高中数学(新人教A版必修1)配套课时作业：第二章 基本初等函数(I) 2.2.1第2课时 Word版含解析
第2课时 对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：
(1)log a (M ·N )＝____________________；
(2)log a M N ＝____________________；
(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．
2．对数换底公式
log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )
B ．(log a x )n ＝n log a x
C.log a x n ＝log a n x
D.log a x log a y ＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )
A ．18B.1
18C.83D.38
3．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )
A ．9B.19C ．25D.125
4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( )
A ．15B.15
C ．±15
D ．225
5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( )
A.a b －1
B.32(b －1)
C.3a 2(b ＋1)
D.3(a －1)2b 6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )
A ．2B.12C ．4D.14
二、填空题
7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝
_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级
M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
三、解答题
10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34；
(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．
11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组．()
A．二B．四
C．五D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的
75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1
3？(结果保留1位有效数
字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
知识梳理
1．(1)log a M＋log a N(2)log a M－log a N(3)n log a M 2.1 作业设计
1．C
2．C[log916·log881＝lg16
lg9·
lg81
lg8＝
4lg2
2lg3·
4lg3
3lg2＝
8
3.]
3．D[由换底公式，得－lg3
lg5·
lg6
lg3·
lg x
lg6＝2，
lg x＝－2lg5，x＝5－2＝1 25.]
4．B[∵3a＝5b＝A>0，∴a＝log3A，b＝log5A.
由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，
得A 2＝15，A ＝15.]
5．C [∵log 89＝a ，∴lg9lg8＝a .
∴log 23＝32a .
lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).] 6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，
lg a lg b ＝12.
于是(lg a b )2＝(lg a －lg b )2
＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 7.65－3
解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(
3
25425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋213132225
5--- ＝2＋1
65－5＝65－3.
8．1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
9．1000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.
∴E 2E 1
＝103＝1000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34
＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13.
方法二 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34
＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg4lg3
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2lg3
＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－13.
(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，
所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.
方法二 因为3a ＝4b ＝36，所以136a ＝3,136b ＝4，
所以(136a )2·
136b
＝32×4， 即2136a b +＝36，故2a ＋1b ＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.
设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，
∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.
又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，
∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，
即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.
∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2
lg a ·lg b
＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b
＝2×22－2×1212
＝12， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知，
10x ＝N ⇔x ＝lg N ，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，
∴第五组对应值正确．
∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .
依题意，得1
3＝0.75
x，即x＝
lg
1
3
lg0.75
＝
－lg3
lg3－lg4
＝
lg3
2lg2－lg3
＝
0.4771
2×0.3010－0.4771
≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1习题课 Word版含解析
§2.1 习题课一、选择题1．(1 22-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( ) A.2B．－ 2C.22D．－222．化简3a－b3＋a－2b2的结果是( )A．3b－2a B．2a－3b C．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，(12)x,0.2x之间的大小关系是( )A．2x<0.2x<(12)x B．2x<(12)x<0.2xC．(12)x<0.2x<2x D．0.2x<(12)x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A.18 B.12C．2D．85．函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：120.064-－(－14)0＋160.75＋120.01-＝___________________________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n-＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§2.1 习题课作业设计1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎨⎧ b ， a ≤2b ，2a －3b ，a >2b .]3．D [当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x ，(0.2)x ，不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2.] 4．A [f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以0<a<1，由y＝a x过点(0,1)得知y＝a x的图象向左平移|b|个单位得f(x)的图象，所以b<0.]6．D [f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]7.48 5＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.8 39．[－8，2 3 ]解析因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y＝1－3x∈[－8，23]．10．解(1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考查函数y＝(2)x.因为2>1，所以函数y＝(2)x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考查函数y＝(32)x.因为32>1，所以函数y＝(32)x在实数集R上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫⎪⎝⎭.(4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝a 2，即a＝32或a＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a－a2＝a2，即a＝12或a＝0(舍去)．综上所述，所求a的值为12或32.12．解∵f(x)＝aa2－1(a x－1a x)，∴函数定义域为R，设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，∴当a>1时，ax1<ax2，aa2－1>0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，，aa2－1<0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1第1课时对数aa高一数学
①log28＝3；②log
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1 2
14＝2；③logaa2＝2(a>0，且
a≠1)；④log3217＝－3.
第八页，共二十七页。
[解析] (1)①3＝log 1 18；②－2＝log319；③3＝log464；④x＝log 1 3.
2
3
(2)①23＝8；②122＝14；③a2＝a2(a>0，且 a≠1)；④3－3＝217.
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∴x＝3.即 log327＝3.………………12 分 [点评] 无理式的运算是易错点要多加练习.
