第二章2传递函数
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第2章 2.3传递函数
K ∏ (τ i s + 1) ∏ τ i2 s 2 + 2ρiτ i s + 1
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
i =1 i =1 l 1 ( m−l ) 2
G(s ) =
(
)
∏ (T s +1) ∏ (T
h j j =1 j =1
1 ( n −h ) 2
2 2 j
s + 2ξ jT j s + 1
)
注意！
K 传递系数或 静态增益，常 数项归一
C (s) (s G( s ) = R(s)
C(s) b0 s + b1s + ⋯ + bm−1s + bm = n n −1 R(s) a0 s + a1s + ⋯ + an−1s + an
m
m−1
2.3传递函数
一 定义与性质 [性质] （1）传递函数的概念只适用于线性定常 系统，它是在零初始条件下定义的。 （2）传递函数是复变量 S 的有理分式函 数，即： ≥ m；各系数均为实数。 n 是系统元件参 数的函数 物理系统的固有特性是因果性；若m>n, 则这是物理不可实现的系统。
C (s) 1 = 2 2 传递函数： G ( s ) = R ( s ) T s + 2ξ Ts + 1
ω n2 1/T 2 = = 2 2ξ 1 s + 2ξω n s + ω n2 2 s + s+ 2 T T
R(s)
ωn ：无阻尼 无阻尼
ζ ：阻尼比
22
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
振荡环节方框图
C(s)
自然振荡频率
2.3传递函数
《自动控制原理》第2章 线性系统的传递函数
+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)， 则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）
第二章2传函
n
n 1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系 统传递函数为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm Y ( s) G ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s an1s an
d Cm lim ( s s1 ) F ( s ) Cm 1 lim [( s s1 ) m F ( s )] s s1 s s1 ds
m
Cm j
1 dj lim j [( s s1 ) m F ( s )] j! s s1 ds
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [( s s1 ) m F ( s )] (m 1)! s s1 ds f (t ) L1[ F ( s )] Cm Cm 1 m 2 m 1 [ t t (m 1)! (m 2)! C2t C1 ]e s1t
线性微分方程
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数 S=jω
频率特性
计算
频率响应
拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分 式法计算：
F (s )
分解
部分分式
查表
原函数
F (s ) 的一般形式为 B ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F (s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
Uo ( s) [例] 求如图所示电路的传递函数 U i ( s )
C i1 R1 i2 R2
[解]：解法一：列出回路电压方程和输 出节点方程
1 i1dt R1i1 R1i2 ui R2 i2 uO
第二章 传递函数-梅逊公式
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
第二章-系统的传递函数方框图及其简化.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
由图可知
X i (s) E(s) G(s)
B(s)
H (s)
X o (s)
E(s) Xi (s) B(s) Xi (s) Xo(s)H (s) Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi (s) Xo(s)H (s)]
G(s)Xi (s) G(s)Xo(s)H (s) 由此可得：
GK (s) G(s)H (s) E(s)
无量纲.
