最新2019-37_专题八 函数与几何图形的综合应用-PPT课件
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高三数学课件： 函数的综合应用共35页
高三数学课件： 函数的 综合应用
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
八年级数学 函数与几何图形专题 课件
C y M M T Q D C
18 12
B
D
C
D
C
E
6
( P) E
E
A
P 图1
B
A
N
P 图2
B
0(A)
6
12
18
24
B
x
图3
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有 PQ QE（填“＞”、“=”、“＜ ” 号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标 系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1.Q1点的 坐标是（ ， ）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2.Q2点 的坐标是（ ， ）； ③当PA=12厘米时，在图3中画出MN.PT （不要求 写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；
B
的图象与AB交于C、D两点，P为
D C x
m 双曲线 y 上任意一点，过P作 x
PQ⊥x轴于点Q，PR⊥y轴于点R. O
A
（1）若m+n=10,n为何值时△AOB的面积最大？最大值是 多少？
(2)若SAOC SCOD SDOB , 求n的值。
1 解：（ 1 ）S AOB m n, m n 10, 得 2 1 1 25 2 SAOB n(10 n) (n 5) 2 2 2 25 当n 5时 SAOB 最大值 ＝ 2 ( 2)过C分别作x轴、y轴的垂线CM、CN 1 S AOC S COD S DOB S AOC＝ S AOB 3 1 1 1 1 m CM m n CM n 2 3 2 3 2 1 2 同理CN m C m, n 3 3 3 m 1 m 9 点C在y 上 n＝ n 2 x 3 2 m 3
18 12
B
D
C
D
C
E
6
( P) E
E
A
P 图1
B
A
N
P 图2
B
0(A)
6
12
18
24
B
x
图3
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有 PQ QE（填“＞”、“=”、“＜ ” 号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标 系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1.Q1点的 坐标是（ ， ）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2.Q2点 的坐标是（ ， ）； ③当PA=12厘米时，在图3中画出MN.PT （不要求 写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；
B
的图象与AB交于C、D两点，P为
D C x
m 双曲线 y 上任意一点，过P作 x
PQ⊥x轴于点Q，PR⊥y轴于点R. O
A
（1）若m+n=10,n为何值时△AOB的面积最大？最大值是 多少？
(2)若SAOC SCOD SDOB , 求n的值。
1 解：（ 1 ）S AOB m n, m n 10, 得 2 1 1 25 2 SAOB n(10 n) (n 5) 2 2 2 25 当n 5时 SAOB 最大值 ＝ 2 ( 2)过C分别作x轴、y轴的垂线CM、CN 1 S AOC S COD S DOB S AOC＝ S AOB 3 1 1 1 1 m CM m n CM n 2 3 2 3 2 1 2 同理CN m C m, n 3 3 3 m 1 m 9 点C在y 上 n＝ n 2 x 3 2 m 3
函数的综合应用_PPT课件
x
[a,b]时g(x)=f(x)且g(x)的值域为[
1 b
,1 a
]？
若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.
典例分析
引例 已知定义在[1,m]上的函数
f(x)=
1 2
x2
-x+
3 2
的值域也是[1,m]，
则实数m的值为. 3
典例分析
例3 二次函数f(x)= log3
x2
ax x
b
,
x (0, ),是否存在实数a,b，使f a(x-1)-x+3的 图象经过点（5，-4），求证：f(x)在 其定义域上仅有一个零点.
典例分析
例2 已知定义在R上的函数y=f(x)满足
f(x)+f(-x)=0,且x 0时，f(x)=2x-x2.
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)是否存在这样的正实数a、b，使得当
(2)当且仅当x [4,m](m>4)时,f(x-t) x 恒成立，试求t、ｍ的值.
方法提炼
1.理解函数的概念，掌握函数的图象和 性质是解决函数综合问题的基础，也是 历年高考的重点、热点和难点。
2.解决函数的综合问题,要认真分析,把 握问题的主线,把问题化归为基本问题来 解决.
3.注意等价转化,数形结合等思想的运用.
同时满足下列两个条件: ① f(x)在
（０，１］上单调递减,在[1,+)上
单调递增: ② 最小值为1.若存在,
求出a、b的值；若不存在，说明理由.
