经济应用数学课件6.1 行列式
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线性代数ppt
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
行列式的定义ppt课件
能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为
a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以
D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
26
排列的对换
❖对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得
1
b1
a2a21
a11 b1
x1= —ba—211 —2aa21— x2= —a1a—211 —ab12—
a2
2 2
a2 2
1 a2
1 a2
2
2
4
我们用 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行
列式
1 a2
2
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
=
7
0
D1
=
12 1
-
2 1
=12-(-2)
=14
D2
=
3 2
12 1
=
3-
24
=
-21
因此
x1
=
D1 D
=
14 7
行列式按行列展开综述课件
代数余子式在行列式中的应用
代数余子式在行列式中的 应用
通过代数余子式，可以将n阶行列式展开为n 个n-1阶行列式的和，从而简化计算过程。
代数余子式在矩阵运算中 的应用
在矩阵运算中，代数余子式也具有重要的作 用，如计算矩阵的逆、求矩阵的秩等都需要
用到代数余子式的性质。
PART 04
行列式按行列展开的应用
03
n阶行列式的展开
• a{n1} & a{n2} & \cdots & a_{nn} \
n阶行列式的展开
end{vmatrix}$
按照从左上角到右下角的顺序，依次展开每一行和每一列，可以得到n个二阶行列式的乘积之和，即 $a_{11}(a_{22}a_{33}cdots a_{nn}) + a_{12}(a_{23}a_{34}cdots a_{n1}) + cdots + a_{1n}(a_{21}a_{31}cdots a_{n2})$。
行列式的性 质
总结词
行列式具有一些重要的性质，包括交换律、结合律、分配律等。
详细描述
行列式具有交换律，即行列式的值与元素的排列顺序无关，即det(A)=det(A')； 行列式具有结合律，即对于任意常数c和矩阵A，有det(cA)=c^n*det(A)；行列 式具有分配律，即对于任意两个矩阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
三阶行列式可以通过按照主对角线、 副对角线以及平行于主对角线和副对 角线的线进行展开。
详细描述
对于三阶行列式，我们可以将其表示 为
三阶行列式的展开
a&b&c d&e&f g&h&i
行列式ppt
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
特点：1. n2个元素
2. 共有n!项代数和
a a ...a 3.每项为取自不同行不同列的元素构成 1p1 2 p2
npn
4.正负项的个数相等
5.当下标排列为偶排列时, 取正号 当下标排列为奇排列时, 取负号
(1) ( p1 p2 ... pn )
例:写出4阶行列式中带 a12a34 的项
x 3 (2x 3 ) x 3
故 x3 的系数为 1.
Ch1 行列式 §4 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
又因为行列式D可表示为
D 1 t ap11ap2 2 apnn . 故 D DT .
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
ri rj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
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a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
a nn
称为 n 阶行列式，简称行列式．
9
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铃
经济应用数学
当n=1时，规定 D a11 a11
定理6．1 n 阶行列式 D 的值等于行列式的任意 一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即
n
Dai1A i1ai2A i2 ainA in aijA ij j1 n
0 5 5 1 ( 5 5 ) 0 3 5 1 ( 1 5 )
70
13
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二、行列式的性质
经济应用数学
定义6．2 将行列式 D 的行与列互换后得到的新的行列式，
称为行列式 D 的转置行列式记为 D T
即若
a11 a12 D a21 a22
a1n
a11 a21
Da11a22a12a21aa1211
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
D1 b1a22
a12b2
b1 b2
a12 a22
6
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经济应用数学
所以当 D 0 时 二元一次方程组（6．１）的解可表示
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
类似地 由3×3个元素组成的式子
