1-2线性空间的基底

1 2 B 3 4 在这两组基下的坐标。
解：计算出下面的矩阵表达式：
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1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 1 3
2 与 [a1 , a , , a ]T ，且过渡矩 [a1 , a2 , , an ] n
T
x V ，设 x在两组基下的坐标分别为
A
, 那么我们有：
在旧的基 下的坐标
a1 a1 a a 2 A 2 n a n a
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？ 线性组合： 设 x V (F ) ，若1 , 2 , n F x1 , x2 , xn V 使得：
x 1 x1 2 x2 n xn
则称 x 是 x1 , x2 , xn 的线性组合
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例4. 在4维线性空间 R
22
中，向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
例1. 实数域 R 上的线性空间 R 3 中向量组
(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
都是
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
R
3
的基。R 是3维线性空间。
3
例2. 实数域 R 上的线性空间 R 22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 0 1 , 1 0
1 2 是其两组基，求向量 A 在这两组基 3 4 下的坐标。
解：设向量 A在第一组基下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
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T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 1 0 0 1
若为 R 的子空间，求出其维数与一组基.
n
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
① 的解空间. 所以，dimW1 ＝n－1，①的一个基础解系
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x1 x2 xn 0
1 (1, 1,0,,0), 2 (1,0, 1,0,,0), ,
1 , 2 ,, r，满足
（）向量组A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关； 1
（2 向量组A中任意r 1个向量（如果 中有 ） A r 1个向量的话）都线性相 关，那末称向量 组A0 是向量组A的一个极大无关组
极大无关组所含向量个 r称为向量组的秩 数 .
只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定 它的秩为 0.
向量组的秩记为： rank ( A)
r
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一，线性空间的基 定义 设 V 为数域 F 上的一个线性空间。如果在V 中存在 n 个线性无关的向量 x1 , x2 ,, xn ,使得:
V 中的任意一个向量 线性表出,即:
x 都可以由 x1 , x2 ,, xn
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
都是 R 22 的基。 22是4维线性空间。 R
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例3. 实数域 R 上的线性空间 R[ x ]n 1 中的向量组
线性相关 k11 k2 2 ks s 0 k1，k2， ks不全为零 线性相关性
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k11 k2 2 ks s 0 k1，k2， ks 全为零 线性无关
向量组的秩 设有向量组 A，如果在 A中能选出r个向量
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
[1 , 2 ,, n ] [1 , 2 ,, n ]A
定理：过渡矩阵 A 是可逆的。
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定理: 任取 阵为
i a1i1 a2 i 2 ani n
a1i a 2 i , i 1, 2, , n 1 , 2 , , n ani
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将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
线性空间引论
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 一 章
线性空间与线性映射
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§1.2 线性空间的基
已知：在 R n 中，线性无关的向量组最多由 n
个向量组成，而任意 n 1 个向量都是线性相关的．
V ( F ) L( x1 , x2 ,, xn )
2, 如果对于任意的 n ,均可以在 V 中找到
线性无关的向量,则称 V 是无限维的线性空间
3, 无限维的线性空间是存在的
Hot
一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。
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2.基变换与坐标变换
（旧的）与 1 , 2 , , n （新的） 1 , 2 , , n 是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为 设
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
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几个重要结论:
1，若x1 , x2 ,, xn是
n 维线性空间V (F ) 的基,则: n个
1 3 1 3 2 3 2 3
1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 1 3
1
x1 1 x 1 2 x 3 1 x4 4
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在新的基 下的坐标
称上式为坐标变换公式。
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例1
在4维线性空间
向量组:
R
2 2
中，
0 1 1 1 3 0 与向量组
1 1 , 2 1 1 1 1 , 4 1 1
0 , 1 1 , 0
x k1 x1 k2 x2 kn xn
则称 x1 , x2 ,, xn 为V 的一个基底；(k1 , k2 , , kn )T
x 在基底 x1 , x2 ,, xn下的坐标。 此时,我们称 V 为一个 n 维线性空间，记为
为向量
dimV n.
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W2 , 故W2不是Fn的子空间.
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下证W3是Pn的子空间.
首先 0 (0,0,,0) W3 , W3
其次， , W3 , k P ,
设 ( x1 , x2 ,, xn1 ,0), ( y1 , y2 ,, yn1 ,0) 则有 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn1 yn1 ,0) W3
n1 (1,0,,0, 1) 就是W1 的一组基.
而 W2不是子空间，在 W2中任取两个量 , ，设
( x1 , x2 ,, xn ), ( y1 , y2 ,, yn )
则 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
a11 a12 a a22 21 1, 2 ,, n 1, 2 , n a n1 a 2
称
a1n a2 n ann
n 阶方阵
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a11 a12 a a22 21 A P a n1 a n 2
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向量组等价．
设有两个向量组 : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . A 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 . 若向量组A与向量组B能相互线性表示， 则称这两个 向量组等价．
练习1
求线性空间
P[ x ]4
2
的向量
2
f ( x) 6 5 x x
3
2
在基 1, ( x 1), ( x 1)
3
, ( x 1) 下的坐标。
3
和由基底 1, x , x , x 到基底
1, ( x 1), ( x 1) , ( x 1) 的过渡矩阵.
2
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1, x, x , , x 2 n 与向量组 1, x 2,( x 2) , ,( x 2)
Fra Baidu bibliotek2 n
都是 R[ x ]n1 的基底。 R[ x ]n1 的维数为 n 1. 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基 底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的 定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线 性空间。
练习2 判断 R n 的下列子集合哪些是子空间：
W1 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P } W2 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P } W3 {( x1 , x2 , , xn1 ,0) xi P , i 1,2, , n 1}
A
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向量
A第一组基下的坐标为
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3 利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
直接用坐标变换公式
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2 3 y1 1 y 2 3 y3 1 3 y4 1 3
1 1 0 1 3 1
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0 1 , 2 0 0 1 1 , 4 1 0
1 , 0 1 , 1
为其两组基，求从基 1 , 2 , 3 , 4到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求向量