概率论与数理统计必考大题解题索引
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计题库及答案-知识归纳整理
概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21− (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A)41414121 (B)161814121(C)1631614121 (D)81834121−3. 设延续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f则下列等式成立的是（ ）．(A) X P (≥1)1=− (B) 21)21(==X P(C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为延续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞−=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=b ax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞−=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （ ）．(A)⎰ba x x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f − (D) )()(b F a F −6. 下列函数中可以作为延续型随机变量的密度函数的是（ ）．知识归纳整理7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）． (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+−)(x Φ1)(=x (C) Φ=−)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(−a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（ ）．（A ） 61,61,31,31 (B)104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23−=X Y （ ）．(A) )3,2(−N (B) )3,4(−N (C) )3,4(2−N (D) )3,2(2−N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （ ）． (A) n (B) p(C) 1- p (D) p−1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）．(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E 求知若饥，虚心若愚。
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
看完你就及格啦(概率论与数理统计大题攻略)
一、全概率与贝叶斯公式例：某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%，80%，5%，其次品率分别为0.02，0.01，0.03. （1）取一件产品，是次品的概率（2）现从这批产品中任取一件发现是次品，试求该次品是由乙厂生产的概率.学会读题：此类题目中涉及的情景有明显的分类与先后关系，如本题，要确定某产品为次品，我们第一步必须先确定它是哪一厂生产的，第二步再看次品率，才能确定是不是次品。
一般会作为大题第一或第二题出现 路线图：0.020.010.0315%80%5%⎧−−−−→⎪−−−−→⎨⎪−−−−→⎩次品率次品率次品率甲厂生产（）次品某产品乙厂生产（）次品丙厂生产（）次品 这时我们就可以确定这是要用全概率和贝叶斯公式来解题。
第一问问我们“取一件产品，是次品的概率”，在路线图中是从左边推到右边，要用全概率公式第二问是先知道某产品是次品，让我们倒推此产品是乙厂生产的概率，在路线图中表现为从右至左，要用贝叶斯公式解 （1）记123,,A A A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂；B =“所取的产品是次品”. 则123,,A A A 构成样本空间Ω的一个划分，且依题意可知123()=0.15, ()=0.8 , ()=0.05P A P A P A ,123()=0.02, ()=0.01 , ()=0.03P B A P B A P B A .由全概率公式可得，31()()()0.150.020.80.010.050.030.0125i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑.（2）再由贝叶斯公式可得，2()P A B 22()()0.80.010.64()0.0125P A P B A P B ⨯===.解析：全概率公式比较简单，只要把每条路线上的概率分别相乘，再加起来就可以了=所求概率所属路线的概率贝叶斯公式：所求概率已知条件的概率“已知条件的概率”一般都是第一问用全概率公式算出来的答案，比如本题第二问已知某产品为次品，概率正好是第一问算出来的总的次品率0.0125。
《概率论与数理统计》习题及答案要点
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案(完整版)
2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D4、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C5、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验im(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计例题和知识点总结
概率论与数理统计例题和知识点总结概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，它在自然科学、工程技术、经济管理、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。
下面将通过一些例题来帮助大家理解和掌握这门学科的重要知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
例 1：抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
解：因为硬币只有正反两面，且质地均匀，所以正面朝上的概率为1/2。
知识点：古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数。
例 2：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子里一共有 8 个球，其中 5 个是红球，所以取出红球的概率为 5/8。
知识点：概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，P(∅）＝ 0。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
例 3：已知在某疾病的检测中，阳性结果中真正患病的概率为 09，而总体人群中患病的概率为 001。
如果一个人的检测结果为阳性，求他真正患病的概率。
解：设 A 表示患病，B 表示检测结果为阳性。
则 P(A) ＝ 001，P(B|A) ＝ 09，P(B|A'）＝ 1 P(B|A) ＝ 01。
根据全概率公式：P(B) ＝P(A)×P(B|A) ＋ P(A'）×P(B|A'）＝ 001×09 ＋099×01 ≈ 0108。
再根据贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(A)×P(B|A) ／ P(B) ＝ 001×09 ／0108 ≈ 0083。
知识点：条件概率公式：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)；乘法公式：P(AB) ＝ P(A)×P(B|A)。
三、独立性如果两个事件的发生与否互不影响，那么称它们是相互独立的事件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健 审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。
【相关公式】 ❖ 全概率公式：()()()()()()n 1122S P()=|()||()()(|)()=()(|)()(|).i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++==+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有：P ?…其中有：。
特别地：当n 2时，有：❖ 贝叶斯公式：()()i 100(1,2,,),()(|)()(|)()(|)()=()(|)()(|)()(|)()(|)()i i i i ni i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>=====+∑12n 设实验的样本空间为。
为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。
现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。
