一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。

2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。

由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于与之间的体积微元为32()2(1)(2(4(21)(21)RRRRRl R x R xw l R x l R x lR lR ρρρπρ--⋅=⨯⨯-+=--++=-=-⎰⎰⎰长宽高它在水面下方需移动，上方需移动3114[34131ππ∴===例2(3)（功）、设半径为的球正好有一半沉入水中，球的比重为，现将球从水中取出，问要作多少功？解法一：分析：把球的质量集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质量为的质点向上移动距离为时变力所作的功，问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为球受的重力球的体积，球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面部分的体积。

当球心向上移动距22126(01)22(1)()333221113[()]()33321212hh h hz dz h hw h dh πππππππππ<<+-=+-=+-=+-=⎰⎰离时，，球露出水面部分的体积为因此，球从水中取出要作的功为πππππππππ1213)1()1)(1()1()1(11,)1(],[]1,0[)1()1(,)1()1()1(,)1(],[]0,1[][10212211222221122=-+-+=+=∴-=-⋅=-+-+=-+=⋅=+-+-⎰⎰⎰⎰--dx x dx x x w w w dxx w dxx dw dx x dx x x dxxx w dx x x S F dw x dx x dx x x x 对整个球做的功为于是对上半球作的功为，需作功移动的距离为当球从水中取出时，它其重量为相应的球体中的薄片，上小区间片即任取上半球中的微元薄为于是，对下半球作的功作功处需此薄片移至离水面高为，当球从水中取出时，在水中浮力与重力相等其重量为相应的球体中的薄片，上的小区间薄片即的微元球心，任取下半球取中心，方向向上，原点为轴垂直水平面并通过球取分析：微元法解法二、34.0.2500/[10.22][,][,0]m kg m m y y dy R ==-+⊂- 例2(4)（功）要将一半径为，密度为浮于水面的木球提高水面，问需要作功多少？分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律比重水的比重），所以只要提高即可将此球提离水面，由于在整个过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功克服重力所作的功浮力所作的功解：建立坐标如图，取则对应于此小区间，浮力2202243()()[()]1()12.315()44500[(0.2)]9.80.212.31520.525()3Rdw ydF yg dm yg dV yg R y dy W gy R y dy gR kJ W W W kJ W W W W W W ρρππρπρπ-====-∴=-===-=⨯-==+-=-⎰浮浮重浮提下重浮重浮提上重作功的功元素为从而有与前例类似：5.S S a b x k P V k PV k P Vk V xS P xSk k F p S S xS x===∴=∴=⋅=⋅=例2(5)（功）在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积）从点处推移到点处，计算在移动过程中，气体压力所作的功？解：取坐标系为图，活塞的位置可以用坐标来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强与体积的乘积是常数，即，或，作用在活塞上的力：在气体膨[,][,][,],lnbaV x x a b x x dx a b k k x x dx F dx dw dxxxkb w dx k xa++=∴==⎰胀过程中，体积是变的，因而也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的取为积分变量，它的变化区间为，设为上的任一小区间，当活塞从移动到时，变力所作的功近似于即3226.108/4[4.20][,],88(20m kN m m x m x x x x dx dx dw x dx x ππ∈+===例2(6)（功）一球形贮液灌，半径为，盛有比重为的某种液体，液面距离灌顶部出口，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？解：作轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为，取为积分变量，考察上液体，高度为底圆半径320202344)(3112968(20)325990()3*x dxw dw x x dx kJ x x ππ-⨯⨯∴==-=≈⎰⎰比重体积路程）本题也可选择轴的原点在球心，这时变量的范围和功元素的表达式都要随之改变水压力()h P gh g A h P p A p ρρ==⋅⨯从物理学知道，在水深为处的压强为，是水密度，是重力加速度，如果有一面积为的平板水平地放放置在水深为处，那么，平板一侧所受的水压力为，压强面积，如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强为不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算，此时一般用微元法31[,],223RR x x dx dP dP gx g P Rρρρρ+=⨯=⋅∴==⎰例3(1)（水压力）、一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为，计算桶内的一个端面上所受的压力.解：取坐标系如图桶的一个端面为圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的一个半圆片的一侧所受的水压力，考察上所受的压力压强面积322212.1211/11211[,]22322()15m m m t m x ky m m k x yx x dx dP x ydx P t x ρρρ==+∴=∴=++=⨯==∴====⨯⎰例3(2)（水压力）灌溉涵洞的断面为抛物线拱形，在水面高出涵洞顶点为时，求涵洞闸门（底面宽为，高为）所受的水压力（水的比重）解：建立坐标系如图该抛物线的方程为，由条件，闸门高为，宽为，考察在上的压力，压强面积这里压强比重31/m x g=⨯=⨯水深吨水深，最后压力单位吨与前例有区别比重密度103.2012101062,100101065[,]122(10)5212(10)73353x y AB y xx x dx x dP xdS x ydx x x dxP x x dx --==---+=⨯=⨯==⋅=-∴=-=⎰例3(3)（水压力）有一形状为等腰梯形的闸门，二水平面的长分别为米和米高为米，若较长边位于水的自由表面，计算水对闸门的压力解：建立坐标系如图所在的直线方程：即在上，压强水的比重水深压力吨4.0.4,61,,,[,][,]2[()sin ]2[()sin ](RRR m H m x y y y dy R R dF pdA gh xdy g H R y F g H R y g H R παρραραπρ-===∀+⊂-==⋅=+-⋅∴=+-⋅=+⎰例3(4)（水压力）半径为的圆形薄板，与液面成夹角为斜沉于水中上缘距水平为，求薄板一侧所受的压力.解：取圆心为原点平行液面的半径为轴建立相应的轴对应水平小条的压力为23sin )0.411000/,9.85911.22()6RR m H m kg m g F N απαρ======以，，，代入得21502..7%5:4...........1'2(II l ABC D AB h y x P g h ρρ==+例3(5)（水压力）、（）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成。

