4.比较静态分析

4比较静态分析研究当任何外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡值将如何变化。

一．市场模型⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=d b bc ad Q d b c a P dP c bP a Q Q sd 为求解a 、b 、c 、d 中任一参数的无穷小变化如何影响P 值，可通过把P 的表达式对每一个参数求偏导数得到。

0,01)(2<∂∂=+-=∂∂>∂∂=+=∂∂+d Pc a b P c Pd b a P d b作业：求出Q （均衡状态） 的比较静态导数二．国民收入模型t a a a Y a tY T a T Y a C C Y G I T C T T C C G I ⋅--++⋅-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<>+=<<>-+=++=1)10,0(,)10,0(),(0000000000 ，政府支出乘数0110>⋅--=∂∂ta a Y G 非所得税乘数,010<⋅---=∂∂ta a aY T ，所得税率乘数0)()1()1(220000<⋅-=++--=∂∂⋅--⋅--t a a t a a G I T C Y a a a t Y三．最优化的比较静态分析 对于cy x g t s y x f z Min Max ==),(..),()(可构造拉格朗日函数：)),((),(y x g c y x f Z -+=λ由一阶条件可得：λ==gf gfyy xx ，且c-g （x ，y ）=0可解得：)(),(),(c y y c x x c ===λλ 代入可得：)),((),(y x g c y x f Z -+=λλ=dcZd λ是参数c 引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。

作业：已知x 商品价格为4，y 商品价格为6，总收入为130，效用函数为U=（x+2）（y+1）。

求（1）写出拉格朗日函数；（2）求最优购买水平；（3）满足极大值二节条件吗；（4）把最优x ，y ，λ对Px ，Py ，B （总收入）进行比较静态分析。

4.2对数函数及指数函数在经济中的应用 一．指数函数和对数函数e axxy a and a y =≠>=或1,,0ln log1,,0xx ay a and a y =≠>=或二．非线性函数的对数变换ln ln ln ln L KAq LKA q βαβα++=⇒=例1：By x t s u Max PP y x yx =+=..βα通过变换可构造拉格朗日函数如下：)(ln ln y x B L P P y x yx--++=λβα按拉格朗日法求解极值 三．连续复利 由e nnn =+∞→)11(lim ，对于e nr r rtntn tP P S PS ===++∞→)1(lim )1(若连续复利可写作由指数函数转化为自然指数函数指数函数可用来度量离散的增长率；自然指数函数用来度量连续的增长率，两者可以互换。

ln)1()1(,m i rt mtm r P S P S e mi +=⇒==+，和，例：本金100元，10%年利率，半年复利一次，两年后的终值。

解：这里m=2，i=10%，所以09758.004879.022lnln05.1)1(=⨯===+mi mr =55.12110010019516.0209758.0===⨯eeS时间最优问题：现值100元的玻璃以下面公式增值etV 100=，在以（a ）r=0.08（b ）r=0.12连续复利的情况下，保持多久才会使现值最大。

（1）贴现公式e ert rtS S P ==/，所以上述玻璃的现值为：ee rtt rt V P -==100取对数rt t P-+=ln ln100把上述表达式对t 求导并令导数等于零：008.0211)(21ln =-==-t dt dP P dt d P由此可解06.3916.02==-t作业：为投机买入的土地以etV 31000=增值，在贴现率为0.09复利情况下，持有多久土地价值最大。

增长率一个函数y=f （t ）的增长率定义为：yy dt dy g y '== 例：农产品价格以每年4%上涨，产量以2%增加，求来自农业部门收益的增长率R=PQ ，lnR=lnP+lnQ%6%2%4)()()()(ln ln ln ln ln '=+=+=+===QPQPRdtd dt d dt d dt d R g R 就业机会E 每年以4%的速度增加，人口以2.5%的速度增长，求人均就业机会的增长率。

一企业输入量以10%增长，输入成本以3%增长，总输入成本的增长率是多少？一般函数的比较静态分析当模型含有以一般形式表示的函数时，由于难以得到显示解，偏微分技术已难以适应。

因此必须使用像全微分、全导数，以及隐函数定理、隐函数法则等新的方法。

我们首先用市场模型，然后再运用国民收入模型来介绍这些方法。

市场模型考察一个单一商品市场，其中需求量Q d 不仅是价格P ，而且是外生确定的收入Y 0的函数，但供给量Q s 则仅是价格的函数。

如果这些函数并未以具体形式给出，则我们可以将这个模型一般地写成：)0/)(()0/,0/)(,(0>=>∂∂<∂∂==dP dS P S D P D P D Q YY Q QQ sd sd假设函数D 和S 均拥有连续偏导数，或者换句话说，均具有平滑的曲线；而且，为了保证其经济意义，我们对这些导数的符号施加明确的限制。