系统闭环传递函数
GB (s)
X o (s) Xi (s)
注意:我们所指的前向通道的传递函数、反馈回路的
传递函数和开环传递函数都是针对一个闭环系统而
言的。它们都是闭环系统的一部分。系统闭环传递
函数是闭环系统的传递函数。看一个传递函数是什
么具体类型，要从定义出发，而不能只看其符号。
8.分支点和相加点之间等效规则
X1(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s)
X 2 (s)
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
X 2 (s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法 （法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输 入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个 进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的 移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图 的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个 回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
Ua (s) 0
第二章 2-2传递函数
6
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
2第二章 2控制系统的传递函数模型
(S Z
i 1 n j 1
m
i
)
(S P )
j
Zi (i=1,2,…,m) 是分子多项式的根，称为传递函数的零点
pj (j=1,2,…,n) 是分母多项式的根，称为传递函数的极点
K *=b0/a0
称为传递函数的传递系数（根轨迹增益）
传递函数的零极分布图
为了更直观、更形象地 p2 × p1× z1
4、理想微分环节
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt 传递函数 G(s)=Ts 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能 预示输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的微分运算，测速发电 机输出电压与输入角度间的传递函数即为 微分环节。
5、一阶微分环节（或称比例微分环节）
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数 G(s)=Ts+1 特点： 输出量既包含与输入量成正比的量， 又包含输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的比例微分运算等。
0 1 n 1 n
G( s)
例1、试求RC无源网络的传递函数
uo(s)/u (s)
i
解答：
RC网络的微分 方程表示为
Ui
R1
R2
i (t ) C 1
C2
Uo
d 2 uo ( t ) duo ( t ) R1 R2 C 1C 2 ( R1C 1 R1C 2 R2 C 2 ) 2 dt dt uo ( t ) ui ( t )
主要内容：
第一讲、 时域数学模型
第二讲、 复域数学模型 第三讲、 方框图与信号流图
本章要求：
一、了解控制系统数学模型的建立方法及数学 模型的表示形式。 二、掌握控制系统时域、复域数学模型的建立
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6 3 2 1 X (s) 2 s ( s 5 s 6) s 2 s 3 s
2t
jik03
u (t )
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x (t ) x s (t ) 3e
2e
3 t
1 (t≥0)
7
Page: 8
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 瞬 态 响 应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
Page: 1
复习：线性系统微分方程的一般形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
L[ xi (t )] X i ( s)
an s a1s a0
例:
Hale Waihona Puke dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L:
TsX o ( s ) X o ( s ) kX i ( s ) (Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
jik03
1．多项式分式形式 X o ( s ) bm s m b1s b0 G( s) X i ( s ) an s n a1s a0 2．零极点增益形式 分子、分母首一化，再分解因式
Page: 16
K bm / a n 系统增益 零极点增益形式：
N ( s) ( s z1 )( s z2 )( s zm ) G( s ) K K D( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
jik03 5
Page: 6
特点：
（1）解的各项系数: 指数: （2）只有瞬态响应，稳态响应=0； 2.5 x Z (t) （3）初始条件变化 2 只改变各组成项的系数。 瞬 态 响 应
1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
8 e -2 t - 6 e -3 t
若
L[ f1 (t )] F1 ( s) ， L[ f 2 (t )] F2 ( s)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt
jik03 3
（2）微分性质
Page: 4
dn L[ n f (t )] dt s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0)
常用机电相似系统：力—电压相似系统, 力—电流相似系统
jik03
c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 G( s ) c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 1 对比： R1 c1 R2 c2 C1 k1
1 C2 k2
15
五．传递函数的表达形式
K
( s zi )
) ( s p j jik03
j 1 i 1 n
m
( n m)
16
传递函数的零点：-zi(i=1,2,…m) 传递函数的极点：-zj(j=1,2,…n),（特征根） 3．典型环节形式 分子、分母“末1化”，再分解因式
K (1s 1) G( s) s(T1s 1)(T 2 s 2 2Ts 1)
F (s) L[ f (t )] :
拉氏变换将原函数变换成象函数
(3)拉氏逆变换将象函数变换成原函数 f(t)=L-1[F(s)]
(4)s的量纲是时间的倒数[T]-1 F(s)的量纲? jik03
2
Page: 3
