微积分基础(国家开放大学)---第1章---第1节---函数的概念详解
微积分入门
微积分入门微积分是一门研究函数、极限、导数和积分等概念的数学分支，它在科学、工程和商业等领域有着广泛的应用。
本文将简要介绍微积分的基本概念和原理，帮助初学者更好地理解和应用微积分知识。
极限极限是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某个值时，如果函数的值趋近于一个确定的极限值，我们就说这个函数在该点有极限。
例如，当x 趋近于0时，函数1/x的极限为无穷大；而当x趋近于0时，函数sin(x)/x的极限为1。
导数导数是微积分的另一个重要概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
导数可以看作是函数在这一点的切线斜率，它反映了函数在该点的局部变化趋势。
导数的定义是：当自变量x 在一个很小的范围内变化时，函数值的变化量与x的变化量之比的极限值。
例如，对于函数f(x) = x^2，其在x=a处的导数为2a。
积分积分是微积分的第三个基本概念，它描述了函数在某个区间上的累积效果。
积分可以看作是面积、体积或者其他物理量的总和。
积分的基本思想是将一个连续的量分割成许多小的部分，然后对这些部分进行求和。
例如，对于函数f(x) = x，其在区间[0,1]上的积分值为1/2。
微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它描述了某个未知函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、工程学和其他科学领域有着广泛的应用。
求解微分方程通常需要运用到微积分的知识和方法。
例如，对于一个质点沿直线运动的位移-时间关系s(t)，其速度v(t)和加速度a(t)可以通过对s(t)求导得到，而根据牛顿第二定律，加速度又与作用在质点上的力有关。
因此，通过建立微分方程并求解，我们可以得到质点的运动规律。
总之，微积分是一门重要的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过学习和掌握微积分的基本概念和原理，我们可以更好地理解和解决实际问题。
希望本文能帮助初学者入门微积分，为进一步的学习和应用打下基础。
微积分第一章第一节课件
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
《高等数学(一)微积分》讲义
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
大一微积分每章知识点总结
大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。
在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。
本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。
第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。
函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。
极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。
第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。
我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。
微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。
第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。
第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。
通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。
第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。
定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。
第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。
我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。
微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。
通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。
大一微积分前五章知识点
大一微积分前五章知识点微积分是数学的一门重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。
作为大一学生的你，将要学习微积分的前五章内容。
下面将介绍这五章的主要知识点和概念。
第一章：数列与极限1. 数列的概念：数列是由一系列有序的数按一定规律排列而成的。
2. 数列的极限：当数列的项随着自变量的变化而趋近于一个确定的常数时，称该常数为数列的极限。
3. 收敛数列与发散数列：若数列存在极限，则称为收敛数列，否则称为发散数列。
4. 数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性和保号性等重要性质。
第二章：函数与极限1. 函数的概念：函数是一个自变量和因变量之间的映射关系。
2. 函数的极限：当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值根据一定的规则趋近于一个确定的常数，称该常数为函数的极限。
3. 函数极限的运算法则：极限有四则运算法则、复合函数的极限法则等。
4. 无穷小量与无穷大量：在函数极限的计算中，我们常常会用到无穷小量和无穷大量的概念。
第三章：连续函数与导数1. 连续函数的定义：函数在某一点上的函数值等于该点的极限，我们称该函数在该点连续。
2. 连续函数的性质：连续函数具有保号性、介值性和局部有界性等重要性质。
3. 导数的概念：导数是描述函数变化快慢程度的量，用于研究函数在任意点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：导数具有基本运算法则、常用函数的导数公式等。
第四章：微分学的应用1. 微分的几何应用：微分学常用于求曲线的切线和法线、求曲率等几何问题的解决。
2. 最值与最值问题：利用微分学的知识，可以求函数的最大值、最小值及其所对应的自变量。
3. 函数的单调性与曲线的凹凸性：通过函数的导数可以判断函数的单调性和曲线的凹凸性。
第五章：不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是反导数的概念，表示求函数的原函数的过程。
2. 基本积分表：基本积分表是常见函数的积分公式，学习时需要熟记并掌握应用。
3. 不定积分的计算方法：通过基本积分表、换元积分法、分部积分法等方法可以计算不定积分。
微积分基础(国家开放大学)---第2章---第1节---导数的概念
y 1 1 lim lim , x 0 x x 0 x0 x x0 2 x0 1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
练习: 已知y x，求y.
