非齐次线性微分方程通解的证明
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
§4.6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
1 2 增 广 矩 阵 A = ( A, β ) = 1 4
1 1 1 1 2 3 1 1 −3 a 0 2 2 6 6 5 3 3 −1 b
1 0 ∼ 0 0
1 −1 −1 −5 a-4 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a-b+4 1 1 1 1 2
r +1
有唯一解；
ɶ 当d r +1 = 0时R( A) = R( A) = r < n, AX = β 有无求多解.
例1 解 线 性 方 程 组 x1 + x 2 + x 3 − 2 x4 + x5 = 2 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 3 2 x + 4 x + 3 x − x + 3 x = 5 1 2 3 4 5 1 1 1 −2 1 2 ɶ = ( Aβ ) = 1 3 2 1 2 3 解 :A 2 4 3 −1 3 5
λ −λ 2 (1 + λ )
2
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B) = 3,方程组有唯一解 :
(λ +1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ +2 λ +2 λ +2
2
2) λ = −2时,
1 B ~ 0 0 1 − 3 0 − 2 3 0 4 − 6 3
§6 非齐次线性方程组有解的条 件及解的结构
定义1 齐次线性方程组AX=0称为非齐次线性方 程组AX=β的导出组(或对应的齐次线性方程组） .
非齐次方程特解xsinx_解释说明
非齐次方程特解xsinx 解释说明1. 引言1.1 概述在数学领域中，非齐次方程是一类重要的方程形式，其解决了很多实际问题。
而本文将着重讨论非齐次线性微分方程特解中的一个特例- 特解$x\sin(x)$。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分，包括引言、非齐次方程特解$x\sin(x)$的意义与背景、解释非齐次方程特解$x\sin(x)$的方法和步骤、实例分析与数值模拟结果展示以及结论和进一步研究展望。
每个部分都将对该题目进行详细阐述和探讨。
1.3 目的本文主要旨在解释并探索非齐次方程特解$x\sin(x)$的性质和推导过程，并通过实例分析和数值模拟来验证其有效性。
同时，亦展示该特解在实际问题中的应用前景和启示，并对未来进一步研究提出可能的发展建议。
以上为文章“1. 引言”部分内容。
2. 非齐次方程特解xsinx 的意义与背景2.1 非齐次方程的定义和特点在数学中，非齐次方程是指含有非零右端项的微分方程。
与齐次方程相比，非齐次方程具有更广泛的应用背景和研究对象。
非齐次方程通常包含一些外部因素或驱动力，对于描述现实世界中各种物理、化学、经济等系统的行为起着重要作用。
2.2 xsinx 的性质与重要性函数xsinx是一种特殊的周期函数，它在数学分析和物理学领域有着广泛的应用。
xsinx函数具有周期为2π，在每个周期内正负交替的性质；同时其导数为cosx，在不同区间上呈现出不同的增减性质。
特解xsinx具有独特的形式和特点，它既兼具线性增长趋势又包含了正弦函数的振荡部分。
这使得特解xsinx能够较好地描述某些问题中存在线性趋势和振荡行为的情况。
例如，在电路工程中，当考虑到外部输入信号对电路响应时，特解xsinx能够描述电路中线性响应和振荡部分的相互作用。
此外，特解xsinx还在信号处理、振动力学、波动学等领域有着广泛而重要的应用。
在这些领域中，我们经常需要考虑非齐次方程及其特解来描述和分析各种现象和系统的行为。
一类三阶线性非齐次微分方程的通解公式
个解 y1 ≠ 0 的情况下，利用降阶和常数变易法能求出其通 解公式 [4]。本文对其进行研究，最后验证结论的有效性。
令 t(x)=y''+a(x)y'+z(x)y
（2）
则上式可化简为 t'(x)+ar(x()At2()x)==r f((Ax))⇒ r(A) = r(A2) = r(A3) =
∫ 1
将（3）代入（2）得 y''+a(x)y'+z(x)y
∫ y1 ≠ 0是 y''+a(x)y'+z(x)y=0的一个特解，则= y三′′ +阶a线(x性) y′ + z(x) y = e∫−a(x)dx[ = f (x)e∫a(x)dxdx + c1] f *(x)
非齐次微分方程（1）的通解公式为：
*基金项目：江苏省高等学校自然科学基金项目“宿迁林业有害生物的建模防控研究”（项目编号：18KJB180027）；宿迁市产业发展 引导资金（科技创新专项）“生物数学在宿迁有害生物防控上的应用”（项目编号：S201818）研究成果。
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的一个特解为 y1 ≠ 0，令 y =y1u是（5）的与 y1 线性
c3′(x) y1 + c2′(x)z1 = 0 c3′(x) y1′ + c2′(x)z1′ = f *(x) 确定，且
∫ = f * (x) e∫−a(x)dx[ f (x)e∫a(x)dxdx + c1] 。
无关的特解，则 y = y 1u，y ' = y 1u' + y 1' u，将 y ' ' = y 1u' ' +
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
非齐次线性微分方程的特解
非齐次线性微分方程的特解
这是一类具有非齐次项的线性微分方程。
非齐次线性微分方程(non-homogeneous lineardifferential equation)n."一阶线性微分方程。
线性微分方程分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为
\dot x=A x
形式，其中A表示一个矩阵。
另一类就是非齐次形式的，它可以表示为
\dot x=A x+f(t)
形式，其中g(t)是一个已知的关于自变量t的函数。
与齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微
分方程是有利的。
齐次线性方程的形式是
Ax=0
非齐次线性方程的形式是
Ax=b
对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。
就是:
非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一
个非齐次方程的特解。
非齐次线性微分方程，是具有非齐次项的线性微分方程。
其中，一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x) 非齐次线性微分方程的通解，是由其对应的齐次方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解组成。
n阶常系数非齐次线性微分方程的通解
( ∫ L( ∫ e
( r1 − r2 ) x
(−1)i x n −1 −i +i i −r x ( ∫ x e f ( x ) d x) d x ) L d x ) d x ) d x ∑ i = 0 ( n1 − 1 − i1 )!i1 !