当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为，闸门矩形部分的高应为多少米？解法一：建立坐标系如图，为水的密度，则抛物线方程为闸门矩形部分承受的水压力121120211221)...........................3'122(1)4()315551,2124434()3152h y dy gh P g h y g h P hh h P h h ρρρ+-==+-=+====-+=⎰⎰闸门下部水承受的水压力为解得：，，（舍去）故引力由物理学知道，质点分别为21m m ，，相距为γ的两质点间的引力的大小为221γm m GF =，其中G 为引力常数，引力的方向沿着两质点的连线方向如需计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的， 且各点对该点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算2232222(1[,][,]()cos (x x x x l a m M m dy y y dy y y dy dy F G a yam dyF F dF Ga y a dF F F F ram dyF Ga μμμμαμ++∆=+∆∆=-+=∆⋅=⋅=∴=-例4(1)引力）、设有一长度为，线密度为的均匀的细直棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点，试计算该棒对质点的引力解：建立坐标系如图考察上引力微元，上的质量为，在水平方向分力的近似值，（23222)2*,)l ly dy y F G m l l l aM μ-=-+=→+∞⎰由对称性知，引力在铅直方向的分力为当细直棒的长度很大时，可视趋于无穷，此时，引力的大小为（方向与细棒垂直且由指向细棒222232.90111,(01)0(,,)1,x y Z x y z z x y F F x y z dV kdVzz dF kdV ρρρ+≤≤≤====例4(2)（引力）设有顶角为，高为的正圆锥体，密度为，求正圆锥体与位于圆锥体顶点质量为的质点之间的引力.解：建立坐标系如图正圆锥方程为根据对称性可知，所求引力在轴，轴上的分力取包含点的体积微元，则此微元与原点处质量为的质点间的引力为，并且它在轴的方向的分力其中2111313222222]2(12()(1)z rzzdzrF k dV kd rdr k dr k r z r πθππρΩ∴===-=-++Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中表示所讨论的锥体[]223,(),,,0()()l x l x m a k km l a a l x dx dM dx m dM km dF k dx x l a x a x dF μμμμ-+==⋅=∈---例4(3)（引力）在轴上有一线密度为常数，长度为的细杆，在轴上还有一质量为的指点道干右端的距离为一直引力常数为，则质点和细杆之间引力的大小为解：用微元法，在细杆上处去长为的一小段，其质量为则质点与这一小段细杆之间的引力大小为求积分，即得质点和细杆之间引力的大小为F=02()()lkm km l dx a x a a l μμ-==-+⎰⎰质心:(),,/)(,),(,,bbyxbb x yaab aL y f x a x b kg m x y M M x y MMMf x ML x y M l μμμμμμμ=≤≤========⎰⎰⎰设光滑曲线具有均匀线密度（该曲线的质量中心为则有其中表示对轴与轴的静力矩为该曲2222(,,,b yab xax y b b aal xl S yl f x S S S y l llππππ======⎰⎰⎰⎰线的质量，为弧长。