经济应用数学课件5-1
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应用高等数学PPT(经管类)高职完整全套教学课件
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数 三角函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数 三角函数
第1章 函数
1.1.4 基本初等函数 三角函数
第1章 函数
的函数
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代 定义形式，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继 续扩展.
第1章 函数
1．函数的定义
1.1.2 函数的概念
在某一过程中始终保持固定数值的 量称为常量,常用a、b、c 等符号表示;而 在过程进行中可以取不同数值的量称为 变量,常用x、y、z 等符号表示.
对复合函数进行分解,通常采 取由外层到内层分解的办法,将 y=f[φ(x)]拆分成若干个基本初等 函数或基本初等函数的四则运算 为止.
第1章 函数
2.初等函数
1.1.5 复合函数、初等函数
定义1-8 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复 合步骤所构成,且可用一个解析式表示的函数,称为初等函数,否 则为非初等函数.
第1章 函数
1.1.3 反函数
【例1-2】 求函数y=3x+4的反函数.
第1章 函数
1.1.3 反函数
函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x) 的图像关于直线y=x 对称,如图1-9 所示.常见函数中互为反函数的函 数 有 指 数 函 数 y=ax 与 对 数 函 数 y=logax,三角函数y=sinx 与反三角 函数y=arcsinx 等等.
了解商品的需求量和供给量随价格变化的规律,可以帮助生产和 销售双方及时掌握市场动向,并作出相应合理的决策.
经济应用数学基础微积分PPT文档共60页
经济应用数学基础微积分
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
Hale Waihona Puke 40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
Hale Waihona Puke 40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
高职《经济应用数学》系列精品课件
回报，以及如何进行有效的资产配置和风险管理。
市场供需模型案例
总结词
市场供需模型案例将展示如何运用数学知识来分析市 场供需关系，帮助学生理解市场价格的决定因素。
详细描述
市场供需模型是用来描述市场供求关系对商品价格影 响的数学模型。在高职《经济应用数学》精品课件中 ，可以通过具体案例来展示市场供需模型的建立和分 析过程。学生通过学习，能够了解市场供需关系对商 品价格的影响，掌握如何运用数学工具来分析市场数 据和预测市场变化趋势。同时，学生还能够了解如何 根据市场供需情况制定合理的商业策略。
宏观经济学应用
宏观经济学概述
介绍宏观经济学的基本概念、研究方法和主要理论，帮助学生了解 宏观经济学在经济学科中的地位和作用。
国民收入与经济增长
分析国民收入的计算方法，以及影响经济增长的因素和政策措施。
失业与通货膨胀
探讨失业和通货膨胀的形成原因，以及政府如何通过宏观经济政策 来应对这些问题。
国际经济学应用
课程定位
为财经类专业学生学习其他专业 课程提供必要的数学基础，同时 提高学生的综合素质和就业竞争 力。
课程目标
1 2
知识目标
掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计的基 本概念、原理和方法，了解经济应用中的数学模 型。
能力目标
培养学生运用数学知识解决实际经济问题的能力， 提高学生的逻辑思维、数学思维和创新能力。
高职《经济应用数学》系 列精品课件
• 引言 • 基础知识 • 数学建模 • 经济应用 • 案例分析 • 习题与答案
01
引言
课程简介
课程性质
经济应用数学是高职高专院校财 经类专业的一门必修基础理论课， 旨在培养学生运用数学知识解决 实际经济问题的能力。
市场供需模型案例
总结词
市场供需模型案例将展示如何运用数学知识来分析市 场供需关系，帮助学生理解市场价格的决定因素。
详细描述
市场供需模型是用来描述市场供求关系对商品价格影 响的数学模型。在高职《经济应用数学》精品课件中 ，可以通过具体案例来展示市场供需模型的建立和分 析过程。学生通过学习，能够了解市场供需关系对商 品价格的影响，掌握如何运用数学工具来分析市场数 据和预测市场变化趋势。同时，学生还能够了解如何 根据市场供需情况制定合理的商业策略。
宏观经济学应用
宏观经济学概述
介绍宏观经济学的基本概念、研究方法和主要理论，帮助学生了解 宏观经济学在经济学科中的地位和作用。
国民收入与经济增长
分析国民收入的计算方法，以及影响经济增长的因素和政策措施。
失业与通货膨胀
探讨失业和通货膨胀的形成原因，以及政府如何通过宏观经济政策 来应对这些问题。
国际经济学应用
课程定位
为财经类专业学生学习其他专业 课程提供必要的数学基础，同时 提高学生的综合素质和就业竞争 力。
课程目标
1 2
知识目标
掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计的基 本概念、原理和方法，了解经济应用中的数学模 型。
能力目标
培养学生运用数学知识解决实际经济问题的能力， 提高学生的逻辑思维、数学思维和创新能力。
高职《经济应用数学》系 列精品课件
• 引言 • 基础知识 • 数学建模 • 经济应用 • 案例分析 • 习题与答案
01
引言
课程简介
课程性质
经济应用数学是高职高专院校财 经类专业的一门必修基础理论课， 旨在培养学生运用数学知识解决 实际经济问题的能力。
经济应用数学课件5-2
8 Q 1 6 Q 2 0 .0(3 1 Q 1 2 Q 1 Q 2 3 Q 2 2 ) 4,00
(Q10,Q20).