第二十一页，共二十七页。
1．已知
log2x＝3，则
x
1 2
等于(
1
1
A.3
B.2 3
1 C.3 3
D．
2 4
解析：由 log2x＝3 得 x＝23，
∴x ＝(2 ) 1
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第十七页，共二十七页。
指数与对数互化的本质： 指数式 ab＝N(a>0，且 a≠1)与对数式 b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价 关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．
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第十八页，共二十七页。
3．求下列各式的值：
(1)log4(3x－1)＝1； (2)logx4＝2；
(3)log(
2－1)
1 3＋2
＝x. 2
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第十九页，共二十七页。
解析：(1)由 log4(3x－1)＝1，得 3x－1＝4， ∴x＝53.
(2)由 logx4＝2，得 x2＝4，∴x＝2(x＝－2 舍去)．
2020届高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(二) Word版含解析
2．2.2 对数函数及其性质(二)1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于( )A．4B．8C．16D．2log8413．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．]3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1.作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x≤2，即12≤2x≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.]5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)，故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12log (x －1)＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．C [∵f (x 1x 2…x 2010)＝log a (x 1x 2…x 2010)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22010)＝log a (x 21x 22…x 22010)＝2log a (x 1x 2…x 2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数 1.对数一般地，如果a x=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式a b=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．（1）会依据定义把指数式写成对数式.例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-31.（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）21；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①Na alog =N ；②log a a b=b.证明：①∵a b=N ，∴b=log a N.∴a b=Nalog =N ，即Na alog =N.②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b,即log a a b=b. 如5log 33=5，6log 44=6,log 335=5,3222log =32等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n的形式，其中n比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n，其中n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3. 3.自然对数在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log aNM=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）log a M n=nlog a M （n ∈R ）.正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 2.换底公式（1）换底公式：log a b=abc c log log （a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0）.证明：设log a b=c ，则a c=b.两边取以c 为底的对数，得clog c a=log c b ， 所以c=a b c c log log ，即log a b=abc c log log .换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N.②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系： lnN=e N lg lg ≈4343.0lg N≈2.302 6lgN. ③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值. ④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明. （2）换底公式的三个推论：n a b n log =log a b ，m a b n log =nmlog a b ，log a b ·log b a=1. 推广：log a b ·log b c ·log c d ·…·log e a=1. 问题·思路·探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子log a M n=nlog a M 表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 思路：log a M n与nlog a M 与log a nM=n1log a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log 416=log 2216而，2log 216=8≠log 2216=2,但有类似的性质，这个性质是 log a nM=n 1log a M. 证明如下：令log a M=x,则M=a x,所以n 1=log a M=n 1x ，而M n a log =x a a n log =a x n a log =x ·n 1，所以M n a log =n1log a M.典题·热题·新题例1 (2006浙江高考,理)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则（ ）A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1 思路解析：∵0<a<1,∴y=log a x 为减函数，由log a m<log a n<0,可得1<n<m. 答案：A例2 设log 189=a ，18b=5，求log 3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：∵18b=5，∴b=log 185. ∴log 3645=aba b a b a -+=-+=++=++=29log 2918log 12log 19log 5log 36log 45log 18181818181818.深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 例3 计算：lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22. 思路解析：本题主要考查对数的运算性质. 解：原式=lg25+328lg +lg210·lg （10×2）+lg 22 =lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg 22=lg100+lg 210-lg 22+lg 22=2+1=3.深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用. 例4 设3x=4y=36，求yx 12+的值. 思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x 、y 表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值. 解：∵3x=4y=36，∴x=log 336，y=log 436.则x1=log 363，y 1=log 364.∴x 2+y1=2log 363+log 364=log 36（32×4）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a 、b 、c 均为正数，3a =4b =6c，求证：cb a 212=+. 思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a =4b =6c=k （k ＞0），则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a =4b =6c=k ，则k ＞0.由对数的定义得a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ， 则左边=kk b a 43log 1log 212+=+=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36， 右边=k c 6log 22==2log k 6=log k 36，∴cb a 212=+. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边； （3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a 、b 同号，且a 2+2ab-3b 2=0，求log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a 、b 的一个齐次方程，因此不可能求出a 、b 的值，只能求出a 、b 的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：∵a 、b 同号，∴b ≠0.把方程a 2+2ab-3b 2=0两边同除以b 2，得（b a ）2+2（ba）-3=0. ∴（b a +3）（b a -1）=0，得b a =1或ba=-3（舍去）.∴a=b. ∴log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）=log 3（3a 2）-log 3a 2=log 33=1.深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.1第2课时 Word版含解析
