最新-2018年七年级下册数学竞赛试题及答案 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
(名师整理)数学七年级竞赛试题及答案解析
七年级下学期数学竞赛试卷（满分150，时间90分钟）一、单选题。
1．在方程中，二元一次方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为( )A．20元B．42元C．44元D．46元3．不等式组的解集为( )A．2≤x＜3 B．2＜x＜3 C．x＜3 D．x≥24．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5．在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）1A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝746．不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．7．若则下列不等式不正确的是A ．B ．C ．D ．8．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A ．B ．C ．D ．9．已知是二元一次方程组的解，那么的值是( )A．0 B．5 C．-1 D．110．下列方程组不是二元一次方程组的是( )A ．B ．C ．D ．11．某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1～2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的2人数比参加书法社的人数多5人，两个社团都参加的同学有12人．设参加书法社的同学有x人，则（）A．x+（x﹣5）＝25 B．x+（x+5）+12＝25C．x+（x+5）﹣12＝25 D．x+（x+5）﹣24＝2512．一元二次方程x2+2x＝0的根是（）A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2 13．不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．14．已知方程组和有相同的解，则a－2b 的值为（）A．15 B．14 C．12 D．1015．下列不等式中一定成立的是（）A．3a＞2a B．a＞－2a C．a+2＜a+3 D ．＜二、填空题。
最新-2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案02018 精品
2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2018年4月1月 下午1∶00－3∶00）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若x 3＋x 2＋x ＋1＝0，则x －27＋x－26＋…＋x －1＋1＋x ＋…＋x 26＋x 27的值是（ ）（A ）1（B ）0 （C ）－1（D ）22．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB ＝14cm ，BC ＝12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为 （ ）（A ）4cm（B ）8cm（C ）10cm（D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令a i ，j ＝⎩⎨⎧1，第i 号同学同意第j 号同学当选，2，第i 号同学不同意第j 号同学当选．其中i ＝1，2，…，50；j ＝1，2，…，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为 （ ）（A ）a 1,1＋a 1,2＋…＋a 1,50＋a 50,1＋a 50,2＋…＋a 50,50 （B ）a 1,1＋a 2,1＋…＋a 50,1＋a 1,50＋a 2,50＋…＋a 50,50 （C ）a 1,1a 1,50＋a 2,1a 2,50＋…＋a 50,1a 50,50 （D ）a 1,1a 50,1＋a 1,2a 50,2＋…＋a 1,50a 50,504．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝ca ＋b ＝t ，则一次函数y ＝tx ＋t 2的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限（D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝62，那么AC 的长等于（ ）（A ）12 （B ）16 （C ）43 （D ）8 2 二、填空题（共6小题，每小题6分，共满分36分）7．函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x ＋3|，当x ＝___________时，y 有最小值，最小值等于___________．AFA8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________．9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB＝6cm，AC＝4cm，∠A＝60º，则AD 的长为___________cm．10．设x1，x2，x3，...，x2018为实数，且满足x1x2x3...x2018＝x1－x2x3...x2018＝x1x2－x3 (x2018)＝…＝x1x2x3…x2018－x2018＝1，则x2000的值是__________．11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．15．（本题满分14分）2018个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为P 1，P 2，P 3，…，P 2018．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．A B CD E F G P Q M N16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2018中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1018时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017；（2）当n≤1018（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4；AD（第2题）AB CEFO G（第6题）当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,22x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或200032x ±=-． 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0），由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2018，则j =2018，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2018，则2i ≠2018，且2i ≠4014，即2i -2018≠2018， 表明2007P 点永远涂不到红色．16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2018中任意取出的1018个数．首先，将1，2，3，…，2018分成1004对，每对数的和为2018，BACMN P E FQDG O每对数记作(m ，2018-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2018个数取出1018个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2018个数中的2018个数(除1004、2018 外)分成1003对，每对数的和为2018，每对数记作(k ，2018-k ) ，其中k =1，2， (1003)2018个数中至少有1018个数被取出，因此2018个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=． （2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2018中取出后面的1018个数：1003 ，1004， (2018)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1018+1018=4018>4017； 当1006n <时，同样从1，2，…，2018中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1018+1018=4018>4017． 所以1006n ≤时都不成立．。
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2018年七年级数学竞赛
