七年级数学下册 竞赛辅导资料(4)经验归纳法
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
初中数学竞赛中的思维方法
初中数学竞赛中的思维方法
初中数学竞赛中的思维方法可以包括以下几点：
1. 归纳法：通过观察数列或图形的规律，总结出规律的特点，然后运用归纳的结论解决问题。
2. 反证法：通过假设与题目条件相反的情况，并推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
3. 递推法：通过观察规律，找到每个数或对象与前一数或对象的关系，进行递推，得到结果。
4. 分类讨论法：将问题按不同情况分类讨论，分别对每种情况进行独立的分析与解决。
5. 可视化方法：将问题抽象成几何图形，通过图形上的特点进行分析与推导。
6. 矛盾法：通过假设与题目条件相反的情况，并通过逻辑推理得出矛盾的结论，从而推导得到问题的解答。
7. 数学模型：将问题抽象成数学模型，通过建立方程或不等式等数学关系，解决问题。
8. 假设法：通过假设问题中未知条件，结合已知条件进行分析和求解。
9. 数学思维工具的应用：例如奇偶性、数的性质、质因数分解等常用工具的运用。
以上是初中数学竞赛中常用的思维方法，通过熟练运用这些方法可以提高解题效率和准确性，培养数学思维能力。
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。
接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。
一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。
2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。
3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。
4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。
二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。
2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。
3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。
4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。
5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。
三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。
2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。
3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。
四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。
2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。
3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。
4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。
五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。
2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。
六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。
2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。
3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：经验归纳法
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（ 13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……③推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例1解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n, 即2)1(nn个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。
例如 5！＝1×2×3×4×5。
初中资料七年级下数学辅导知识点总结
七年级下数学辅导知识点总结六年级数学是整个初中实践经验数学的基础，一定要掌握扎实，整理了一些比较重要的知识点。
经过直线外一点，有且只有一条直线与那条直线平行。
如果两条直线都与第三项直线平行，那么这七条直线也直角互相平行。
1、直线平行的条件数条两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
直线六条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线第三条解出来，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
2、平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条一条线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
1、加法：（1）同号相加，取相同的符号，把一定值相加。
（2）异号相加，一定值相等时和为0；一定值不等时，取一定值较大的数的符号，并用较大的一定值减去较小的一定值。
（3）一个数与0相加不变。
2、减法：减去一个数，等于加上这个个数的相反数。
3、乘法：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，一定值相乘。
（2）任何数与0相乘得0。
（3）乘积为1的两个有理数互为倒数。
4、除法：（1）除以一个数等于乘以一个数的倒数。
（2）0不能作除数。
5、乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
6、混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
7、平方根：（1）如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
（2）如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
（3）一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
（4）求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
8、立方根：（1）如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
（2）正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的普莱邦是负数。
（3）求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数1、三角形：由同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
数学归纳法相关知识总结
数学归纳法相关知识总结数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明某种性质对于所有自然数成立。
它是数学推理和证明的重要基础，具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对数学归纳法的基本概念、步骤以及一些常见的应用进行总结和讨论。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法基于自然数的递增性质，通过证明某个性质在第一个自然数上成立，并证明该性质在一个自然数成立时也在下一个自然数上成立，从而得出该性质对于所有自然数成立的结论。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法一般分为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先证明当n等于某个确定的值时，所要证明的性质成立。
这个确定的值通常是第一个自然数1或者0。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
然后证明当n等于k+1时，所要证明的性质也成立。
在归纳步骤中，对于任意一个自然数k，只需要证明性质在k+1上成立即可。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