则Ω== 31i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P1000/37100210035100410025100510040=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得 )|(2A A P =∑=3122)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P0.250.0410/3737/1000⨯==2.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。
求：( 1 ) 此人来迟的概率；( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。
解：设事件表示：“此人来迟了”；事件i A 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i =123，，，4）。
则Ω== 41i i A ，且P A i ()>0，4321A A A A 、、、两两互不相容（1）由全概率公式得∑=⋅=41)|()()(i i i A A P A P A P518152121101315141103=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得P A A (|)1=∑=4111)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 3131041/58⨯==题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：()1f x dx +∞=-∞⎰，且对于任意实数，有：212211{}()()()x P x X x F x F x f x dx x <<=-=⎰。
【相关例题】（1）设随机变量X 的分布函数为： 0,1x < F X （X ）= ln ,1x x e ≤< 1,x e ≥① 5(2)(03)(2)2P X P X P X <<≤<<求、、 ② ().x f x 求概率密度(1)(2)(2)ln 2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()X X X X X P X P X P X F F P X F F d F X dx x<=≤=<≤=-=-=<<=-==解：1,1x e x <<()x f x ∴=0,其他 （2）2()()1Af x x x=-∞<<+∞+，是确定常数A 。
200+1-1+([arctan ][arctan ]11Adx x A x x A π+∞-∞∞=∞+==-⎰解：由相关性质得：解得：,036xx ≤< （3）设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342xx -≤<，求X 的分布函数。
0,其他 解：0，x<0,0306x x dx x ≤<⎰2,0312x x ⇒≤< 3622,3403x x x x +-≤<⎰⎰232,344x x x ⇒-+-≤< 1,4x ≥ 2、正态分布【相关公式】()F x =（1）公式22()2()()x f x x μσ--=-∞<<+∞其中：,,μσμσ为常数，则称X 服从参数为的正态分布。
（2）若()2~=~(0,1).x X NZ N μμσσ-，，则（3）相关概率运算公式：122112{}{}();{}{}()();()1().X x x P X x P x x x x X P x X x P x x μμμσσσμμμμμσσσσσ---≤=≤=Φ-----≤<=≤<=Φ-ΦΦ=-Φ-【相关例题】1、某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）服从N~（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X ，求： （1）{105},{100120};P X P X ≤<≤ （2）确定最小的,{}0.05x P X x >≤使2(1)~(110,12)1101051105{105}{}()1(0.42)10.66280.3372;121212100110110120110101010{100120}{}()()2()10.5934121212121212110110(2){}1{}1{}1212X N X P X P X P X P X x P X x P X x P --∴<=<=Φ--Φ=-=---<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-=-->=-≤=-≤解：min 1101()0.0512110()0.95(1.65)12110 1.65129.812129.8x x x x x -=-Φ≤-Φ≥Φ-⇒≥⇒≥∴=即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数10.05,0.06μσ==的正态分布，规定长度在范围10.050.12±内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。
(){}.9.9310.0510.0510.1710.0510.05(){}(22)2(2)10.95440.060.060.060.06()1()10.95440.0456A P A X X P A P P P A P A =----=≤≤=-≤≤=Φ-=∴=-=-=解：设一螺栓合格，本题求【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设G 为由抛物线y x =2和y x =所围成区域，()X Y ，在区域G 上服从均匀分布，试求：（1）X Y 、的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量X 与Y 是否相互独立。
解：如图所示，G 的面积为A x x dx =-=⎰()20116因此均匀分布定义得X Y 、的联合概率密度为f x y x y G(,),(,),=∈⎧⎨⎩60其他 而f x f x y dy dy x x x X xx()(,)()===-≤≤-∞+∞⎰⎰660122，f y f x y dx dx y y y Y yy()(,)()===-≤≤-∞+∞⎰⎰6601，所以关于X 和关于Y 的边缘分布密度分别为f x x x x X ()(),,=-≤≤⎧⎨⎩60102其他f y y y y Y ()(),,=-≤≤⎧⎨⎩6010其他（2）由于),()()(y x f y f x f Y X =，故随机变量X 与Y 不相互独立。
2.设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ； （2）概率}1{≤+Y X P 。
解：（1）x ≤0时，f x X ()=0；x >0时，f x X ()=f x y dy e dy e y x x(,)==--+∞-∞+∞⎰⎰故随机变量X 的密度函数f x X ()=e xx x -<≤⎧⎨⎩，，000（2）P X Y {}+≤1==--+≤⎰⎰⎰⎰f x y dxdy dx e dy y xxX Y (,)10121=+---e e 112123.设随机向量()X Y ，的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,00,10,),(xy x A y x f试求:（1）常数A ；（2）关于X Y 、的边缘概率密度。
解：（1）由归一性 ⎰⎰⎰⎰===∞+∞-∞+∞-1002),(1Adydx A dxdy y x f x所以2=A 。
的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,00,10,2),(xy x y x f（2）关于X Y 、的边缘概率密度为 )10(22),()(0≤≤===⎰⎰+∞∞-x x dy dy y x f x f xX即⎩⎨⎧≤≤=其它010,2)(x x x f X 同理可求得关于Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤-=其他,010),1(2)(y y y f Y4.设随机变量（X ，Y ）具有概率密度⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ，求（1）常数C ；（2）边缘分布密度。
解：（1）由于f x y dxdy ()，-∞+∞-∞+∞⎰⎰=1，故1=Cedxdy C e dx e dy C x y xy -++∞--+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰==()所以C =1，即f x y e x y x y (,),()=≥≥⎧⎨⎩-+，，其他00（2）⎰⎰+∞∞--+-+∞===x y x X e dy e dy y x f x f )(0),()( 0≥x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他，00,)(x e x f x X⎰⎰+∞∞--+-+∞===y y x Y e dx e dx y x f y f )(0),()( 0≥y ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他，00,)(y e y f y Y【题型四】最大似然估计的求解【相关公式】()()(1)()0ln ()0220ln 0(1,2,3,,)i id d L L d d i i L L i k θθθθθθθ==≥∂∂===∂∂当只有一个变量的时候，有：或；当未知变量有的时候，有：或……【相关例题】1、设概率密度为：,01xe x λλ-<<()f x =0,其他λ求的最大似然估计.()1111()exp ln ()ln ()1()0=.nnxni i i nii ni i nL ex l L n x d n l x d d l d x λλλλλλθλλλλλλλλ-====⎛⎫==- ⎪⎝⎭==-=-=∑∏∑∑解：令，即有：2、123,,,n X X X X 设,?… 是来自概率密度为：1,01x x θθ-<<(;)f x θ=0,其他 的总体的样本，θ未知，求θ的最大似然估计。