5 拟凹规划与比较静态分析

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5.1.3 最优解的充分条件

Kuhn-Tucker 条件是 x 作为解的必要但非充分条件。
图 5.4 中的 x 满足 Kuhn-Tucker 条件，但它不 是问题(5.2)的解；而点 x* 和 x** 则都是。

为检验二阶条件或充分条件，需要计算(加边)海赛 矩阵并且检验负半定性，这是一件痛苦的事情!
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经济理论中的多数最优化模型能满足定理的条件 伪凹性 不稳定的拟凹性 伪凹性 凹性 伪凹性 严格拟凹性 伪凹性
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问题(5.2)的惟一解。 定理 5.3 假设 x* 是问题(5.2)的最优解，如果
*
f (, θ ) 严格拟凹
约束函数 g m ( ,θ) 拟凸，
在 1 个变量和 1 个参数的情形下，隐函数公式为
ˆ) (
26
1
ˆ) ˆ, h ( x ˆ) ˆ, h (x
x

考虑一维的情形，并设 ( ) 是方程 h ( x, ) 0 的惟一 可微的解。于是， ( ) 由 h ( ), 0 给定。
max f (x, θ) N
x
s.t. g m (x, θ) 0, m 1,..., M
定理 5.5 假设问题(5.6)满足：
(5.6)
(i) f (, θ), g1 (, θ),..., g M (, θ) 连续可微 (ii) D (θ) 非空 (iii) x* 是问题的解 (iv)在点 x* 处约束限制满足(包括所有的非负约束)。
f (x, θ), g1 (x, θ),..., g m (x, θ) 连续可微；
D (θ ) 非空
x* 是问题的解
在点 x* 处约束限制成立。
则可得 Kuhn-Tucker 条件：
1．Lagrange 条件：
m 0 ， f (x* , θ) m1 mg m (x* , θ) 。
max f ( x, θ) N
x
s.t. g m ( x, θ) 0, m 1,..., M
(5.8)

定理 5.6 Lagrange 乘子定理 假设问题(5.8)满足
(i) f (, θ), g1 (, θ),..., g M (, θ) 连续可微； (ii) D (θ) 非空； (iii) x* 是问题的解； (iv)在点 x* 处约束限制成立，
则最优性条件为
* * 0 ， xn Lxn (x* , θ, λ * ) 0 ， xn Lxn (x* , θ, λ * ) =0， n 1,..., N
(5.7)
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例 5.2 消费者问题
max u ( x) N
x
s.t. pT x m
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5.2.2 等式约束
问题
m ， f (x* , θ) mg m (x* , θ)
m 1
M
这一条件称为 Lagrange 条件。
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定理 5.7 最优解的充分条件 问题(5.8)中，设(1) f (, θ) 伪凹;(2) g1 (, θ),..., g M (, θ) 拟凹; 如果 (x* , λ ) 满足 Lagrange 条件，并且 x* D(θ) ， m 0 ， 则 x* 是问题的解。
B ( x ) x 处紧的约束集
点 x 处 约 束 限 制 (constraint qualification) 成 立
g
m
(x, θ) m B(x) 中的向量线性无关
5
5.1.2 Kuhn—Tucker 定理

Kuhn-Tucker 定理

i. ii. iii. iv.
设问题(5.2)满足
7

为什么紧的约束乘子必须是非负的？ 如果乘子为负，向约束集内部的移动使约束 变松，从而会增加函数值。
g ( x* )
f ( x* )
图 5.2 为什么 λ 是非负的
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如果不满足约束限制，Kuhn-Tucker 定理会失效 图中的 x* 是问题的解，但无法将 f (x* ) 表示 成 g1 (x) 和 g 2 (x) 的线性组合。
ˆ 处的解； ˆ 是方程组在 θ (ii) x
(iii)偏导数向量矩阵是非奇异的，即
ˆ ) N h x ( x ˆ,θ 秩
ˆ ) 处局部有解； ˆ,θ 则：1．方程组在 (x
2．隐函数 连续可微并且
ˆ ) h (x ˆ ˆ ˆ ˆ θ (θ x , θ) hθ (x, θ)

比较静态分析的常用工具 隐函数定理 包络定理
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5.3.1 隐函数定理
开集 X N K 上的方程组
h n x, θ 0, n 1,..., N