这个假设是数学归纳法的关键，通过它我们可以得出当n等于k+1时，所要证明的性质成立的结论。
三、数学归纳法的应用1. 数列的性质证明：数学归纳法常用于证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明斐波那契数列的递推公式。
假设当n=k时，斐波那契数列的递推公式成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
然后证明当n=k+1时，递推公式也成立，即F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
通过数学归纳法，我们可以证明递推公式对所有自然数成立。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法也可以应用于证明一些数学恒等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，在n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
然后，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接着证明当n=k+1时，等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+1+1)/2。
七年级下册数学归纳知识点
七年级下册数学归纳知识点数学归纳法是一种数学证明方法，也是解决数学问题的常用工具。
它通过三个步骤，即证明基本情形、证明归纳假设和归纳推理，来推导出结论。
1. 基本情形的证明
归纳法的第一步是证明基本情形，即针对问题中最小的特殊情况进行证明。
这通常是十分显而易见的。
例如，假设要证明所有正整数的平方都是正整数。
我们可以选择基本情形为1，即1的平方为1，显然是正整数。
对于所有其他正整数，可以通过归纳法来证明它的平方也是正整数。
2. 归纳假设的证明
归纳法的第二步是证明归纳假设。
归纳假设是指假设某个性质对于一些特殊的情形成立，我们要使用归纳法来证明该性质对于其他情形也成立。
对于归纳假设的证明，通常选择一个具有代表性的情况进行证明。
例如，如果要证明所有正整数的平方都是正整数，我们可以
选择证明如果一个正整数的平方是正整数，则这个正整数加上1
的平方也是正整数。
3. 归纳推理的证明
归纳法的第三步是归纳推理，即通过基本情形和归纳假设来证
明结论。
例如，对于证明所有正整数的平方都是正整数，基本情形为1
的平方为1，且如果一个正整数的平方为正整数，则这个正整数加上1的平方也是正整数。
因此，通过归纳法可以证明所有正整数
的平方都是正整数。
除了证明性质的正确性，归纳法还可以用来设计算法。
例如，
可以使用归纳法来证明一个递归算法的正确性。
总之，数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法和问题解决
工具，掌握它可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学能力。
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初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归
纳法，也叫做经验归纳法。
例如
①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，
归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)
③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明
朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或
否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归
纳法证明）
乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×
21
+
n
, 即
2)1
(-
n
n
个交点。
例2．符号n ！表示正整数从1到n 的連乘积，读作n 的阶乘。
例如
5！＝1×2×3×4×5。
试比较3n 与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n ＝3, （n ＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n ＝9， （n ＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3n ＝27, （n ＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n ＝81, （n ＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n ＝243, （n ＋1）！＝6！＝720 ……
猜想其结论是：当n ＝1，2，3时，3n ＞（n ＋1）！，当n>3时3n ＜（n ＋1）！。
例3 求适合等式x 1+x 2+x 3＋…+x 2003=x 1x 2x 3…x 2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
解：x 1+x 2=x 1x 2的正整数解是x 1=x 2=2
x 1+x 2+x 3=x 1x 2x 3的正整数解是x 1=1,x 2=2,x 3=3
x 1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x 3x 4的正整数解是x 1=x 2=1,x 3=2,x 4=4
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5的正整数解是x 1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5=5
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=x 1x 2x 3x 4x 5x 6的正整数解是x 1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6 …………
由此猜想结论是：适合等式x 1+x 2+x 3＋…+x 2003=x 1x 2x 3…x 2003的正整数解为x 1=x 2=x 3＝……=x 2001=1, x 2002=2， x 2003=2003。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有
＿＿个，n 位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2,三位数321a a a 记作
100a 1+10a 2+a 3,四位数4321a a a a 记作＿＿＿＿，n 位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n 3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①－个 1101111 2
52222个＝（＿＿＿）2；； 121111n 个－ 22222n 个＝（ ＿＿）2。
② 位91111 位95655＝（＿＿＿＿）2；
n 位
n 位56551111＝（＿＿＿）2
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100)
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算12111⨯＋13121⨯＋14131⨯＋…＋20
191⨯＝ （提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a 是正整数，试比较a a+1和(a+1)a 的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m 等分,长n 等分(m,n 都是大于1的自然数)那么这mn 个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m 等分,宽n 等分,高p 等分，（m,n,p 都是大于2的自然数）那么这mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
练习 14
1. 3，30，3×102，3×10n-1
2. 10n-1a 1+10n-2a 2_＋……+10a n-1+a n
4. ①333332, 个n 2333 ② 位923433， 位n 2
3433
5.①192位，②901位（50个18，加上1）
6. ∵12111⨯＝111－121 (220)
9 7. a=1,2时，a a+1<(a+1)a ……
8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)
9.8,24,24,8；
8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］, (m-2)(n-2)(p-2)
10. 64,8 11. 3334。