第2课时对数的运算课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝____________________；(2)log a MN＝____________________；(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．log a x·log a y＝log a(x＋y)B．(log a x)n＝n log a xC.log a xn＝log anxD.log a xlog a y＝log a x－log a y2．计算：log916·log881的值为()A．18B.118C.83D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9B.19C ．25D.1254．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( ) A ．15B.15 C ．±15D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( ) A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：组．()A．二B．四C．五D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.] 3．D [由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg xlg6＝2，lg x ＝－2lg5，x ＝5－2＝125.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg9lg8＝a .∴log 23＝32a .lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝12.于是(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425)＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg4lg3＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2lg3 ＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3,136b＝4， 所以(136a)2·136b＝32×4， 即2136a b+＝36，故2a ＋1b ＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，∴第一组、第三组对应值正确．又显然第六组正确，∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，∴第五组对应值正确．∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，∴第四组、第七组对应值正确．∴只有第二组错误．]13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x＝lg13lg0.75＝－lg3lg3－lg4＝lg32lg2－lg3＝0.47712×0.3010－0.4771≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.2(二)
2．1.2 指数函数及其性质(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12) 5．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1一、选择题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )A ．Q PB ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)}2．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D.324．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x －2B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋26．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________．9．函数y ＝2212x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题 10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；(2)求函数y ＝2212xx --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；(2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图象大致是()13．已知函数f(x)＝2x－1 2x＋1.(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．2．1.2指数函数及其性质(二)知识梳理1．C 2.C 3.A4．B[∵函数y＝(12)x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>1 2.]5．C[由已知条件得0<a<b<1，∴a b<a a，a a<b a，∴a b<a a<b a.]6．C作业设计1．B[因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以Q P.]2．C[∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴16－4x∈[0,4)．]3．C[函数y＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，y max＝3.]4．B[∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]5．C [∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b .]7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增， ∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)．∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]．12．A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞，所以排除C 、D.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.]13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517. (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则22x >12x >0,22x －12x >0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业第二章 基本初等函数 (Ⅰ)章章末检测AB Word版含解析
章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是( ) A .2a －1 B ．－2a －1 C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( ) A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53)D ．[1，53]3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)4．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( ) A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．985．若a>1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( ) A ．y ＝(13)|x －1|B ．y ＝34x -C ．y ＝(14)x ＋3(12)x ＋1 D ．y ＝log 3(x 2－2x ＋4)7．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f(x)>0 B ．增函数且f(x)<0 C ．减函数且f(x)>0 D ．减函数且f(x)<08．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x>02x ，x ≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14C ．－4D ．－149．右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )A ．m<0，n>1B ．m>0，n>1C ．m>0,0<n<1D ．m<0,0<n<110．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 6711．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M ∩N ＝∅12．设偶函数f(x)＝log a |x ＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b －2)与f(a ＋1)的大小关系为( )A ．f(b －2)＝f(a ＋1)B ．f(b －2)>f(a ＋1)C ．f(b －2)<f(a ＋1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.log 34log 98＝________.14．函数f(x)＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________． 15．设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________________．16．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-； (2)已知a ＝12，b ＝132， 求[23a -()()122123b ab a ----]2的值．18．(12分)(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)计算：log 49－log 212＋5lg210-.19．(12分)设函数f(x)＝2x＋a2x－1(a为实数)．(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．20．(12分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．21．(12分)已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．22．(12分)已知常数a 、b 满足a >1>b >0，若f (x )＝lg(a x －b x )． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg2，求a 、b 的值．章末检测(A)1．C [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a .]2．C[由函数的解析式得：⎩⎨⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.]3．C [∵x ≥1，∴x 2＋3≥4， ∴log 2(x 2＋3)≥2，则有y ≥4.]4．B [由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ， 则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.] 5．C [∵a >1，∴y ＝a x 在R 上是增函数，又1－a <0，所以y ＝(1－a )x 2的图象为开口向下的抛物线．] 6．C [A 选项中，∵|x －1|≥0，∴0<y ≤1； B 选项中，y ＝341x＝14x 3，∴y >0；C 选项中y ＝[(12)x ]2＋3(12)x ＋1，∵(12)x >0，∴y >1； D 选项中y ＝log 3[(x －1)2＋3]≥1.]7．C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1,0)上是减函数．]8．B [根据分段函数可得f (19)＝log 319＝－2， 则f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.]9．D [当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m <0，又函数是减函数，所以0<n <1.] 10．D [A 选项中由于y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)单调递减， 所以log 0.44>log 0.46；B 选项中函数y ＝1.01x 在R 上是增函数， 所以1.013.4<1.013.5；C 选项中由于函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增， 所以3.50.3>3.40.3；D 选项中log 76<1，log 67>1，故D 正确．] 11．B [由log 2x ＋log 2(x －1)＝1，得x (x －1)＝2， 解得x ＝－1(舍)或x ＝2，故M ＝{2}； 由22x ＋1－9·2x ＋4＝0，得2·(2x )2－9·2x ＋4＝0， 解得2x ＝4或2x ＝12，即x ＝2或x ＝－1，故N ＝{2，－1}，因此有M N .] 12．