称行列式中划去元素 a ij 所在的第 i行、第 j列后
剩下的元素按原来的相对位置不变构成的
低一阶的行列式为元素 a ij 的余子式 ，记为 M ij 令 Aij (1)ijMij 称 A ij 为元素 a ij 的代数余子式．
2．n 阶行列式的定义 定义6．１ 由n×n个元素组成的式子
a11 a12
或 D a 1jA 1ja2jA 2j anjA nj aijA ij i 1
其中， a i j 是行列式第 i 行的第 j 元素，
A i j 为元素 a i j 的代数余子式
( i 1 ,2 ,,n ;j 1 ,2 ,,n )
10
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经济应用数学
例1．1
求二元一次线性方程组
32xx11
4 2 3
2 2 3
解
D1 3 2
4 2 3
2 3 3 ( 2 ) 2 4 3 1 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 3 3 3 4
26
例1．3 计算四阶行列式
1 2 2 0 3 0 1 1 D 4 1 2 0 25 11
解 行列式中第四列含零比较多，按第四列展 开较容易．
a11a22a12a21 为二阶行列式的对角线展开式
5
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经济应用数学
其中 a ij 称为行列式的第 i 行、第 j列元素，
其下标 i，j 分别称为行标和列标
从左上角到右下角的对角线 称为行列式的主对角线
称为行列式的次对角线．从右上角到左下角的对角线
方程组（6．１）的解中的分母和分子可用二阶行列式 表示为
a 11a a3 22 2a a3 23 3a 12a a3 21 1a a3 23 3a 13a a3 21 1a a3 22 2
其中 a 22 a 32
a 23 a 33
是原三阶行列式中划去元素 a11 所在的第一行
和第一列后剩下的元素按原来的顺序构成的二阶行列式．
8
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经济应用数学
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经济应用数学
ab 为了便于记忆，引进符号 c d 来表示代数式
a11 a22a12a21
a 1 1 a 1 2 a11a22a12a21
a 21 a 22
由2×2个元素组成的式子
a 11 a 12
a 21 a 22
称为二阶行列式，它含有两行和两列 横写的叫做行，竖写的叫做列．
12
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经济应用数学
3 0 1
1 2 2
A14 (1)14 4 1 2 55 A24 (1)24 4 1 2 55
25 1
25 1
1 2 2
1 2 2
A34 (1)34 3 2
0 5
1 35 A44 (1)44 3
1
，
4
0 1 15 1 2
行列式按第四列展开，得
D a 1 4 A 1 4 a 2 4 A 2 4 a 3 4 A 3 4 ， a 4 4 A 4 4
2x2 12 x2 1源自的解解 线性方程组的系数行列式
3 2 D 31(2)270
21
12 D 11
2121，(2)114
1
3 12
D22
3112221 1
该方程组的解为
x1
D1 D
14 2 7
x2
D2 D
213 7
11
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2 2 3
经济应用数学
例1．2 计算三阶行列式 D 1 3 2 的值
称为三阶行列式
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a 31 a 32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
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经济应用数学
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经济应用数学
一、行列式的定义
1.二阶、三阶行列式
二元一次方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1, b2.
(1-1)
若 a11a22a12a210 ，方程组（１-１）有唯一解
x1a b 11 1a a2 22 2 a a 1 12 2b a 2 21,x2a a 11 1 a 1 b 22 2 b a 1 1 a 2a 21 21
经济应用数学课件6.1 行列式
单击此处添加副标题内容
经济应用数学
第6章 线性代数及其应用
6.1 行列式 6.2 矩阵的概念与运算 6.3 矩阵的逆与矩阵的初等行变换 6.4 线性方程组 6.5 线性规划初步
1
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6.1 行列式
一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的计算 四、行列式的应用
an1
a2n
，则 DT a12 a22
an2
an1 an2
ann
a1n a2n
ann
性质1 行列式与它的转置行列式的值相等．即
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三阶行列式也可以表示为下面的形式
经济应用数学
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 1 a 2 a 1 3 2 a 1 3 a 2 a 2 3 3 a 1 1 a 2 a 3 1 a 1 2 a 2 a 3 3 2 a 1 1 a 2 1 a 2 3 3 a 1 a 2 a 1 3 3 a 31 a 32 a 33