练习2
续解
(Q1,Q2) 8 Q 1 6 Q 2 0 .0(3 1 Q 1 2 Q 1 Q 2 3 Q 2 2 ) 4,0
由
QQ128600..0011((6QQ116QQ22))00,.
(1)若有 f(x,y)f(x0,y0)则, 称P0(x0, y0)是函数f (x, y)
的极大值点,称 f (x0, y0)是函数 f (x, y)的极大值.
(2)若有f(x,y)f(x0,y0)则, 称P0(x0, y0)是函数f (x, y)
的极小值点,称 f (x0, y0)是函数 f (x, y)的极小值.
x y z A 表面积 最小.设箱子的长为 ,宽为 ,高为 . 依题设
V xyz,则
于是,箱子的表面积
z
V xy
.
A2(x yy zz)x2(x yV xV y),
(x0,y0)
x y z 案例1 解设箱子的长为 ,宽为 ,高为 . 于是,箱子的表面积
这是求二元函A 数 的2 极(x 值问 y题y. 由 zz)x2(x yV xV y),
11
Q816464212,8
11
3 1 24 6 62 4 8 1 4 6 6 1 4.28
三. 最小二乘法
案例2
经验 公式
如何根据实验数据确定变量间的函数关系?
在生产实践和科学实验中,常常需要根据实验数据 数据来找出变量间函数关系的近似表达式,这种近似 表达式称为经验公式. 用最小二乘法建立直线型经公验式
函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值.
经济应用数学基础(第二版)全书课件汇总整本书电子教案(最新)
xn 的极限， 记作
lim
n
xn
A
如: lim 1 0 ； lim n 1
n n
n n 1
1.2 极 限
【经济问题1-1】中老大每次分得的马匹数构成
的数列
17 2
17 18 2
17 182 2
17 18n1 2
17
易知
lim
n
18n1
2
0
1.2 极 限
2. 函数极限
定义1.5 如果当自变量 x取正值并无限增大时，函数
（2）由题意，收益函数为
R(Q) Q P Q(90 0.5Q) 90Q 0.5Q
L(Q) R(Q) C(Q) 1.5Q2 94Q 10
1.2 极限
1.2.1 极限概念
1. 数列极限
定义1.4 对于数列 ，xn如果当 无限n 增大时， xn
无限趋近于一个确定的常数 A，则称常数 为A 数列
2
3 x, 1 x 2
1
(1)求此函数的定义域并作出草图；-2 -1
12 -1
x
(2)求 f ( 1), f (1), f ( 4) 的值。
-2
2
3
解 （1）函数的定义域为 (1,2] ,
（2）f ( 1) 1 1 3 , f (1) 12 1, f (4) 3 4 5
22
2
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
因为 f (x) 的左极限和右极限都存在但不相等，所以
lim f (x)不存在。
x0
1.2 极 限
1.2.2 无穷小量与无穷大量
lim
n
xn
A
如: lim 1 0 ； lim n 1
n n
n n 1
1.2 极 限
【经济问题1-1】中老大每次分得的马匹数构成
的数列
17 2
17 18 2
17 182 2
17 18n1 2
17
易知
lim
n
18n1
2
0
1.2 极 限
2. 函数极限
定义1.5 如果当自变量 x取正值并无限增大时，函数
（2）由题意，收益函数为
R(Q) Q P Q(90 0.5Q) 90Q 0.5Q
L(Q) R(Q) C(Q) 1.5Q2 94Q 10
1.2 极限
1.2.1 极限概念
1. 数列极限
定义1.4 对于数列 ，xn如果当 无限n 增大时， xn
无限趋近于一个确定的常数 A，则称常数 为A 数列
2
3 x, 1 x 2
1
(1)求此函数的定义域并作出草图；-2 -1
12 -1
x
(2)求 f ( 1), f (1), f ( 4) 的值。
-2
2
3
解 （1）函数的定义域为 (1,2] ,
（2）f ( 1) 1 1 3 , f (1) 12 1, f (4) 3 4 5
22
2
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
因为 f (x) 的左极限和右极限都存在但不相等，所以
lim f (x)不存在。
x0
1.2 极 限
1.2.2 无穷小量与无穷大量
高职《经济应用数学》系列精品课件5
=0
实例训练1【设备折旧费】某厂对一生产设备的投
资额是1万元,每年的折旧费为该设备账面价格(即
以前各年折旧费用提取后余下的价格)的 1 ,那么
10
这一设备的账面价格(单位:万元)第一年为1,第二
年为109
,第三年为(
9 10
)
2,第四年为(
9 10
),3---,那么按此
变化趋势,随着年数的增加,账面价格如何变化?
