概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引

编制：王健 审核：

题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。

【相关公式】 ❖ 全概率公式：

()()()()()()

n 1122S P()=|()||()()

(|)()

=()(|)()(|).

i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++=

=+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有：

P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：

❖ 贝叶斯公式：

()()i 1

00(1,2,,),()(|)()

(|)()(|)()

=()(|)()

(|)()(|)()(|)()

i i i i n

i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>=====

+∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：

当n 2时，有：

【相关例题】

1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：

（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件

表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工

厂生产的”（i =123，，）。

则Ω== 3

1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得

（1）∑=⋅=3

1

)|()()(i i i A A P A P A P

1000/37100

210035100410025100510040=⨯+⨯+⨯=

（2）由贝叶斯公式得 )|(2A A P =

∑=3

1

22)

|()()

|()(j j j A A P A P A A P A P

0.250.04

10/3737/1000

⨯=

=

2.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：

( 1 ) 此人来迟的概率；

( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件

表示：“此人来迟了”；事件i A 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞

机来”（i =123，，，4）。则Ω== 4

1

i i A ，且P A i ()>0，4321A A A A 、、、两两互不相容

（1）由全概率公式得

∑=⋅=4

1)|()()(i i i A A P A P A P

5

1

8152121101315141103=⨯+⨯+⨯+⨯=

（2）由贝叶斯公式得

P A A (|)1=∑=4

1

11)

|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 3131041/58

⨯

==

题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布

1、求概率密度

【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公

式：()1f x dx +∞

=-∞⎰，

且对于任意实数，有：212211

{}()()()x P x X x F x F x f x dx x <<=-=⎰。 【相关例题】

（1）设随机变量X 的分布函数为： 0,1x < F X （X ）= ln ,1x x e ≤< 1,x e ≥

① 5(2)(03)(2)2

P X P X P X <<≤<<求、、 ② ().x f x 求概率密度

(1)(2)(2)ln 2

(03)(3)(0)101555

(2)()(2)ln

2241(2)()X X X X X P X P X P X F F P X F F d F X dx x

<=≤=<≤=-=-=<<=-==解：

1

,1x e x <<

()x f x ∴=

0,其他 （2）2

()()1A

f x x x

=

-∞<<+∞+，是确定常数A 。 200+1

-1+([arctan ][arctan ]11

A

dx x A x x A π

+∞-∞∞=∞+==-

⎰解：由相关性质得：解得：

,036

x

x ≤< （3）设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342

x

x -≤<，求X 的分布函数。

0,其他 解：

0，x<0

,0306x x dx x ≤<⎰2

,0312

x x ⇒≤< 362

2,3403x x x x +-≤<⎰⎰232,344

x x x ⇒-+-≤< 1,4x ≥ 2、正态分布

【相关公式】

()F x =