典例分析
例4 二次函数f(x)=ax2 +bx(a 0) 满足条件: ① 对任意x R,均有f(4-x)=f(2-x); ② 函数f(x)的图象与直线y=x相切. (1)求f(x)的解析式；
函数的应用课件(共20张PPT)
解 设提高x个2元，则将有10x辆电瓶车空出，且租金 总收人为
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
八年级函数ppt课件ppt课件
八年级函数ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中，可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如，在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时，可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数，可以更全面地理解和解决这类问题。
04
CATALOGUE
二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大（ 小）值的概念，如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型，明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大（小）值问 题的常用方法，如导数法 、不等式法等，并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念，如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中，有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时，速率与时间成反比关系。因此，可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时，可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ，因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质，并举例说明。
CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中，可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如，在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时，可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数，可以更全面地理解和解决这类问题。
04
CATALOGUE
二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大（ 小）值的概念，如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型，明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大（小）值问 题的常用方法，如导数法 、不等式法等，并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念，如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中，有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时，速率与时间成反比关系。因此，可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时，可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ，因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质，并举例说明。
函数的综合应用PPT教学课件
的取值范围是______0_，_11_0____1_0_，____ ______.
3.在区间
1 2
，2上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点值取 是得( C最) 小值(，A)f5(x4)min＝(B3)1，34那么f((xC)在)4 区间(D12)，82上最大
返回
4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
1
x
1 x2
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右 各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸张面积最小?
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意
等式成立的充要条件.另外本题也可它
们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程 ，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形 式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方 程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便 是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
世界气温的分布规律
➢赤道及其附近地区气温最高，由赤道向两极，气 温逐渐降低。
3.在区间
1 2
，2上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点值取 是得( C最) 小值(，A)f5(x4)min＝(B3)1，34那么f((xC)在)4 区间(D12)，82上最大
返回
4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
1
x
1 x2
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右 各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸张面积最小?
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意
等式成立的充要条件.另外本题也可它
们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程 ，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形 式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方 程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便 是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
世界气温的分布规律
➢赤道及其附近地区气温最高，由赤道向两极，气 温逐渐降低。
函数运用ppt课件
04
在几何中，函数可以描述图形之间的关系，如直线、 曲线、曲面等。
函数在物理中的应用
物理中许多现象都可以用函数来 描述，如速度、加速度、力等。
在热学中，函数可以描述温度、 压力等物理量的变化规律。
在力学中，函数被用来描述物体 的运动轨迹和受力情况。
在电磁学中，函数可以描述电场 、磁场和电流等物理量的变化规 律。
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法、图象法和列举法 等。
列举法是通过列举所有可能的输 入值和对应的输出值来表示函数 ，适用于简单函数或离散型函数 。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、 单调性、周期性和对称性 等。
对称性是指函数图像关于 某一直线或点对称的性质 。
奇偶性是指函数图像关于 原点对称或关于y轴对称 的性质。
Part
03
函数的实际应用
函数在数学中的应用
函数在数学中有着广泛的应用，它是描述变量之间关 系的一种重要工具。在数学领域，函数被用于解决各
种问题，如代数、几何、微积分等。
输标02入题
在代数中，函数被用来表示变量之间的关系，可以解 决方程和不等式问题。
01
03
在微积分中，函数是研究变化率和积分的基础，可以 解决优化、极值和积分等问题。
实际应用
例如，在投资组合优化中，最值可以用来确定最 优投资组合，在生产计划中，最值可以用来确定 最优生产计划等。
极值与最值的实际应用
极值的应用
例如，在天气预报中，通过分析气象数据的变化率，可以预测天气变化的趋势；在股票 市场中，通过分析股票价格的变动率，可以预测股票价格的走势。
最值的应用
例如，在城市规划中，通过分析人口分布和土地利用情况，可以确定最优的城市规划方 案；在物流管理中，通过分析运输成本和运输时间，可以确定最优的运输路线和方案。
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专题八 函数与几何图形的综合应用
研题型·解易
函数与几何图形的综合应用问题,常结合三角形、特殊四边形、圆、图 形变换等考查二次函数或一次函数的解析式、点的坐标、综合探究图形的 面积问题、三角形为直角三角形或等腰三角形,三角形相似,特殊四边形,线 段长度的最值等一系列存在性问题.这类压轴题的综合性较强,难度较大,复 习时应加强训练,突破高分瓶颈.
解 (1)根据题意将A(-5,0)代入y= 4x+m,得m=4,
5
∴直线y= 4 x+4,则C(0,4),
5
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2,
根据抛物线的对称性及A点坐标求得B(1,0),
将A(-5,0)、B(1,0)、C(0,4)代入抛物线解析式得
25a 5b
a b c c 4,
即
16a 4b c 0,
4a 2b c 0, 解得
c 6,
a b c
3 4
3 2
6,
, ,
所以二次函数的解析式 为y=- 3x2- 3x&#=kx+b(k≠0),代入A(-4,0),E(0,-2),可求得直线AE的
思路点拨 (1)将A、B、C三点代入二次函数的解析式得关于a、b、c的三元 一次方程组,即可求出a、b、c的值;(2)过点D作y轴的平行线交AE于点F,把三 角形ADE分割成以DF为底的两个三角形面积的和;(3)设出P点,分PA=PE,PE =AE,AE=AP三种情况进行求解.