x
x
x
实例训练 建立一项奖励基金，每年年终发放一次， 资金总额为10万元，若以年复利率5%计算，试求： （1）、奖金发放年限为10年，基金P应为多少？ （2）、若奖金发放永远继续下去，即奖金发放年数 （此时称为永续性奖金），基金P又应为多少？
解：设P为第n年末年金现值，Ｓn为第n年末年金，Ｒ 为年利率，则按年复利基本计算公式为 Sn P(1R)n
子任务分析
基金的投入资金取决于基金的年限，投入资金的 固定收益计算等，因此，要科学地作出该项基金的资 金投入决策，必须解决如下几方面的问题： 1．单利或复利形式下的资金本息的计算； 2．资金的现值计算； 3．函数值的计算和函数极限的计算
知识回顾
Ⅰ单利或复利形式下的资金本息的计算
设某笔贷（存）款本金为 A 0 元 ，年利率为 r ，投资
f(t)
在函数极限的定义中 ，t→t0 的方
式是任意的。该函数为分段函数，
在t = 4的左、右两侧，函数f (t )的
表达式不同，此时只能先对
0
4
8
t
t = 4 的左、右两侧的变化趋势进行
讨论。
图1-12
定义4:
如果当 xx0(或 xx0)趋于 x 0 , 即 x x0
高中数学北师大版必修5第1章4《数列在日常经济生活中的应用》ppt同步课件
欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
经济应用数学第一章
y y= ƒ(x) y= ƒ(x) y
.
f ( x2 )
f ( x1 ) x1
o
f ( x1 )
x
f ( x2 )
x1 o x2
x
x2
图2
21
(3). 函数的有界性:∃M>0,∀x∈D, | ƒ(x) |≤M则称ƒ(x) ∃ ∀ ∈ 在D内有界. (图3)
y y=M y= ƒ(x) o y=–M y y=M y= ƒ(x) o y= ƒ(x) y=–M x o x y x
rxdtdx第二章导数与微分第三章导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应第一章函数与极限第一篇学习内容11函数12初等函数13几种常见的经济函数14函数极限15极限的运算法则第一章函数与极限集合区间是用得较多的一类数集
dx = rx dt
经济应用数学
——吴玉 吴玉
1
第一篇学习内容
第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分及其应 用
25
3.复合函数 3.复合函数 所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一 个新的函数.
例10 由 y = u , u = 1 − x 2 复合而成的复合函数为
y = 1 − x2
定义6 设 y = ƒ(u)是定义在U上的函数, 而且 u=φ(x) 定义 是定义在 D上的函数, 值域为Z. 若∀x∈D, 对应的 Z⊆U, 则称 y =ƒ(φ(x))是函数 y = ∀ ∈ ⊆ ƒ(u)和 u=φ(x)复合而成的复合函数. u作中间变量.
0.15x 0 < x ≤ 50 解 y= 50× 0.15 + ( x − 50)× 0.25 50 < x < +∞
.
f ( x2 )
f ( x1 ) x1
o
f ( x1 )
x
f ( x2 )
x1 o x2
x
x2
图2
21
(3). 函数的有界性:∃M>0,∀x∈D, | ƒ(x) |≤M则称ƒ(x) ∃ ∀ ∈ 在D内有界. (图3)
y y=M y= ƒ(x) o y=–M y y=M y= ƒ(x) o y= ƒ(x) y=–M x o x y x
rxdtdx第二章导数与微分第三章导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应第一章函数与极限第一篇学习内容11函数12初等函数13几种常见的经济函数14函数极限15极限的运算法则第一章函数与极限集合区间是用得较多的一类数集
dx = rx dt
经济应用数学
——吴玉 吴玉
1
第一篇学习内容
第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分及其应 用
25
3.复合函数 3.复合函数 所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一 个新的函数.
