2014江苏高考数学压轴题01

2014江苏高考数学压轴题一
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.
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2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(
)1
,n n n A a a +在抛物线2
1y
x =+上；
数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若()()()n n
a f n
b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()(
)274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；
若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式
1
1202111111n n n
n a a n a b b b +-
≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
成立，求正数a 的取值范围.
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南京清江花苑严老师
3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .
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4.（本小题满分14分）已知函数241
)x (f x +=
)R x (∈.
(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m
(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=
, n 2n 1n b b b +=+. 设1
b 11b 11b 1T n 21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
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南京清江花苑严老师
5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.
（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.
6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2
221
n
n n S a S =-，
（1） 求n S 的表达式及2
lim
n
n n
a S →∞的值；
（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 设3
3
11(21)
(21)
n b n n =-
+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <.
M
F
E
O
y
A
B
P x
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7． (本小题满分14分)
设双曲线22
22b
y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，
P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→
--OP |2 = |→
-OQ ·→
--OR | ( O 为坐标原点)；
(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；。