解 (1)根据题意将A,B,C三点代入二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0),
解题策略 典例1(2018泰安,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2), 连接AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,连接AD, DE,求△ADE面积的最大值; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形,若存在, 请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析式为y=- 1 x-2.
2
过点D作DF与y轴平行,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF的延长线, 垂足为H,
设D点坐标为
x0
,
3 4
x02
3 2
x0
6
,x0<0,则F点坐标为
x0
,
1 2
x0
2
,
则DF=- 34 x02
- 32 x0+6-
(3)设P n,
4 5
n
2
16 5
n
4
,连接PO,则
S =S +S -S 四边形PADC △PAO △PCO △COD
= 12 ×5 54
n
2
16 5
n
4
+ 1 ×4·(-n)- 1 ×2×4
2
2
=-2n2-10n+6.
∵a=-2<0,抛物线开口向下,
y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、C,与x轴的另一交点为B,其对称轴为直线x=-2,与 x轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点E,使△CDE是以CD为腰的等腰三角形? 如果存在,求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图②,点P是线段AC上方抛物线上的一个动点,连接PA、PC,当点P运动 到什么位置时,四边形PADC的面积最大?求出四边形PADC的最大面积及此 时P点的坐标.
1 2
x0
2
=
-
3 4
x02
-x0+8,
∵S△ADE=S△ADF+S△EDF,
∴S△ADE= 12 ·DF·AG+12 DF·EH=12 ×4×DF=2× 34
x02
x0
8
=-32 x0
2 3
2
+5 0 ,
3
∴当x0=- 23 时,△ADE的面积取得最大值 530 .
另一端点,交点即为符合条件的点; ②当定长为底时,根据尺规作图作出定长的垂直平分线,若作出的垂直平分线 与坐标轴或抛物线有交点,则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与坐标 轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在;(以上方法即可找出所有符合条 件的点) (3)计算:在求点的坐标时,大多时候利用相似三角形求解,如果图中没有相似 三角形,可以通过添加辅助线的方法构造直角三角形,利用直角三角形的性质 进行求解.
c 0,
0,
解得
a b
4, 5
16 5
,
c 4.
∴抛物线的表达式为y=- 4 x2- 16 x+4.
55
(2)存在.理由如下:设E(-2,m),则CD=2 5 ,DE=|m|. 当CD=DE时,|m|=2 5 ,故m=±2 5 , ∴E的坐标为(-2,2 5 ),(-2,-2 5 ). 当CD=CE时,2 5 = (2 0)2 (m 4)2 , 故m=8或m=0(舍去),∴E(-2,8). ∴在对称轴上存在点E1(-2,2 5 ),E2(-2,-2 5 ),E3(-2,8)使得△CDE是以CD为腰 的等腰三角形.
(3)P点的坐标为(-1,1),(-1,± 11),(-1,-2± 19 ).
高分秘笈 掌握以下三点:一是直角坐标系中求图形面积时割补思想的应用;二 是点在函数图象上的表示方法;三是分类思想的应用.
当堂巩固
1.(2018宁波,25,12分)如图①,直线y= 54 x+m与坐标轴交于A(-5,0),C两点,抛物线
类型一 等腰三角形的存在性探究
题型特点 以函数图象为载体,探讨是否存在一些点能够构成等腰三角形. 方法规律 (1)假设结论成立; (2)找点:当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时,需分情况讨论,具体 方法如下: ①当定长为腰,找已知直线或抛物线上满足条件的点时,以定长的某一端点为 圆心,定长为半径画弧,若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的
∴当n=-
2
10 (2)
=- 52 时,S四边形PADC最大,为 327 ,
∴当P运动到点
5 2
,
7
研题型·解易
函数与几何图形的综合应用问题,常结合三角形、特殊四边形、圆、图 形变换等考查二次函数或一次函数的解析式、点的坐标、综合探究图形的 面积问题、三角形为直角三角形或等腰三角形,三角形相似,特殊四边形,线 段长度的最值等一系列存在性问题.这类压轴题的综合性较强,难度较大,复 习时应加强训练,突破高分瓶颈.