(5.10)
ˆ ) 处局部有解 ˆ 处的解为 x ˆ ，称方程组在 (x ˆ,θ 设在 θ
方程组的隐式解(implicit solution) 对某些包含
n 1
N
则最优性条件为
Lxn x* , θ, λ 0, xn* 0, xn* Lxn x* , θ, λ 0, n 1, 2,..., N g m ( x* , θ) 0, m 0, m g m ( x* , θ) 0, m 1, 2,..., M
ˆ 的变化做出不同的反应。 参数
图 5. 5 最优解可能不是全局惟一解
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只有偏导数矩阵 h x (, θ) 非奇异时，才能应用定理
图 5.6 hx (, θ) 奇异时，解可能不是局部惟一的
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5.3.2 包络定理
定理 5.10 平滑包络定理
*
假设 x 是问题：
max f ( x, θ ) N
x
s.t. g m ( x, θ) 0, m 1,..., M
的局部极大点，如果：(i) f (, θ), g 1 (, θ),..., g M (, θ) 是连续
ˆ ) 处二次 的、凹的；(ii) f (, θ), g1 (, θ),..., g M (, θ) 在点 (x* , θ
则： x* 是问题(5.2)的解 x* 它是修正后的问题
max f ( x, θ ) N
x
s.t. g m ( x, θ)=0, m 1,..., L
(5.9)
的解。
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5.3 比较静态分析
5.3.1 隐函数定理 5.3.2 包络定理
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比较静态分析 分析经济模型的解随参数的变化而变化的情况。 经济模型中多数可检验的预测和政策含义源于比较 静态分析。 可以是定性的，也可以是定量的。
第 5 章 拟凹规划与比较静态分析
5.1 Kuhn—Tucker 问题 5.2 最优化问题的变形 5.3 比较静态分析 5.4 单调比较静态分析 5.5 对偶原理
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本章解决参数约束最优化问题
xD ( θ )
max f (x, θ)
(5.1)
余下的两个问题：
1．求解方法：如何求出问题(5.1)的解？ 2．比较静态分析 ：参数 θ 发生变化时，解集
对 求导，利用链式法则，有:
hx ( ), ( ) h ( ), 0
ˆ) x ˆ ， ( ˆ 处，可得隐函数的公式。 则在 =
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例 5. 3 隐函数定理在最优化问题中的应用
考虑由开的参数集 定义的等式约束最优化问题， Lagrange 定理隐性刻画了问题的解。任意解 (x , λ ) 必须求解以 下 N M 个方程
m f xn (x* , θ) m g x (x* , θ) 0, n 1,..., N n m 1 M
*
g m (x* , θ) 0, m 1, , M
设 x* (θ), λ (θ) 是方程组的解， x* (θ) 是函数。定理的第一部分表 明：若对左边每个方程关于 x 和 λ 求导，则解 x* (θ), λ (θ) 是可微
* 的；定理的第二部分为导数 x 和 λ 提供了计算公式。


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隐函数定理的注意点
ˆ ) 处有惟一的局部解，但不 ˆ,θ 定理保证方程组在 (x
ˆ 的全局解。 ˆ 是给定 θ 保证 x

有多个解时，需要更细心一些
ˆ ) ( ˆ) ( ˆ) ，每个解对 在图 5.5 中， (
x
s.t. g m ( x, θ) 0, m 1,..., M
(5.2)

约束集 D (θ) 非空 经济学中还经常包括 等式约束 g m (x, θ) 0 非负约束 x 0 (等价于 −x 0 )。
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基本概念 约束是紧的(binding) g m (x, θ) 0 ： 约束是松的(binding) g m (x, θ) 0 ：
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对多数经济问题，定理 5.2 能有效解决这一问题： 定理 5.2 充分条件
假设问题(5.2)满足 Kuhn-Tucker 定理的条件，并且：
(i) (ii)
f (, θ ) 伪凹；
g m (, θ), m 1,..., M 都是拟凸的
*
则满足 Kuhn-Tucker 条件的所有 x 都是问题的解。
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例 5.1 问题
max log x1 log( x2 5) s.t. x1 x2 4 0 x1 0, x2 0
(i) (ii) 目标函数是两个对数之和：凹 约束函数是线性的:凸。问题(5.5)是凸的，因而可以 应用定理 5.4。 (5.5)
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