例10 由 y = u , u = 1 − x 2 复合而成的复合函数为
y = 1 − x2
定义6 设 y = ƒ(u)是定义在U上的函数, 而且 u=φ(x) 定义 是定义在 D上的函数, 值域为Z. 若∀x∈D, 对应的 Z⊆U, 则称 y =ƒ(φ(x))是函数 y = ∀ ∈ ⊆ ƒ(u)和 u=φ(x)复合而成的复合函数. u作中间变量.
0.15x 0 < x ≤ 50 解 y= 50× 0.15 + ( x − 50)× 0.25 50 < x < +∞
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经济应用数学课件5-1
教学建议
学习目标
第五章 多元函数微分学
§ 5.1 偏导数
§ 5.2 二元函数的极值
§ 5.3 条件极值
§5.1 偏导数
一. 二元函数的概念 二. 偏导数 三. 需求的交叉弹性 四. 二阶偏导数
一. 二元函数的概念
案例1 圆柱体的体积公式
V πr2h (r0,h0).
描述了圆柱体的体积 (因变量)与其底面半
解 当 p12,p24,Y20时，0Q1 36. 又
Q1 p2
3,
所以
E12Q p21Q p21 334613.
注意到
E12
1 3
0,
说明货物1和货物2之间存在着替代关系．
f x
.
y x (2)对 求导数时,是把二元函数 zf(x,y)中的 视为常量,
y z y 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作
fy(x, y),
z y,
z y
,
f y
.
x (1) 二元函数 zf(x,y)在点(x0, y0)关于 的偏导数,记作
z , fx(x0,y0),
x (x0,y0)
称
E1 2
Q1 p2
p2 Q1
为货物1和货物2需求的交叉价格弹性，用来衡量当货物1的 价格和收入保持不变时，货物1需求量的变动对货物2价格变 动的灵敏程度.
Q 1Q 1(p1,p2,Y).
需求的交叉价格弹性
E1 2
Q1 p2
p2 Q1
若 E12 0，则货物1和货物2之间存在着互补关系；
若 E12 0，则货物1和货物2之间存在着替代关系.
r h V 径 和高 之间的确定关系. r h 这是一个以 和 为自变量的二元函数.
h r
案例2 生产函数
( A0,0,0为•常数)
QAKL (K0,L0).
Q K L 描述了产量 (因变量)与投入的两种生产要素 (资本)和
(劳动力)之的确定关系.
K L 这是一个以 和 为自变量的二元函数.
产量,也称产出水平
将 x0, y1代入上式,得
fx(0,1)2xex23y2(0,1)0.
x y (2)视 为常量,对 求偏导数,有
fy (x ,y ) e x 2 3 y 2 ( 6 y ) 6 y e x 2 3 y 2 .
将x1, y0代入上式,得
fy(1,0)6yex23y2(1,0)0.
练习3 求函数z xy(x0) 的偏导数.
当 E 12 的绝对值接近于0时，货物1和货物2之间几乎
互不相关．
练习5设货物1的需求量 Q 1 与 p 1 、p 2 及Y的函数关系由下式给出 1
Q 1 Q 1(p 1,p 2,Y ) 1 2 4p 1 3 p 2 1Y 0 ,
求当 p12,p24,Y20时0货物1和货物2需求的交叉
价格弹性 E 12 ，并说明二者的关系．
z x
, (x0, y0)
f x
. (x0, y0)
y (2) 二元函数 zf(x,y)在点(x0, y0)关于 的偏导数,记作
fy(x0, y0),
z , y (x0,y0)
z y
, (x0, y0)
f y
. (x0, y0)
练习1
设
zx33x2y3exy,求
z x
,
z y
.
x y 解 (1)对 求偏导数时, 视 为常量,有
xz3x26x3 yexy,
y x (2)对 求偏导数时, 视 为常量,有
yz 9x2y2ex.
练习2 设 f(x,y)ex23y2,求 fx(0,1), fy(1,0).