1 1 2 1 1 1
证明 1 当 n = 2 时 因为 r1 ≠ r2 由定理 1 知其通解为 y 2 =
一般常微分方程教材中 用特征根法求 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解的方法已很成熟[1 用积分表示方程的通解在文献[3]~[5] 中进行了探讨 设 n 阶常系数非齐次线性微分方程 但还不完善 仍值得研究
2]
y ( n) + a1 y (n−1) + L + an−1 y ′ + an y = f ( x )
关 键 词
n 阶常系数非齐次线性微分方程
通解 特解
韦达定理 A
中图分类号 O175.1
文献标识码
The General Solution Derivation of Order n Non-homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients
所 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 r1 , r2 , L , rn
( f ( x )连续)
(1)
由 韦 达 定 理 可 将 方 程 (1) 化 为
( y ′ − rn y )( n−1) + L + ( −1) k
令 y1 = y ′ − rn y
1≤i1<i2 <L<ik ≤ n−1
设方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r1 , r2 , L , rn
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非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程（5.21）的基本解组，那么，非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出（5.29）这里是的朗斯基行列式，是在中的第k 行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30）这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为证明考虑n 阶线性微分方程的初值问题12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,]n a b t t t t ϕϕϕ-'=∈，，...,0n12k 112[x (),x (),...,x ()]()=x (){}()[x (),x (),...,x ()]tk n k t n W s s s t t f s dsW s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12x (),x (),...,x ()n s s s 12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]n W s s s (0,0,...,0,1)T1122()()()...()()n n u t c x t c x t c x t t ϕ=++++12,,...,nc c c 1122()()...()()n n x c x t c x t c x t t ϕ=++++（5.6）其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：（5.7）其中事实上，令这时而且现在假设）（t ψ是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知）（）（）（t ,...,t ,t n ψψψ'在上存在、连续、满足方程（5.6）且令()111112()...()()(),(),(),...,(),n n n n n o o o n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤0[,]a b t ∈12,,...,nηηη12100100000100,00010()()()()()(),n n n x x a t a t a t a t f t x t η--⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=⎪⎩111222,,n n n x x x x x x x x ηηηη'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)123,,,...,,n n x x x x x x x x -''''====(1)12231()1121,,...,,()()...()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x a t x a t x a t x f t ---''''''======'==-----+10012002(1)00()(),()(),...,()()n n nx t x t x t x t x t x t ηηη-'======0ta tb ≤≤a t b ≤≤(1)01020(),(),...,(),n n t t t ψηψηψη-'===12()()(),()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中那么，显然有，此外，我们还得到在此处键入公式。
这就表示这个特定的向量）（t ϕ是（5.7）的解，反之，假设向量u （t ）是在包含0t 的区间上（5.7）的解，令,)()()(t u 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t u t u t u n ）（并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，(1)12()(),()(),...,()()(),n n t t t t t t a t b ϕψϕψϕψ-'===≤≤0()t ϕη=12()()()()()()()()n n t t t t t t t ψϕψϕϕϕψ''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦23(1)1()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕψψ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦2311()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦121210100()0010()0001()()()()()n nn n t t t a t a t a t a t ϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎣⎦00,0()f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a t b ≤≤1()()t u t ω=12()()()t u t u t ω''==由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n 个方程得到由此即得同时，我们也得到这就是说，是（5.6）的一个解总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组（5.14）的解的结构问题，这里是区间上已知nxn 连续矩阵，是区间上的已知的n 维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质性质1 如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解性质2 如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解 下面的定理7给出（5.14）的解的结构定理7 设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为（5.23）23()()(),...,t u t u t ω''''==(1)1()()(),n nn t u t u t ω--'==()112211n-1n-212()()()()()()...()()()()()()()()()...()()()n nn n n n n t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t t a t t a t t f t ωωωω--'==-----+=----+（）（）()n-1n-212()()()()()...()()()n n t a t t a t t a t t f t ωωωω++++=（）（）(1)1010()(),...,()()n o o n nt u t t u t ωηωη-====()t ωx ()()A t x f t '=+()A t a t b ≤≤()f t a t b ≤≤()f t ()f t ()t ϕ()t ψ()()t t ϕψ+()t ϕ()t ϕ()()t t ϕϕ-()t Φ()t ϕ()t ϕ()()()t t c t ϕϕ=Φ+这里c 是确定的常数列向量证明 由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到这里c 是确定的常数列向量，由此即得定理证毕定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c 是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如（5.24） 的解，这里是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式 （5.25）因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到其中=0，这样，（5.24）变为（5.26）因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解，则由公式（5.26）决定。
()()t t ϕϕ-()()()t t t c ϕϕ-=Φ()()()t t c t ϕϕ=Φ+()t Φ()t ϕ()()t t c ϕ=Φ()()t t c ϕ=Φ()c t ()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+()t Φ()()()t A t t 'Φ=Φ()()()A t t c t Φ()c t ()()()t c t f t 'Φ=a t b ≤≤()t Φ1()t -Φ1()t -Φ010()()(),,[,]tc t s f s ds a b t t t -=Φ∈⎰0()c t 010()()()(),[,]t t t s f s ds a b t t t ϕ-=ΦΦ+∈⎰()t ϕ()t ϕ反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到再利用公式（5.26），即得显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8定理8 如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数是（5.14）的解，且满足初值条件由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件的解由下面公式给出 (5.27)这里是（5.15）的满足初值条件的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。