正弦定理和余弦定理课件PPT
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高中数学必修五 1.1 正弦定理和余弦定理 教学课件 PPT (4)
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
C
b
a
A
c
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； （2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
正弦定理和余弦定理 (共35张PPT)
2 2 2 2 2
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
考向二 判断三角形的形状[互动讲练型] [例 2] 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c， c－a 2B 若 sin 2 ＝ 2c ，则△ABC 的形状一定是________． 1－cos B c－a a [解析] 由题意，得 ＝ 2c ，即 cos B＝ c，又由余 2 2 2 2 a ＋ c － b a 弦定理，得c ＝ 2ac ，整理，得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为 直角三角形． [答案] 直角三角形
2．(2017· 辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的 长分别为 a， b， c， 若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B， 则角 C 等于( ) 2π π 3π 5π A. 3 B.3 C. 4 D. 6 解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b. 3 7 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos 1 2π C，解得 cos C＝－2，所以 C＝ 3 . 答案：A
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 6．(2016· 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； a2 (2)若△ABC 的面积 S＝ 4 ，求角 A 的大小．
考向一 应用正弦、余弦定理解三角形 [自主练透型] [例 1] (2016· 山东，16)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 tan A tan B 别为 a，b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理与余弦定理时PPT课件
第15页/共28页
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
正弦定理和余弦定理 PPT课件人教版
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 此问题.
提示:
作单位向量j⊥AC，j与AB夹角为锐角. j
由向量的加法可得AB = AC + CB， a
C b
则j·AB = j·（AC + CB），
B
A
所以j·AB = j·AC +j·CB,
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
C
sinA sinB
同理可得 b = cຫໍສະໝຸດ sinB sinCab
从而 a = b = c . B sinA sinB sinC
DA
(2)钝角三角形 如图，类比锐角三角形，请同学 们自己推导.
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综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或 A＝120°，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
例1 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a ＝42.9 cm，解三角形.
解：根据三角形内角和定理，
C 180 A B 180 32.0 81.8 66.2.
根据正弦定理，b=
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，来自c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 此问题.
提示:
作单位向量j⊥AC，j与AB夹角为锐角. j
由向量的加法可得AB = AC + CB， a
C b
则j·AB = j·（AC + CB），
B
A
所以j·AB = j·AC +j·CB,
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角
的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
中边与角的一种数量关系.
2 a b c 等价于
sin A sin B sin C a b , b c ，a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
探究点2 正弦定理的基本作用
（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边， 如 a bsin A. sin B
（2）已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A= a sin B.
b
（3）运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决边角之间的转换 关系.
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公 里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求 A,C两点的距离呢？
.C
.B .A
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三 角形的两类基本问题.（重点、难点）
3.已知边a,b和角Ａ，求其他边和角的讨论． (1)Ａ为锐角
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
b a ba
ba
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1 Ａ
Ｂ
a<bsinA 无解
a=bsinA bsinA<a<b
一解
两解
a≥b 一解
(2)Ａ为钝角
Ｃ ba
Ａ
Ｂ
Ｃ ba Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解；
探究点1 正弦定理
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先
来探讨直角三角形中角与边的等式关系.
A
提示：如图，在RtΔABC中，设BC = a，AC = b， C
B
AB = c，根据直角三角形中正弦函数的定义，有 a = sinA， c
b = sinB，sinC = 1 = c，则 a = b = c = c
所以c·sinA = a·sinC，即 a = c ， sinA sinC
同理，作j⊥BC，j与AC夹角为锐角.
可得 b = c ，从而 a = b = c .
sinB sinC
sinA sinB sinC
（2）外接圆法 提示:
B a
如图：C=C'， c sin
C
c sin C'
2R.
c
·O
C
如下图所示同理：
C
sinA sinB
同理可得 b = c sinB sinC
a
b
从而 a = b = c . B sinA sinB sinC
DA
(2)钝角三角形 如图，类比锐角三角形，请同学 们自己推导.
C
a b
提示:
B
AD
可证得，当ΔABC是钝角三角形时，也有
a = b = c. sinA sinB sinC
【即时练习】
在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b＝( C )
A．4 2
B．4 3
C．4 6
22 D. 3
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可
求，已知一边可由正弦定理求其他两边．
[解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正 弦定理sinaA＝sinbB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6.故选 C.
a sin B sin A
=
42.9 sin 81.8 sin 32.0
80.（1 cm）；
根据正弦定理，c= a sin C sin A
c
c sinA sinB sinC
从而在RtΔABC中，有 a = b = c . sinA sinB sinC
思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
提示：(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD = asinB = bsinA，
则a = b
a≤b时，无解.
【即时练习】
已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解这 个三角形．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角， 可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] 由正弦定理及已知条件有sin3A＝sin425°，
得 sinA＝ 23，asinB＝
3sin45°＝
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正弦定理概述：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
ab sin A sin B
c. sin C