解：D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x
y x
1．变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，s表示物体从某个时 刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s，则s是 时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。 假设物体在时刻 t 0 的位置为 s t , 在t0 t 时刻的位置 s t t ,
0
0
于是在 t 0 到 t0 t 这段时间内,物体走过的路程为
f ( x 0 h) f ( x 0 h) 2h
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
s st 0 t st 0
s st 0 t st 0 v t t
平均速度
令 t
0,
如果这个极限存在，就定义为物体在 t 0 时刻
的瞬时速度， 即
s(t 0 t ) s(t 0 ) vt 0 lim v lim t 0 t 0 t
3）导数定义的几种等价形式。
经济数学基础微积分第一篇第一章--函数
(2)自变量可以取一， 个还 数可 值以取 一个表达式。
例 31： . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解： f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 ： x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x， lo ： ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同，定义域不同 所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
－3 －2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即： x1
公共部分
写成区间 (1, ： )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
微积分知识点概要
微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
经济数学基础微分学之第1章 函数
第一单元函数的概念第一节函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二、内容讲解同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1——函数设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三、例题讲解例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域． 解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x 。
由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ；由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x 。
综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F ,求)20(,)8(,)3(F F F 。
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2
常用区间表示方法：
全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下： 闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称 为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
11
定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表 达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。 1 x 2 的定义域． 例 1： 求函数 y 2
4 x
解
1 x 2 有意义，必须有 要使 y 2 4 x 4 x 2 0 2 x 2 即 2 x 2 故 Df {x | 2 x 2 0 x 2
2
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
y 1 o -1 x
x sgn x x
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质 的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。
7
函数的两要素
定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
自变量
f ( x0 )
(
Z
y
)
因变量
判定下面各组中两函数是否相同？ f x lg x 2 g x 2 lg x 不相同
x 2}
例2:
求函数 y
5 x
x 1
2
的定义域Df ．
解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1。 故： Df =(-,-1)(-1,5]
12
跟踪训练 求下列函数的定义域.
12 (1)y＝－ x ＋1； 2
解 x∈R；
(2)y＝ 2 ； x －4
解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0， 得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
1 0 x 1 , 求f (0)、f (2)，函数 f ( x)的定义域. 例3 设f ( x) 2 1 x 2
解
f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
9
分段函数
分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定 义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示 该函数完整的对应规则。 注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！
例：
y
2
2 x 0 x 1 f x x 1 1 x
O
1
x
10
分段函数应用
1、个人收入所得税 2、出租车计费
x－2
13
(3)y＝ ； x＋|x |
解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0， 得原函数的定义域为{x|x>0}；
1
(4)y＝ x－1＋ 4－x＋2；
x－1≥0， 解 要使函数有意义，必须使 4－x≥0，
得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
14
(5)y＝ 4－x ＋ ； |x|－3
第1章 函数、极限、连续 §1.1 函数的概念
§1.1.1 常量与变量 §1.1.2 函数的定义 §1.1.3 函数的特殊性质 §1.1.4基本初等函数 §1.1.5复合函数与初等函数
1
§1.1.1 常量与变量
微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注 一下研究过程中的常量与变量。 常量:在研究过程中始终保持不变的量 变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分 子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊 联系方式。
T
Pt0 , T0
1 2 引例2 自由落体运动 S gt 2
引例3 气温 T 与时间 t 的关系 引例4 销售量 q 与月份 t 的关系
月份
O
12
t
t
1
2
3
4
5
6
销售量
q 100
105
110
115
111
120
6
函数的概念
定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集， 若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f, 总有唯 一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作 y=f (x) 。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f 的定 义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。
3
区间、邻域示意图
闭区间[a,b] 无穷区间(a,+)
o
a
开区间(a,b)
b x
o
a
无穷区间(-,b)
x
o
a
b
x
o
去心邻域
b
x
邻域
a
a
a x
a
a
a x
4
§1.1.2 函数的定义
◎一.函数概念及其表示 ◎二.分段函数 ◎三. 定义域的求法
5
函数关系引例
引例1 圆面积
A r 2
f x 3 x 4 x3
f x x 3 x 1
相 相
同 同
8
y 1 cos2 x
u sin 2
函数的表示法
常用的函数表示法主要有三种： 公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格 法(引例4)。 各种表示法各有其特点： 图示法使函数的变化表现得较直观，表格法 (如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值， 而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学 理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需 要结合使用。