尽管供给函数可以是线性的，也可以是非线性的，但限制条件dS/dP ＞0，规定了供给函数是单调递增函数。

类似地，对需求函数的两个偏导致符号的限制可以表明它是价格的减函数、收入的增函数。

这些限制可以把我们的分析限定在我们希望遇到的“正常”情况。

在描绘通常的二维需求曲线时，收入水平被假定为固定不变。

当收入变化时。

由于会导致需求曲线移动而破坏给定的均衡。

类似地，在(8.27)中，Y 0可通过需求函数导致非均衡变化。

这里，Y 0是唯一的外生变量或参数，所以此模型的比较静态分析就只关注Y 0的变化如何影响模型的均衡状念。

市场的均衡状态由均衡条件Q d ＝Q s 所确定。

通过替代和重排，均衡条件可以表示成： D （P ，Y 0）-S （P ）=0尽管不能解此方程求出均衡价格P ，但我们仍假设确实存在静态均衡——否则即便提出比较静态分折问题都没有意义。

根据我们处理具体函数模型的经验，我们可以预期P 是外生变量Y 0的函数：)(Y P P =现在我们借助于隐函数定理，对这种预期提供严格的依据。

因为(8．28)的形式是F(P ，Y 0)＝0，满足隐函数定理的条件将会保证在满足(8．28)的某一点的邻域内，即在均衡(初始或旧的)解的邻城内，每一个Y 0值都得到一个唯一的P 值。

在此情况下，我们实际上可以写出隐函数)(Y P P =，并讨论其导数Yd P d 0/——我们知道它是存在的，它正是我们所要求的比较静态导数。

现在我们来检验那些条件。

首先，函数F(P ，Y 0)确实具有连续导数，因为根据假设，函数和的两个部分D(P ，Y 0)和S(P)均具有连续导数；其次．函数F 对P 的侗导数，即P S P D FP ∂∂-∂∂=//为负，因此无论在何处计算均不等于零。

因此，可应用隐函数定理，且(8.29)确实成立。

基于同样的定理，均衡条件(8.28)在均衡解的某一邻域内可视作恒等式。

这样，我们可以把均衡等式写成：0)(),(0≡-P S P D Y则只需直接应用隐函数法则便可得到比较静态导数dP ／dY 0。

为便于识别，以后我们将导数dP ／dY 0加上括号以区别于一般的导数。

这些导数只是模型特征的一部分，比较静态导数的结果是0/////000>-∂∂∂∂-=∂∂∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P d dS P D D P F F d P d Y Y Y 在此结果中，表达式P D ∂∂/是导数P D ∂∂/在初始均衡点P P =处计算的值。

对P d dS /也可以作类似的解释。

事实上，Y D 0/∂∂也必须在均衡点计算。

由于需求函数和供给函数中符号的设定，YdP d 0/恒为正，因此我们的定量结论是：收入水平的提高(下降)将会导致均衡价格的提高(下降)。

如果供给函数和需求函数在初始均衡的导数值为已知，则[8．31)当然也会给出定量的结论。

上述讨论涉及到y 0变化对P 的影响。

那么，能否发现y 0变化对均衡数量)(Q Q sdQ ==的影响呢?答案是肯定的。

因为在均衡状态，我们有)(P S Q =，又因为)(0Y P P =，我们可应用链式法则得到导数)0(0)(00>>⋅=Pd dSd P d P d dS d Q d Y Y 因为 因此，在此模型中，均衡数量也与Y0正相关。

而且，如果各导数在均衡时的取值已知，(832)也会给出定量的结论。

(8．32)和(8．32)包括了市场模型中所有的比较静态分析的内容，这些结果并不出人意料。

事实上，它们只不过传递了这样一个命题：需求曲线向上移动将会导致更高的均衡价格和更大的均衡数量。

好像只用简单的图解分析就可以得到同样的命题，这似乎有道理，但人们不应忽略我们这里所用的分析方法具有更普遍的一般性。

再重复一遍：图形分析就其本质而言仅局限于—组具体的曲线(即一组特定函数的几何表示)，因此严格地说，其结论也仅与这组曲线相联系，仅适应于这组曲线。

与此形成鲜明对照的是，(8．27)式虽然简单，却包含了斜率为负的需求曲线和斜率为正的供给曲线所有可能组合的全部集合，这样它也就更为一般化。

此外，这里采用的分析方法还可处理图形分析方法难以解决的远为复杂的问题。

模型(8．27)的分析是以一个单一方程即(830)为基础完成的。

由于一个方程只能包含一个内生变量，所以包含了P 则意味着排除了Q 。

因而我们不得不首先求出(dP ／dY0)，然后在下一步再导出(dQ ／dY0)。

现在我们来介绍如何同时研究P 和Q 。

因为有两个内生变量，相应地我们要建立由两个方程组成的方程组。

首先，令(827)中的Q ＝Qd ＝Qs ，并重排，我们iJ 将市场模型表示成F1（P ，Q ；Y0)＝D(P ，Y0)-Q=0 F2(P ，Q ；Y0)＝S(P)-Q=0此式与(8．20)的形式一致，其中n ＝2，m ＝1。

再一次检验隐函数定理的条件是有意义的。

首先，因需求与供给函数均假定有连续偏导数，所以函数F1与F2必定也具有连续偏导数。

其次，内生变量雅可比行列式(包含P 和Q 的雅可比行列式)确实不为零，不管在哪一点计算其值。

因为：0112211>∂∂-=--∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=PDdP dS dP dS P DQPQ P J FFFF因此，如果均衡解存在(我们必须作这样的假定才能使我们对比较静态学的讨论有意义)，根据隐函数定理我们可以写出隐函数：)()(00Y Y Q Q and P P ==尽管我们不能解出P 和Q 。