解 (1)根据题意将A(-5,0)代入y= 4x+m,得m=4,
5
∴直线y= 4 x+4,则C(0,4),
5
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2,
根据抛物线的对称性及A点坐标求得B(1,0),
将A(-5,0)、B(1,0)、C(0,4)代入抛物线解析式得
25a 5b
a b c c 4,
即
16a 4b c 0,
4a 2b c 0, 解得
c 6,
a b c
3 4
3 2
6,
, ,
所以二次函数的解析式 为y=- 3x2- 3x&#=kx+b(k≠0),代入A(-4,0),E(0,-2),可求得直线AE的
思路点拨 (1)将A、B、C三点代入二次函数的解析式得关于a、b、c的三元 一次方程组,即可求出a、b、c的值;(2)过点D作y轴的平行线交AE于点F,把三 角形ADE分割成以DF为底的两个三角形面积的和;(3)设出P点,分PA=PE,PE =AE,AE=AP三种情况进行求解.
解 (1)根据题意将A,B,C三点代入二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0),
解题策略 典例1(2018泰安,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2), 连接AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,连接AD, DE,求△ADE面积的最大值; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形,若存在, 请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析式为y=- 1 x-2.
2
过点D作DF与y轴平行,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF的延长线, 垂足为H,
设D点坐标为
x0
,
3 4
x02
3 2
x0
6
,x0<0,则F点坐标为
x0
,
1 2
x0
2
,
则DF=- 34 x02
- 32 x0+6-
(3)设P n,
4 5
n
2
16 5
n
4
,连接PO,则
S =S +S -S 四边形PADC △PAO △PCO △COD
= 12 ×5 54
n
2
16 5
n
4
+ 1 ×4·(-n)- 1 ×2×4
2
2
=-2n2-10n+6.
∵a=-2<0,抛物线开口向下,
y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A、C,与x轴的另一交点为B,其对称轴为直线x=-2,与 x轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点E,使△CDE是以CD为腰的等腰三角形? 如果存在,求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图②,点P是线段AC上方抛物线上的一个动点,连接PA、PC,当点P运动 到什么位置时,四边形PADC的面积最大?求出四边形PADC的最大面积及此 时P点的坐标.
1 2
x0
2
=
-
3 4
x02
-x0+8,
∵S△ADE=S△ADF+S△EDF,
∴S△ADE= 12 ·DF·AG+12 DF·EH=12 ×4×DF=2× 34
x02
x0
8
=-32 x0
2 3
2
+5 0 ,
3
∴当x0=- 23 时,△ADE的面积取得最大值 530 .
另一端点,交点即为符合条件的点; ②当定长为底时,根据尺规作图作出定长的垂直平分线,若作出的垂直平分线 与坐标轴或抛物线有交点,则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与坐标 轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在;(以上方法即可找出所有符合条 件的点) (3)计算:在求点的坐标时,大多时候利用相似三角形求解,如果图中没有相似 三角形,可以通过添加辅助线的方法构造直角三角形,利用直角三角形的性质 进行求解.
c 0,
0,
解得
a b
4, 5
16 5
,
c 4.
∴抛物线的表达式为y=- 4 x2- 16 x+4.
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(2)存在.理由如下:设E(-2,m),则CD=2 5 ,DE=|m|. 当CD=DE时,|m|=2 5 ,故m=±2 5 , ∴E的坐标为(-2,2 5 ),(-2,-2 5 ). 当CD=CE时,2 5 = (2 0)2 (m 4)2 , 故m=8或m=0(舍去),∴E(-2,8). ∴在对称轴上存在点E1(-2,2 5 ),E2(-2,-2 5 ),E3(-2,8)使得△CDE是以CD为腰 的等腰三角形.
(3)P点的坐标为(-1,1),(-1,± 11),(-1,-2± 19 ).
高分秘笈 掌握以下三点:一是直角坐标系中求图形面积时割补思想的应用;二 是点在函数图象上的表示方法;三是分类思想的应用.
当堂巩固
1.(2018宁波,25,12分)如图①,直线y= 54 x+m与坐标轴交于A(-5,0),C两点,抛物线
类型一 等腰三角形的存在性探究
题型特点 以函数图象为载体,探讨是否存在一些点能够构成等腰三角形. 方法规律 (1)假设结论成立; (2)找点:当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时,需分情况讨论,具体 方法如下: ①当定长为腰,找已知直线或抛物线上满足条件的点时,以定长的某一端点为 圆心,定长为半径画弧,若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的
∴当n=-
2
10 (2)
=- 52 时,S四边形PADC最大,为 327 ,
∴当P运动到点
5 2
,
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