(5)要求:会查表，会使用。 熟悉几个最简单函数的拉氏变换。
3．最简单的性质：
（1）叠加性质
t0 0 (t ) (t )dt 1 0 t0 0 1 L 变换: sX ( s) 3 X ( s) 2 2 s 1 2 3 X ( s) 2 s ( s 1) s 1 s 1
L[ (t )] 1
0
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
17
Page: 18
（2）多项式与零极点形式的转换 [Z,P,K]=tf2zp(num,den) [num,den]=zp2tf(Z,P,K) 小结： 1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应
X o (s) L[ xo (t )] 3.传函的的定义（零初始条件） G(s) X i (s) L[ xi (t )]
x (t )
xs ( t )
稳 态 响 应
1
2 1.5 1 0.5 0 0
瞬 态 响 应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳 态 响 应 +1
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
§2.2 传递函数
一.拉氏变换
1.定义
F (s) L[ f (t )]
jik03
0
f (t )e dt
1
st
Page: 2
2.讨论：
(1)零初始条件。 (2) f(t)∶原函数，时间域。 F(s)∶象函数，复数域。S=σ+jω且σ>0。
3．零状态响应 [强迫运动]
稳 态 响 应
0 t
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03 6
Page: 7
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x
t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
Page: 17
组成环节：
4．传递函数相互转换的MATLAB命令 （1）多项式形式的表达 num=[bm bm-1 … b1 b0]; den=[an an-1 … a1 a0]; g=tf(num,den) （2）零极点形式的表达 Z=[z1;z2];P=[p1;p2+j*p3; p2-j*p3];K=k; d=zpk(Z,P,K) jik03
s X ( s) sx(0) x (0) 5sX ( s) 5x(0) 6 X ( s) 0
代入初始条件用部分分式法展开
X (s) 2 s 12 8 6 ( s 2 5 s 6) s 2 s 3
1
解： L变换:
2
x(t ) L [ X ( s)] （查表） 2t 3t (t 0) x(t ) x Z (t ) 8e 6e
(8e 2t 6e 3 t ) (3e 2t 2e 3t 1)
(5e 2t 4e 3t ) 1 jik03
8
Page: 9
例 2.9 求解 x (t ) x(t ) t 2 (t )， 初始条件x(0) 3
(t )
解：单位脉冲函数δ(t)
x(t ) (e
t
t 1) (2e
jik03
t
3e ) = 6e
t
t
+
(t 1)
9
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特点：
(1)只有一个特征根， 只有一项瞬态响应6e-t； 两项稳态响应，t 和 -1; (2)系统的初值≠初始条件（状态）. δ(t)改变了系统的初始条件（状态）
8 x ( t) 7 6 5 瞬态响应 6 e - t 4 3 稳 态 响 应 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
11
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2.讨论
(1)传递函数的分母是系统特征多项式， 分子反映系统与外界的关系。
(2) X o (s) G(s) X i (s) 时域函数
Xi (s) G(s) X o( s)
xo (t ) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
例：求传递函数
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四．相似性原理 相似系统： 能用形式相同的数学模型来描述的两个系统； 相似量： 在微分方程或在传递函数中占有相同 位置的物理量。
ui (i2 i1 )R1 uo
1 (i2 i1 ) R1 i1dt C1 1 uo i2 R2 i2 dt C2
4.由微分方程求传递函数的方法： p s
5. 传函的零点、极点（系统微分方程的特征根）； 1 x ( t ) L [G(s) X i (s)] 6.输出的时域表示： o
1
t -1
t
7
8
三. 传递函数
(an p n a1 p a0 ) xo (t ) (bm p m b1 p b0 ) xi (t ) (n m)
作拉氏变换（在零初始条件下） p s
jik03
10
2t
jik03
u (t )
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x (t ) x s (t ) 3e
2e
3 t
1 (t≥0)
7
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 瞬 态 响 应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
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复习：线性系统微分方程的一般形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
L[ xi (t )] X i ( s)
an s a1s a0
例:
Hale Waihona Puke dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L:
TsX o ( s ) X o ( s ) kX i ( s ) (Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
jik03
1．多项式分式形式 X o ( s ) bm s m b1s b0 G( s) X i ( s ) an s n a1s a0 2．零极点增益形式 分子、分母首一化，再分解因式
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K bm / a n 系统增益 零极点增益形式：
N ( s) ( s z1 )( s z2 )( s zm ) G( s ) K K D( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
jik03 5
Page: 6
特点：
（1）解的各项系数: 指数: （2）只有瞬态响应，稳态响应=0； 2.5 x Z (t) （3）初始条件变化 2 只改变各组成项的系数。 瞬 态 响 应
1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
8 e -2 t - 6 e -3 t
若
L[ f1 (t )] F1 ( s) ， L[ f 2 (t )] F2 ( s)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt
jik03 3
（2）微分性质
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dn L[ n f (t )] dt s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0)
常用机电相似系统：力—电压相似系统, 力—电流相似系统
jik03
c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 G( s ) c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 1 对比： R1 c1 R2 c2 C1 k1
1 C2 k2
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五．传递函数的表达形式
K
( s zi )
) ( s p j jik03
j 1 i 1 n
m
( n m)
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传递函数的零点：-zi(i=1,2,…m) 传递函数的极点：-zj(j=1,2,…n),（特征根） 3．典型环节形式 分子、分母“末1化”，再分解因式
K (1s 1) G( s) s(T1s 1)(T 2 s 2 2Ts 1)
F (s) L[ f (t )] :
拉氏变换将原函数变换成象函数
(3)拉氏逆变换将象函数变换成原函数 f(t)=L-1[F(s)]
(4)s的量纲是时间的倒数[T]-1 F(s)的量纲? jik03
2
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(5)要求:会查表，会使用。 熟悉几个最简单函数的拉氏变换。
3．最简单的性质：
（1）叠加性质
t0 0 (t ) (t )dt 1 0 t0 0 1 L 变换: sX ( s) 3 X ( s) 2 2 s 1 2 3 X ( s) 2 s ( s 1) s 1 s 1
L[ (t )] 1
0
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
17
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（2）多项式与零极点形式的转换 [Z,P,K]=tf2zp(num,den) [num,den]=zp2tf(Z,P,K) 小结： 1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应
X o (s) L[ xo (t )] 3.传函的的定义（零初始条件） G(s) X i (s) L[ xi (t )]
x (t )
xs ( t )
稳 态 响 应
1
2 1.5 1 0.5 0 0
瞬 态 响 应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳 态 响 应 +1
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
§2.2 传递函数
一.拉氏变换
1.定义
F (s) L[ f (t )]
jik03
0
f (t )e dt
1
st
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2.讨论：
(1)零初始条件。 (2) f(t)∶原函数，时间域。 F(s)∶象函数，复数域。S=σ+jω且σ>0。
3．零状态响应 [强迫运动]
稳 态 响 应
0 t
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03 6
Page: 7
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x
t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
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组成环节：
4．传递函数相互转换的MATLAB命令 （1）多项式形式的表达 num=[bm bm-1 … b1 b0]; den=[an an-1 … a1 a0]; g=tf(num,den) （2）零极点形式的表达 Z=[z1;z2];P=[p1;p2+j*p3; p2-j*p3];K=k; d=zpk(Z,P,K) jik03
s X ( s) sx(0) x (0) 5sX ( s) 5x(0) 6 X ( s) 0
代入初始条件用部分分式法展开
X (s) 2 s 12 8 6 ( s 2 5 s 6) s 2 s 3
1
解： L变换:
2
x(t ) L [ X ( s)] （查表） 2t 3t (t 0) x(t ) x Z (t ) 8e 6e
(8e 2t 6e 3 t ) (3e 2t 2e 3t 1)
(5e 2t 4e 3t ) 1 jik03
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例 2.9 求解 x (t ) x(t ) t 2 (t )， 初始条件x(0) 3
(t )
解：单位脉冲函数δ(t)
x(t ) (e
t
t 1) (2e
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t
3e ) = 6e
t
t
+
(t 1)
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特点：
(1)只有一个特征根， 只有一项瞬态响应6e-t； 两项稳态响应，t 和 -1; (2)系统的初值≠初始条件（状态）. δ(t)改变了系统的初始条件（状态）
8 x ( t) 7 6 5 瞬态响应 6 e - t 4 3 稳 态 响 应 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
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2.讨论
(1)传递函数的分母是系统特征多项式， 分子反映系统与外界的关系。
(2) X o (s) G(s) X i (s) 时域函数
Xi (s) G(s) X o( s)
xo (t ) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
例：求传递函数
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四．相似性原理 相似系统： 能用形式相同的数学模型来描述的两个系统； 相似量： 在微分方程或在传递函数中占有相同 位置的物理量。
ui (i2 i1 )R1 uo
1 (i2 i1 ) R1 i1dt C1 1 uo i2 R2 i2 dt C2
4.由微分方程求传递函数的方法： p s
5. 传函的零点、极点（系统微分方程的特征根）； 1 x ( t ) L [G(s) X i (s)] 6.输出的时域表示： o
1
t -1
t
7
8
三. 传递函数
(an p n a1 p a0 ) xo (t ) (bm p m b1 p b0 ) xi (t ) (n m)
作拉氏变换（在零初始条件下） p s
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