C [∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |. 当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)． 综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．] 13.43解析 原式＝lg4lg3lg8lg9＝lg4lg3×lg9lg8＝2lg2×2lg3lg3×3lg2＝43.14．(1,4)解析 由于函数y ＝a x 恒过(0,1)，而y ＝a x －1＋3的图象可看作由y ＝a x 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)．15．(0，34)∪(1，＋∞)解析 当a >1时，log a 34<0<1，满足条件； 当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34. 故a >1或0<a <34.16．(1,2)解析 当x ∈[2，＋∞)时，y >1>0，所以a >1，所以函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a 2，所以log a 2>1＝log a a ，所以1<a <2. 17．解 (1)原式＝1－0＋1(－2)2－()1442-＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34. (2)因为a ＝12，b ＝132，所以 原式＝231281142233a b a b --+-+⎛⎫= ⎪⎝⎭＝84144130333222221----⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．解 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12. (2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －1， 由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x －1) ＝－(12)x ＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0， ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥0－(12)x＋1，x <0.(2)f (x )＝0，即2x＋a2x －1＝0，整理，得：(2x )2－2x ＋a ＝0， 所以2x ＝1±1－4a2， 又a <0，所以1－4a >1，所以2x ＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2. 20．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎨⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎨⎧x ＋1<0x －1<0， 解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． f (x )＝log ax ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， 函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0<a <1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增． 21．解 ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4 ＝(log 2x －1)(log 2x －2) ＝(log 2x )2－3log 2x ＋2 ＝(log 2x －32)2－14， ∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22．(1)解 ∵a x －b x >0，∴a x >b x ，∴(a b )x >1.∵a >1>b >0，∴a b >1.∴y ＝(a b )x 在R 上递增．∵(a b )x >(a b )0，∴x >0.∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)证明 设x 1>x 2>0，∵a >1>b >0，∴1x a >2x a >1,0<1x b <2x b <1.∴－1x b >－2x b >－1.∴1x a －1x b >2x a －2x b >0.又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，∴lg(1x a －1x b )>lg(2x a －2x b )，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数，又恰在(1，＋∞)内取正值，∴f (1)＝0.又f (2)＝lg2，∴⎩⎨⎧ lg (a －b )＝0，lg (a 2－b 2)＝lg2.∴⎩⎨⎧ a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞) 2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )A ．[2,8]B ．[0,8]C ．[1,8]D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于( )A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( )A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( )A.23 B.32C ．2D ．38．已知ab >0，下面四个等式中：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg(a b )2＝lg ab ；④lg(ab )＝1log ab 10. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x ， x ≥4f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x 3＋x(a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________． 15．函数y ＝212log (32)x x -+的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤log a(2－3x)．18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠43，f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．章末检测(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12， 得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.] 4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.]5．B [由100a ＝5，得2a ＝lg5，由10b ＝2，得b ＝lg2，∴2a ＋b ＝lg5＋lg2＝1.] 6．D [∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1，13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数， 12<11.5<2，∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.]7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23， ∴原式＝23.]8．B [∵ab >0，∴a 、b 同号．当a 、b 同小于0时①②不成立；当ab ＝1时④不成立，故只有③对．]9．C [y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C.]10．D [分别作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象．知有一个x <0的交点，另外，x ＝2，x ＝4时也相交，故选D.]11．B [∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．]13.124解析 ∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4，则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23) ＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124. 14．－3解析 ∵3－x 3＋x>0，∴－3<x <3 ∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x 3－x ＝－log a 3－x 3＋x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．∴f (－2)＝－f (2)＝－3.15．(－∞，1)解析 函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}，令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝()212log 32x x -+的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间．16.52 12解析 y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解 (1)指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．(2)∵g (x )≤log a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≤2－3x，解得0<x ≤12， 若0<a <1，则⎩⎨⎧ x >02－3x >0x ≥2－3x ，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x 34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x >43时，f (x )>g (x )．20．解 (1)∵t ＝log 2x ，14≤x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322 时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.21．解 (1)由对数函数的定义知1＋x 1－x>0， 故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x 1－x>1，① 而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0. 故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x 1－x<1，② 而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0.综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)；0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．22．解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++. 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2，∴22x －12x >0.又(12x ＋1)(22x ＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f (x )是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2. 即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3.。
高中数学必修一新课标人教版 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． 3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0， 2x－1≠1， 解得 2 x>3且x≠1.