七年级“希望杯”竞赛试卷(考试时间90分钟，满分100分)一、选择题(每小题只有一个正确选项，每小题3分，共10题，总共30分)1．x 是任意有理数，则2x x + 的值( ).A ．大于零B ． 不大于零C ．小于零D ．不小于零 2.某超市为了促销，先将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“××节大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电的原价为（ ）A. 2150元 元 元 D. 2300元 3.设0a b c ++=，abc ＞0，则b c c a a ba b c+++++的值是（ ） A ． 3- B. 1 C. 31-或D. 31-或4.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图（1）所示的立方体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A ．215.某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。
如果每只老虎每天吃肉千克，每只狮子每天吃肉千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉 （ ） A. 625千克 B. 725千克 C.825千克 D.925千克6.假设有2016名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1…… —的规律报数，那么第2010名学生所报的数是 （ ）7.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在8. 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有 ………………（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．29. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为纳米的碳纳米管，1纳米=米=10-9米，则纳米用科学记数法表示为（ ）A 、×10-9米B 、5×10-8米C 、5×10-9米D 、5×10-10米}10、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 3个B 4个C 5个D 无数个二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：201620151431321211⨯++⨯+⨯+⨯ = 。
2018年七年级数学竞赛入围试卷(含答案)
2018年七年级数学竞赛入围试卷（满分：120分，时间：80分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）：1、已知数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、－1，那么1+a 表示（ ） （A ）A 、B 两点的距离 （B ）A 、C 两点的距离（C ）A 、B 两点到原点的距离之和 （D ）A 、C 两点到原点的距离之和 2、王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a 元，稍后又买回3只羊，平均每只b 元，后来他以每只2ba +的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与a 、b 的大小无关 3、两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ） （A ）273 （B ）819 （C ）1199 （D ）19114、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金（ ）（A ）188元 （B ）192元 （C ）232元 （D ）240元 5、若a 与它的绝对值的和为零，则a a 2-=（ ）（A ）a （B ）-a （C ）-3a 元 （D ）3a6、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的容积之比为m :1，另一个瓶子中酒精与水的容积之比是n :1，把两瓶溶液混在一起，混合液中酒精与水的容积之比是 （ ）（A ）2n m + （B ）)(3)(222n m n mn m +++（C ）nm n m ++22 （D ）22++++n m mn n m二、填空题（每小题5分，共40分）：7、拉林贾伊蒂斯是希腊的一位雄辩家，他生于公元前30年7月4日，死于公元30年7月4日，他活了 岁。
8、已知1=a ，2=b ，3=c ，且a ＞b ＞c ， 则c b a +-＝ ；9、已知如图，半圆的直径长为D ，则图中阴影部分面积为 ； 10、将正奇数按下表排列成5列：根据表中的规律，偶数2005应排在第 行，第 列；11、甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是 米；12、有人问杨老师：“你班里有多少学生？”，杨老师说：“我班现在有一半学生在参加数学竞赛，四分之一的学生在参加音乐兴趣小组，七分之一的学生在阅览室，还剩三个女同学在看电视”。
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
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2018年七年级下学期数学竞赛试题
(含参考答案)
一. 选择题(每小题4分,共32分)
1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-b a a b 等于( )
A . 4
B .-4
C . -2a+2b+6 D. 1996
2.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2018厘米的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A.2018 或2018 B . 2018或 2018 C . 2018 或2018 D . 2018 或2018
3.已知{
a
x b y ==是方程组
{
527
2=+=+y x y x 的解, 则a-b 的值为( )
A . 2
B . 1 C. 0 D. -1 4.两个10次多项式的和是( )
A. 20次多项式
B. 10次多项式
C. 100次多项式
D. 不高于10次的多项式 5.若a<3 , 则不等式(a-3)x<a-3的解集是( ) A. x>1 B .x<1 C . x>-1 D . x<-1 6.方程2x+y=7的正整数解有( ) A. 一组 B .二组 C .三组 D . 四组 7.不等式组
{
5335+<-<x x a
x 的解集为x<4, 则a 满足的条件是( )
A. a<4 B .a=4 C .a ≤4 D .a ≥4
8.如图,,AB ∥CD,AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有( ) A. 1个 B .2个 C.3个 D.4个
二.填空题(每小题4分,共32分) 1.不等式组{4
252>+<-a x b x 的解集是0<x<2, 则a+b 的值等于_______
2.已知5
43
z
y x ==
, 且10254=+-z y x , 则z y x +-52的值等于________
3.如图,已知AE ∥DF,则∠A+∠B+∠C+∠D=_________
4.计算2009
20081
4
313212
11⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ = _________
5.若))(3(152n x x mx x ++=-+, 则m 的值为________
6.已知：7,2522=+=+b a b a ,且a>b, 则a-b 的值等于________
7.一个角的补角的3
1等于它的余角, 则这个角等于_____度.
8.计算: 1-25.0-42008
2009）（⨯=______
D
C B
A
F
E
D
C
B
A
三.解答题:(每小题12分,共36分)
1.已知: 0634=--z y x ，072=-+z y x ()0≠xyz ，
求代数式2
222
22103225z
y x z y x ---+的值
2.如图,已知CD ⊥AB ，DE ∥BC,∠1=∠2
求证:FG ⊥AB
3.某学校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件,学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李, 乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李,
⑴设租用甲种汽车x 辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案; ⑵如果甲乙两种汽车每辆的租车费用分别为2018元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.
2
1
G
F E
D C B A
参考答案:
一. BCAD ACDC
二. .1 ； -45 ；540 ° ；2009
2008 -2 ； 1 ； 45 ； 3 三. 1. 解{
z
y x z
y x 63472=-=+得{
z x z
y 32== 代入原式得, 原式 = -13
2. 证∵DE ∥BC , ∴ ∠1=∠BCD , 又∠1=∠2 ∴ ∠2=∠BCD ∴FG ∥CD 又CD ⊥AB ∴FG ⊥AB
3.解⑴:由题意得
{
290)8(3040100
)8(2010≥-+≥-+x x x x
解得: 5≤x ≤6
即共有两种租车方案:
第一种是租用甲种汽车5辆, 乙种汽车3辆 第二种是租用甲种汽车6辆, 乙种汽车2辆
⑵第一种租车方案的费用为:5×2018+3×1800=15400 第二种租车方案的费用为:6×2018+2×1800=15600 所以第一种租车方案更省钱.。