有一个下层目标隶属于不止一个上层目标）。
AHP方法的基本步骤：层次分析法大体分为以下六个步骤：（1）明确问题；（2）建立层次结构；（3）两两比较，建立判断矩阵；（4）层次单排序及其一致性检验；（5）层次总排序及其一致性检验；（6）根据分析计算结果，考虑相应的决策。