2 故所求的定义域为(3，1)∪(1，＋∞)．
求下列函数的定义域：
(1)y＝log2(x－1)2；
(2)y＝ .
[解析]
(1)要使函数有意义，须(x－1)2>0，
c<d<1<a<b.
[ 点评 ] 两个单调性相同的对数函数，它们的图象在 位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.
[例2] 求下列函数的定义域：
1 y＝ ； log2(x＋1)－3 (2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
[解析]
(1)要使函数有意义，则有 即x>－1且x≠7.
x＋1>0， log2(x＋1)－3≠0，
如右图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx， ④y＝logdx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 ( A．a>b>1>c>d B．b>a>1>d>c C．1>a>b>c>d )
D．a>b>1>d>c
[答案] B
[ 解析 ] 方法 1 ：对数函数的图象分布与底数 a 的关系 是第一象限内逆时针a值由大到小，故b>a>d>c，∴选B. 方法2：在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、 ④ 交 于 A(a,1) 、 B(b,1) 、 C(c,1) 、 D(d,1) ， 由 图 可 知
总结评述：(1)是利用对数函数的单调性比较两个数
的大小，底数范围未明确指定时，要对底数进行讨论来比
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修13
log3 x, x 0, (2)若函数 f(x)= 3x , 1 x 0, 求 f(f(f(-2-
3x 2 , x 1,
2 ))).
(2)解:因为-2- 2 <-1,所以 f(-2- 2 )=- 32 2 2 =- 1 . 9
(4)因为 logx64=-2, 所以 x-2=64,所以 x= 1 .
8
题型二 对数的简单性质 [例2] 求下列各式中的x. (1)log3(x2-1)=0;
解:(1)因为 log3(x2-1)=0,
所以
x 2
x
2
1 1
0, 1,
所以 x=± 2 .
(2)log(x+3)(x2+3x)=1.
又- 1 ∈(-1,0],所以 f(f(-2-
2
))=f(-
1
)=
3
1 9
.
9
9
因为
3
1 9
>0,所以
f(
3
1 9
)=log3
3
1 9
=-
1
.即原式=-
1
.
9
9
学霸经验分享区
(1)指数式与对数式互化时的技能及应注意的问题 ①技能:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数 值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. ②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母 的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下 角,真数正常表示. (2)对数性质的运用技能 logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数 logaa及loga1的互化.
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.2(二) Word版含解析
2．1.2 指数函数及其性质(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x2．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则( )A．a<0，b<0B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若(12)2a＋1<(12)3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(12，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1 2 )5．设13<(13)b<(13)a<1，则( )A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( ) A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．Q P B．Q PC．P∩Q＝{2,4}D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6B．1C．3D.3 24．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝e x＋2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－e x－2B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝1335-⎛⎫⎪⎝⎭，b＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c＝1243-⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是________________．9．函数y＝2212x x-+⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝2212x x--的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图象大致是( )2．1.2 指数函数及其性质(二) 知识梳理1．C 2.C 3.A4．B [∵函数y＝(12)x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>12 .]5．C [由已知条件得0<a<b<1，∴a b<a a，a a<b a，∴a b<a a<b a.]6．C作业设计1．B [因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以Q P.]2．C [∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴16－4x∈[0,4)．]3．C [函数y＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，y max＝3.]4．B [∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．]5．C [∵y＝f(x)的图象与g(x)＝e x＋2的图象关于原点对称，∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.]6．A [∵y＝(35)x是减函数，－13>－12，∴b>a>1.又0<c<1，∴c<a<b.]7．19解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，由1－2－x<－12，(12)x>32，得x∈∅；当x＝0时，f(0)＝0<－12不成立；当x<0时，由2x－1<－12，2x<2－1，得x<－1.综上可知x∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u＝－x2＋2x，则y＝(12)u在u∈R上为减函数，问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．10．解(1)设x1<x2，则g(x1)<g(x2)．又由y＝2u的增减性得，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，则u在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解(1)∵t＝2x在x∈[－12，12]上单调递增，∴t∈[22，2]．(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，g(t)在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g(22)<g(2)．∴f(x)min＝g(1)＝2，f(x)＝g(2)＝5－2 2.max∴函数的值域为[2,5－22]．12．A [当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，所以排除C、D.当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]。