解 先求偏导数,再求偏导数在指定点的值.
y x (1)视 为常量,对 求偏导数,有
fx (x ,y ) e x 2 3 y 22 x 2 x e x 2 3 y 2 .
u x y z 解 这是三元函数,应求 对 、对 、对 的偏导数.
z x y (1)视 和 为常量,对 求偏导数,有
u xex2y3z42x2xex2y3z4.
z x y (2)视 和 为常量,对 求偏导数,有
u yex2y3z43y23y2ex2y3z4.
x z y (3)视 和 为常量,对 求偏导数,有
二元函数的定义域通常是 Oxy平面上的一个平面区域,记作D.
函数zf(x,y)在点(x0, y0)的函数值记作f (x0,y0)或 z (x0, .y0)
二元函数 zf(x,y)也有类似于一元函数 y f(x)存在极限
及在一点(x0, y0)连续的概念.
u x z y 以 、 和 为自变量, 为因变量的三元函数记作
u zex2y3z44z34z3 ex2y3z4 .
三.需求的交叉价格弹性
在第三章中，我们介绍了一元函数弹性的概念．现在我们 利用偏导数的知识来研究多元函数的弹性问题．
假定货物1的需求量 Q 1是货物1、货物2的价格(记作 p 1 、p 2 ）
与消费者收入 Y的函数，即
Q 1Q 1(p1,p2,Y).
x y x 解 (1)对 求偏导数时, 视 为常量,这时 y 是幂函数,有
z x
yxy1.
y x x (2)对 求偏导数时, 视 为常量,这时 y 是指数函数,有
z y
xy
ln
x.
注意
xx 又可对看一成元是函一数个y分式f(:xy),的dd 微yx 既分表d 示y 与y对的
导数,
dx
微分之商.
但对二元函数 整体记号.比如,
uf(x,y,z).
二. 偏导数
z 二元函数 zf(x,y)有两个自变量,它求导数时,是因变量
x y 对 、对 分别求导数,故称为偏导数.
x y (1)对 求导数时,是把二元函数 zf(x,y)中的 视为常量, x z x 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作
fx(x, y), z x,
z x
,
zf(x,y),
z 不能再看成 x
z x
、
z y
只是一个偏导数的
z与 x之商
二元函数偏导数概念很容易推广到三元函数.一个三元函数
uf(x,y,z)对 x的偏导数,就是固定自变量 y与z后, u作 x 为 的函数的导数;其他两个偏导数类推.
练习4 求函数 uf(x,y,z)ex2y3z4的偏导数.
以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时, 按照确定的对应关系可以决定另外一个变量(因变量)的取值.
对照一元函数概念,这就是二元函数.
一般地,以 x和 y为自变量,以 z为因变量的二元函数记作
zf (x,y).
x 一元函数的自变量 的取值范围即定义域,一般是数轴上的
一个区间.
而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到Oxy平面上,
教学建议
学习目标
第五章 多元函数微分学
§ 5.1 偏导数
§ 5.2 二元函数的极值
§ 5.3 条件极值
§5.1 偏导数
一. 二元函数的概念 二. 偏导数 三. 需求的交叉弹性 四. 二阶偏导数
一. 二元函数的概念
案例1 圆柱体的体积公式
V πr2h (r0,h0).
描述了圆柱体的体积 (因变量)与其底面半
解 当 p12,p24,Y20时，0Q1 36. 又
Q1 p2
3,
所以
E12Q p21Q p21 334613.
注意到
E12
1 3
0,
说明货物1和货物2之间存在着替代关系．
f x
.
y x (2)对 求导数时,是把二元函数 zf(x,y)中的 视为常量,
y z y 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作
fy(x, y),
z y,
z y
,
f y
.
x (1) 二元函数 zf(x,y)在点(x0, y0)关于 的偏导数,记作
z , fx(x0,y0),
x (x0,y0)
称
E1 2
Q1 p2
p2 Q1
为货物1和货物2需求的交叉价格弹性，用来衡量当货物1的 价格和收入保持不变时，货物1需求量的变动对货物2价格变 动的灵敏程度.
Q 1Q 1(p1,p2,Y).
需求的交叉价格弹性
E1 2
Q1 p2
p2 Q1
若 E12 0，则货物1和货物2之间存在着互补关系；
若 E12 0，则货物1和货物2之间存在着替代关系.
r h V 径 和高 之间的确定关系. r h 这是一个以 和 为自变量的二元函数.
h r
案例2 生产函数
( A0,0,0为•常数)
QAKL (K0,L0).
Q K L 描述了产量 (因变量)与投入的两种生产要素 (资本)和
(劳动力)之的确定关系.
K L 这是一个以 和 为自变量的二元函数.
产量,也称产出水平
将 x0, y1代入上式,得
fx(0,1)2xex23y2(0,1)0.
x y (2)视 为常量,对 求偏导数,有
fy (x ,y ) e x 2 3 y 2 ( 6 y ) 6 y e x 2 3 y 2 .
将x1, y0代入上式,得
fy(1,0)6yex23y2(1,0)0.
练习3 求函数z xy(x0) 的偏导数.
当 E 12 的绝对值接近于0时，货物1和货物2之间几乎
互不相关．
练习5设货物1的需求量 Q 1 与 p 1 、p 2 及Y的函数关系由下式给出 1
Q 1 Q 1(p 1,p 2,Y ) 1 2 4p 1 3 p 2 1Y 0 ,
求当 p12,p24,Y20时0货物1和货物2需求的交叉
价格弹性 E 12 ，并说明二者的关系．
z x
, (x0, y0)
f x
. (x0, y0)
y (2) 二元函数 zf(x,y)在点(x0, y0)关于 的偏导数,记作
fy(x0, y0),
z , y (x0,y0)
z y
, (x0, y0)
f y
. (x0, y0)
练习1
设
zx33x2y3exy,求
z x
,
z y
.
x y 解 (1)对 求偏导数时, 视 为常量,有
xz3x26x3 yexy,
y x (2)对 求偏导数时, 视 为常量,有
yz 9x2y2ex.
练习2 设 f(x,y)ex23y2,求 fx(0,1), fy(1,0).
解 先求偏导数,再求偏导数在指定点的值.
y x (1)视 为常量,对 求偏导数,有
fx (x ,y ) e x 2 3 y 22 x 2 x e x 2 3 y 2 .
u x y z 解 这是三元函数,应求 对 、对 、对 的偏导数.
z x y (1)视 和 为常量,对 求偏导数,有
u xex2y3z42x2xex2y3z4.
z x y (2)视 和 为常量,对 求偏导数,有
u yex2y3z43y23y2ex2y3z4.
x z y (3)视 和 为常量,对 求偏导数,有
二元函数的定义域通常是 Oxy平面上的一个平面区域,记作D.
函数zf(x,y)在点(x0, y0)的函数值记作f (x0,y0)或 z (x0, .y0)
二元函数 zf(x,y)也有类似于一元函数 y f(x)存在极限
及在一点(x0, y0)连续的概念.
u x z y 以 、 和 为自变量, 为因变量的三元函数记作
u zex2y3z44z34z3 ex2y3z4 .
三.需求的交叉价格弹性
在第三章中，我们介绍了一元函数弹性的概念．现在我们 利用偏导数的知识来研究多元函数的弹性问题．
假定货物1的需求量 Q 1是货物1、货物2的价格(记作 p 1 、p 2 ）
与消费者收入 Y的函数，即
Q 1Q 1(p1,p2,Y).
x y x 解 (1)对 求偏导数时, 视 为常量,这时 y 是幂函数,有
z x
yxy1.
y x x (2)对 求偏导数时, 视 为常量,这时 y 是指数函数,有
z y
xy
ln
x.
注意
xx 又可对看一成元是函一数个y分式f(:xy),的dd 微yx 既分表d 示y 与y对的
导数,
dx
微分之商.
但对二元函数 整体记号.比如,
uf(x,y,z).
二. 偏导数
z 二元函数 zf(x,y)有两个自变量,它求导数时,是因变量
x y 对 、对 分别求导数,故称为偏导数.
x y (1)对 求导数时,是把二元函数 zf(x,y)中的 视为常量, x z x 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作
fx(x, y), z x,
z x
,
zf(x,y),
z 不能再看成 x
z x
、
z y
只是一个偏导数的
z与 x之商
二元函数偏导数概念很容易推广到三元函数.一个三元函数
uf(x,y,z)对 x的偏导数,就是固定自变量 y与z后, u作 x 为 的函数的导数;其他两个偏导数类推.
练习4 求函数 uf(x,y,z)ex2y3z4的偏导数.
以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时, 按照确定的对应关系可以决定另外一个变量(因变量)的取值.
对照一元函数概念,这就是二元函数.
一般地,以 x和 y为自变量,以 z为因变量的二元函数记作
zf (x,y).
x 一元函数的自变量 的取值范围即定义域,一般是数轴上的
一个区间.
而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到Oxy平面上,